صفحة 67 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

68

نوع: QUESTION_HOMEWORK

68) طائرات: تتكون مروحة طائرة من 5 ريش، المسافة بين أطرافها المتتالية متساوية. ويبلغ طول كل ريشة منها 11.5 ft. (الدرس 1-6)

نوع: محتوى تعليمي

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال القانون العام. (مهارة سابقة)

69

نوع: QUESTION_HOMEWORK

69) x² - 7x = -15

70

نوع: QUESTION_HOMEWORK

70) x² + 2x + 4 = 0

71

نوع: QUESTION_HOMEWORK

71) 12x² + 9x + 15 = 0

نوع: محتوى تعليمي

أوجد طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين في كل مما يأتي، وأوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (مهارة سابقة)

72

نوع: QUESTION_HOMEWORK

72) (2, -15, 12), (1, -11, 15)

73

نوع: QUESTION_HOMEWORK

73) (-4, 2, 8), (9, 6, 0)

74

نوع: QUESTION_HOMEWORK

74) (7, 1, 5), (-2, -5, -11)

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

75

نوع: QUESTION_HOMEWORK

75) أيٌّ من النقاط الآتية يعد تمثيلاً آخر للنقطة (-2, 7π/6) في المستوى القطبي؟

76

نوع: QUESTION_HOMEWORK

76) إذا كان n = <-7, 3>, m = <5, -4>، فأيٌّ مما يأتي يمثّل k، حيث k = n - 2m؟

77

نوع: QUESTION_HOMEWORK

77) ما الصورة القطبية للمعادلة x² + (y - 2)² = 4؟

78

نوع: QUESTION_HOMEWORK

78) ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <6, -1, -2>, v = <-1, -4, 2>؟

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي لمروحة طائرة مكونة من 5 ريش (شفرات) مرتبة بشكل دائري بمسافات متساوية حول مركز مركزي. الشفرات مصنفة بالأحرف A, B, C, D, E. الشفرة A تقع في الجهة اليمنى (المحور القطبي). الشفرات الأخرى موزعة بانتظام بزوايا متساوية. هناك قوس يمثل المسافة d بين طرفي شفرتين متتاليتين (C و B).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 68 --- 68) طائرات: تتكون مروحة طائرة من 5 ريش، المسافة بين أطرافها المتتالية متساوية. ويبلغ طول كل ريشة منها 11.5 ft. (الدرس 1-6) a. إذا كانت الزاوية التي تصنعها الشفرة A مع المحور القطبي 3°، فاكتب زوجًا يمثل الإحداثيات القطبية لطرف كل شفرة، بفرض أن مركز المروحة ينطبق على القطب. b. ما المسافة d بين رأسي شفرتين متتاليتين؟ حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال القانون العام. (مهارة سابقة) --- SECTION: 69 --- 69) x² - 7x = -15 --- SECTION: 70 --- 70) x² + 2x + 4 = 0 --- SECTION: 71 --- 71) 12x² + 9x + 15 = 0 أوجد طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين في كل مما يأتي، وأوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (مهارة سابقة) --- SECTION: 72 --- 72) (2, -15, 12), (1, -11, 15) --- SECTION: 73 --- 73) (-4, 2, 8), (9, 6, 0) --- SECTION: 74 --- 74) (7, 1, 5), (-2, -5, -11) تدريب على اختبار --- SECTION: 75 --- 75) أيٌّ من النقاط الآتية يعد تمثيلاً آخر للنقطة (-2, 7π/6) في المستوى القطبي؟ A (2, π/6) B (-2, π/6) C (2, -11π/6) D (-2, 11π/6) --- SECTION: 76 --- 76) إذا كان n = <-7, 3>, m = <5, -4>، فأيٌّ مما يأتي يمثّل k، حيث k = n - 2m؟ A <-17, 11> B <-17, -5> C <17, -11> D <-17, 5> --- SECTION: 77 --- 77) ما الصورة القطبية للمعادلة x² + (y - 2)² = 4؟ A r = sin θ B r = 2 sin θ C r = 4 sin θ D r = 8 sin θ --- SECTION: 78 --- 78) ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <6, -1, -2>, v = <-1, -4, 2>؟ A <-10, 10, 25> B <-10, -10, 25> C <-10, -10, -25> D <-10, 10, -25> --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لمروحة طائرة مكونة من 5 ريش (شفرات) مرتبة بشكل دائري بمسافات متساوية حول مركز مركزي. الشفرات مصنفة بالأحرف A, B, C, D, E. الشفرة A تقع في الجهة اليمنى (المحور القطبي). الشفرات الأخرى موزعة بانتظام بزوايا متساوية. هناك قوس يمثل المسافة d بين طرفي شفرتين متتاليتين (C و B). Context: يستخدم لتمثيل الإحداثيات القطبية في سياق واقعي (مروحة طائرة) لحل مسائل تتعلق بالزوايا والمسافات.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 12

سؤال 68(a): إذا كانت الزاوية التي تصنعها الشفرة A مع المحور القطبي 3°، فاكتب زوجًا يمثل الإحداثيات القطبية لطرف كل شفرة، بفرض أن مركز المروحة ينطبق على القطب.

الإجابة: A: (11.5, 3°) B: (11.5, 75°) C: (11.5, 147°) D: (11.5, 219°) E: (11.5, 291°)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطى أن مركز المروحة عند القطب وأن شفرة A تصنع زاوية مقدارها $3^\circ$ مع المحور القطبي، ومعلوم أن هناك 5 شفرات متوزعة بالتساوي حول الدائرة. نصف القطر (المسافة من المركز إلى طرف الشفرة) مُعطى ضمن الإجابة كمقدار $11.5$ (وحدات الطول).
  2. **الخطوة 2 (المفهوم):** في النظام القطبي، يمثل كل طرف شفرة زوجًا $(r,\theta)$ حيث $r$ هو نصف القطر و$\theta$ هي الزاوية. إذا كانت الشفرات متساوية في التوزيع حول الدائرة فالفاصل بين كل شفرتين متتاليتين يساوي $\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$.
  3. **الخطوة 3 (التطبيق):** نبدأ بزاوية الشفرة A وهي $3^\circ$ ثم نضيف $72^\circ$ لكل شفرة تالية للحصول على زوايا الشفرات B, C, D, E: - A: $3^\circ$ - B: $3^\circ+72^\circ=75^\circ$ - C: $75^\circ+72^\circ=147^\circ$ - D: $147^\circ+72^\circ=219^\circ$ - E: $219^\circ+72^\circ=291^\circ$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الأزواج القطبية لأطراف الشفرات هي: A: **$(11.5,\;3^\circ)$** B: **$(11.5,\;75^\circ)$** C: **$(11.5,\;147^\circ)$** D: **$(11.5,\;219^\circ)$** E: **$(11.5,\;291^\circ)$**

سؤال 68(b): ما المسافة d بين رأسي شفرتين متتاليتين؟

الإجابة: d = 2(11.5) sin(36°) = 13.5 ft

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نصف القطر $r=11.5$ وفرق الزاوية بين رأسي شفرتين متتاليتين هو $72^\circ$ (لأن هناك 5 شفرات متساوية في الدائرة).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** المسافة بين نقطتين على محيط دائرة بنفس نصف القطر تفصل بينهما زاوية مركزية $\theta$ تساوي طول الوتر: $\displaystyle d=2r\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض $r=11.5$ و$\theta=72^\circ$: $\displaystyle d=2(11.5)\sin\left(\dfrac{72^\circ}{2}\right)=2(11.5)\sin(36^\circ)$ قيمة عددية تقريبية: $2(11.5)\times 0.5878\approx 13.518$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المسافة بين رأسي شفرتين متتاليتين = **$2(11.5)\sin(36^\circ)\approx 13.5\,$ft**

سؤال 69: 69) x² - 7x = -15

الإجابة: x = (7 ± i√11)/2

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $x^{2}-7x=-15$. ننقل جميع الحدود إلى جهة واحدة للحصول على معادلة تربيعية قياسية.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحصل على $x^{2}-7x+15=0$. نستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية: $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ حيث $a=1,\;b=-7,\;c=15$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب المميز: $\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4(1)(15)=49-60=-11$، وهو سالب، إذن جذور مركبة: $\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{7\pm i\sqrt{11}}{2}$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الحلان هما: **$x=\dfrac{7\pm i\sqrt{11}}{2}$**

سؤال 70: 70) x² + 2x + 4 = 0

الإجابة: x = -1 ± i√3

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $x^{2}+2x+4=0$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق صيغة الجذور التربيعية مع $a=1,\;b=2,\;c=4$. $\displaystyle x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-16}}{2}$.
  3. **الخطوة 3 (الحل والنتيجة):** المميز $\Delta=4-16=-12$، إذن $\displaystyle x=\frac{-2\pm i\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm i2\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$. إذن الحلان: **$x=-1\pm i\sqrt{3}$**

سؤال 71: 71) 12x² + 9x + 15 = 0

الإجابة: x = (-3 ± i√71)/8

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $12x^{2}+9x+15=0$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق صيغة حل المعادلة التربيعية مع $a=12,\;b=9,\;c=15$: $\displaystyle x=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot12\cdot15}}{2\cdot12}$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب المميز: $\Delta=81-720=-639$. نلاحظ $639=9\cdot71$، إذن $\sqrt{\Delta}=i\sqrt{639}=i\cdot3\sqrt{71}$. بالتعويض: $\displaystyle x=\frac{-9\pm i3\sqrt{71}}{24}=\frac{-3\pm i\sqrt{71}}{8}$ (بعد القسمة على 3).
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الحلان هما: **$x=\dfrac{-3\pm i\sqrt{71}}{8}$**

سؤال 72: 72) (2, -15, 12), (1, -11, 15)

الإجابة: الطول = √26 نقطة المنتصف = (3/2, -13, 27/2)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لمعرفة طول القطعة بين نقطتين في الفراغ ونقطة المنتصف نستخدم الفرق بين الإحداثيات والمتوسط الحسابي لكل إحداثية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** النقطتان: $P(2,-15,12)$ و$Q(1,-11,15)$. متجه الفرق $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-2,\,-11-(-15),\,15-12)=(-1,4,3)$. طول القطعة: $\displaystyle |PQ|=\sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}$. نقطة المنتصف: $\displaystyle M=\left(\frac{2+1}{2},\frac{-15+(-11)}{2},\frac{12+15}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},-13,\frac{27}{2}\right)$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول = **$\sqrt{26}$** ونقطة المنتصف = **$(\tfrac{3}{2},\,-13,\,\tfrac{27}{2})$**

سؤال 73: 73) (-4, 2, 8), (9, 6, 0)

الإجابة: الطول = √249 نقطة المنتصف = (5/2, 4, 4)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نحسب متجه الفرق ثم طول المتجه ونقطة المنتصف بالعلاقات المألوفة في الفراغ ثلاثي الأبعاد.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** النقطتان $P(-4,2,8)$ و$Q(9,6,0)$. الفرق $\overrightarrow{PQ}=(13,4,-8)$. الطول: $\displaystyle |PQ|=\sqrt{13^{2}+4^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{169+16+64}=\sqrt{249}$. نقطة المنتصف: $\displaystyle M=\left(\frac{-4+9}{2},\frac{2+6}{2},\frac{8+0}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},4,4\right)$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول = **$\sqrt{249}$** ونقطة المنتصف = **$(\tfrac{5}{2},\;4,\;4)$**

سؤال 74: 74) (7, 1, 5), (-2, -5, -11)

الإجابة: الطول = √373 نقطة المنتصف = (5/2, -2, -3)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نستخدم نفس طريقة الفرق لحساب الطول ومتوسط الإحداثيات لنقطة المنتصف.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** النقطتان $P(7,1,5)$ و$Q(-2,-5,-11)$. الفرق $\overrightarrow{PQ}=(-9,-6,-16)$. الطول: $\displaystyle |PQ|=\sqrt{(-9)^{2}+(-6)^{2}+(-16)^{2}}=\sqrt{81+36+256}=\sqrt{373}$. المنتصف: $\displaystyle M=\left(\frac{7+(-2)}{2},\frac{1+(-5)}{2},\frac{5+(-11)}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},-2,-3\right)$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول = **$\sqrt{373}$** ونقطة المنتصف = **$(\tfrac{5}{2},\,-2,\,-3)$**

سؤال 75: 75) أيٌّ من النقاط الآتية يعد تمثيلاً آخر للنقطة (-2, 7π/6) في المستوى القطبي؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (A) (2, π/6)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في الإحداثيات القطبية، الزوج $(r,\theta)$ يقابل الزوج $(-r,\theta+\pi)$ لأن تغيير إشارة $r$ يقلب الاتجاه بزاوية $\pi$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق والنتيجة):** لدينا $(-2,\;7\pi/6)$. بإضافة $\pi$ إلى الزاوية نحصل على $7\pi/6+\pi=13\pi/6$, والذي يساوي $\pi/6$ عند اختزاله إلى مجال $[0,2\pi)$، ويتحول $r$ إلى $2$. لذلك تمثيل مكافئ هو **$(2,\;\pi/6)$**. إذن الخيار الصحيح هو: **(A) $(2,\;\pi/6)$**

سؤال 76: 76) إذا كان n = <-7, 3>, m = <5, -4>, فأيٌّ مما يأتي يمثّل k، حيث k = n - 2m؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: <-17, 11>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان $n=\langle-7,3\rangle$ و $m=\langle5,-4\rangle$، والمطلوب $k=n-2m$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نحسب $2m=\langle10,-8\rangle$ ثم $k=n-2m=\langle-7,3\rangle-\langle10,-8\rangle=\langle-7-10,\;3-(-8)\rangle=\langle-17,\;11\rangle$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $k=\langle-17,\;11\rangle$.

سؤال 77: 77) ما الصورة القطبية للمعادلة x² + (y - 2)² = 4؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: r = 4 sin θ

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** المعادلة الديكارتية للدائرة: $x^{2}+(y-2)^{2}=4$. للتحويل إلى شكل قطبي نستخدم التحويلات $x=r\cos\theta$ و $y=r\sin\theta$، كما أن $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نوسع المعادلة: $x^{2}+y^{2}-4y+4=4\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4y=0$. بالتحويل القطبي: $r^{2}-4r\sin\theta=0\Rightarrow r(r-4\sin\theta)=0$. باستبعاد الحل $r=0$ (النقطة الوحيدة عند القطب)، نحصل على $\displaystyle r=4\sin\theta$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الصورة القطبية للدائرة هي: **$r=4\sin\theta$**

سؤال 78: 78) ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <6, -1, -2>, v = <-1, -4, 2>؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: <-10, -10, -25>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان $u=\langle6,-1,-2\rangle$ و $v=\langle-1,-4,2\rangle$. مطلوب الضرب الاتجاهي $u\times v$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** الضرب الاتجاهي يُحسب كمحدد: $\displaystyle u\times v=\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 6 & -1 & -2\\ -1 & -4 & 2\end{vmatrix}$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب المكونات: $i$-component = $(-1)(2)-(-2)(-4)=-2-8=-10$, $j$-component = $6\cdot2-(-2)(-1)=12-2=10$ ثم نضع إشارة سالبة لأنها مكون $j$ في المحدد فتصبح $-10$, $k$-component = $6(-4)-(-1)(-1)=-24-1=-25$. إذًا $\displaystyle u\times v=\langle-10,-10,-25\rangle$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن حاصل الضرب الاتجاهي هو **$\langle-10,-10,-25\rangle$**