مفهوم أساسي: الجذور المختلفة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ولإيجاد جميع جذور عدد مركب يمكن أن تستعمل نظرية ديموافر للوصول إلى الصيغة الآتية:

لأي عدد صحيح n ≥ 2 ، فإن للعدد المركب r(cos θ + i sin θ) ، n من الجذور النونية المختلفة، ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة : r^(1/n) [cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)] حيث k = 0, 1, 2, ..., n - 1 .

ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة، إلا أنه يمكننا التوقف عندما k = n - 1 ، وعندما يساوي العدد n، أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار، كما يظهر في المعادلة: (θ + 2nπ)/n = θ/n + 2π وهي مطابقة للزاوية التي تنتج عندما k = 0

أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -4 - 4i . أولاً: اكتب -4 - 4i على الصورة القطبية. r = √((-4)² + (-4)²) = √32 , θ = Tan⁻¹(-4/-4) + π = 5π/4 -4 - 4i = √32 (cos 5π/4 + i sin 5π/4) والآن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. θ = 5π/4 , n = 4 , r^(1/n) = (√32)^(1/4) (√32)^(1/4) [cos((5π/4 + 2kπ)/4) + i sin((5π/4 + 2kπ)/4)] بسط: = ⁸√32 [cos(5π/16 + 2kπ/4) + i sin(5π/16 + 2kπ/4)] ثانياً: لإيجاد الجذور الرباعية، عوض k = 0, 1, 2, 3 . k = 0 (الجذر الأول): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(0)π/4) + i sin(5π/16 + 2(0)π/4)] = ⁸√32 (cos 5π/16 + i sin 5π/16) ≈ 0.86 + 1.28i k = 1 (الجذر الثاني): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(1)π/4) + i sin(5π/16 + 2(1)π/4)] = ⁸√32 (cos 13π/16 + i sin 13π/16) ≈ -1.28 + 0.86i k = 2 (الجذر الثالث): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(2)π/4) + i sin(5π/16 + 2(2)π/4)] = ⁸√32 (cos 21π/16 + i sin 21π/16) ≈ -0.86 - 1.28i k = 3 (الجذر الرابع): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(3)π/4) + i sin(5π/16 + 2(3)π/4)] = ⁸√32 (cos 29π/16 + i sin 29π/16) ≈ 1.28 - 0.86i الجذور الرباعية للعدد -4 - 4i هي 0.86 + 1.28i, -1.28 + 0.86i, -0.86 - 1.28i, 1.28 - 0.86i

تحقق من فهمك

74 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

ولإيجاد جميع جذور عدد مركب يمكن أن تستعمل نظرية ديموافر للوصول إلى الصيغة الآتية: --- SECTION: مفهوم أساسي: الجذور المختلفة --- لأي عدد صحيح n ≥ 2 ، فإن للعدد المركب r(cos θ + i sin θ) ، n من الجذور النونية المختلفة، ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة : r^(1/n) [cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)] حيث k = 0, 1, 2, ..., n - 1 . ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة، إلا أنه يمكننا التوقف عندما k = n - 1 ، وعندما يساوي العدد n، أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار، كما يظهر في المعادلة: (θ + 2nπ)/n = θ/n + 2π وهي مطابقة للزاوية التي تنتج عندما k = 0 --- SECTION: مثال 7: جذور العدد المركب --- أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -4 - 4i . أولاً: اكتب -4 - 4i على الصورة القطبية. r = √((-4)² + (-4)²) = √32 , θ = Tan⁻¹(-4/-4) + π = 5π/4 -4 - 4i = √32 (cos 5π/4 + i sin 5π/4) والآن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. θ = 5π/4 , n = 4 , r^(1/n) = (√32)^(1/4) (√32)^(1/4) [cos((5π/4 + 2kπ)/4) + i sin((5π/4 + 2kπ)/4)] بسط: = ⁸√32 [cos(5π/16 + 2kπ/4) + i sin(5π/16 + 2kπ/4)] ثانياً: لإيجاد الجذور الرباعية، عوض k = 0, 1, 2, 3 . k = 0 (الجذر الأول): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(0)π/4) + i sin(5π/16 + 2(0)π/4)] = ⁸√32 (cos 5π/16 + i sin 5π/16) ≈ 0.86 + 1.28i k = 1 (الجذر الثاني): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(1)π/4) + i sin(5π/16 + 2(1)π/4)] = ⁸√32 (cos 13π/16 + i sin 13π/16) ≈ -1.28 + 0.86i k = 2 (الجذر الثالث): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(2)π/4) + i sin(5π/16 + 2(2)π/4)] = ⁸√32 (cos 21π/16 + i sin 21π/16) ≈ -0.86 - 1.28i k = 3 (الجذر الرابع): ⁸√32 [cos(5π/16 + 2(3)π/4) + i sin(5π/16 + 2(3)π/4)] = ⁸√32 (cos 29π/16 + i sin 29π/16) ≈ 1.28 - 0.86i الجذور الرباعية للعدد -4 - 4i هي 0.86 + 1.28i, -1.28 + 0.86i, -0.86 - 1.28i, 1.28 - 0.86i --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 7A. أوجد الجذور التكعيبية للعدد 2 + 2i 7B. أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 74 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يحتوي على تعريف رياضي وصيغة لإيجاد الجذور النونية لعدد مركب باستخدام نظرية ديموافر. Context: يقدم القاعدة الرياضية الأساسية التي يعتمد عليها الدرس لحساب الجذور.