مثال 8 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

لاحظ أن الجذور الأربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى الصورة القطبية لكل جذر، نجد أن لكل منها مقياسًا قيمته (1.54 ≈ 32^1/8)، ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية، وذلك نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة؛ إذ يساوي 2π/4. تحدث إحدى الحالات الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1، فعند كتابة 1 على الصورة القطبية، فإننا نحصل على r = 1. وكما ذكرنا في الفقرة السابقة، فإن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستوى المركب؛ لذا فإن الجذور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة.

الجذور النونية للعدد واحد أوجد الجذور الثمانية للعدد واحد. أولاً: اكتب 1 على الصورة القطبية. 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0) r = √1² + 0² = 1, θ = Tan⁻¹ 0/1 = 0 والآن اكتب الصيغة للجذور الثمانية. 1^(1/8) (cos (0 + 2kπ)/8 + i sin (0 + 2kπ)/8) θ = 0, n = 8, r^(1/n) = 1^(1/8) = 1 بسط = cos kπ/4 + i sin kπ/4 ثانيًا: افترض أن k = 0 لإيجاد الجذر الأول للعدد 1. k = 0 cos (0)π/4 + i sin (0)π/4 = cos 0 + i sin 0 = 1 الجذر الأول لاحظ أن مقياس كل جذر هو 1، ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة π/4 إلى سعة الجذر السابق. الجذر الثاني cos π/4 + i sin π/4 = √2/2 + √2/2 i الجذر الثالث cos π/2 + i sin π/2 = i الجذر الرابع cos 3π/4 + i sin 3π/4 = -√2/2 + √2/2 i الجذر الخامس cos π + i sin π = -1 الجذر السادس cos 5π/4 + i sin 5π/4 = -√2/2 - √2/2 i الجذر السابع cos 3π/2 + i sin 3π/2 = -i الجذر الثامن cos 7π/4 + i sin 7π/4 = √2/2 - √2/2 i الجذور الثمانية للعدد 1 هي 1, √2/2 + √2/2 i, i, -√2/2 + √2/2 i, -1, -√2/2 - √2/2 i, -i, √2/2 - √2/2 i كما هو موضح في الشكل أعلاه.

الجذور النونية للعدد مركب يكون للجذور المقياس نفسه وهو r^(1/n). سعة الجذر الأول θ/n، ثم تزداد للجذور الأخرى على التوالي بإضافة 2π/n.

تحقق من فهمك

8A) أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد.

8B) أوجد الجذور السداسية للعدد واحد.

لاحظ أن الجذور الأربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى الصورة القطبية لكل جذر، نجد أن لكل منها مقياسًا قيمته (1.54 ≈ 32^1/8)، ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية، وذلك نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة؛ إذ يساوي 2π/4. تحدث إحدى الحالات الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1، فعند كتابة 1 على الصورة القطبية، فإننا نحصل على r = 1. وكما ذكرنا في الفقرة السابقة، فإن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستوى المركب؛ لذا فإن الجذور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة. --- SECTION: مثال 8 --- الجذور النونية للعدد واحد أوجد الجذور الثمانية للعدد واحد. أولاً: اكتب 1 على الصورة القطبية. 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0) r = √1² + 0² = 1, θ = Tan⁻¹ 0/1 = 0 والآن اكتب الصيغة للجذور الثمانية. 1^(1/8) (cos (0 + 2kπ)/8 + i sin (0 + 2kπ)/8) θ = 0, n = 8, r^(1/n) = 1^(1/8) = 1 بسط = cos kπ/4 + i sin kπ/4 ثانيًا: افترض أن k = 0 لإيجاد الجذر الأول للعدد 1. k = 0 cos (0)π/4 + i sin (0)π/4 = cos 0 + i sin 0 = 1 الجذر الأول لاحظ أن مقياس كل جذر هو 1، ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة π/4 إلى سعة الجذر السابق. الجذر الثاني cos π/4 + i sin π/4 = √2/2 + √2/2 i الجذر الثالث cos π/2 + i sin π/2 = i الجذر الرابع cos 3π/4 + i sin 3π/4 = -√2/2 + √2/2 i الجذر الخامس cos π + i sin π = -1 الجذر السادس cos 5π/4 + i sin 5π/4 = -√2/2 - √2/2 i الجذر السابع cos 3π/2 + i sin 3π/2 = -i الجذر الثامن cos 7π/4 + i sin 7π/4 = √2/2 - √2/2 i الجذور الثمانية للعدد 1 هي 1, √2/2 + √2/2 i, i, -√2/2 + √2/2 i, -1, -√2/2 - √2/2 i, -i, √2/2 - √2/2 i كما هو موضح في الشكل أعلاه. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الجذور النونية للعدد مركب يكون للجذور المقياس نفسه وهو r^(1/n). سعة الجذر الأول θ/n، ثم تزداد للجذور الأخرى على التوالي بإضافة 2π/n. تحقق من فهمك --- SECTION: 8A --- 8A) أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد. --- SECTION: 8B --- 8B) أوجد الجذور السداسية للعدد واحد. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تمثيل الجذور في المستوى المركب Description: A circle with radius approximately 1.54 units. Four points are plotted on the circle, representing the complex roots from Example 7. X-axis: R (Real) Y-axis: i (Imaginary) Context: Shows that roots of a complex number lie on a circle with radius equal to the nth root of the magnitude. **GRAPH**: تمثيل الجذور الثمانية للعدد واحد Description: A unit circle (radius 1) with 8 points plotted at intervals of 45 degrees (π/4 radians), representing the 8th roots of unity. X-axis: R (Real) Y-axis: i (Imaginary) Context: Visualizes the 8th roots of unity as vertices of a regular octagon inscribed in the unit circle.