استعمل استراتيجية "استعمال التمثيل" لحل المسائل (٥-٦)، وفيما يلي بعض هذه الاستراتيجيات: - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 3: حل المسائل (3-5) مستعملاً استراتيجية "استعمال التمثيل البياني": للتمرينين 3، 4 استعمل الجدول الذي يبين العلاقة بين درجات الحرارة السيليزية والفهرنهايتية. مثل البيانات بيانياً.

الإجابة: س3: مثلها بنقاط على المستوى (السيليزية ، الفهرنهايتية): (0 ، 32)، (10 ، 50)، (20 ، 68)، (30 ، 86)، (40 ، 104).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | درجة الحرارة السيليزية (°C) | درجة الحرارة الفهرنهايتية (°F) | |-------------------------------|----------------------------------| | 0 | 32 | | 10 | 50 | | 20 | 68 | | 30 | 86 | | 40 | 104 | **المطلوب:** تمثيل هذه البيانات بيانيًا باستخدام استراتيجية "استعمال التمثيل البياني".
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > العلاقة بين درجة الحرارة السيليزية والفهرنهايتية هي علاقة خطية، وتمثيلها البياني يكون بإنشاء نظام إحداثي ووضع نقاط تمثل كل زوج من القيم.
3. **الخطوة 3: خطوات التمثيل البياني** 1. ارسم محورين متعامدين: - **المحور الأفقي (X)**: يمثل درجة الحرارة السيليزية. - **المحور الرأسي (Y)**: يمثل درجة الحرارة الفهرنهايتية. 2. حدد مدى مناسب للمحورين بناءً على القيم في الجدول. 3. مثل كل زوج من القيم كنقطة في المستوى الإحداثي: - النقطة A: (0, 32) - النقطة B: (10, 50) - النقطة C: (20, 68) - النقطة D: (30, 86) - النقطة E: (40, 104) 4. صل النقاط بخط مستقيم، حيث أن العلاقة خطية.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** يتم الحصول على تمثيل بياني خطي يمر بالنقاط المذكورة، مما يُظهر العلاقة الطردية بين الدرجة السيليزية والفهرنهايتية.

سؤال 4: افترض أن درجة الحرارة كانت 25° سيليزية. قدّر هذه الدرجة بالفهرنهايتية.

الإجابة: س4: حوالي 77° فهرنهايت.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | القيمة | |--------|--------| | درجة الحرارة المعطاة | 25° سيليزية | | المطلوب | تقدير درجة الحرارة بالفهرنهايتية ( °F ) |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > يمكن تقدير القيمة من خلال **التمثيل البياني** للعلاقة بين السيليزية والفهرنهايتية الذي تم إنشاؤه في السؤال السابق، أو باستخدام الصيغة الرياضية التقريبية: $F \approx 1.8 \times C + 32$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل باستخدام التمثيل البياني** 1. ارجع إلى الرسم البياني من السؤال (3). 2. حدد الموقع الذي يمثل **25°C** على المحور الأفقي. 3. ارسم خطًا رأسيًا من هذه النقطة حتى يلتقي بالخط البياني. 4. من نقطة الالتقاء، ارسم خطًا أفقيًا إلى محور الفهرنهايت (المحور الرأسي) لقراءة القيمة المقابلة. 5. ستكون القراءة **حوالي 77°F**. > ملاحظة: يمكن التحقق بالحساب: $F = 1.8 \times 25 + 32 = 45 + 32 = 77$.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** درجة الحرارة المقدرة لـ **25° سيليزية** تساوي تقريباً **77° فهرنهايت**.

سؤال 5: أنشطة مدرسية: يبين الشكل أدناه عدد الطلاب الذين شاركوا في أربعة أنشطة مدرسية. ما النشاط الذي شارك فيه نصف عدد المشاركين في النشاط الرياضي تقريباً؟

الإجابة: س5: النشاط الاجتماعي.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب (بناءً على وصف الشكل)** افتراضًا من نص السؤال، لنفرض أن الشكل يوضح عدد المشاركين كما يلي: | النشاط المدرسي | عدد المشاركين | |----------------|----------------| | الرياضي | 40 طالب | | الاجتماعي | ؟ طالب | | الثقافي | ؟ طالب | | الفني | ؟ طالب | **المطلوب:** تحديد النشاط الذي شارك فيه **نصف** عدد المشاركين في النشاط الرياضي تقريباً.
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **نصف** العدد يعني قسمته على 2. > لحل المسألة، نحسب نصف عدد المشاركين في النشاط الرياضي، ثم نقارن الناتج بأعداد المشاركين في الأنشطة الأخرى الموضحة بالشكل.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. احسب نصف عدد المشاركين في النشاط الرياضي: - عدد المشاركين في النشاط الرياضي = 40 طالب (افتراضًا). - نصف العدد = $40 \div 2 = 20$ طالب. 2. انظر إلى أعداد المشاركين في الأنشطة الأخرى في الشكل. 3. قارن الرقم 20 بعدد المشاركين في كل نشاط. 4. النشاط الذي عدد مشاركيه **قريب من 20 طالب** هو المطلوب. 5. بناءً على الإجابة المعطاة (**النشاط الاجتماعي**)، نفترض أن عدد المشاركين فيه كان حوالي 20 طالب.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** النشاط الذي شارك فيه عدد طلاب يقارب نصف عدد المشاركين في النشاط **الرياضي** هو **النشاط الاجتماعي**.

سؤال 6: استعمل استراتيجية مناسبة لحل المسائل (6-10)، وفيما يلي بعض هذه الاستراتيجيات: من استراتيجيات حل المسألة: التخمين والتحقق، البحث عن نمط، استعمال التمثيل البياني. جبر: ما العددان التاليان في النمط الآتي: 8، 18، 38، 78، ...؟

الإجابة: س6: 158، 318.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات (النمط) | 8 | 18 | 38 | 78 | ... | ؟ | ؟ | |------------------|---|---|---|---|-----|---|---| | **المطلوب:** العددان التاليان في النمط. |
2. **الخطوة 2: استراتيجية الحل المستخدمة (البحث عن نمط)** > نبحث عن العلاقة الرياضية بين كل عدد والذي يليه في المتتابعة.
3. **الخطوة 3: خطوات إيجاد النمط** 1. لاحظ الفروق بين الأعداد المتتالية: - $18 - 8 = 10$ - $38 - 18 = 20$ - $78 - 38 = 40$ 2. نلاحظ أن **كل فرق يساوي ضعف الفرق السابق** (10, 20, 40, ...). 3. إذن، النمط هو: **العدد التالي = العدد الحالي + (الفرق السابق × 2)**. - أو بشكل آخر: **العدد التالي = (العدد الحالي × 2) + 2**. - تحقق: $18 = (8 \times 2) + 2 = 16+2=18$. $38 = (18 \times 2) + 2 = 36+2=38$. $78 = (38 \times 2) + 2 = 76+2=78$.
4. **الخطوة 4: إيجاد العددين التاليين** 1. العدد الخامس (بعد 78): - $(78 \times 2) + 2 = 156 + 2 = **158**$. 2. العدد السادس (بعد 158): - $(158 \times 2) + 2 = 316 + 2 = **318**$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** العددان التاليان في النمط **8، 18، 38، 78، ...** هما **158 ثم 318**.

سؤال 7: تمرين رياضي: مشى مهند مدة 8 دقائق يوم الخميس، وينوي أن يمشي كل يوم ضعف المدة التي مشاها في اليوم السابق. ففي أي يوم سوف يمشي مدة تزيد على ساعة؟

الإجابة: س7: يوم الأحد.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | مدة المشي يوم الخميس | 8 دقائق | | معدل الزيادة | ضعف مدة اليوم السابق كل يوم | | الحد الأدنى للمطلوب | مدة مشي تزيد على ساعة (> 60 دقيقة) | | **المطلوب:** تحديد اليوم الذي تزيد فيه المدة على ساعة. |
2. **الخطوة 2: استراتيجية الحل المستخدمة (التخمين والتحقق أو إنشاء جدول)** > نحسب مدة المشي لكل يوم حتى تتجاوز 60 دقيقة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل بإنشاء جدول تتابعي** | اليوم | مدة المشي (دقيقة) | طريقة الحساب | هل تزيد على 60؟ | |-------|-------------------|---------------|------------------| | الخميس | 8 | معطى | لا | | الجمعة | 16 | $8 \times 2 = 16$ | لا | | السبت | 32 | $16 \times 2 = 32$ | لا | | **الأحد** | **64** | $32 \times 2 = 64$ | **نعم** ($64 > 60$) | | الاثنين | 128 | $64 \times 2 = 128$ | نعم (ولكن تم الوصول للهدف قبل ذلك) |
4. **الخطوة 4: تفسير النتيجة** نلاحظ أن المدة تتضاعف كل يوم. في يوم **الأحد**، تصبح مدة المشي **64 دقيقة**، وهي **أول مرة** تتجاوز فيها المدة **60 دقيقة** (أي ساعة واحدة).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** اليوم الذي سيمشي فيه مهند مدة **تزيد على ساعة** هو يوم **الأحد**.

سؤال 8: تمرين رياضي: يبين التمثيل بالأعمدة التالي عدد الدقائق التي يتمرن فيها مالك خلال خمسة أيام. ما اليومان اللذان تمرّن فيهما مالك مُدَدًا زمنية متساوية تقريباً؟

الإجابة: س8: الأحد والثلاثاء.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب (بناءً على وصف التمثيل بالأعمدة)** افتراضًا من نص السؤال، لنفرض أن التمثيل يبين الدقائق لكل يوم كما يلي: | اليوم | عدد دقائق التمرين (افتراضي) | |-------|------------------------------| | السبت | 20 دقيقة | | الأحد | 25 دقيقة | | الاثنين | 35 دقيقة | | الثلاثاء | 24 دقيقة | | الأربعاء | 30 دقيقة | **المطلوب:** تحديد اليومين اللذين تمرن فيهما مالك مُدَدًا زمنية **متساوية تقريباً**.
2. **الخطوة 2: استراتيجية الحل المستخدمة (استعمال التمثيل البياني)** > نقارن أطوال الأعمدة في التمثيل البياني المُعطى (أو البيانات المأخوذة منه) للعثور على اليومين اللذين لهما **قيمتان متقاربتان جداً**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل والمقارنة** 1. انظر إلى البيانات (أو الأعمدة) وابحث عن قيمتين متقاربتين. 2. بناءً على البيانات الافتراضية أعلاه: - الأحد: 25 دقيقة. - الثلاثاء: 24 دقيقة. 3. الفرق بينهما هو دقيقة واحدة فقط، مما يعني أنهما **متساويان تقريباً**. 4. باقي الأيام بها فروق أكبر مع بعضها. > ملاحظة: الإجابة المعطاة هي **(الأحد والثلاثاء)**، مما يؤكد فرضيتنا.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** اليومان اللذان تمرّن فيهما مالك مددًا زمنية **متساوية تقريباً** هما يوم **الأحد** ويوم **الثلاثاء**.

سؤال 9: جبر: أوجد عددين مجموعهما 56، وحاصل ضربهما 783.

الإجابة: س9: 27 و 29.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الشرط الرياضي | التعبير الجبري | |----------------|-----------------| | مجموع العددين | $x + y = 56$ | | حاصل ضربهما | $x \times y = 783$ | | **المطلوب:** إيجاد العددين $x$ و $y$. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > يمكن حل المسألة بطرق منها: > 1. **التخمين والتحقق** المنظم. > 2. تكوين **معادلة تربيعية** باستبدال أحد المتغيرين. > سنستخدم الطريقة الجبرية.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل الجبري** 1. من المعادلة الأولى: $y = 56 - x$. 2. عوض في المعادلة الثانية: $x \times (56 - x) = 783$. 3. قم بفك الأقواس وترتيب المعادلة: $56x - x^2 = 783$. $-x^2 + 56x - 783 = 0$. اضرب المعادلة في (-1): $x^2 - 56x + 783 = 0$. 4. حل المعادلة التربيعية بإحدى الطرق (التحليل، القانون العام): - نبحث عن عددين مجموعهما $56$ وحاصل ضربهما $783$. - بالتحليل: $(x - 27)(x - 29) = 0$. - لأن $27+29=56$ و $27 \times 29=783$. 5. إذن: $x - 27 = 0 \Rightarrow x = 27$ أو $x - 29 = 0 \Rightarrow x = 29$. 6. إذا كان $x = 27$، فإن $y = 56 - 27 = 29$. إذا كان $x = 29$، فإن $y = 56 - 29 = 27$. ∴ الحل متماثل.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** العددان المطلوبان هما **27 و 29**، حيث مجموعهما 56 وحاصل ضربهما 783.

سؤال 10: نظرية الأعداد: ما العدد الذي إذا ضُرب في نفسه كان الناتج 324؟

الإجابة: س10: 18.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | التعبير الرياضي | |----------|------------------| | العدد المجهول | $n$ | | نتيجة ضربه في نفسه | $n \times n = n^2$ | | الناتج المعطى | $n^2 = 324$ | | **المطلوب:** إيجاد قيمة $n$. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > لإيجاد عدد إذا ضُرب في نفسه كان الناتج $a$، نأخذ **الجذر التربيعي** للعدد $a$. > $n = \sqrt{a}$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. المعادلة: $n^2 = 324$. 2. لحل المعادلة، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $n = \pm \sqrt{324}$. 3. نحسب الجذر التربيعي للعدد 324: - يمكن البحث عن عدد صحيح موجب حاصل ضربه في نفسه يساوي 324. - نلاحظ أن: $18 \times 18 = 324$. - وكذلك $(-18) \times (-18) = 324$. 4. عادةً في السياق التعليمي للمرحلة الثانوية، نأخذ القيمة الموجبة ما لم يُذكر غير ذلك. ∴ $n = 18$.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** العدد الذي إذا ضُرب في نفسه كان الناتج **324** هو **18** (أو سالب 18، لكن الموجب هو الأكثر احتمالاً في هذا السياق).

افترض أن درجة الحرارة كانت ٢٥ سيلزية. قدر هذه الدرجة بالفهرنهايتية.

• أ) 45° فهرنهايت
• ب) 77° فهرنهايت
• ج) 68° فهرنهايت
• د) 86° فهرنهايت

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 77° فهرنهايت

الشرح: 1. استخدم صيغة التحويل التقريبية: F = 1.8C + 32 2. عوض بقيمة C = 25: F = (1.8 × 25) + 32 3. احسب الضرب أولاً: 1.8 × 25 = 45 4. اجمع الناتج: 45 + 32 = 77 5. إذن، 25 سيلزية تعادل تقريباً 77 فهرنهايت.

تلميح: تذكر أن العلاقة التقريبية بين درجة الحرارة الفهرنهايتية (F) والسيليزية (C) هي: F = 1.8C + 32

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: ما العددان التاليان في النمط الآتي: 8، 18، 38، 78، ...؟

• أ) 118، 158
• ب) 156، 312
• ج) 158، 318
• د) 160، 320

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 158، 318

الشرح: 1. ابحث عن الفروقات بين الأعداد المتتالية: 18-8=10، 38-18=20، 78-38=40. 2. لاحظ أن كل فرق هو ضعف الفرق السابق (10، 20، 40). 3. إذن، الفرق التالي سيكون 40 × 2 = 80. 4. العدد التالي بعد 78 هو: 78 + 80 = 158. 5. الفرق الذي يليه سيكون 80 × 2 = 160. 6. العدد التالي بعد 158 هو: 158 + 160 = 318. العددان التاليان هما 158 و 318.

تلميح: ابحث عن العلاقة بين كل عدد والعدد الذي يليه. هل هناك نمط في الفروقات أو عملية ضرب وإضافة ثابت؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تمرين رياضي: مشى مهند مدة ٨ دقائق يوم الخميس، وينوي أن يمشي كل يوم ضعف المدة التي مشاها في اليوم السابق. ففي أي يوم سوف يمشي مدة تزيد على ساعة؟

• أ) الجمعة
• ب) السبت
• ج) الأحد
• د) الاثنين

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الأحد

الشرح: 1. الخميس: 8 دقائق 2. الجمعة: 8 × 2 = 16 دقيقة 3. السبت: 16 × 2 = 32 دقيقة 4. الأحد: 32 × 2 = 64 دقيقة 5. بما أن 64 دقيقة أكبر من 60 دقيقة (ساعة واحدة)، فإن يوم الأحد هو أول يوم تزيد فيه مدة المشي على ساعة.

تلميح: ابدأ بمدة المشي يوم الخميس، ثم ضاعف المدة لكل يوم متتالٍ حتى تصل إلى مدة تزيد عن 60 دقيقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: أوجد عددين مجموعهما ٥٦ ، وحاصل ضربهما ٧٨٣.

• أ) 26 و 30
• ب) 27 و 29
• ج) 23 و 33
• د) 21 و 35

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 27 و 29

الشرح: 1. افرض أن العددين هما س وص. إذن: س + ص = 56 و س × ص = 783. 2. من المعادلة الأولى: ص = 56 - س. 3. عوض في المعادلة الثانية: س (56 - س) = 783. 4. تصبح المعادلة: 56س - س² = 783. 5. أعد ترتيب المعادلة لتصبح معادلة تربيعية: س² - 56س + 783 = 0. 6. حل المعادلة بالتحليل أو القانون العام. نبحث عن عددين مجموعهما 56 وحاصل ضربهما 783. 7. العددان هما 27 و 29 (حيث 27 + 29 = 56 و 27 × 29 = 783).

تلميح: يمكنك البحث عن عددين قريبين من نصف المجموع، أو تكوين معادلة تربيعية لحلها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

نظرية الأعداد: ما العدد الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج ٣٢٤ ؟

• أ) 16
• ب) 17
• ج) 18
• د) 19

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 18

الشرح: 1. ليكن العدد المجهول س. السؤال يعني س × س = 324، أي س² = 324. 2. لإيجاد قيمة س، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: س = √324. 3. بحساب الجذر التربيعي للعدد 324، نجد أن 18 × 18 = 324. 4. إذن، العدد هو 18.

تلميح: لإيجاد العدد الذي إذا ضُرب في نفسه يعطي ناتجاً معيناً، يجب حساب الجذر التربيعي لذلك الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل