إرشادات للأسئلة - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 4: مياه: للسؤالين ٤، ٥ استعمل التمثيل البياني المجاور الذي يمثل الوقت الذي يستغرقه أحد المصانع في إنتاج مياه الشرب المعبأة. ٤) تنبأ بالوقت الذي يستغرقه المصنع في إنتاج ٣٥٤ قارورة.

الإجابة: س4: الوقت = 354/25 = 14.16 دقيقة ≈ 14 دقيقة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | عدد القوارير المطلوبة | ن | 354 | قارورة | | معدل الإنتاج (من البياني) | م | 25 | قارورة/دقيقة | | المطلوب: الوقت المستغرق | ز | ؟ | دقيقة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ: عند وجود **علاقة خطية (طردية)** بين الكميتين (عدد القوارير والزمن)، نستخدم قانون **المعدل الثابت**: $\text{الوقت} = \frac{\text{عدد القوارير}}{\text{معدل الإنتاج}}$ أو بصيغة أخرى: $ز = \frac{ن}{م}$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. من التمثيل البياني (المشار إليه في السؤال) نستنتج أن **معدل الإنتاج ثابت** ويساوي **25 قارورة لكل دقيقة**. 2. نطبق القانون: $ز = \frac{354}{25}$ 3. نقوم بعملية القسمة: $ز = 14.16\text{ دقيقة}$ 4. بما أن السؤال يطلب **التنبؤ** ونحتاج لإجابة عملية، نقرب النتيجة لأقرب دقيقة كاملة (نظرًا لأن الوقت يُقاس عادةً بدقائق كاملة في مثل هذه السياقات).
4. > **ملاحظة:** التقريب هنا منطقي لأن المصنع قد لا يستطيع قياس أجزاء الثانية بدقة في مثل هذه العمليات الإنتاجية.
5. **الإجابة النهائية:** الوقت المتوقع لإنتاج 354 قارورة هو **حوالي 14 دقيقة**.

سؤال 5: ٥) ما عدد القوارير التي ينتجها المصنع بعد ١٤ دقيقة؟

الإجابة: س5: 25 × 14 = 350 قارورة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الوقت المعطى | ز | 14 | دقيقة | | معدل الإنتاج (من البياني والسؤال السابق) | م | 25 | قارورة/دقيقة | | المطلوب: عدد القوارير المنتجة | ن | ؟ | قارورة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ: استمرارًا للعلاقة الخطية الطردية، نستخدم قانون المعدل الثابت بصيغته الأخرى: $\text{عدد القوارير} = \text{معدل الإنتاج} \times \text{الوقت}$ أو: $ن = م \times ز$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعدل ثابت ومؤكد من السؤال السابق والتعبير البياني: **25 قارورة/دقيقة**. 2. نطبق القانون: $ن = 25 \times 14$ 3. نقوم بعملية الضرب: $ن = 350$
4. **الإجابة النهائية:** بعد 14 دقيقة، سيكون عدد القوارير المنتجة **350 قارورة**.

سؤال 6: مدرسة: للسؤالين ٦، ٧، استعمل شكل الانتشار المجاور الذي يمثل المدة التي قضاها الطلاب في الدراسة؛ استعدادًا لاختبار اللغة العربية، ودرجاتهم في ذلك الاختبار. ٦) ما الدرجة التي يتوقع أن يحصل عليها طالب درس مدة ساعة واحدة؟

الإجابة: س6: من الرسم حوالي 80 درجة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | مدة الدراسة المعطاة | س | 1 | ساعة | | مدة الدراسة بالدقائق | - | 60 | دقيقة | | المطلوب: الدرجة المتوقعة | د | ؟ | درجة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ: **شكل الانتشار** يوضح العلاقة بين متغيرين (مدة الدراسة والدرجة). للتنبؤ بقيمة، نبحث عن **موقع القيمة على المحور السيني (المدة)** ونقرأ القيمة المقابلة على المحور الصادي (الدرجة) من خلال نمط النقاط أو **خط الاتجاه** العام.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نلاحظ من السؤال أن شكل الانتشار يمثل **المدة (بالدقائق)** على المحور الأفقي، والدرجة على المحور الرأسي. 2. نحول مدة الدراسة المعطاة (ساعة واحدة) إلى دقائق: $1 \times 60 = 60$ دقيقة. 3. على شكل الانتشار، نحدد النقطة على المحور الأفقي عند القيمة **60 دقيقة**. 4. ننظر رأسيًا إلى أعلى (أو أسفل) لنرى أين تقع هذه النسبة بالنسبة لتجمع نقاط البيانات. نبحث عن **القيمة المركزية أو المتوسطة** للدرجات عند هذه المدة. 5. بناءً على الإجابة المعطاة ونمط البيانات في الشكل (غير مُظهر هنا لكن مذكور في الكتاب)، فإن القيمة المقابلة تقريبًا هي **80 درجة**. > **تنبيه:** هذه القراءة تقريبية وتعتمد على دقة الرسم البياني. يمكن استخدام **خط الاتجاه** إذا كان مرسوماً للحصول على تنبؤ أدق.
4. **الإجابة النهائية:** يتوقع أن يحصل الطالب الذي درس لمدة ساعة واحدة (60 دقيقة) على درجة تقدر **حوالي 80 درجة** في اختبار اللغة العربية.

سؤال 7: ٧) إذا حصل أحد الطلاب على درجة ٩٠ في الاختبار، فما المدة التقريبية التي استغرقها هذا الطالب في الدراسة؟

الإجابة: س7: عند 90 درجة تكون المدة 100 دقيقة تقريبًا

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الدرجة المعطاة | د | 90 | درجة | | المطلوب: مدة الدراسة التقريبية | ز | ؟ | دقيقة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ: نستخدم **شكل الانتشار** نفسه، لكن هذه المرة نبدأ من المحور الصادي (الدرجات) للعثور على القيمة المقابلة على المحور السيني (مدة الدراسة). هذه عملية عكسية للقراءة من الشكل.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. على شكل الانتشار، نحدد النقطة على المحور الرأسي (محور الدرجات) عند القيمة **90 درجة**. 2. ننظر أفقيًا إلى اليمين (أو اليسار) لنرى أين يتقاطع هذا المستوى مع تجمع نقاط البيانات. 3. نبحث عن **القيمة على محور مدة الدراسة (بالدقائق)** المقابلة لهذا التقاطع. بناءً على الإجابة المعطاة، فإن القيمة تقع عند حوالي **100 دقيقة**. 4. نتحقق من معقولية الإجابة: بما أن العلاقة طردية (كلما زادت مدة الدراسة زادت الدرجة)، فإن الحصول على 90 درجة يتطلب وقت دراسة أطول من الوقت الذي يعطي 80 درجة (والذي كان 60 دقيقة في السؤال السابق)، وهذا متوافق مع الإجابة (100 دقيقة > 60 دقيقة).
4. > **ملاحظة:** يمكن تحويل 100 دقيقة إلى ساعات ودقائق: $100 \div 60 = 1$ ساعة و $40$ دقيقة.
5. **الإجابة النهائية:** المدة التقريبية للدراسة التي تؤدي إلى الحصول على درجة 90 هي **100 دقيقة (أي ساعة و40 دقيقة)**.

سؤال 8: الكمية المتوقعة: إذا كان الشَّكلُ المجاورُ يبيِّنُ كمياتِ الحشيشِ (نوعٌ من السَّمومِ) المضبوطةِ عالميًّا بالكجم، من عام ٢٠٠٠ إلى عام ٢٠٢٠، فالمطلوبُ: أ. صف العلاقة بين مجموعتي البيانات. ب. ما الكمية المتوقعة من الحشيش التي سيتم ضبطها في عام ٢٠٢٥؟ اشرح الإجابة.

الإجابة: س8: أ. علاقة طردية (موجبة) ب. عام 2025 ≈ 8000 كجم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الجزء | الوصف | التفاصيل | |--------|-------|--------| | (أ) | مجموعتا البيانات | 1. السنوات (من 2000 إلى 2020). 2. كمية الحشيش المضبوطة (بالكجم). | | (أ) | المطلوب | وصف طبيعة العلاقة بينهما. | | (ب) | المعطيات الإضافية | نريد التنبؤ لعام 2025 (خارج نطاق البيانات). | | (ب) | المطلوب | الكمية المتوقعة مع شرح الطريقة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - لوصف العلاقة: نلاحظ **الاتجاه العام** للنقاط في الشكل البياني (سواء كان خطيًا أو منحنيًا). - للتنبؤ: نستخدم مفهوم **استمرار الاتجاه** أو **استكمال خط الاتجاه** (إذا كان خطيًا) نحو المستقبل. هذه العملية تسمى **الاستقراء**.
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) - وصف العلاقة** 1. ننظر إلى الشكل البياني (الذي يظهر بيانات 20 سنة). 2. نلاحظ أن **كمية الحشيش المضبوطة تزداد بشكل عام مع تقدم السنوات**. 3. لذلك، العلاقة بين **السنة** و **الكمية المضبوطة** هي: - **علاقة طردية (موجبة)**: زيادة أحد المتغيرين يصاحبه زيادة في الآخر. - يمكن وصفها أيضًا بأنها **علاقة خطية تقريبية** إذا كان الاتجاه يشبه الخط المستقيم.
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) - التنبؤ لعام 2025** 1. نحدد أن آخر سنة في البيانات هي **2020**، والمطلوب التنبؤ لـ **2025** (أي بعد 5 سنوات). 2. من الشكل وطبيعة العلاقة الطردية، نستمر في **اتجاه زيادة الكمية**. 3. نقدّر **معدل الزيادة** تقريبياً من البيانات الأخيرة. لنفترض (بناءً على الإجابة) أن الكمية في 2020 كانت حوالي **6000-7000 كجم**، وأن الزيادة السنوية تقريبية ثابتة. 4. نضيف زيادة تقديرية لمدة 5 سنوات إلى آخر قيمة معروفة. لنفرض أن الزيادة السنوية حوالي **400 كجم/سنة**، فالزيادة في 5 سنوات = $5 \times 400 = 2000$ كجم. 5. إذا كانت القيمة في 2020 هي 6000 كجم، فالتوقع لـ 2025 = $6000 + 2000 = 8000$ كجم. > **شرح الإجابة:** التنبؤ مبني على **افتراض استمرار الاتجاه العام الحالي** للبيانات (الزيادة) بنفس الوتيرة تقريبًا. هذا تنبإ إحصائي وقد يتغير بسبب عوامل غير متوقعة.
5. **الإجابة النهائية:** - (أ) العلاقة بين كمية الحشيش المضبوطة والزمن (السنوات) هي **علاقة طردية (موجبة)**. - (ب) الكمية المتوقعة للضبط في عام 2025 هي **حوالي 8000 كيلوجرام**، بناءً على استمرار اتجاه الزيادة الملاحظ في البيانات السابقة.

سؤال 9: نوم: للأسئلة (٩ - ١١)، استعمل الجدول المجاور الذي يبين العلاقة بين عدد ساعات النوم قبل الاختبار، والدرجات التي تحققت في اختبار الرياضيات. ٩) اعرض البيانات على شكل شكل انتشار.

الإجابة: س9: (8,88), (7,76), (9,96)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات** | ساعات النوم (س) | الدرجة (د) | النقطة في شكل الانتشار (س، د) | |-----------------|------------|-----------------------------| | 8 | 88 | (8, 88) | | 7 | 76 | (7, 76) | | 9 | 96 | (9, 96) | > **ملاحظة:** الإجابة المذكورة (8,88), (7,76), (9,96) تمثل ثلاث نقاط رئيسية من الجدول. قد يكون الجدول يحتوي على المزيد من البيانات، لكن هذه أمثلة توضيحية.
2. **الخطوة 2: مبدأ عمل شكل الانتشار** شكل الانتشار هو تمثيل بياني للنقاط المرتبة $(س، د)$، حيث: - **المحور الأفقي (س):** يمثل **المتغير المستقل** (عدد ساعات النوم). - **المحور الرأسي (د):** يمثل **المتغير التابع** (الدرجة في الاختبار).
3. **الخطوة 3: خطوات رسم شكل الانتشار** 1. ارسم نظام إحداثيات متعامد (محورين: س، د). 2. حدد مدى القيم: - ساعات النوم: من 7 إلى 9 (أو أوسع إذا وجدت بيانات أخرى). - الدرجات: من 76 إلى 96 (أو أوسع). 3. قسّم المحاور بشكل مناسب. 4. ضع النقاط التالية على الرسم: - النقطة الأولى: من (س=8، د=88) => اذهب إلى 8 على المحور الأفقي، ثم ارتفع إلى 88 على المحور الرأسي، ضع نقطة. - النقطة الثانية: من (س=7، د=76). - النقطة الثالثة: من (س=9، د=96). 5. إذا كانت هناك بيانات أخرى في الجدول، ضع جميع النقاط بنفس الطريقة. 6. **لا تربط النقاط بخطوط**، فقط ضع نقاط منفصلة.
4. **الخطوة 4: وصف الشكل الناتج** بعد رسم جميع النقاط من الجدول، سنلاحظ نمطًا عامًا: كلما زادت **ساعات النوم**، زادت **الدرجة** (في هذه الأمثلة). هذا يشير إلى علاقة طردية إيجابية.
5. **الإجابة النهائية:** يتم عرض البيانات برسم **شكل انتشار** بوضع نقاط إحداثياتها على المستوى الإحداثي، مثل النقاط: (7, 76)، (8, 88)، (9, 96). وسيظهر الشكل نمطًا يتجه من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين.

سؤال 10: ١٠) صف العلاقة بين مجموعتي البيانات.

الإجابة: س10: علاقة طردية (موجبة)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المجموعتين** | المجموعة الأولى (المتغير المستقل) | المجموعة الثانية (المتغير التابع) | |-----------------------------------|-----------------------------------| | عدد ساعات النوم (بالساعات) | الدرجة المحققة في اختبار الرياضيات (بالدرجات) |
2. **الخطوة 2: مبدأ وصف العلاقة** يتم وصف العلاقة من خلال ملاحظة **نمط توزع النقاط** في شكل الانتشار الذي رسم في السؤال (9). ننظر إلى: - **الاتجاه العام**: هل النقاط تتجه لأعلى؟ لأسفل؟ لا نمط واضح؟ - **شكل العلاقة**: خطية؟ منحنية؟ - **قوة العلاقة**: قوية (النقاط قريبة من خط)؟ ضعيفة (النقاط متناثرة)؟
3. **الخطوة 3: تحليل النقاط المذكورة (من السؤال 9)** من النقاط المعطاة كمثال: - عند س=7 (قليل)، د=76 (منخفضة نسبيًا). - عند س=8 (متوسط)، د=88 (أعلى). - عند س=9 (كثير)، د=96 (أعلى). الملاحظة: **كلما زادت ساعات النوم، زادت الدرجة**.
4. **الخطوة 4: استنتاج نوع العلاقة** بناءً على الملاحظة: - **الاتجاه**: تصاعدي (من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين). - **النوع**: هذا يعني أن هناك **علاقة طردية** أو **علاقة إيجابية** بين المتغيرين. - يمكن القول إنها **علاقة خطية طردية** تقريبًا، حيث يبدو أن الزيادة في ساعة نوم واحدة تؤدي إلى زيادة شبه ثابتة في الدرجة (في هذه الأمثلة: من 7 إلى 8 ساعات، الزيادة 12 درجة، ومن 8 إلى 9 ساعات، الزيادة 8 درجات).
5. **الإجابة النهائية:** العلاقة بين عدد ساعات النوم والدرجة في الاختبار هي **علاقة طردية (موجبة)**؛ حيث إن زيادة عدد ساعات النوم ترتبط عادةً بتحسن (زيادة) في الدرجة المحققة.

سؤال 11: ١١) تنبأ بدرجة الاختبار لطالب نام ٥ ساعات.

الإجابة: س11: 56 درجة تقريبًا

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | عدد ساعات النوم المعطى (قيمة جديدة) | 5 | ساعة | | البيانات السابقة (من السؤال 9) | (7,76), (8,88), (9,96) | (ساعة، درجة) | | المطلوب: الدرجة المتوقعة للطالب الذي نام 5 ساعات | ؟ | درجة |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم للتنبؤ** نظرًا لأن العلاقة طردية وخطية تقريبًا (كما وصفنا في السؤال 10)، يمكننا استخدام **خط الاتجاه** أو **الاستقراء** للخلف (لأن 5 ساعات أقل من مدى البيانات الأصلي 7-9 ساعات) للتنبؤ بالدرجة. نستخدم فكرة **الميل الثابت تقريبًا** لحساب معدل التغير.
3. **الخطوة 3: حساب معدل التغير (الميل) من البيانات** 1. نأخذ نقطتين من البيانات لحساب متوسط التغير: - من (7,76) إلى (8,88): التغير في الدرجة = $88 - 76 = 12$ درجة لكل زيادة ساعة واحدة. - من (8,88) إلى (9,96): التغير في الدرجة = $96 - 88 = 8$ درجة لكل زيادة ساعة واحدة. 2. معدل التغير المتوسط ≈ $\frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$ درجة/ساعة. > **ملاحظة:** هذا تقدير. يمكن استخدام نقطتين فقط أو طريقة أكثر دقة إذا توفرت بيانات أكثر.
4. **الخطوة 4: التنبؤ للقيمة 5 ساعات (الاستقراء للخلف)** 1. نبدأ من أقرب نقطة معروفة لدينا: (7, 76). 2. نريد الانتقال من 7 ساعات إلى 5 ساعات، أي نقص بمقدار **ساعتين**. 3. بما أن العلاقة طردية، فالنقص في ساعات النوم سيرتبط **بنقص في الدرجة** بمعدل 10 درجات/ساعة تقريبًا. 4. النقص المتوقع في الدرجة = عدد الساعات المتناقصة × معدل التغير $= 2 \times 10 = 20$ درجة. 5. لذلك، الدرجة المتوقعة عند 5 ساعات = الدرجة عند 7 ساعات - النقص المتوقع $= 76 - 20 = 56$ درجة.
5. **الخطوة 5: التحقق من معقولية الإجابة** النتيجة (56 درجة) أقل من الدرجات المعطاة للفترات الأطول (76، 88، 96)، وهذا منطقي لأن ساعات النوم أقل. كما أنها ضمن المدى المعقول للدرجات (من 0 إلى 100).
6. **الإجابة النهائية:** بناءً على نمط البيانات والعلاقة الطردية الخطية التقريبية، يتوقع أن يحصل الطالب الذي ينام 5 ساعات قبل الاختبار على درجة تقدر **بحوالي 56 درجة** في اختبار الرياضيات.

سؤال 12: ١٢) بحث: استعمل الإنترنت أو أي مصدر آخر لإيجاد مثال من الواقع لشكل انتشار، واكتب وصفًا له، ثم وسعه للتوصل إلى تنبؤات مستقبلية.

الإجابة: س12 مثال: الحرارة ومبيعات الآيس كريم (علاقة طردية)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: اختيار مثال من الواقع** **المثال:** العلاقة بين **درجة الحرارة اليومية** (بالدرجة المئوية) و **كمية مبيعات الآيس كريم** (باللترات أو بالريالات) في أحد المحلات.
2. **الخطوة 2: وصف شكل الانتشار لهذا المثال** 1. **المتغيرات:** - المتغير المستقل (على المحور الأفقي): **درجة الحرارة**. - المتغير التابع (على المحور الرأسي): **مبيعات الآيس كريم**. 2. **البيانات المتوقعة:** في الأيام الباردة، المبيعات قليلة. كلما ارتفعت الحرارة، زادت المبيعات. 3. **نمط الشكل:** نقاط البيانات ستتجه من **أسفل اليسار** (حرارة منخفضة، مبيعات قليلة) إلى **أعلى اليمين** (حرارة مرتفعة، مبيعات عالية). 4. **نوع العلاقة:** **علاقة طردية (إيجابية) قوية** في فصل الصيف، وقد تكون أضعف في فصول أخرى.
3. **الخطوة 3: طريقة توسعة المثال للتنبؤ بالمستقبل** 1. **جمع بيانات سابقة:** نأخذ بيانات لعدة أسابيع أو أشهر سابقة (درجة الحرارة والمبيعات المسجلة كل يوم). 2. **رسم شكل الانتشار:** نرسم النقاط (الحرارة، المبيعات) على الرسم. 3. **رسم خط الاتجاه:** نرسم خطًا يمر بين النقاط لتمثيل الاتجاه العام (يمكن استخدام برامج الجداول الحسابية لإيجاد معادلة الخط). لنفترض أن المعادلة هي: $\text{مبيعات} = 50 \times (\text{درجة الحرارة}) - 200$ (كمثال). 4. **الاستخدام للتنبؤ:** - إذا كان **توقعات الطقس** لليوم التالي تشير إلى درجة حرارة 40°م. - نعوض في معادلة خط الاتجاه: $\text{مبيعات متوقعة} = 50 \times 40 - 200 = 2000 - 200 = 1800$ ريال. - إذن، يمكن للبائع أن **يتوقع** مبيعات بقيمة 1800 ريال، فيستعد بتوفير كمية كافية من الآيس كريم.
4. **الخطوة 4: تفسير أهمية التنبؤ** > **ملاحظة:** هذا التنبؤ يساعد في: > 1. **التخطيط للمخزون:** شراء الكمية المناسبة من البضاعة. > 2. **التخطيط المالي:** تقدير الإيرادات. > 3. **إدارة العمالة:** تحديد عدد العمال المطلوبين في الأيام الحارة. **الإجابة النهائية:** مثال واقعي: **العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم**. العلاقة طردية قوية في الجو الحار. برسم شكل انتشار للبيانات السابقة وإيجاد خط الاتجاه، يمكن التنبؤ بالمبيعات المستقبلية بناءً على توقعات الحرارة، مما يساعد في التخطيط اللوجستي والمالي للمحل.

سؤال 13: ١٣) مسألة مفتوحة: سم مجموعتين من البيانات يمكن عرضهما على شكل شكل انتشار.

الإجابة: س13: الطول والوزن؛ أو ساعات المذاكرة والدرجات

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** المطلوب هو ذكر أي مثالين لمجموعتين من البيانات **كمية** بينهما علاقة يمكن دراستها، ومن المنطقي عرضها باستخدام **شكل الانتشار**.
2. **الخطوة 2: شروط اختيار المجموعتين** لكي تكون مناسبة لشكل الانتشار: 1. يجب أن تكون البيانات **كمية** (أرقام). 2. عادة ما تكون هناك علاقة أو تساؤل حول ما إذا كانت هناك علاقة بينهما (سبب وتأثير، أو ارتباط). 3. كل زوج من القيم (قيمة من المجموعة الأولى، والقيمة المقابلة من المجموعة الثانية) يشكل نقطة على الرسم.
3. **الخطوة 3: أمثلة مقترحة مع شرح** **المثال الأول: الطول والوزن لدى مجموعة من الطلاب** | المجموعة الأولى | المجموعة الثانية | العلاقة المتوقعة | |------------------|------------------|-------------------| | **الطول** (بالسنتيمتر) | **الوزن** (بالكيلوجرام) | علاقة طردية إيجابية (كلما زاد الطول زاد الوزن عادة)، لكنها ليست دقيقة (تناسب طردي) بسبب اختلاف بنية الأجسام. | **المثال الثاني: عدد ساعات المذاكرة والدرجة النهائية في مادة** | المجموعة الأولى | المجموعة الثانية | العلاقة المتوقعة | |------------------|------------------|-------------------| | **ساعات المذاكرة** (بالساعة) في الأسبوع | **الدرجة** في الاختبار (من 100) | علاقة طردية إيجابية (كلما زادت ساعات المذاكرة، تحسنت الدرجة عادة). |
4. **الخطوة 4: أمثلة إضافية متنوعة** لإثراء الإجابة، يمكن ذكر: 1. **عمر السيارة وسعر بيعها:** علاقة عكسية (كلما زاد العمر قل السعر عادة). 2. **عدد مرات التمرين الأسبوعية وكتلة العضلات:** علاقة طردية. 3. **كمية الأمطار السنوية (بالملم) ومحصول القمح (بالطن):** علاقة طردية إلى حد معين. 4. **السرعة المتوسطة للسيارة ووقت الرحلة (للمسافة نفسها):** علاقة عكسية.
5. **الإجابة النهائية:** يمكن عرض العديد من مجموعتي البيانات على شكل انتشار، مثل: 1. **الطول والوزن** للأفراد، لدراسة علاقة البنية الجسدية. 2. **ساعات المذاكرة والدرجات**، لبحث أثر الوقت المُستثمر على التحصيل العلمي. شكل الانتشار يساعد في كشف وجود وطبيعة وقوة العلاقة بين مثل هذه المتغيرات الكمية.

إذا حصل أحد الطلاب على درجة ٩٠ في الاختبار، فما المدة التقريبية التي استغرقها هذا الطالب في الدراسة؟ (بناءً على شكل انتشار يربط مدة الدراسة بدرجة الاختبار)

• أ) ٨٠ دقيقة تقريبًا
• ب) ٩٠ دقيقة تقريبًا
• ج) ١٠٠ دقيقة تقريبًا
• د) ١١٠ دقائق تقريبًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٠٠ دقيقة تقريبًا

الشرح: ١. نبدأ من الدرجة ٩٠ على محور الدرجات (المحور الصادي). ٢. ننتقل أفقياً نحو تجمع نقاط البيانات على شكل الانتشار. ٣. ننزل عمودياً من نقطة التقاطع إلى محور مدة الدراسة (المحور السيني). ٤. القيمة التقريبية المقابلة هي ١٠٠ دقيقة.

تلميح: لإيجاد المدة التقريبية، ابحث عن قيمة الدرجة ٩٠ على المحور الرأسي، ثم أوجد القيمة المقابلة لها على المحور الأفقي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في سياق استخدام أشكال الانتشار للتنبؤات المستقبلية، ما طبيعة العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم؟

• أ) علاقة عكسية ضعيفة
• ب) لا توجد علاقة واضحة
• ج) علاقة طردية قوية
• د) علاقة متغيرة وغير متوقعة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: علاقة طردية قوية

الشرح: ١. مع ارتفاع درجة الحرارة، يزداد طلب المستهلكين على الآيس كريم للمساعدة في التبريد. ٢. هذا يعني أن المتغيرين (درجة الحرارة والمبيعات) يتحركان في نفس الاتجاه، أي كلما زادت الحرارة زادت المبيعات. ٣. هذه العلاقة تكون عادة قوية ومباشرة، مما يجعلها علاقة طردية قوية.

تلميح: فكر في كيفية تأثير ارتفاع درجة الحرارة على سلوك المستهلكين تجاه شراء الآيس كريم.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما عدد القوارير التي ينتجها المصنع بعد ١٤ دقيقة، إذا كان ينتج بمعدل ٢٥ قارورة/دقيقة؟

• أ) 350 قارورة
• ب) 250 قارورة
• ج) 300 قارورة
• د) 400 قارورة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 350 قارورة

الشرح: 1. المعطى هو معدل إنتاج 25 قارورة في الدقيقة، والوقت هو 14 دقيقة. 2. نطبق القانون: عدد القوارير = معدل الإنتاج × الوقت. 3. عدد القوارير = 25 × 14 = 350 قارورة.

تلميح: تذكر أن عدد القوارير المنتجة يساوي معدل الإنتاج مضروباً في الوقت المستغرق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بناءً على البيانات التي تربط عدد ساعات النوم قبل الاختبار والدرجات التي تحققت في اختبار الرياضيات (مثلاً 7 ساعات نوم = 76 درجة، 8 ساعات = 88 درجة، 9 ساعات = 96 درجة)، ما طبيعة العلاقة بين مجموعتي البيانات؟

• أ) علاقة طردية (موجبة)
• ب) علاقة عكسية (سالبة)
• ج) لا توجد علاقة واضحة
• د) علاقة ثابتة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: علاقة طردية (موجبة)

الشرح: 1. عند زيادة ساعات النوم من 7 إلى 8 ثم إلى 9 ساعات، تزداد الدرجات من 76 إلى 88 ثم إلى 96 درجة. 2. بما أن زيادة أحد المتغيرين تؤدي إلى زيادة المتغير الآخر، فإن العلاقة بينهما هي علاقة طردية. 3. تسمى هذه العلاقة أيضاً علاقة موجبة.

تلميح: لاحظ كيف تتغير الدرجات مع زيادة أو نقصان ساعات النوم.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

باستخدام البيانات التي تبين العلاقة بين عدد ساعات النوم قبل الاختبار ودرجات الاختبار (7 ساعات = 76 درجة، 8 ساعات = 88 درجة، 9 ساعات = 96 درجة)، تنبأ بدرجة الاختبار لطالب نام ٥ ساعات.

• أ) 56 درجة
• ب) 60 درجة
• ج) 66 درجة
• د) 70 درجة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 56 درجة

الشرح: 1. نحسب معدل التغير التقريبي: (88-76)/(8-7) = 12 درجة/ساعة، و (96-88)/(9-8) = 8 درجات/ساعة. متوسط التغير حوالي 10 درجات/ساعة. 2. الفرق بين 7 ساعات و 5 ساعات هو -2 ساعة. 3. النقص المتوقع في الدرجة = 2 ساعة × 10 درجات/ساعة = 20 درجة. 4. الدرجة المتوقعة = الدرجة عند 7 ساعات - النقص المتوقع = 76 - 20 = 56 درجة.

تلميح: احسب معدل التغير في الدرجات لكل ساعة نوم، ثم استخدمه للتنبؤ بالقيمة خارج مدى البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند استخدام شكل الانتشار لإيجاد مثال من الواقع والتوصل إلى تنبؤات مستقبلية (مثل العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم)، ما الخطوة الأساسية بعد جمع البيانات ورسمها لتمكين التنبؤ الدقيق؟

• أ) رسم خط الاتجاه وتحديد معادلته
• ب) إعادة جمع البيانات لزيادة عدد النقاط
• ج) تغيير وحدات القياس للمتغيرات
• د) حساب المتوسط الحسابي لكل متغير على حدة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: رسم خط الاتجاه وتحديد معادلته

الشرح: 1. بعد جمع البيانات ورسم النقاط على شكل الانتشار، نحتاج لتحديد النمط العام للعلاقة. 2. يتم ذلك برسم خط الاتجاه الذي يمر بين النقاط، أو إيجاد معادلته رياضياً. 3. هذا الخط يمكن استخدامه لتقدير القيم المستقبلية للمتغير التابع بناءً على قيم جديدة للمتغير المستقل.

تلميح: ما هو التمثيل البصري الذي يُستخدم لتحديد النمط العام في شكل الانتشار ويساعد على التنبؤ؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من أزواج البيانات التالية يُعد مثالاً مناسباً للعرض على شكل انتشار لدراسة العلاقة بينهما؟

• أ) الطول والوزن لدى مجموعة من الطلاب
• ب) اللون المفضل ونوع الطعام
• ج) الاسم الأول للطالب والمادة الدراسية المفضلة
• د) عدد صفحات الكتاب واسم المؤلف

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الطول والوزن لدى مجموعة من الطلاب

الشرح: 1. شكل الانتشار يستخدم لدراسة العلاقة بين متغيرين كميين (يمكن قياسهما بأرقام). 2. الطول والوزن كلاهما متغيرات كمية، ومن المنطقي دراسة العلاقة بينهما باستخدام شكل الانتشار. 3. الخيارات الأخرى تتضمن متغيرات نوعية أو لا يوجد بينها علاقة كمية مباشرة ومترابطة لدراستها بشكل فعال على شكل انتشار.

تلميح: فكر في المتغيرات الكمية التي يمكن أن تكون مرتبطة ببعضها البعض بطريقة منطقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

لغرض البحث عن مثال واقعي لشكل انتشار يمكن استخدامه للتنبؤ، أيٌّ من العلاقات التالية يُعد مثالاً مناسباً يصف علاقة طردية قوية، ويسمح بوضع تنبؤات مستقبلية بعد رسم خط الاتجاه؟

• أ) العلاقة بين عمر السيارة وسعر بيعها.
• ب) العلاقة بين عدد الأبواب في المنزل وعدد الغرف.
• ج) العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم.
• د) العلاقة بين طول الطالب وعدد ساعات مشاهدته للتلفاز.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم.

الشرح: 1. العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات الآيس كريم تُظهر عادةً علاقة طردية قوية: كلما زادت درجة الحرارة، زادت مبيعات الآيس كريم. 2. هذه العلاقة خطية تقريباً ويمكن تمثيلها بشكل انتشار يوضح اتجاهاً تصاعدياً واضحاً. 3. بعد رسم خط الاتجاه، يمكن استخدام هذا النموذج للتنبؤ بمبيعات الآيس كريم المستقبلية بناءً على توقعات درجة الحرارة.

تلميح: تذكر أن التنبؤ باستخدام شكل الانتشار يكون أكثر دقة في العلاقات القوية والخطية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما القانون الرياضي الأساسي المستخدم لإيجاد العدد الإجمالي للعناصر المنتجة، إذا كان معدل الإنتاج (عدد العناصر لكل وحدة زمنية) والوقت الكلي معروفين؟

• أ) العدد الإجمالي للعناصر = معدل الإنتاج ÷ الوقت
• ب) العدد الإجمالي للعناصر = الوقت - معدل الإنتاج
• ج) العدد الإجمالي للعناصر = معدل الإنتاج × الوقت
• د) العدد الإجمالي للعناصر = معدل الإنتاج + الوقت

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العدد الإجمالي للعناصر = معدل الإنتاج × الوقت

الشرح: 1. القانون يعتمد على تعريف المعدل، حيث أن المعدل (م) هو عدد العناصر (ن) مقسوماً على الوقت (ز): م = ن ÷ ز. 2. لإيجاد العدد الإجمالي للعناصر (ن)، نضرب طرفي المعادلة في الوقت (ز). 3. ينتج عن ذلك: ن = م × ز، أي: العدد الإجمالي للعناصر = معدل الإنتاج × الوقت.

تلميح: تذكر أن المعدل يعبر عن كمية لكل وحدة، فما هي العملية التي تجمع الكميات عبر الوحدات؟

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي الجوانب الثلاثة الأساسية التي يجب ملاحظتها وتقييمها عند وصف العلاقة بين مجموعتي بيانات يتم تمثيلها على شكل انتشار؟

• أ) الاتجاه العام، شكل العلاقة، وقوة العلاقة.
• ب) حجم الشكل، ألوان النقاط، وعنوان المحاور.
• ج) اسم الباحث، تاريخ جمع البيانات، ومكان الرسم.
• د) عدد النقاط، متوسط القيم، والوسيط.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الاتجاه العام، شكل العلاقة، وقوة العلاقة.

الشرح: 1. الاتجاه العام: هل تتجه النقاط لأعلى (طردية)، لأسفل (عكسية)، أم لا يوجد اتجاه واضح؟ 2. شكل العلاقة: هل تبدو النقاط متجمعة حول خط مستقيم (خطية)، أم حول منحنى؟ 3. قوة العلاقة: هل النقاط متقاربة جداً من الخط أو المنحنى (قوية)، أم متناثرة بعيداً (ضعيفة)؟

تلميح: فكر في كيفية توزع النقاط في الشكل وماذا يعني ذلك.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند التنبؤ بقيمة مستقبلية (الاستقراء) أو قيمة خارج نطاق البيانات الأصلية باستخدام شكل انتشار لعلاقة خطية، ما المبدأ الرياضي الذي يتم الاستعانة به بشكل أساسي لتقدير التغيرات؟

• أ) حساب المتوسط الحسابي لجميع القيم المعروفة.
• ب) تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات.
• ج) الاستفادة من معدل التغير (الميل الثابت تقريباً) المحسوب من البيانات الموجودة.
• د) اختيار قيمة عشوائية ضمن المدى المعقول.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الاستفادة من معدل التغير (الميل الثابت تقريباً) المحسوب من البيانات الموجودة.

الشرح: 1. في العلاقة الخطية، يكون معدل التغير (الميل) ثابتاً تقريباً. 2. عند التنبؤ بقيم خارج نطاق البيانات المعروفة، يتم استخدام هذا الميل لتقدير كيف ستتغير القيم. 3. يمكن تطبيق الميل المحسوب على الفارق في المتغير المستقل للحصول على التغير المتوقع في المتغير التابع.

تلميح: فكر كيف يمكننا تقدير الزيادة أو النقص بناءً على التغيرات السابقة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان مصنع ينتج القوارير بمعدل ٢٥ قارورة/دقيقة، فما الوقت الذي يستغرقه المصنع لإنتاج ٣٥٤ قارورة؟

• أ) 14 دقيقة
• ب) 8850 دقيقة
• ج) 14.16 دقيقة
• د) 7.06 دقيقة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 14.16 دقيقة

الشرح: 1. لتحديد الوقت اللازم للإنتاج، نقسم العدد الكلي للقوارير المطلوبة على معدل الإنتاج الثابت. 2. الوقت = 354 قارورة ÷ 25 قارورة/دقيقة. 3. الوقت = 14.16 دقيقة.

تلميح: تذكر أن الوقت = العدد الإجمالي للقوارير ÷ معدل الإنتاج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بناءً على العلاقة الطردية بين ساعات النوم والدرجات في اختبار الرياضيات (حيث يتوقع أن تكون الدرجة ٧٦ عند ٧ ساعات نوم، و ٨٨ عند ٨ ساعات، و ٩٦ عند ٩ ساعات)، ما الدرجة التقريبية التي يتوقع أن يحصل عليها طالب درس مدة ساعة واحدة؟

• أ) 16 درجة
• ب) 4 درجات
• ج) 28 درجة
• د) 32 درجة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 16 درجة

الشرح: 1. نحسب معدل التغير التقريبي: (12 درجة من 7-8 ساعات + 8 درجات من 8-9 ساعات) ÷ 2 = 10 درجات/ساعة. 2. من نقطة (7 ساعات، 76 درجة) إلى 1 ساعة نوم، يوجد نقص قدره 6 ساعات. 3. النقص المتوقع في الدرجة = 6 ساعات × 10 درجات/ساعة = 60 درجة. 4. الدرجة المتوقعة عند ساعة واحدة = 76 درجة - 60 درجة = 16 درجة.

تلميح: احسب متوسط معدل التغير في الدرجات لكل ساعة نوم إضافية، ثم استخدمه للاستقراء للوراء.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما أهمية التنبؤات المستقبلية التي يمكن استخلاصها من أشكال الانتشار في سياقات الأعمال والتخطيط؟

• أ) لمجرد فهم العلاقة السببية المطلقة بين المتغيرات بدقة.
• ب) تساعد في التخطيط للمخزون، وتقدير الإيرادات، وإدارة العمالة.
• ج) تهدف فقط إلى إنشاء رسوم بيانية ذات مظهر جمالي جذاب.
• د) تستخدم لقياس قوة الارتباط فقط دون تقديم أي استنتاجات عملية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تساعد في التخطيط للمخزون، وتقدير الإيرادات، وإدارة العمالة.

الشرح: 1. تتيح أشكال الانتشار تحديد العلاقات بين المتغيرات المختلفة. 2. تساعد هذه العلاقات في بناء نماذج للتنبؤ بالقيم المستقبلية أو غير المرصودة. 3. هذه التنبؤات حيوية لاتخاذ قرارات مستنيرة في مجالات مثل إدارة المخزون، وتوقع الإيرادات، وتخطيط الموارد البشرية.

تلميح: فكر في كيفية استخدام الشركات والمؤسسات للمعلومات المتوقعة لاتخاذ قرارات استراتيجية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما الدور الرئيسي لخط الاتجاه (خط أفضل ملاءمة) في شكل الانتشار عند استخدامه للتنبؤ بالقيم المستقبلية أو غير المرصودة؟

• أ) يربط جميع نقاط البيانات معًا بدقة لإنشاء شكل هندسي.
• ب) يستخدم فقط لتلوين الرسم البياني وجعله أكثر جاذبية بصرية.
• ج) يمثل الاتجاه العام للبيانات ويستخدم لتقدير القيم.
• د) يعرض القيم المتطرفة فقط ويهمل باقي نقاط البيانات.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يمثل الاتجاه العام للبيانات ويستخدم لتقدير القيم.

الشرح: 1. خط الاتجاه هو تمثيل بصري يمر بين نقاط البيانات في شكل الانتشار. 2. يهدف إلى تلخيص النمط العام أو العلاقة بين المتغيرات. 3. يستخدم هذا الخط لتقدير القيم (سواء داخل النطاق المرصود أو خارجه) من خلال مد الخط.

تلميح: فكر في كيفية استخدام الخط المستقيم لتبسيط وعرض العلاقة بين المتغيرات الكمية للتنبؤ.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في سياق استخدام أشكال الانتشار للتنبؤ، ما هو المصطلح الذي يصف عملية تقدير قيمة لمتغير تابع خارج نطاق قيم المتغير المستقل الموجودة في البيانات الأصلية؟

• أ) الاستقراء
• ب) الاستيفاء
• ج) الترشيح
• د) التحليل التجميعي

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الاستقراء

الشرح: 1. الاستقراء هو عملية التنبؤ بقيم تتجاوز النطاق المرصود للبيانات. 2. يتم ذلك بمد خط الاتجاه إلى ما بعد النقاط الأصلية. 3. يختلف عن الاستيفاء الذي يتنبأ بقيم ضمن النطاق المعروف.

تلميح: تذكر الفرق بين التنبؤ بقيم داخل البيانات المعروفة وتلك التي تقع خارجها.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط