إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك: مدرسة : قام معلم بتوزيع طلبة الصف الأول المتوسط على ٦ مجموعات، لتقوم كل مجموعة بنشاط ما. إذا استعمل المعلم قرصًا دوارًا كما في الشكل؛ لتحديد ترتيب المجموعات لعرض نشاطاتهم، فما احتمال: أ) ألا تكون المجموعة الرابعة هي من تعرض نشاطها أولاً؟ ب) ألا تكون المجموعة الأولى ولا الثالثة هي من تعرض نشاطها أولاً؟

الإجابة: أ) ٥/٦ ، ب) ٤/٦ = ٢/٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة/الرمز | |--------|--------------| | عدد المجموعات الكلي | 6 مجموعات (من 1 إلى 6) | | تجربة العشوائية | استعمال قرص دوار لتحديد ترتيب العرض | | المطلوب (أ) | احتمال ألا تكون المجموعة الرابعة هي من تعرض أولاً | | المطلوب (ب) | احتمال ألا تكون المجموعة الأولى ولا الثالثة هي من تعرض أولاً |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** احتمال أي حدث = $\frac{\text{عدد النتائج المفضلة للحدث}}{\text{عدد النتائج الممكنة الكلي}}$ حيث جميع النتائج متساوية الاحتمال.
3. **الخطوة 3: حل المطلوب (أ)** - عدد النتائج الممكنة الكلية عند اختيار مجموعة لتُعرض أولاً = 6. - النتائج المفضلة لألا تكون المجموعة الرابعة أولاً: أي أي مجموعة أخرى (1، 2، 3، 5، 6) → عددها = 5. - إذن: $ح(\text{ألا تكون الرابعة أولاً}) = \frac{5}{6}$.
4. **الخطوة 4: حل المطلوب (ب)** - عدد النتائج الممكنة الكلية = 6. - النتائج المفضلة لألا تكون المجموعة الأولى ولا الثالثة أولاً: أي المجموعات المسموحة هي (2، 4، 5، 6) → عددها = 4. - إذن: $ح(\text{ألا تكون الأولى ولا الثالثة أولاً}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** - احتمال ألا تكون المجموعة الرابعة هي من تعرض نشاطها أولاً هو **خمسة على ستة**. - احتمال ألا تكون المجموعة الأولى ولا الثالثة هي من تعرض نشاطها أولاً هو **أربعة على ستة، والتي تُبسط إلى ثلثين**.

سؤال 1: استعمل القرص الدوار لإيجاد الاحتمالات التالية في أبسط صورة: ح(م)

الإجابة: ١/٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة/الرمز | |--------|--------------| | القرص الدوار | مقسم إلى 8 أقسام متساوية، كل قسم يحرفًا (م، ق، ر، ...) | | الحدث المطلوب | ظهور حرف **م** عند تدوير القرص | | المطلوب | إيجاد $ح(م)$ في أبسط صورة |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد الأقسام المناسبة للحدث}}{\text{عدد الأقسام الكلي في القرص}}$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الأقسام الكلي في القرص الدوار = 8 أقسام (افترض من طبيعة الأسئلة). - عدد الأقسام التي تحمل حرف **م** = 1 (من صيغة السؤال).
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(م) = \frac{1}{8}$ > لا يمكن تبسيط الكسر $\frac{1}{8}$ أكثر من ذلك.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال ظهور حرف **م** عند تدوير القرص الدوار هو **واحد على ثمانية**.

سؤال 2: استعمل القرص الدوار لإيجاد الاحتمالات التالية في أبسط صورة: ح(ق أو ر)

الإجابة: ٢/٨ = ١/٤

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة/الرمز | |--------|--------------| | القرص الدوار | مقسم إلى 8 أقسام متساوية، تحوي أحرفًا منها **ق** و **ر** | | الحدث المطلوب | ظهور حرف **ق** أو حرف **ر** عند تدوير القرص | | المطلوب | إيجاد $ح(ق \text{ أو } ر)$ في أبسط صورة |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** لأحداث متنافية: $ح(أ \text{ أو } ب) = ح(أ) + ح(ب)$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الأقسام الكلي = 8. - عدد الأقسام التي تحمل حرف **ق** = 1. - عدد الأقسام التي تحمل حرف **ر** = 1. - الأحداث متنافية (لا يمكن ظهور حرفين في وقت واحد).
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(ق \text{ أو } ر) = ح(ق) + ح(ر) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8}$
5. **الخطوة 5: تبسيط الكسر** $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ بقسمة البسط والمقام على 2.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** احتمال ظهور حرف **ق** أو حرف **ر** عند تدوير القرص الدوار هو **واحد على أربعة**.

سؤال 3: استعمل القرص الدوار لإيجاد الاحتمالات التالية في أبسط صورة: ح(حرف علة)

الإجابة: ١/٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة/الرمز | |--------|--------------| | القرص الدوار | مقسم إلى 8 أقسام متساوية، تحوي أحرفًا عربية | | الحدث المطلوب | ظهور **حرف علة** (مثل الألف، الواو، الياء) عند تدوير القرص | | المطلوب | إيجاد $ح(\text{حرف علة})$ في أبسط صورة |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد الأقسام المناسبة للحدث}}{\text{عدد الأقسام الكلي}}$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الأقسام الكلي = 8. - من السياق، يُفترض أن القرص يحوي حرف علة واحد فقط (ربما الألف) لأن الإجابة هي $\frac{1}{8}$. - إذن عدد الأقسام التي تحوي حرف علة = 1.
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{حرف علة}) = \frac{1}{8}$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال ظهور حرف علة عند تدوير القرص الدوار هو **واحد على ثمانية**.

سؤال 4: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(سوداء)

الإجابة: ٥/٣٠ = ١/٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة سوداء بشكل عشوائي. **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{سوداء})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد حالات الحدث المفضلة}}{\text{عدد الحالات الكلية الممكنة}}$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الكرات السوداء = 5. - عدد الكرات الكلي = 7 + 5 + 12 + 6 = 30.
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{سوداء}) = \frac{5}{30}$
5. **الخطوة 5: تبسيط الكسر** بقسمة البسط والمقام على 5: $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة سوداء من الكيس هو **واحد على ستة**.

سؤال 5: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(حمراء أو برتقالية)

الإجابة: ١٨/٣٠ = ٣/٥

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة حمراء أو برتقالية. **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{حمراء أو برتقالية})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** لأحداث متنافية: $ح(أ \text{ أو } ب) = ح(أ) + ح(ب)$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الكرات الحمراء = 12. - عدد الكرات البرتقالية = 6. - العدد الكلي للكرات = 30. - الحمراء والبرتقالية حدثان متنافيان (لا يمكن أن تكون الكرة حمراء وبرتقالية في آن واحد).
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{حمراء أو برتقالية}) = \frac{12}{30} + \frac{6}{30} = \frac{18}{30}$
5. **الخطوة 5: تبسيط الكسر** بقسمة البسط والمقام على 6: $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة حمراء أو برتقالية من الكيس هو **ثلاثة أخماس**.

سؤال 6: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(خضراء)

الإجابة: ٠/٣٠ = ٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة خضراء. **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{خضراء})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد حالات الحدث المفضلة}}{\text{عدد الحالات الكلية}}$
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الكرات الخضراء المذكورة في الكيس = 0 (لم يُذكر وجود كرات خضراء). - العدد الكلي للكرات = 30.
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{خضراء}) = \frac{0}{30} = 0$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة خضراء من الكيس هو **صفر**، أي أن هذا الحدث مستحيل.

سؤال 7: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(ليست زرقاء)

الإجابة: ٢٣/٣٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة **ليست زرقاء**. **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{ليست زرقاء})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** احتمال الحدث المكمل: $ح(\text{ليس أ}) = 1 - ح(أ)$
3. **الخطوة 3: حساب الاحتمال بطريقتين** **الطريقة الأولى (باستخدام المكمل):** - $ح(\text{زرقاء}) = \frac{7}{30}$ - إذن: $ح(\text{ليست زرقاء}) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ **الطريقة الثانية (بالعد المباشر):** - عدد الكرات غير الزرقاء = سوداء + حمراء + برتقالية = 5 + 12 + 6 = 23. - $ح(\text{ليست زرقاء}) = \frac{23}{30}$
4. **الخطوة 4: تبسيط الكسر** الكسر $\frac{23}{30}$ لا يمكن تبسيطه أكثر (البسط والمقام أوليان نسبيًا).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة ليست زرقاء من الكيس هو **ثلاثة وعشرون على ثلاثين**.

سؤال 8: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(ليست حمراء ولا برتقالية)

الإجابة: ١٢/٣٠ = ٢/٥

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة **ليست حمراء ولا برتقالية** (أي زرقاء أو سوداء). **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{ليست حمراء ولا برتقالية})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** يمكن حسابه مباشرة بعد النتائج المفضلة، أو باستخدام المكمل: $ح(\text{ليست حمراء ولا برتقالية}) = 1 - ح(\text{حمراء أو برتقالية})$
3. **الخطوة 3: حساب الاحتمال** **الطريقة المباشرة:** - الكرات المسموحة: زرقاء أو سوداء. - عددها = 7 + 5 = 12. - $ح = \frac{12}{30}$. **طريقة المكمل (للتحقق):** - $ح(\text{حمراء أو برتقالية}) = \frac{12+6}{30} = \frac{18}{30}$. - $ح(\text{ليست حمراء ولا برتقالية}) = 1 - \frac{18}{30} = \frac{12}{30}$.
4. **الخطوة 4: تبسيط الكسر** بقسمة البسط والمقام على 6: $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة ليست حمراء ولا برتقالية من الكيس هو **خُمسان**.

سؤال 9: كرات: وُضع في كيس ٧ كرات زرقاء، و٥ كرات سوداء، و١٢ كرة حمراء، و٦ كرات برتقالية، ثم سُحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي. أوجد الاحتمالات التالية، واكتبها في أبسط صورة: ح(ليست صفراء)

الإجابة: ٣٠/٣٠ = ١

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | لون الكرات | العدد | |-------------|--------| | زرقاء | 7 | | سوداء | 5 | | حمراء | 12 | | برتقالية | 6 | | **المجموع** | **30** | **الحدث المطلوب:** سحب كرة **ليست صفراء**. **المطلوب:** إيجاد $ح(\text{ليست صفراء})$ في أبسط صورة.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد النتائج المفضلة}}{\text{عدد النتائج الكلية}}$، أو باستخدام المكمل.
3. **الخطوة 3: تحديد المعطيات العددية** - عدد الكرات الصفراء في الكيس = 0 (لم يُذكر وجود كرات صفراء). - عدد الكرات الكلي = 30. - جميع الكرات (30) ليست صفراء.
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{ليست صفراء}) = \frac{30}{30} = 1$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** احتمال سحب كرة ليست صفراء من الكيس هو **واحد**، أي أن هذا الحدث مؤكد الوقوع.

سؤال 10: مسح: يبين الجدول عدد القصص التي قرأها طلاب الصف الأول المتوسط. إذا اخترنا أحد الطلاب عشوائيًا، فما احتمال ألا يكون قرأ ٣ قصص أو أكثر؟

الإجابة: ٢١/٢٥

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** > من نص السؤال، الجدول يبين عدد القصص التي قرأها طلاب الصف الأول المتوسط. لتحديد المعطيات: | عدد القصص المقروءة | عدد الطلاب | |-------------------|-------------| | 0 قصة | (قيمة غير معطاة، لكنها ضمن المجموع) | | 1 قصة | (قيمة غير معطاة، لكنها ضمن المجموع) | | 2 قصة | (قيمة غير معطاة، لكنها ضمن المجموع) | | 3 قصص أو أكثر | 4 طلاب (نستنتج من الإجابة حيث المجموع 25 والاحتمال 21/25) | | **المجموع** | **25** طالبًا | **الحدث المطلوب:** ألا يكون الطالب قد قرأ ٣ قصص أو أكثر (أي قرأ أقل من 3 قصص: 0، 1، أو 2 قصة). **المطلوب:** إيجاد هذا الاحتمال.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $ح(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد الطلاب الذين ينطبق عليهم الحدث}}{\text{عدد الطلاب الكلي}}$
3. **الخطوة 3: استنتاج المعطيات من الإجابة** - الإجابة المعطاة هي $\frac{21}{25}$، مما يعني أن عدد الطلاب الذين **لم** يقرأوا 3 قصص أو أكثر هو 21. - عدد الطلاب الكلي = 25. - عدد الطلاب الذين قرأوا 3 قصص أو أكثر = 25 - 21 = 4.
4. **الخطوة 4: حساب الاحتمال** $ح(\text{ألا يكون قرأ ٣ قصص أو أكثر}) = \frac{21}{25}$
5. **الخطوة 5: تبسيط الكسر** الكسر $\frac{21}{25}$ لا يمكن تبسيطه أكثر (البسط والمقام أوليان نسبيًا).
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** احتمال أن يكون الطالب المختار عشوائيًا **لم يقرأ ثلاث قصص أو أكثر** هو **واحد وعشرون على خمسة وعشرين**.

ما العلاقة الصحيحة بين احتمال وقوع حادثة (أ) واحتمال متممتها (أ')؟

• أ) ح(أ) + ح(أ') = ١
• ب) ح(أ) × ح(أ') = ١
• ج) ح(أ) - ح(أ') = ٠
• د) ح(أ') ÷ ح(أ) = ١

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ح(أ) + ح(أ') = ١

الشرح: مجموع احتمال أي حادثة واحتمال متممتها يجب أن يساوي دائمًا ١ (أو ١٠٠٪).

تلميح: تذكر أن مجموع الاحتمالات لجميع النواتج الممكنة يساوي دائمًا ١.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف يُحسب احتمال وقوع الحادثة (أ) أو الحادثة (ب) إذا كانتا متنافيتين؟

• أ) بطرح احتمال (أ) من احتمال (ب).
• ب) بضرب احتمال (أ) في احتمال (ب).
• ج) بقسمة احتمال (أ) على احتمال (ب).
• د) بجمع احتمال الحادثة (أ) مع احتمال الحادثة (ب).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: بجمع احتمال الحادثة (أ) مع احتمال الحادثة (ب).

الشرح: لأحداث متنافية، يتم حساب $ح(أ \text{ أو } ب) = ح(أ) + ح(ب)$.

تلميح: الأحداث المتنافية لا يمكن أن تحدث معًا في نفس الوقت.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان احتمال أن ينجح طالب في اختبار ما هو ٣/٥، فما احتمال ألا ينجح هذا الطالب؟

• أ) ٣/٥
• ب) ١/٥
• ج) ٢/٥
• د) ٤/٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢/٥

الشرح: 1. احتمال عدم النجاح هو متممة احتمال النجاح. 2. $ح(\text{عدم النجاح}) = ١ - ح(\text{النجاح})$ 3. $ح(\text{عدم النجاح}) = ١ - \frac{٣}{٥} = \frac{٥}{٥} - \frac{٣}{٥} = \frac{٢}{٥}$

تلميح: استخدم قانون الحوادث المتتامة، حيث مجموع الاحتمال ومتممته يساوي ١.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

ما قيمة احتمال وقوع حادثة مستحيلة (حدث لا يمكن أن يقع)؟

• أ) ١/٢
• ب) ٠
• ج) ١
• د) ١/٤

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٠

الشرح: الحدث المستحيل لا يحتوي على أي نواتج مفضلة، لذا عدد حالاته 0. الاحتمال = $0 \div \text{العدد الكلي} = 0$.

تلميح: فكر في عدد النتائج الممكنة للحدث المستحيل مقارنة بالنتائج الكلية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما قيمة احتمال وقوع حادثة مؤكدة (حدث من المؤكد وقوعه)؟

• أ) ١/٢
• ب) ٠
• ج) ١/٤
• د) ١

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ١

الشرح: الحدث المؤكد يشمل جميع النواتج الممكنة، لذا عدد حالاته المفضلة يساوي العدد الكلي للنواتج. الاحتمال = $\text{العدد الكلي} \div \text{العدد الكلي} = 1$.

تلميح: فكر في عدد النتائج الممكنة للحدث المؤكد مقارنة بالنتائج الكلية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل