استراتيجية حل المسألة - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مهمتك: مهمتك: حدد ما إذا كان منطقيًا أن ينتهي الدَّهانُ من دهن غرفة عامر في ٣ ساعات.

الإجابة: X غير منطقي؛ لأن دهن 25% استغرق 28 دقيقة، إذن دهن 100% يستغرق 112 = 4 × 28 دقيقة = ساعة و 52 دقيقة ≈ ساعتين، وليس 3 ساعات.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | نسبة العمل المنجز | 25% | % | | الوقت المستغرق لهذا الجزء | 28 | دقيقة | | الوقت المزعوم لإكمال العمل كاملاً | 3 | ساعات | | **المطلوب** | **تحديد معقولية الادعاء (3 ساعات) بناءً على المعطيات** | - |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ المستخدم هو **النسبة والتناسب** أو **معدل الوحدة**. حيث إن نسبة العمل المنجز تتناسب طرديًا مع الوقت المستغرق.
3. **الخطوة 3: حساب الوقت اللازم لإنجاز 100% من العمل** 1. نستخدم تناسبًا مباشرًا: $\frac{25}{100} = \frac{28}{x}$ حيث $x$ هو الوقت الإجمالي بالدقائق. 2. بحل المعادلة: $x = \frac{28 \times 100}{25} = \frac{2800}{25} = 112$ دقيقة. 3. تحويل الناتج إلى ساعات: $112 \div 60 = 1.8667$ ساعة ≈ **ساعة و 52 دقيقة**.
4. **الخطوة 4: المقارنة والتحقق من المعقولية** - الوقت المحسوب واقعيًا: **حوالي ساعتين**. - الوقت المزعوم: **3 ساعات**. > **ملاحظة:** الوقت المزعوم (3 ساعات) أكبر بكثير من الوقت المحسوب (ساعتين). هذا يعني أن الادعاء **غير منطقي** لأنه يستغرق وقتًا أطول بكثير مما هو متوقع، مما قد يشير إلى عدم كفاءة أو خطأ في التقدير.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** بناءً على الحساب، فإن الوقت اللازم لدهان الغرفة بالكامل هو قرابة **ساعتين** فقط، وبالتالي فإن ادعاء الدهان بأنه سينتهي في **3 ساعات** هو **ادعاء غير معقول أو منطقي**.

سؤال 1: اذكر استراتيجية أخرى لحل المسألة يمكن استعمالها لتحدد معقولية الإجابة.

الإجابة: استعمال التناسب (النسبة والتناسب) أو معدل الوحدة؛ مثل كتابة التناسب: 28/x = 25/100 => 112 = 4 × 28 = x دقيقة ≈ ساعتين، ثم مقارنة الناتج بـ 3 ساعات.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | عمل جزئي 25% في 28 دقيقة، وادعاء إكمال العمل (100%) في 3 ساعات. | | المطلوب | **استراتيجية بديلة** (غير الاستنتاج المباشر) للتحقق من معقولية الإجابة. |
2. **الخطوة 2: عرض الاستراتيجيات البديلة** يمكن استخدام إحدى الاستراتيجيتين التاليتين: 1. **استراتيجية معدل الوحدة (معدل الإنجاز)** - خطواتها: 1. حساب معدل الإنجاز في الدقيقة الواحدة: $\frac{25\%}{28\text{ دقيقة}} ≈ 0.8929\%\text{/دقيقة}$. 2. حساب الوقت اللازم للعمل كله: $\frac{100\%}{0.8929\%\text{/دقيقة}} ≈ 112$ دقيقة. 2. **استراتيجية الاستقراء المنطقي (الضرب في معامل)** - خطواتها: 1. ملاحظة أن 100% تساوي 4 أضعاف 25% ($100 \div 25 = 4$). 2. ضرب الوقت الجزئي في هذا المعامل: $28 \times 4 = 112$ دقيقة. 3. تحويل الناتج ومقارنته بالادعاء.
3. **الخطوة 3: توضيح تطبيق الاستراتيجية البديلة (باستخدام معدل الوحدة)** 1. **حساب معدل الإنجاز:** معدل الإنجاز لكل دقيقة $= \frac{\text{النسبة المنجزة}}{\text{الوقت}} = \frac{25}{28} = 0.8929$% تقريبًا لكل دقيقة. 2. **تطبيق المعدل على العمل الكامل:** الوقت الكلي $= \frac{\text{العمل الكامل (100%)}}{\text{معدل الإنجاز}} = \frac{100}{0.8929} ≈ 112$ دقيقة. 3. **التحقق من المعقولية:** - 112 دقيقة = ساعة و 52 دقيقة. - الناتج (حوالي ساعتين) أقل من الادعاء (3 ساعات)، مما يجعل الادعاء **غير معقول**.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** من الاستراتيجيات البديلة الفعالة **حساب معدل الوحدة** (النسبة المئوية المنجزة في الدقيقة) ثم استخدامه لتقدير الوقت الكلي، أو استخدام **الضرب في معامل** (مثل الضرب في 4 للانتقال من 25% إلى 100%). كلتا الاستراتيجيتين تؤديان إلى نفس النتيجة للتحقق من معقولية أي إجابة مقدمة.

سؤال 2: اكتب مسألتين، بحيث تكون إجابة إحداهما معقولة، والأخرى غير معقولة.

الإجابة: مسألة (إجابتها معقولة): قرأت سارة 50% من كتاب في 30 دقيقة، وقالت: سأنهي الكتاب في 60 دقيقة. الإجابة: معقولة. - مسألة (إجابتها غير معقولة): أنجز خالد 25% من واجبه في 20 دقيقة، وقال: سأنهي الواجب كله في 30 دقيقة. الإجابة: غير معقولة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلب والمبدأ** المطلوب: تصميم مسألتين تطبيقيتين تعتمدان على مفهوم **التحقق من معقولية الإجابة** باستخدام النسبة والتناسب. > **المبدأ:** إذا كانت نسبة العمل المنجز تتناسب طرديًا مع الوقت، فيمكن التنبؤ بالوقت الكلي ومقارنته بأي ادعاء.
2. **الخطوة 2: إنشاء المسألة الأولى (إجابتها معقولة)** 1. **صياغة المسألة:** > "قرأت نوف 40% من قصة في 20 دقيقة. قالت نوف: 'سأنهي قراءة القصة كاملة في 50 دقيقة.' هل هذا الادعاء معقول؟" 2. **تحليل المعطيات والحل:** | الكمية | القيمة | |--------|--------| | العمل المنجز | 40% | | الوقت المستغرق | 20 دقيقة | | الادعاء (الوقت الكلي) | 50 دقيقة | **الحساب:** - الوقت الكلي المتوقع $= \frac{20}{40} \times 100 = 50$ دقيقة. - الناتج (50 دقيقة) **يساوي** الادعاء (50 دقيقة). 3. **الاستنتاج:** الإجابة **معقولة** لأن الوقت المحسوب مطابق للادعاء.
3. **الخطوة 3: إنشاء المسألة الثانية (إجابتها غير معقولة)** 1. **صياغة المسألة:** > "أنجز أحمد 10% من تقريره في 15 دقيقة. قال أحمد: 'سأنهي التقرير كله في 60 دقيقة.' هل هذا الادعاء معقول؟" 2. **تحليل المعطيات والحل:** | الكمية | القيمة | |--------|--------| | العمل المنجز | 10% | | الوقت المستغرق | 15 دقيقة | | الادعاء (الوقت الكلي) | 60 دقيقة | **الحساب:** - الوقت الكلي المتوقع $= \frac{15}{10} \times 100 = 150$ دقيقة. - الناتج (150 دقيقة) **أكبر بكثير** من الادعاء (60 دقيقة). 3. **الاستنتاج:** الإجابة **غير معقولة** لأن الوقت المتوقع (2.5 ساعة) أكبر من الوقت المزعوم (ساعة واحدة)، مما يدل على أن أحمد يقلل من تقدير الوقت اللازم بشكل كبير.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية والتلخيص** تم كتابة مسألتين: 1. **مسألة بإجابة معقولة:** تتضمن نسبة عمل منجز ووقتًا جزئيًا يؤدي حساب الوقت الكلي المتوقع إلى نتيجة مطابقة للادعاء المقدم. 2. **مسألة بإجابة غير معقولة:** تتضمن نسبة عمل منجز ووقتًا جزئيًا يؤدي حساب الوقت الكلي المتوقع إلى نتيجة تختلف بشكل كبير عن الادعاء المقدم (عادةً يكون الوقت المحسوب أكبر). > **ملاحظة:** يمكن للطالب استخدام **معدل الوحدة** أو **التناسب المباشر** للتحقق من معقولية أي ادعاء زمني في مسائل مشابهة.

عامر: تم دهن ٢٥٪ من غرفتي خلال ٢٨ دقيقة. وأعتقد أن دهان غرفتي كاملاً سيحتاج إلى ٣ ساعات على وجه التقريب. مهمتك: حدد ما إذا كان منطقياً أن ينتهي الدهان من دهن غرفة عامر في ٣ ساعات.

• أ) غير منطقي؛ لأنه سيستغرق ساعة ونصف تقريباً، وليس 3 ساعات.
• ب) غير منطقي؛ لأن العمل يستغرق ساعتين تقريباً، وليس 3 ساعات.
• ج) منطقي؛ لأن الفارق ساعة واحدة فقط وهو ضمن التقديرات المقبولة.
• د) منطقي؛ لأن العمل الكلي سيتجاوز 3 ساعات بقليل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: غير منطقي؛ لأن العمل يستغرق ساعتين تقريباً، وليس 3 ساعات.

الشرح: ١. بتقريب ٢٨ دقيقة إلى ٣٠ دقيقة. ٢. بما أن ٢٥٪ تعادل ربع العمل، فإن العمل كاملاً (١٠٠٪) يستغرق ٤ أضعاف الوقت الجزئي: ٣٠ دقيقة × ٤ = ١٢٠ دقيقة. ٣. تحويل الوقت الكلي إلى ساعات: ١٢٠ دقيقة ÷ ٦٠ دقيقة/ساعة = ساعتين. ٤. بمقارنة الوقت المحسوب (ساعتين) مع تقدير عامر (٣ ساعات)، نجد أن تقديره غير منطقي.

تلميح: قدّر الوقت الجزئي إلى أقرب عشرة، ثم احسب الوقت الكلي بالاعتماد على أن ٢٥٪ هي ربع العمل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الاستراتيجية الأخرى التي يمكن استعمالها لتحديد معقولية الإجابة لمسائل تقدير الوقت بناءً على نسبة مئوية منجزة؟

• أ) استعمال تمثيل بياني معقد لتوقع النتائج المستقبلية.
• ب) استعمال التناسب (النسبة والتناسب) أو معدل الوحدة.
• ج) التقدير العشوائي للوقت ثم التحقق من الإجابة.
• د) قسمة النسبة المئوية المنجزة على الوقت المستغرق مباشرة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استعمال التناسب (النسبة والتناسب) أو معدل الوحدة.

الشرح: يمكن استخدام التناسب المباشر لربط النسبة المئوية المنجزة بالوقت المستغرق، ومن ثم حساب الوقت الكلي اللازم لإنجاز العمل كاملاً (100%) ومقارنته بالتقدير المعطى، أو حساب معدل الإنجاز للوحدة الزمنية.

تلميح: فكر في العلاقة الطردية بين نسبة العمل المنجز والوقت المستغرق.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من المسائل التالية تصف حالة تكون فيها إجابة تقدير الوقت الكلي للعمل *معقولة* بناءً على المعطيات؟

• أ) أنجز خالد ٢٥٪ من واجبه في 20 دقيقة، وقال: سأنهي الواجب كله في 30 دقيقة.
• ب) قرأت سارة ٥٠٪ من كتاب في 30 دقيقة، وقالت: سأنهي الكتاب في 60 دقيقة.
• ج) انتهى عامل من تركيب ٢٠٪ من بلاط الغرفة في 45 دقيقة، وقال: سأنهي الغرفة كاملة في ساعتين.
• د) قطع متسابق ٣٠٪ من السباق في 15 دقيقة، وقال: سأنهي السباق في 40 دقيقة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: قرأت سارة ٥٠٪ من كتاب في 30 دقيقة، وقالت: سأنهي الكتاب في 60 دقيقة.

الشرح: ١. لحساب الوقت الكلي المتوقع لقراءة الكتاب كاملاً (100%): إذا كان 50% يستغرق 30 دقيقة، فإن 100% (ضعف الـ 50%) سيستغرق ضعف الوقت، أي 30 دقيقة × 2 = 60 دقيقة. ٢. مقارنة الوقت المحسوب (60 دقيقة) مع تقدير سارة (60 دقيقة) يظهر تطابقاً، لذا الإجابة معقولة.

تلميح: احسب الوقت الكلي المتوقع لكل سيناريو وقارنه بالوقت المقدر لتحديد المعقولية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عامر: تم دهن ٢٥٪ من غرفتي خلال ٢٨ دقيقة. وأعتقد أن دهان غرفتي كاملاً سيحتاج إلى ٣ ساعات على وجه التقريب. حدد ما إذا كان منطقياً أن ينتهي الدهان من دهن غرفة عامر في ٣ ساعات.

• أ) منطقي؛ لأن 3 ساعات تقدير طبيعي لدهان غرفة كاملة.
• ب) غير منطقي؛ لأن دهن الغرفة كاملاً يتطلب حوالي ساعة و 52 دقيقة، وليس 3 ساعات.
• ج) منطقي؛ لأن 25% في 28 دقيقة يعني أن 75% المتبقية ستأخذ 28 × 3 = 84 دقيقة، فتكون المدة الكلية 112 دقيقة، وهو ما يقارب 3 ساعات.
• د) غير منطقي؛ لأن دهن الغرفة كاملاً يتطلب حوالي ساعتين و 20 دقيقة (140 دقيقة).

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: غير منطقي؛ لأن دهن الغرفة كاملاً يتطلب حوالي ساعة و 52 دقيقة، وليس 3 ساعات.

الشرح: 1. بما أن 25% من العمل استغرق 28 دقيقة، فإن إنجاز 100% من العمل يتطلب 4 أضعاف هذا الوقت. 2. الوقت الفعلي المتوقع = 28 دقيقة × 4 = 112 دقيقة. 3. لتحويل الدقائق إلى ساعات: 112 دقيقة = ساعة و 52 دقيقة. 4. نقارن الوقت الفعلي المتوقع (ساعة و 52 دقيقة) بالوقت المزعوم (3 ساعات). 5. الاستنتاج: الادعاء غير منطقي لأن ساعة و 52 دقيقة أقل بكثير من 3 ساعات.

تلميح: تذكر أن 25% تعادل ربع العمل الكلي، وأن النسبة بين العمل المنجز والوقت المستغرق تكون ثابتة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بالاعتماد على مسألة عامر (دهن 25% من الغرفة في 28 دقيقة)، ما الاستراتيجية الرياضية الأخرى الفعالة لتحديد معقولية الوقت الكلي المقترح؟

• أ) استخدام استراتيجية البحث عن نمط أو التخمين والتحقق.
• ب) استخدام استراتيجية العمل إلى الوراء أو حل مسألة أبسط.
• ج) استعمال التناسب المباشر (النسبة والتناسب) أو معدل الوحدة.
• د) استراتيجية رسم صورة أو نموذج.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: استعمال التناسب المباشر (النسبة والتناسب) أو معدل الوحدة.

الشرح: 1. استراتيجية التناسب المباشر تسمح بوضع علاقة نسبية بين الجزء المنجز والوقت المستغرق، وبين العمل الكلي والوقت الكلي. 2. استراتيجية معدل الوحدة تتضمن حساب كمية العمل المنجزة في وحدة زمنية (مثل النسبة المئوية لكل دقيقة) ثم استخدام هذا المعدل لتقدير الوقت اللازم للعمل كاملاً. 3. كلاهما يعتمدان على أن العمل يتناسب طردياً مع الوقت.

تلميح: فكر في العلاقات الرياضية التي تربط بين النسب والأجزاء الكلية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

أي من السيناريوهات التالية يعرض ادعاءً غير معقول، بالاستناد إلى مبدأ تحديد معقولية الإجابة؟

• أ) قرأ طالب 50% من كتاب في ساعة واحدة، وادعى أنه سينهي الكتاب كاملاً في ساعتين.
• ب) أنجز عامل 25% من مشروع في 10 أيام، وادعى أنه سينتهي من المشروع كاملاً في 20 يوماً.
• ج) قام رسام برسم 10% من لوحة في 30 دقيقة، وادعى أنه سينهي اللوحة كاملة في 5 ساعات (300 دقيقة).
• د) قطعت سيارة 75% من مسافة في 45 دقيقة، وادعت أنها ستقطع المسافة كاملة في ساعة واحدة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أنجز عامل 25% من مشروع في 10 أيام، وادعى أنه سينتهي من المشروع كاملاً في 20 يوماً.

الشرح: 1. في هذا السيناريو، إذا أنجز العامل 25% من المشروع في 10 أيام، فإن إنجاز 100% من المشروع سيتطلب 4 أضعاف هذا الوقت. 2. الوقت الفعلي المتوقع = 10 أيام × 4 = 40 يوماً. 3. الادعاء المذكور هو 20 يوماً، وهو أقل بكثير من الوقت المتوقع (40 يوماً). 4. الاستنتاج: هذا الادعاء غير معقول.

تلميح: لكل سيناريو، احسب الوقت الكلي المتوقع لإنجاز 100% من العمل وقارنه بالادعاء الزمني المذكور.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط