📝 ملخص الصفحة
📚 إيجاد قياسات الأضلاع في المثلثات المتشابهة
المفاهيم الأساسية
القياس غير المباشر: يستعمل أشكالاً متشابهة لإيجاد قياسات الأشياء التي يصعب قياسها مباشرة.
خريطة المفاهيم
```markmap
الأشكال المتشابهة
تعريف
أضلاع متناظرة متناسبة
زوايا متناظرة متطابقة
كيفية التحقق من التشابه
إيجاد نسب الأضلاع المتناظرة
#### إذا كانت النسب متساوية (ثابتة) → الشكلان متشابهان
#### إذا كانت النسب غير متساوية → الشكلان غير متشابهان
تطبيقات على المثلثات المتشابهة
إيجاد قياسات أضلاع مجهولة
#### كتابة تناسب بين الأضلاع المتناظرة
#### استخدام الضرب التبادلي للحل
القياس غير المباشر
#### تطبيق على أطوال الظلال (مثال الينبوع والشجرة)
#### تطبيق على تصغير الصور
رموز
~ : يشابه
≡ : يطابق
```
نقاط مهمة
- إذا كان △ أ ~ △ ب، فإن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية.
- لحساب طول ضلع مجهول: نكتب تناسبًا، ثم نستخدم الضرب التبادلي للحل.
- القياس غير المباشر فكرة عملية لتقدير أطوال أو ارتفاعات أشياء يصعب الوصول إليها باستخدام أشكال متشابهة.
---
حل مثال
المثال 2: إذا كان △ ل م ن ~ △ ع س ص، فأوجد س ص.
الحل:
نسبة الأضلاع المتناظرة: ل ن / ع س = م ن / س ص
٦ / ٤ = ١٨ / س ص
باستخدام الضرب التبادلي: ٤ × ١٨ = ٦ × س
٧٢ = ٦ س
بقسمة الطرفين على ٦: س = ١٢
إذن، طول س ص = ١٢ مترًا.
المثال 3 (مثال من واقع الحياة): ينبوع ارتفاعه ١٨ م وطول ظله ١٣ م. بجانبه شجرة طول ظلها ١٩ م. ما ارتفاع الشجرة؟
الحل:
بما أن المثلثين متشابهان: ارتفاع الشجرة / ظل الشجرة = ارتفاع الينبوع / ظل الينبوع
س / ١٩ = ١٨ / ١٣
بالضرب التبادلي: ١٣ س = ١٩ × ١٨
١٣ س = ٣٤٢
بقسمة الطرفين على ١٣: س ≈ ٢٦.٣
إذن، ارتفاع الشجرة ≈ ٢٦.٣ مترًا.
---
تحقق من فهمك
ب) إذا كان △ أ ب ج ~ △ و هـ د، فأوجد أ ج.
(ملاحظة: بناءً على الرسم، الضلع أ ج هو الوتر في المثلث الأصغر. لحل هذه المسألة، يجب كتابة تناسب بين الأضلاع المتناظرة في المثلثين المتشابهين باستخدام الأطوال المعطاة في الرسم ثم إيجاد القيمة المجهولة.)
ج) صورة أبعادها ٤ سم × ٥ سم. نريد تصغيرها لعرض ٢ سم مع الحفاظ على التناسب. ما الطول الجديد؟
(ملاحظة: لحل هذه المسألة، ننشئ تناسبًا بين بعدي الصورة الأصلية والمصغرة: عرض₁ / طول₁ = عرض₂ / طول₂. ثم نعوض القيم المعطاة لإيجاد الطول المجهول.)
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: METADATA
١٣٤ الفصل ٨: الهندسة: المضلعات
مثال
نوع: محتوى تعليمي
مثال
إيجاد قياسات الأضلاع في المثلثات المتشابهة
نوع: محتوى تعليمي
إيجاد قياسات الأضلاع في المثلثات المتشابهة
2
نوع: محتوى تعليمي
إذا كان △ ل م ن ~ △ ع س ص، فأوجد س ص. بما أن المثلثين متشابهان، فإن نسب الأضلاع المتناظرة متساوية. اكتب تناسبًا لإيجاد س ص.
نوع: محتوى تعليمي
اكتب التناسب
ل ن / ع س = م ن / س ص
٦ / ٤ = ١٨ / س ص
أ تمثل طول س ص
أوجد ناتج الضرب التبادلي
٤ × ١٨ = ٦ س
٧٢ = ٦ س
بسط
اقسم كلا الطرفين على ٦.
س ص = ١٢ مترًا.
تحقق من فهمك:
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك:
ب
نوع: QUESTION_HOMEWORK
ب) إذا كان △ أ ب ج ~ △ و هـ د، فأوجد أ ج.
نوع: محتوى تعليمي
يستعمل القياس غير المباشر أشكالاً متشابهة لإيجاد قياسات الأشياء التي يصعب قياسها مباشرة.
مثال من واقع الحياة
نوع: محتوى تعليمي
مثال من واقع الحياة
3
نوع: محتوى تعليمي
ينابيع: في الصورة ينبوع يتدفق منه الماء إلى ارتفاع ١٨ م، فيصنع ظلاً طوله ١٣ م. ما ارتفاع شجرة قريبة منه تصنع ظلاً طوله ١٩ م، على افتراض أن المثلثين متشابهان؟
نوع: محتوى تعليمي
الشجرة الينبوع
الارتفاع ← س / ١٩ = ١٨ / ١٣ → الارتفاع
الظل
أوجد حاصل الضرب التبادلي
١٣ س = ١٩ × ١٨
١٣ س = ٣٤٢
بسط
اقسم كلا الطرفين على ١٣
س = ٢٦,٣
إذن طول الشجرة يساوي ٢٦,٣ م.
تحقق من فهمك:
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك:
ج
نوع: QUESTION_HOMEWORK
ج) صورة: يريد أحمد تصغير صورة بعدها ٤ سم × ٥ سم، بحيث تتناسب موقعًا في مجلة عرضه ٢ سم، فما طول الصورة المصغرة؟
🔍 عناصر مرئية
Two right-angled triangles, △ ل م ن and △ ع س ص, are shown. They are stated to be similar. The left triangle (△ ل م ن) has a vertical side labeled 6 م and a hypotenuse labeled 18 م. Its horizontal side is labeled 'س'. The right triangle (△ ع س ص) has a vertical side labeled 4 م and a hypotenuse labeled 15 م. Its horizontal side is labeled 'ص'.
Two right-angled triangles, △ أ ب ج and △ و هـ د, are shown. They are stated to be similar. The left triangle (△ أ ب ج) has a vertical side of 4 سم, a horizontal side of 3 سم, and a hypotenuse of 5 سم. The right triangle (△ و هـ د) has a vertical side labeled 'س' سم, a horizontal side of 2.8 سم, and a hypotenuse of 3.5 سم.
A diagram illustrating indirect measurement. A fountain and a tree are shown, both casting shadows. The fountain has a height of 18 م and casts a shadow of 13 م. The tree has an unknown height labeled 'س' م and casts a shadow of 19 م. The sun's rays are implied to be parallel, making the two triangles formed by the objects and their shadows similar.
Two images of flowers are shown, representing an original photo and a scaled-down version. The original image has dimensions of 4 سم (width) and 5 سم (height). The scaled-down image has a width of 2 سم and an unknown height labeled 'س' سم.
📄 النص الكامل للصفحة
١٣٤ الفصل ٨: الهندسة: المضلعات
--- SECTION: مثال ---
مثال
--- SECTION: إيجاد قياسات الأضلاع في المثلثات المتشابهة ---
إيجاد قياسات الأضلاع في المثلثات المتشابهة
--- SECTION: 2 ---
إذا كان △ ل م ن ~ △ ع س ص، فأوجد س ص. بما أن المثلثين متشابهان، فإن نسب الأضلاع المتناظرة متساوية. اكتب تناسبًا لإيجاد س ص.
اكتب التناسب
ل ن / ع س = م ن / س ص
٦ / ٤ = ١٨ / س ص
أ تمثل طول س ص
أوجد ناتج الضرب التبادلي
٤ × ١٨ = ٦ س
٧٢ = ٦ س
بسط
اقسم كلا الطرفين على ٦.
س ص = ١٢ مترًا.
--- SECTION: تحقق من فهمك: ---
تحقق من فهمك:
--- SECTION: ب ---
ب) إذا كان △ أ ب ج ~ △ و هـ د، فأوجد أ ج.
يستعمل القياس غير المباشر أشكالاً متشابهة لإيجاد قياسات الأشياء التي يصعب قياسها مباشرة.
--- SECTION: مثال من واقع الحياة ---
مثال من واقع الحياة
--- SECTION: 3 ---
ينابيع: في الصورة ينبوع يتدفق منه الماء إلى ارتفاع ١٨ م، فيصنع ظلاً طوله ١٣ م. ما ارتفاع شجرة قريبة منه تصنع ظلاً طوله ١٩ م، على افتراض أن المثلثين متشابهان؟
الشجرة الينبوع
الارتفاع ← س / ١٩ = ١٨ / ١٣ → الارتفاع
الظل
أوجد حاصل الضرب التبادلي
١٣ س = ١٩ × ١٨
١٣ س = ٣٤٢
بسط
اقسم كلا الطرفين على ١٣
س = ٢٦,٣
إذن طول الشجرة يساوي ٢٦,٣ م.
--- SECTION: تحقق من فهمك: ---
تحقق من فهمك:
--- SECTION: ج ---
ج) صورة: يريد أحمد تصغير صورة بعدها ٤ سم × ٥ سم، بحيث تتناسب موقعًا في مجلة عرضه ٢ سم، فما طول الصورة المصغرة؟
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two right-angled triangles, △ ل م ن and △ ع س ص, are shown. They are stated to be similar. The left triangle (△ ل م ن) has a vertical side labeled 6 م and a hypotenuse labeled 18 م. Its horizontal side is labeled 'س'. The right triangle (△ ع س ص) has a vertical side labeled 4 م and a hypotenuse labeled 15 م. Its horizontal side is labeled 'ص'.
Data: Side lengths are provided for both triangles to establish proportionality.
Key Values: △ ل م ن: vertical side = 6 م, hypotenuse = 18 م, △ ع س ص: vertical side = 4 م, hypotenuse = 15 م
Context: This diagram is used in Example 2 to find an unknown side length (س ص) using the property of similar triangles where corresponding sides are proportional.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two right-angled triangles, △ أ ب ج and △ و هـ د, are shown. They are stated to be similar. The left triangle (△ أ ب ج) has a vertical side of 4 سم, a horizontal side of 3 سم, and a hypotenuse of 5 سم. The right triangle (△ و هـ د) has a vertical side labeled 'س' سم, a horizontal side of 2.8 سم, and a hypotenuse of 3.5 سم.
Data: Side lengths are provided for both triangles to establish proportionality.
Key Values: △ أ ب ج: vertical side = 4 سم, horizontal side = 3 سم, hypotenuse = 5 سم, △ و هـ د: horizontal side = 2.8 سم, hypotenuse = 3.5 سم
Context: This diagram is used in Exercise (ب) of 'تحقق من فهمك' to find an unknown side length (أ ج) using the property of similar triangles.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram illustrating indirect measurement. A fountain and a tree are shown, both casting shadows. The fountain has a height of 18 م and casts a shadow of 13 م. The tree has an unknown height labeled 'س' م and casts a shadow of 19 م. The sun's rays are implied to be parallel, making the two triangles formed by the objects and their shadows similar.
Data: Heights and shadow lengths are provided to set up a proportion.
Key Values: Fountain height = 18 م, Fountain shadow length = 13 م, Tree shadow length = 19 م
Context: This diagram is used in Example 3 ('مثال من واقع الحياة') to demonstrate how to find the unknown height of the tree using indirect measurement and similar triangles.
**IMAGE**: Untitled
Description: Two images of flowers are shown, representing an original photo and a scaled-down version. The original image has dimensions of 4 سم (width) and 5 سم (height). The scaled-down image has a width of 2 سم and an unknown height labeled 'س' سم.
Data: Dimensions are provided for the original and scaled images to calculate the unknown dimension.
Key Values: Original image width = 4 سم, Original image height = 5 سم, Scaled image width = 2 سم
Context: This image is used in Exercise (ج) of 'تحقق من فهمك' to solve a problem involving scaling an image while maintaining proportionality.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
ما الخاصية الأساسية التي تميز الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة؟
- أ) تكون أطوال أضلاعها المتناظرة متساوية.
- ب) تكون أطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة.
- ج) تكون أضلاعها المتناظرة متعامدة.
- د) يكون مجموع أطوال أضلاعها المتناظرة ثابتاً.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: تكون أطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة.
الشرح: المثلثات المتشابهة هي مثلثات لها الزوايا نفسها، وتكون أطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة، أي أن النسبة بين كل زوج من الأضلاع المتناظرة تكون ثابتة.
تلميح: فكر في العلاقة بين الأطوال المتشابهة وليس الزوايا.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
لإيجاد طول الضلع المجهول س ص في مثلثين متشابهين (△ ل م ن ~ △ ع س ص)، حيث ل ن = 6، ع س = 4، و م ن = 18، ما هي قيمة س ص؟
- أ) 9 مترًا.
- ب) 10 مترًا.
- ج) 12 مترًا.
- د) 15 مترًا.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 12 مترًا.
الشرح: بما أن المثلثين متشابهين، فإن أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة:
1. نكتب التناسب: $\frac{ل ن}{ع س} = \frac{م ن}{س ص}$
2. نعوض بالقيم: $\frac{6}{4} = \frac{18}{س ص}$
3. نستخدم الضرب التبادلي: $6 \times س ص = 4 \times 18$
4. نحل المعادلة: $6 \times س ص = 72$
5. نقسم على 6: $س ص = \frac{72}{6} = 12$ مترًا.
تلميح: تذكر أن نسب الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة متساوية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
ينبوع ارتفاعه 18 م يصنع ظلاً طوله 13 م. ما ارتفاع شجرة قريبة منه تصنع ظلاً طوله 19 م، على افتراض تشابه المثلثات؟
- أ) 15.5 مترًا.
- ب) 22.1 مترًا.
- ج) 26.3 مترًا.
- د) 30.7 مترًا.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 26.3 مترًا.
الشرح: نستخدم مبدأ تشابه المثلثات حيث النسبة بين الارتفاع والظل ثابتة:
1. نكتب التناسب: $\frac{ارتفاع الشجرة}{ظل الشجرة} = \frac{ارتفاع الينبوع}{ظل الينبوع}$
2. نعوض بالقيم: $\frac{س}{19} = \frac{18}{13}$
3. نستخدم الضرب التبادلي: $13 \times س = 19 \times 18$
4. نحل المعادلة: $13 \times س = 342$
5. نقسم على 13: $س = \frac{342}{13} \approx 26.307$
6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة: $س \approx 26.3$ مترًا.
تلميح: قم بمساواة نسبة الارتفاع إلى الظل للشجرة مع النسبة نفسها للينبوع.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
يرغب أحمد في تصغير صورة أبعادها الأصلية 4 سم عرضًا و 5 سم طولًا. إذا كان العرض الجديد المطلوب 2 سم، فما هو الطول الجديد للصورة المصغرة؟
- أ) 2 سم.
- ب) 2.5 سم.
- ج) 3 سم.
- د) 4 سم.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 2.5 سم.
الشرح: بما أن الصورة المصغرة يجب أن تحافظ على نفس نسبة الأبعاد الأصلية (تشابه)، فإن:
1. نكتب التناسب: $\frac{الطول الأصلي}{العرض الأصلي} = \frac{الطول المصغر}{العرض المصغر}$
2. نعوض بالقيم: $\frac{5}{4} = \frac{الطول المصغر}{2}$
3. نستخدم الضرب التبادلي (أو نضرب الطرفين في 2): $الطول المصغر = \frac{5}{4} \times 2$
4. نحل المعادلة: $الطول المصغر = \frac{10}{4} = 2.5$ سم.
تلميح: حافظ على نسبة الطول إلى العرض بين الصورتين الأصلية والمصغرة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل