مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها وإيجاد قواها وجذورها تُعدّ الصورة القطبية للعدد المركب، وصيغ المجموع، والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدة للغاية في ضرب الأعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الآتي:

الصورة القطبية للعددين المركبين z1, z2: z1z2 = r1(cos θ1 + i sin θ1) · r2(cos θ2 + i sin θ2) فك الأقواس: = r1r2(cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 + i^2 sin θ1 sin θ2) جمع الحدود التخيلية والحقيقية، واستبدل i^2 بـ -1: = r1r2[(cos θ1 cos θ2 - sin θ1 sin θ2) + (i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2)] أخرج i عاملاً مشتركاً: = r1r2[(cos θ1 cos θ2 - sin θ1 sin θ2) + i (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)] متطابقتا جيب المجموع، وجيب تمام المجموع: = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية وقسمتها للعددين المركبين z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) ، z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)، فإن: صيغة الضرب: z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] صيغة القسمة: z1/z2 = r1/r2 [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)]، حيث r2 ≠ 0، z2 ≠ 0

سوف تبرهن صيغة القسمة في التمرين 51 لاحظ أنه عند ضرب عددين مركبين، فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين، وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين وتطرح السعتين.

ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية أوجد ناتج 2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) · 4(cos π/6 + i sin π/6) على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. العبارة المعطاة: 2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) · 4(cos π/6 + i sin π/6) صيغة الضرب: = 2(4)[cos(5π/3 + π/6) + i sin(5π/3 + π/6)] بسط: = 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6) والآن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. الصورة القطبية: 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6) أوجد قيم الجيب وجيب التمام: = 8(√3/2 - i 1/2) خاصية التوزيع: = 4√3 - 4i فتكون الصورة القطبية للناتج 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6)، والصورة الديكارتية 4√3 - 4i.

أوجد الناتج على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي:

كما تقدم في فقرة "لماذا؟"، فإنه يمكن استعمال قسمة الأعداد المركبة للتعبير عن العلاقات في الكهرباء.

الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 71

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها وإيجاد قواها وجذورها تُعدّ الصورة القطبية للعدد المركب، وصيغ المجموع، والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدة للغاية في ضرب الأعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الآتي: الصورة القطبية للعددين المركبين z1, z2: z1z2 = r1(cos θ1 + i sin θ1) · r2(cos θ2 + i sin θ2) فك الأقواس: = r1r2(cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 + i^2 sin θ1 sin θ2) جمع الحدود التخيلية والحقيقية، واستبدل i^2 بـ -1: = r1r2[(cos θ1 cos θ2 - sin θ1 sin θ2) + (i cos θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2)] أخرج i عاملاً مشتركاً: = r1r2[(cos θ1 cos θ2 - sin θ1 sin θ2) + i (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)] متطابقتا جيب المجموع، وجيب تمام المجموع: = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] --- SECTION: مفهوم أساسي --- ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية وقسمتها للعددين المركبين z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) ، z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)، فإن: صيغة الضرب: z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] صيغة القسمة: z1/z2 = r1/r2 [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)]، حيث r2 ≠ 0، z2 ≠ 0 سوف تبرهن صيغة القسمة في التمرين 51 لاحظ أنه عند ضرب عددين مركبين، فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين، وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين وتطرح السعتين. --- SECTION: مثال 4 --- ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية أوجد ناتج 2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) · 4(cos π/6 + i sin π/6) على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. العبارة المعطاة: 2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) · 4(cos π/6 + i sin π/6) صيغة الضرب: = 2(4)[cos(5π/3 + π/6) + i sin(5π/3 + π/6)] بسط: = 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6) والآن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. الصورة القطبية: 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6) أوجد قيم الجيب وجيب التمام: = 8(√3/2 - i 1/2) خاصية التوزيع: = 4√3 - 4i فتكون الصورة القطبية للناتج 8(cos 11π/6 + i sin 11π/6)، والصورة الديكارتية 4√3 - 4i. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الناتج على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي: 4A. 3(cos π/3 + i sin π/3) · 5(cos π/4 + i sin π/4) 4B. 6(cos 3π/4 + i sin 3π/4) · 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) كما تقدم في فقرة "لماذا؟"، فإنه يمكن استعمال قسمة الأعداد المركبة للتعبير عن العلاقات في الكهرباء. الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 71 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يحتوي على القواعد الأساسية لضرب وقسمة الأعداد المركبة في الصورة القطبية. Context: يوضح القوانين الرياضية المستخدمة في الدرس. **FIGURE**: Untitled Description: خطوات حل مثال رياضي يوضح عملية ضرب عددين مركبين وتحويل الناتج من الصورة القطبية إلى الديكارتية. Context: تطبيق عملي للقوانين المشروحة في المفهوم الأساسي. **IMAGE**: Untitled Description: شعار وزارة التعليم السعودية مع رابط بوابة عين التعليمية.