مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 33: مسألة مفتوحة: هات مثالين من واقع الحياة تستعمل فيهما النسبة المئوية من عدد.

الإجابة: خصم ٢٠٪ من ١٥٠ = ٣٠ ضريبة ١٥٪ من ٢٠٠ = ٣٠

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **المعطى** | مطلوب مثالين واقعيين لاستخدام النسبة المئوية من عدد. | | **المطلوب** | إعطاء المثالين مع شرح كيفية حساب النسبة المئوية في كل منهما. |
2. **المبدأ المستخدم:** النسبة المئوية تعني جزءًا من مائة. لحساب النسبة المئوية من عدد، نستخدم العلاقة: $\text{القيمة} = \frac{\text{النسبة المئوية}}{100} \times \text{العدد الأساسي}$.
3. **الخطوة 1: المثال الأول (الخصم)**
4. - **السيناريو:** خصم ٢٠٪ من سعر سلعة قيمتها ١٥٠ ريالاً.
5. - **طريقة الحساب:**
6. 1. تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري: $20\% = \frac{20}{100} = 0.20$.
7. 2. ضرب الكسر العشري في العدد الأساسي: $0.20 \times 150 = 30$.
8. - **التفسير:** قيمة الخصم هي ٣٠ ريالاً. وبذلك يصبح السعر بعد الخصم $150 - 30 = 120$ ريالاً.
9. **الخطوة 2: المثال الثاني (الضريبة)**
10. - **السيناريو:** إضافة ضريبة ١٥٪ على فاتورة بقيمة ٢٠٠ ريال.
11. - **طريقة الحساب:**
12. 1. تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري: $15\% = \frac{15}{100} = 0.15$.
13. 2. ضرب الكسر العشري في العدد الأساسي: $0.15 \times 200 = 30$.
14. - **التفسير:** قيمة الضريبة هي ٣٠ ريالاً. وبذلك يصبح المبلغ الإجمالي $200 + 30 = 230$ ريالاً.
15. > **ملاحظة:** هذان مثالان شائعان في عمليات الشراء اليومية، حيث تُستخدم النسبة المئوية لحساب الزيادة (كالضريبة) أو النقصان (كالخصم).
16. **الإجابة النهائية:** من أمثلة استعمال النسبة المئوية من عدد في الحياة: حساب قيمة الخصم على سلعة، وحساب قيمة الضريبة المضافة إلى فاتورة.

سؤال 34: اختر طريقة: يستعمل حمد بطاقة صراف آلي فيها ٥٠٠ ريال، لتسديد مستحقات الفندق الذي يسكنه، وهي: ٢٤٩,٩٩ ريالاً إيجار الغرفة، و ١٩٩ ريالاً قيمة ثلاث وجبات غداء من المطعم. إذا كان الفندق يضيف على المستأجر ما نسبته ١٥٪ من قيمة الإيجار رسوم خدمة إضافية، فهل ستغطي البطاقة مستحقات الفندق؟ استعمل طريقة أو أكثر من الطرق التالية لحل المسألة، ثم برر اختيارك.

الإجابة: نعم، ستغطي. التقدير الرسوم = ٣٧.٥، الإجمالي = ٤٨٦.٥، الباقي = ١٣.٥

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | رصيد البطاقة | - | ٥٠٠ | ريال | | إيجار الغرفة | $E$ | ٢٤٩.٩٩ | ريال | | قيمة الوجبات | $M$ | ١٩٩ | ريال | | نسبة الرسوم الإضافية | $r$ | ١٥٪ | - | | **المطلوب** | إجمالي المستحقات، ومقارنتها برصيد البطاقة (٥٠٠ ريال). |
2. **القوانين المستخدمة:**
3. 1. **حساب الرسوم الإضافية:** $\text{الرسوم} = r \times E$.
4. 2. **حساب الإجمالي:** $\text{الإجمالي} = E + M + \text{الرسوم}$.
5. 3. **المقارنة:** إذا كان $\text{الإجمالي} \le 500$، فإن البطاقة تغطي المستحقات.
6. **الخطوة 1: حساب الرسوم الإضافية (١٥٪ من إيجار الغرفة)**
7. - $r = 15\% = 0.15$.
8. - $\text{الرسوم} = 0.15 \times 249.99$.
9. - **تقديريًا:** $0.15 \times 250 = 37.5$ ريال. (كما في الإجابة الأصلية، وهذا تقريب معقول).
10. - **حساب دقيق:** $0.15 \times 249.99 = 37.4985 \approx 37.50$ ريال.
11. **الخطوة 2: حساب إجمالي المستحقات**
12. - إيجار الغرفة: $249.99$ ريال.
13. - قيمة الوجبات: $199$ ريال.
14. - الرسوم: $37.50$ ريال (نستخدم القيمة المقربة للسهولة).
15. - $\text{الإجمالي} = 249.99 + 199 + 37.50 = 486.49$ ريال. (التقدير: $486.5$ ريال).
16. **الخطوة 3: مقارنة الإجمالي برصيد البطاقة**
17. - رصيد البطاقة: $500$ ريال.
18. - الإجمالي: $\approx 486.50$ ريال.
19. - بما أن $486.50 < 500$، فإن رصيد البطاقة **يكفي** لتغطية المستحقات.
20. **الخطوة 4: حساب المبلغ المتبقي في البطاقة**
21. - $\text{الباقي} = 500 - 486.50 = 13.50$ ريال.
22. > **تبرير اختيار الطريقة:** استُخدمت طريقة **الحساب المباشر** مع **التقدير** للتحقق من صحة النتيجة بسرعة. طريقة التقدير (تقريب ٢٤٩.٩٩ إلى ٢٥٠) تُظهر أن الناتج منطقي وتساعد في تجنب الأخطاء الحسابية الكبيرة.
23. **الإجابة النهائية:** نعم، رصيد بطاقة الصراف الآلي البالغ ٥٠٠ ريال كافٍ لتسديد جميع مستحقات الفندق، وسيبقى فيها حوالي ١٣.٥ ريال.

سؤال 35: تحد: إذا جمعت ١٠٪ من عدد إلى العدد، ثم طرحت ١٠٪ من المجموع الناتج، فهل النتيجة أكبر من العدد الأصلي، أو أقل منه، أو مساوية له؟ فسر إجابتك.

الإجابة: أقل من العدد الأصلي؛ لأن x > 0.99x

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | |--------|-------| | العدد الأصلي | $x$ | | النسبة المئوية | ١٠٪ | | **المطلوب** | مقارنة الناتج النهائي بالعدد الأصلي $x$. |
2. **المبدأ المستخدم:** تتبع تأثير الزيادة ثم النقصان بنفس النسبة المئوية على قيمة العدد.
3. **الخطوة 1: تمثيل العملية رياضياً**
4. - **الجمع:** إضافة ١٠٪ من $x$ إلى $x$ نفسه.
5. $$\text{المجموع} = x + (10\% \times x) = x + 0.1x = 1.1x$$
6. - **الطرح:** طرح ١٠٪ من المجموع الناتج.
7. $$\text{المطروح} = 10\% \times (1.1x) = 0.1 \times 1.1x = 0.11x$$
8. $$\text{النتيجة النهائية} = 1.1x - 0.11x = 0.99x$$
9. **الخطوة 2: مقارنة النتيجة النهائية بالعدد الأصلي**
10. - العدد الأصلي: $x$.
11. - النتيجة النهائية: $0.99x$.
12. - بما أن $x > 0$ (عدد حقيقي موجب بشكل عام في التطبيقات العملية)، فإن $x > 0.99x$.
13. > **تفسير جبري:** العملية ليست متناظرة لأن ١٠٪ في الطرح تُحسب من القيمة الجديدة الأكبر ($1.1x$)، وليس من القيمة الأصلية ($x$). لذا، تكون قيمة المطروح ($0.11x$) أكبر من قيمة المضافة في الخطوة الأولى ($0.1x$).
14. **الإجابة النهائية:** النتيجة النهائية ($0.99x$) ستكون دائمًا **أقل من** العدد الأصلي ($x$)، لأن المبلغ الذي تم طرحه بعد الزيادة أكبر من المبلغ الذي أُضيف في البداية.

سؤال 36: اكتب: أي طريقة تفضل استعمالها لإيجاد النسبة المئوية من عدد، كتابة النسبة المئوية على هيئة كسر اعتيادي، أم كتابة النسبة المئوية على هيئة كسر عشري؟ وضح سبب اختيارك.

الإجابة: كسر عشري؛ الضرب أسهل. مثال: ٢٥٪ = ٠.٢٥

خطوات الحل:

1. | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **الخيار الأول** | كتابة النسبة المئوية على هيئة كسر اعتيادي (مثل $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$). | | **الخيار الثاني** | كتابة النسبة المئوية على هيئة كسر عشري (مثل $25\% = 0.25$). | | **المطلوب** | التفضيل بين الطريقتين مع توضيح السبب. |
2. **الخطوة 1: تحليل الطريقتين**
3. - **طريقة الكسر الاعتيادي:** تحويل النسبة إلى كسر مقامه ١٠٠، ثم تبسيطه (إن أمكن)، ثم ضربه في العدد.
4. - **طريقة الكسر العشري:** تحويل النسبة إلى عدد عشري بقسمتها على ١٠٠، ثم ضرب العدد العشري في العدد الأساسي.
5. **الخطوة 2: مقارنة المزايا**
6. | المعيار | الكسر الاعتيادي | الكسر العشري | |----------|-----------------|--------------| | **السهولة في الضرب** | قد يتطلب إجراء ضرب كسور، مما قد يكون معقدًا إذا لم يكن الكسر مبسطًا. | أسهل، خاصة مع الآلة الحاسبة أو الضرب المباشر. | | **الدقة** | دقيقة جدًا، خاصة مع الكسور البسيطة (مثل $\frac{1}{4}$، $\frac{1}{2}$). | دقيقة، ولكن قد تحدث أخطاء تقريب إذا كان الكسر العشري غير منتهٍ. | | **التطبيق** | مفيدة عندما تكون النسبة المئوية كسرًا بسيطًا، أو عند الحاجة للتبسيط قبل الحساب. | الأكثر شيوعًا وسرعة في الحسابات اليومية والرياضية. |
7. **الخطوة 3: التفضيل والسبب**
8. - **الطريقة المفضلة: كتابة النسبة المئوية على هيئة كسر عشري.**
9. - **السبب:**
10. 1. **السرعة:** عملية الضرب بعدد عشري مباشرة أسرع من التعامل مع كسور اعتيادية، خاصة مع الأعداد الكبيرة أو النسب غير البسيطة.
11. 2. **العمومية:** تناسب جميع النسب المئوية دون حاجة لخطوة تبسيط إضافية.
12. 3. **التوافق:** معظم الآلات الحاسبة والبرامج الحاسوبية تعمل بشكل أساسي مع النظام العشري.
13. - **مثال توضيحي:** لحساب ٢٥٪ من ٨٠:
14. - **بالكسر العشري:** $0.25 \times 80 = 20$ (خطوة واحدة).
15. - **بالكسر الاعتيادي:** $\frac{25}{100} \times 80 = \frac{1}{4} \times 80 = 20$ (خطوتان: تبسيط ثم ضرب).
16. **الإجابة النهائية:** أفضل استعمال الكسر العشري لحساب النسبة المئوية من عدد؛ لأنه يُحول العملية الحسابية إلى ضرب مباشر وسريع، وهو الأكثر ملاءمة للحسابات العملية اليومية.

سؤال 37: استعدادًا لاختبار الرياضيات، أتمت سهى حل ٦٠٪ من إجمالي ٤٠ تمرينًا على المادة المقررة. ما عدد التمارين المتبقية لتحلها قبل الاختبار؟ أ) ٢٥ ب) ٢٤ ج) ١٦ د) ١٥

الإجابة: ١٦ (الخيار ج)

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | إجمالي التمارين | $T$ | ٤٠ | | النسبة المئوية المحلولة | $p$ | ٦٠٪ | | **المطلوب** | عدد التمارين المتبقية $R$. |
2. **القانون المستخدم:**
3. 1. حساب العدد المحلول: $\text{محلول} = \frac{p}{100} \times T$.
4. 2. حساب المتبقي: $R = T - \text{محلول}$.
5. **الخطوة 1: حساب عدد التمارين التي حلت**
6. - $p = 60\% = 0.60$.
7. - $\text{محلول} = 0.60 \times 40 = 24$ تمرينًا.
8. **الخطوة 2: حساب عدد التمارين المتبقية**
9. - $R = 40 - 24 = 16$ تمرينًا.
10. **التحقق من الخيارات:**
11. - أ) ٢٥ ❌
12. - ب) ٢٤ ❌ (هذا هو عدد ما حُلَّ، وليس المتبقي)
13. - **ج) ١٦ ✔️**
14. - د) ١٥ ❌
15. **الإجابة النهائية:** يتبقى لسهى حل **١٦ تمرينًا** قبل اختبار الرياضيات.

سؤال 38: إجابة قصيرة: لدى محمد ٢٠٠ بطاقة، ٤٢٪ منها زرقاء اللون. كم بطاقة غير زرقاء لديه؟

الإجابة: الزرقاء = ٨٤ غير الزرقاء = ١١٦

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | إجمالي البطاقات | $T$ | ٢٠٠ | | نسبة البطاقات الزرقاء | $p_b$ | ٤٢٪ | | **المطلوب** | عدد البطاقات **غير الزرقاء** $N_{nb}$. |
2. **القانون المستخدم:**
3. 1. حساب عدد الزرقاء: $N_b = \frac{p_b}{100} \times T$.
4. 2. حساب غير الزرقاء: $N_{nb} = T - N_b$.
5. **الخطوة 1: حساب عدد البطاقات الزرقاء**
6. - $p_b = 42\% = 0.42$.
7. - $N_b = 0.42 \times 200 = 84$ بطاقة زرقاء.
8. **الخطوة 2: حساب عدد البطاقات غير الزرقاء**
9. - $N_{nb} = 200 - 84 = 116$ بطاقة.
10. **طريقة بديلة (حساب النسبة المئوية غير الزرقاء مباشرة):**
11. - نسبة غير الزرقاء = $100\% - 42\% = 58\%$.
12. - $N_{nb} = 0.58 \times 200 = 116$ بطاقة.
13. **الإجابة النهائية:** يمتلك محمد **١١٦ بطاقة** غير زرقاء اللون.

سؤال 39: اضرب: ٦٠ × ١/٢

الإجابة: ٣٠

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | العدد الكلي | $a$ | ٦٠ | | الكسر | $\frac{1}{2}$ | نصف | | **المطلوب** | حاصل الضرب $a \times \frac{1}{2}$. |
2. **القانون المستخدم:** ضرب عدد في كسر: $a \times \frac{m}{n} = \frac{a \times m}{n}$.
3. **الخطوة 1: تطبيق القانون مباشرة**
4. - $60 \times \frac{1}{2} = \frac{60 \times 1}{2} = \frac{60}{2}$.
5. **الخطوة 2: إجراء عملية القسمة**
6. - $\frac{60}{2} = 30$.
7. > **تفسير:** ضرب عدد في $\frac{1}{2}$ يعني **أخذ نصفه**.
8. **الإجابة النهائية:** حاصل ضرب $٦٠ \times \frac{١}{٢}$ يساوي **٣٠**.

سؤال 40: اضرب: ٢٨ × ٣/٤

الإجابة: ٢١

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | العدد الكلي | $a$ | ٢٨ | | الكسر | $\frac{3}{4}$ | ثلاثة أرباع | | **المطلوب** | حاصل الضرب $a \times \frac{3}{4}$. |
2. **القانون المستخدم:** ضرب عدد في كسر: $a \times \frac{m}{n} = \frac{a \times m}{n}$.
3. **الخطوة 1: تطبيق القانون**
4. - $28 \times \frac{3}{4} = \frac{28 \times 3}{4} = \frac{84}{4}$.
5. **الخطوة 2: إجراء عملية القسمة**
6. - $\frac{84}{4} = 21$.
7. > **تفسير:** ضرب عدد في $\frac{3}{4}$ يعني **أخذ ثلاثة أرباعه**.
8. **الخطوة 3: طريقة بديلة (بالتبسيط أولاً)**
9. - $28 \times \frac{3}{4} = \frac{28}{4} \times 3 = 7 \times 3 = 21$.
10. **الإجابة النهائية:** حاصل ضرب $٢٨ \times \frac{٣}{٤}$ يساوي **٢١**.

سؤال 41: اضرب: ٤٥ × ٢/٥

الإجابة: ١٨

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | العدد الكلي | $a$ | ٤٥ | | الكسر | $\frac{2}{5}$ | خمسان | | **المطلوب** | حاصل الضرب $a \times \frac{2}{5}$. |
2. **القانون المستخدم:** ضرب عدد في كسر: $a \times \frac{m}{n} = \frac{a \times m}{n}$.
3. **الخطوة 1: تطبيق القانون**
4. - $45 \times \frac{2}{5} = \frac{45 \times 2}{5} = \frac{90}{5}$.
5. **الخطوة 2: إجراء عملية القسمة**
6. - $\frac{90}{5} = 18$.
7. > **تفسير:** ضرب عدد في $\frac{2}{5}$ يعني **أخذ خُمسَيْه**.
8. **الخطوة 3: طريقة بديلة (بالتبسيط أولاً)**
9. - $45 \times \frac{2}{5} = \frac{45}{5} \times 2 = 9 \times 2 = 18$.
10. **الإجابة النهائية:** حاصل ضرب $٤٥ \times \frac{٢}{٥}$ يساوي **١٨**.

أي من المواقف الحياتية التالية يتطلب استخدام مفهوم النسبة المئوية من عدد لحسابه بشكل مباشر؟

• أ) تحديد معدل التضخم السنوي في الاقتصاد.
• ب) مقارنة عدد الطلاب الناجحين في صفين دراسيين مختلفين.
• ج) حساب قيمة الخصم على سلعة أو قيمة الضريبة المضافة إلى فاتورة.
• د) إيجاد العدد الإجمالي للكتب بناءً على نسبة الكتب المستعارة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حساب قيمة الخصم على سلعة أو قيمة الضريبة المضافة إلى فاتورة.

الشرح: المواقف التي تتطلب حساب جزء من مبلغ أو كمية كلية بناءً على نسبة معطاة، مثل الخصومات أو الضرائب، هي التطبيق المباشر للنسبة المئوية من عدد. 1. **الخصم:** قيمة الخصم = النسبة المئوية للخصم × السعر الأصلي. 2. **الضريبة:** قيمة الضريبة = النسبة المئوية للضريبة × المبلغ الأساسي.

تلميح: فكر في المواقف التي يتوجب فيها إيجاد جزء معين من قيمة كلية معطاة بنسبة مئوية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

يستعمل حمد بطاقة صراف آلي فيها ٥٠٠ ريال، لتسديد مستحقات الفندق الذي يسكنه، وهي: ٢٤٩,٩٩ ريالاً إيجار الغرفة، و ١٩٩ ريالاً قيمة ثلاث وجبات غداء من المطعم. إذا كان الفندق يضيف على المستأجر ما نسبته ١٥٪ من قيمة الإيجار رسوم خدمة إضافية، فكم ريالاً تقريباً سيتبقى في بطاقة حمد بعد تسديد مستحقات الفندق كاملة؟

• أ) 486.5 ريالاً
• ب) 25.0 ريالاً
• ج) 13.5 ريالاً
• د) 37.5 ريالاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 13.5 ريالاً

الشرح: 1. **حساب رسوم الخدمة:** 15% من 249.99 ريال $\approx$ 0.15 × 250 = 37.5 ريال. 2. **حساب إجمالي المستحقات:** 249.99 (إيجار) + 199 (وجبات) + 37.5 (رسوم) = 486.49 ريال. 3. **حساب المبلغ المتبقي:** 500 (رصيد) - 486.49 (إجمالي) = 13.51 ريال. 4. **التقريب:** 13.5 ريالاً.

تلميح: احسب رسوم الخدمة أولاً كنسبة مئوية من الإيجار فقط، ثم اجمع جميع التكاليف، وأخيراً اطرحها من رصيد البطاقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا جمعت ١٠٪ من عدد موجب إلى العدد، ثم طرحت ١٠٪ من المجموع الناتج، فما العلاقة بين النتيجة النهائية والعدد الأصلي؟

• أ) النتيجة النهائية ستكون أكبر من العدد الأصلي.
• ب) النتيجة النهائية ستكون أقل من العدد الأصلي.
• ج) النتيجة النهائية ستكون مساوية للعدد الأصلي.
• د) العلاقة تتغير حسب قيمة العدد الأصلي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النتيجة النهائية ستكون أقل من العدد الأصلي.

الشرح: 1. **افترض العدد الأصلي:** س. 2. **الجمع:** إضافة ١٠٪ من س إلى س: س + 0.10س = 1.10س. 3. **الطرح:** طرح ١٠٪ من المجموع الناتج (1.10س): 1.10س - (0.10 × 1.10س) = 1.10س - 0.11س = 0.99س. 4. **المقارنة:** النتيجة النهائية هي 0.99س. بما أن 0.99 < 1، فإن 0.99س ستكون أقل من س (العدد الأصلي).

تلميح: افترض العدد الأصلي كـ 'س'، ثم طبق العمليات الحسابية خطوة بخطوة لمقارنة النتيجة النهائية بـ 'س'.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

استعدادًا لاختبار الرياضيات، أتمت سهى حل ٦٠٪ من إجمالي ٤٠ تمرينًا على المادة المقررة. ما عدد التمارين المتبقية لتحلها قبل الاختبار؟

• أ) ٢٥
• ب) ٢٤
• ج) ١٦
• د) ١٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٦

الشرح: 1. **عدد التمارين المحلولة:** 60% من 40 = 0.60 × 40 = 24 تمرينًا. 2. **عدد التمارين المتبقية:** 40 (إجمالي) - 24 (محلولة) = 16 تمرينًا.

تلميح: احسب عدد التمارين التي حلتها سهى أولاً، ثم اطرحها من العدد الكلي للتمارين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

لدى محمد ٢٠٠ بطاقة، ٤٢٪ منها زرقاء اللون. كم بطاقة غير زرقاء لديه؟

• أ) ٨٤ بطاقة
• ب) ١٠٠ بطاقة
• ج) ١١٦ بطاقة
• د) ٥٨ بطاقة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١١٦ بطاقة

الشرح: 1. **عدد البطاقات الزرقاء:** 42% من 200 = 0.42 × 200 = 84 بطاقة. 2. **عدد البطاقات غير الزرقاء:** 200 (الإجمالي) - 84 (الزرقاء) = 116 بطاقة. **طريقة بديلة:** نسبة البطاقات غير الزرقاء = 100% - 42% = 58%. عدد البطاقات غير الزرقاء = 0.58 × 200 = 116 بطاقة.

تلميح: يمكنك حساب عدد البطاقات الزرقاء أولاً ثم طرحها من الإجمالي، أو حساب النسبة المئوية للبطاقات غير الزرقاء ثم ضربها في الإجمالي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط