مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الأعداد المركبة بالصورة القطبية

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: a) -6 + 8i أوجد المقياس r والسعة θ. r = √(a² + b²) = √((-6)² + 8²) = 10 θ = Tan⁻¹(b/a) + π = Tan⁻¹(-8/6) + π ≈ 2.21 لذا فإن الصورة القطبية للعدد -6 + 8i هي 10(cos 2.21 + i sin 2.21) تقريبًا. b) 4 + √3i r = √(a² + b²) = √(4² + (√3)²) = √19 ≈ 4.36 θ = Tan⁻¹(b/a) = Tan⁻¹(√3/4) ≈ 0.41 لذا فإن الصورة القطبية للعدد 4 + √3i هي 4.36(cos 0.41 + i sin 0.41) تقريبًا.

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب؛ لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال (r, θ) كإحداثيات قطبية للعدد المركب. كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية، وذلك باستعمال قيم r، وقيم النسب المثلثية للزاوية θ المعطاة.

تمثيل الصورة القطبية لعدد مركب وتحويلها إلى الصورة الديكارتية

مثّل العدد z = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. لاحظ أن قيمة r هي 3، وقيمة θ هي π/6. عيّن الإحداثيات القطبية (3, π/6). ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية، ثم بسّط. الصورة القطبية: 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) بإيجاد قيم الجيب وجيب التمام: = 3[√3/2 + i(1/2)] خاصية التوزيع: = 3√3/2 + 3/2i فتكون الصورة الديكارتية للعدد z = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) هي z = 3√3/2 + 3/2i.

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

تحويل الأعداد المركبة: يمكن تحويل عدد مركب من الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية باستعمال الحاسبة البيانية من تطبيق الحاسبة، بفتح صفحة العبارة على الصورة القطبية، ثم اختيار enter. مع مراعاة إعدادات الآلة الحاسبة بحيث تُعطي الصورة القطبية.

70 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الأعداد المركبة بالصورة القطبية --- SECTION: مثال 2 --- عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: a) -6 + 8i أوجد المقياس r والسعة θ. r = √(a² + b²) = √((-6)² + 8²) = 10 θ = Tan⁻¹(b/a) + π = Tan⁻¹(-8/6) + π ≈ 2.21 لذا فإن الصورة القطبية للعدد -6 + 8i هي 10(cos 2.21 + i sin 2.21) تقريبًا. b) 4 + √3i r = √(a² + b²) = √(4² + (√3)²) = √19 ≈ 4.36 θ = Tan⁻¹(b/a) = Tan⁻¹(√3/4) ≈ 0.41 لذا فإن الصورة القطبية للعدد 4 + √3i هي 4.36(cos 0.41 + i sin 0.41) تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: 2A. 9 + 7i 2B. -2 - 2i ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب؛ لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال (r, θ) كإحداثيات قطبية للعدد المركب. كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية، وذلك باستعمال قيم r، وقيم النسب المثلثية للزاوية θ المعطاة. تمثيل الصورة القطبية لعدد مركب وتحويلها إلى الصورة الديكارتية --- SECTION: مثال 3 --- مثّل العدد z = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. لاحظ أن قيمة r هي 3، وقيمة θ هي π/6. عيّن الإحداثيات القطبية (3, π/6). ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية، ثم بسّط. الصورة القطبية: 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) بإيجاد قيم الجيب وجيب التمام: = 3[√3/2 + i(1/2)] خاصية التوزيع: = 3√3/2 + 3/2i فتكون الصورة الديكارتية للعدد z = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) هي z = 3√3/2 + 3/2i. --- SECTION: تحقق من فهمك --- مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية: 3A. 5(cos(3π/4) + i sin(3π/4)) 3B. 4(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) --- SECTION: إرشاد تقني --- تحويل الأعداد المركبة: يمكن تحويل عدد مركب من الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية باستعمال الحاسبة البيانية من تطبيق الحاسبة، بفتح صفحة العبارة على الصورة القطبية، ثم اختيار enter. مع مراعاة إعدادات الآلة الحاسبة بحيث تُعطي الصورة القطبية. 70 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a polar coordinate system. Concentric circles are labeled 1, 2, 3, 4, 5. Radial lines are labeled with angles: 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6. A blue dot is plotted at the intersection of the circle with radius r=3 and the radial line for θ=π/6. A blue arrow points from the origin (0,0) to this point, which is labeled (3, π/6). Context: Visual representation of a complex number in polar form on a polar grid. **IMAGE**: Untitled Description: A screenshot of a graphing calculator screen showing the conversion of a complex number. It displays the input 3(cos(π/4) + i sin(π/4)) and the output in Cartesian form. Context: Demonstrates how to use technology to perform complex number conversions.