نظرية ديموافر - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ويمكن تلخيص ذلك على النحو الآتي:

نظرية ديموافر إذا كان (cos θ + i sin θ) z = r عدداً مركباً على الصورة القطبية، وكان n عدداً صحيحاً موجباً، فإن: zⁿ = [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

إبراهيم ديموافر (1667م - 1754م) رياضي فرنسي عُرف بالنظرية المسماة باسمه، وكتابه عن الاحتمالات هو Doctrine of Chances. ويُعد ديموافر من الرياضيين الرواد في الهندسة التحليلية والاحتمالات.

نظرية ديموافر أوجد ⁶(4 + 4√3i) بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. أولاً: اكتب 4 + 4√3i على الصورة القطبية. r = √(a² + b²) = √(4² + (4√3)²) = √(16 + 48) = 8 θ = Tan⁻¹(b/a) = Tan⁻¹(4√3/4) = Tan⁻¹(√3) = π/3 فتكون الصورة القطبية للعدد 4 + 4√3i هي (8(cos π/3 + i sin π/3. والآن استعمل نظرية ديموافر؛ لإيجاد القوة السادسة. (4 + 4√3i)⁶ = [8(cos π/3 + i sin π/3)]⁶ = 8⁶[cos 6(π/3) + i sin 6(π/3)] = 262144 (cos 2π + i sin 2π) = 262144 (1 + 0i) = 262144 أي أن 262144 = ⁶(4 + 4√3i).

أوجد الناتج في كل مما يأتي، وعبر عنه بالصورة الديكارتية:

يوجد للمعادلة x⁴ = 256 حلان في مجموعة الأعداد الحقيقية هما 4, -4. ويظهر التمثيل البياني المجاور للمعادلة y = x⁴ - 256 وجود صفرين حقيقيين عند 4, -4 = x، بينما في مجموعة الأعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين، وحلين مركبين. درست سابقاً نتيجة النظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على وجود n صفراً لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n في مجموعة الأعداد المركبة؛ لذا يكون للمعادلة x⁴ = 256 التي تكتب على الصورة 0 = 256 - x⁴ أربعة حلول أو جذور مختلفة، وهي 4, -4, 4i, -4i. وبشكل عام، فإنه يوجد n جذر نوني مختلف لأي عدد مركب لا يساوي الصفر حيث n ≥ 2، بمعنى أنه لأي عدد مركب جذران تربيعيان، وثلاثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية...، وهكذا.

النظرية الأساسية في الجبر كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

الدرس 6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 73

ويمكن تلخيص ذلك على النحو الآتي: --- SECTION: نظرية ديموافر --- نظرية ديموافر إذا كان (cos θ + i sin θ) z = r عدداً مركباً على الصورة القطبية، وكان n عدداً صحيحاً موجباً، فإن: zⁿ = [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- إبراهيم ديموافر (1667م - 1754م) رياضي فرنسي عُرف بالنظرية المسماة باسمه، وكتابه عن الاحتمالات هو Doctrine of Chances. ويُعد ديموافر من الرياضيين الرواد في الهندسة التحليلية والاحتمالات. --- SECTION: مثال 6 --- نظرية ديموافر أوجد ⁶(4 + 4√3i) بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. أولاً: اكتب 4 + 4√3i على الصورة القطبية. r = √(a² + b²) = √(4² + (4√3)²) = √(16 + 48) = 8 θ = Tan⁻¹(b/a) = Tan⁻¹(4√3/4) = Tan⁻¹(√3) = π/3 فتكون الصورة القطبية للعدد 4 + 4√3i هي (8(cos π/3 + i sin π/3. والآن استعمل نظرية ديموافر؛ لإيجاد القوة السادسة. (4 + 4√3i)⁶ = [8(cos π/3 + i sin π/3)]⁶ = 8⁶[cos 6(π/3) + i sin 6(π/3)] = 262144 (cos 2π + i sin 2π) = 262144 (1 + 0i) = 262144 أي أن 262144 = ⁶(4 + 4√3i). --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الناتج في كل مما يأتي، وعبر عنه بالصورة الديكارتية: 6A. (1 + √3i)⁴ 6B. (2√3 - 2i)⁸ يوجد للمعادلة x⁴ = 256 حلان في مجموعة الأعداد الحقيقية هما 4, -4. ويظهر التمثيل البياني المجاور للمعادلة y = x⁴ - 256 وجود صفرين حقيقيين عند 4, -4 = x، بينما في مجموعة الأعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين، وحلين مركبين. درست سابقاً نتيجة النظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على وجود n صفراً لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n في مجموعة الأعداد المركبة؛ لذا يكون للمعادلة x⁴ = 256 التي تكتب على الصورة 0 = 256 - x⁴ أربعة حلول أو جذور مختلفة، وهي 4, -4, 4i, -4i. وبشكل عام، فإنه يوجد n جذر نوني مختلف لأي عدد مركب لا يساوي الصفر حيث n ≥ 2، بمعنى أنه لأي عدد مركب جذران تربيعيان، وثلاثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية...، وهكذا. --- SECTION: مراجعة المفردات --- النظرية الأساسية في الجبر كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة. الدرس 6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 73 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: Portrait of the mathematician Abraham de Moivre, showing a man with long dark curly hair, wearing a dark period coat and a white cravat. **GRAPH**: Untitled Description: No description X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the real roots of the equation x⁴ = 256 by showing the x-intercepts of the function y = x⁴ - 256.