إرشادات للأسئلة - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 5: للأسئلة (5-8)، أوجد فضاء العينة باستعمال جدول أو رسم شجري: رمي مكعب أرقام وقطعة نقود.

الإجابة: س5: {(1، شعار)، (1، كتابة)، (2، شعار)، (2، كتابة)، (3، شعار)، (3، كتابة)، (4، شعار)، (4، كتابة)، (5، شعار)، (5، كتابة)، (6، شعار)، (6، كتابة)}

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة | عدد النتائج | |--------------|--------------------------------------------------|-------------| | رمي مكعب | {1, 2, 3, 4, 5, 6} | 6 | | رمي قطعة نقود | {شعار (ش), كتابة (ك)} | 2 |
2. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب، حيث عدد النواتج الإجمالي = عدد نواتج التجربة الأولى × عدد نواتج التجربة الثانية.
3. 1. **تحديد فضاء العينة:** هو مجموعة جميع **النواتج الممكنة** عند إجراء التجربتين معاً. 2. باستعمال **رسم شجري** أو **جدول**، يمكن سرد جميع الأزواج المرتبة (رقم المكعب، نتيجة القطعة). 3. عدد النواتج الكلي = 6 × 2 = 12 نتيجة.
4. **كتابة فضاء العينة:** بكتابة جميع الأزواج بشكل منهجي: - نبدأ برقم المكعب (1) ونقرنه بنتيجتي القطعة: (1، ش)، (1، ك). - نكرر مع باقي الأرقام حتى (6).
5. ∴ **فضاء العينة** هو: {(1، ش)، (1، ك)، (2، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (3، ك)، (4، ش)، (4، ك)، (5، ش)، (5، ك)، (6، ش)، (6، ك)}.

سؤال 6: للأسئلة (5-8)، أوجد فضاء العينة باستعمال جدول أو رسم شجري: اختيار عدد من 1 إلى 5، وأحد الألوان التالية: أحمر أو أزرق أو أبيض.

الإجابة: س6: {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)، (5، أحمر)، (5، أزرق)، (5، أبيض)}

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة | عدد النتائج | |-------------------|------------------------------------|-------------| | اختيار عدد | {1, 2, 3, 4, 5} | 5 | | اختيار لون | {أحمر, أزرق, أبيض} | 3 |
2. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب، حيث عدد النواتج الإجمالي = 5 × 3 = 15.
3. 1. **تحديد فضاء العينة:** هو مجموعة جميع **الأزواج المرتبة** (عدد، لون). 2. لضمان عدم نسيان أي نتيجة، نرتبها بحيث نثبت العدد أولاً ثم نجرب كل الألوان الممكنة.
4. **بناء فضاء العينة خطوة بخطوة:** - للعدد 1: (1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض). - للعدد 2: (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض). - نستمر بنفس الطريقة حتى العدد 5.
5. ∴ **فضاء العينة** هو: {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)، (5، أحمر)، (5، أزرق)، (5، أبيض)}.

سؤال 7: للأسئلة (5-8)، أوجد فضاء العينة باستعمال جدول أو رسم شجري: اختيار حرف من كلمة "جبل"، وحرف علّة من كلمة "وكيل".

الإجابة: س7: {(ج، و)، (ج، ي)، (ب، و)، (ب، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة | عدد النتائج | |-----------------------|------------------------------------|-------------| | اختيار حرف من "جبل" | {ج, ب, ل} | 3 | | اختيار حرف علة من "وكيل" | {و, ي} (حروف العلة هي: و، ي) | 2 |
2. > **ملاحظة:** كلمة "وكيل" تحتوي على حروف العلة (و، ي) فقط. حرف الألف غير موجود في الكلمة، وحرف اللام ساكن.
3. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب، حيث عدد النواتج الإجمالي = 3 × 2 = 6.
4. 1. **تحديد فضاء العينة:** هو مجموعة جميع **الأزواج المرتبة** (حرف من "جبل"، حرف علة من "وكيل"). 2. نكتب جميع التركيبات الممكنة بشكل منهجي.
5. **كتابة جميع النواتج:** - مع الحرف 'ج': (ج، و)، (ج، ي). - مع الحرف 'ب': (ب، و)، (ب، ي). - مع الحرف 'ل': (ل، و)، (ل، ي).
6. ∴ **فضاء العينة** هو: {(ج، و)، (ج، ي)، (ب، و)، (ب، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}.

سؤال 8: للأسئلة (5-8)، أوجد فضاء العينة باستعمال جدول أو رسم شجري: ملابس: يستطيع محمود شراء قميص كمه طويل أو قصير. ولونه رمادي أو أبيض. وحجمه صغير أو متوسط أو كبير.

الإجابة: س8: {(طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، رمادي، كبير)، (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (طويل، أبيض، كبير)، (قصير، رمادي، صغير)، (قصير، رمادي، متوسط)، (قصير، رمادي، كبير)، (قصير، أبيض، صغير)، (قصير، أبيض، متوسط)، (قصير، أبيض، كبير)}

خطوات الحل:

1. | خاصية القميص | الخيارات المتاحة | عدد الخيارات | |---------------|---------------------------------|--------------| | الطول | {طويل, قصير} | 2 | | اللون | {رمادي, أبيض} | 2 | | الحجم | {صغير, متوسط, كبير} | 3 |
2. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب، حيث عدد **التركيبات الكلية** = 2 × 2 × 3 = 12.
3. 1. **تحديد فضاء العينة:** هو مجموعة جميع **الثلاثيات المرتبة** (الطول، اللون، الحجم) الممكنة. 2. لتنظيم الكتابة، نثبت خاصيتين ونغير الثالثة بشكل منهجي.
4. **طريقة منهجية للكتابة:** - نبدأ بالطول "طويل" واللون "رمادي"، ونجرب كل الأحجام: (طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، رمادي، كبير). - نغير اللون إلى "أبيض" مع الطول "طويل": (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (طويل، أبيض، كبير). - نكرر نفس الخطوات مع الطول "قصير".
5. ∴ **فضاء العينة** يتكون من 12 نتيجة، وهي: {(طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، رمادي، كبير)، (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (طويل، أبيض، كبير)، (قصير، رمادي، صغير)، (قصير، رمادي، متوسط)، (قصير، رمادي، كبير)، (قصير، أبيض، صغير)، (قصير، أبيض، متوسط)، (قصير، أبيض، كبير)}.

سؤال 9: طعام: مستعيناً بالقائمة المجاورة، اكتب فضاء العينة لوجبة طعام تتكون من نوع واحد من: المقبلات واللحوم والحلوى. (المقبلات: شوربة، سلطة. لحوم: غنم، دجاج، سمك. حلوى: كعكة فواكه، كعكة جبن).

الإجابة: س9: {(شوربة، غنم، كعكة فواكه)، (شوربة، غنم، كعكة جبن)، (شوربة، دجاج، كعكة فواكه)، (شوربة، دجاج، كعكة جبن)، (شوربة، سمك، كعكة فواكه)، (شوربة، سمك، كعكة جبن)، (سلطة، غنم، كعكة فواكه)، (سلطة، غنم، كعكة جبن)، (سلطة، دجاج، كعكة فواكه)، (سلطة، دجاج، كعكة جبن)، (سلطة، سمك، كعكة فواكه)، (سلطة، سمك، كعكة جبن)}

خطوات الحل:

1. | مكون الوجبة | الخيارات المتاحة | عدد الخيارات | |--------------|-------------------------------------------------------|--------------| | المقبلات | {شوربة, سلطة} | 2 | | اللحوم | {غنم, دجاج, سمك} | 3 | | الحلوى | {كعكة فواكه, كعكة جبن} | 2 |
2. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب، حيث عدد **التركيبات الكلية** لوجبة كاملة = 2 × 3 × 2 = 12.
3. 1. **تحديد فضاء العينة:** هو مجموعة جميع **الثلاثيات المرتبة** (مقبلات، لحوم، حلوى). 2. للحصول على جميع النواتج دون نسيان، نثبت نوع المقبلات أولاً، ثم نغير اللحوم والحلوى بشكل منهجي.
4. **بناء فضاء العينة:** - **إذا كانت المقبلات "شوربة":** - مع لحم "غنم": (شوربة، غنم، كعكة فواكه)، (شوربة، غنم، كعكة جبن). - مع لحم "دجاج": (شوربة، دجاج، كعكة فواكه)، (شوربة، دجاج، كعكة جبن). - مع لحم "سمك": (شوربة، سمك، كعكة فواكه)، (شوربة، سمك، كعكة جبن). - **إذا كانت المقبلات "سلطة":** نكرر نفس الخطوات مع اللحوم والحلوى.
5. ∴ **فضاء العينة** للوجبة يتكون من 12 احتمالاً، وهي: {(شوربة، غنم، ك فواكه)، (شوربة، غنم، ك جبن)، (شوربة، دجاج، ك فواكه)، (شوربة، دجاج، ك جبن)، (شوربة، سمك، ك فواكه)، (شوربة، سمك، ك جبن)، (سلطة، غنم، ك فواكه)، (سلطة، غنم، ك جبن)، (سلطة، دجاج، ك فواكه)، (سلطة، دجاج، ك جبن)، (سلطة، سمك، ك فواكه)، (سلطة، سمك، ك جبن)}.

سؤال 10: ألعاب: يرمي محمد قطعة نقود ثلاث مرات. إذا ظهر الشعار مرتين على الأقل، فإن خالدًا هو الفائز، وإلا فإن محمدًا هو الفائز. اكتب فراغ العينة، ثم أوجد احتمال فوز محمد.

الإجابة: س10: فضاء العينة: {(ش، ش، ش)، (ش، ش، ك)، (ش، ك، ش)، (ش، ك، ك)، (ك، ش، ش)، (ك، ش، ك)، (ك، ك، ش)، (ك، ك، ك)}. احتمال فوز محمد: 1/2

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة لكل رمية | عدد المرات | |-------------------|--------------------------|------------| | رمي قطعة نقود | {شعار (ش), كتابة (ك)} | 3 |
2. **المبدأ المستخدم:** عدد النواتج لرمي القطعة $n$ مرة = $2^n$، أي $2^3 = 8$ نواتج.
3. 1. **تحديد فضاء العينة لرمي القطعة ثلاث مرات:** - كل نتيجة عبارة عن **ثلاثية مرتبة** تُظهر نتيجة كل رمية بالترتيب. - يمكن سردها بشكل منهجي كالتالي: نبدأ بجميع النواتج التي تبدأ بـ (ش)، ثم التي تبدأ بـ (ك).
4. **فضاء العينة (S):** $$S = \{(ش، ش، ش), (ش، ش، ك), (ش، ك، ش), (ش، ك، ك), (ك، ش، ش), (ك، ش، ك), (ك، ك، ش), (ك، ك، ك)\}$$ عدد النواتج الكلي $n(S) = 8$.
5. 2. **تحديد شرط الفوز:** - **خالد** يفوز إذا ظهر **الشعار مرتين على الأقل** (أي 2 أو 3). - **محمد** يفوز في **الحالة المكملة**، أي إذا ظهر الشعار **أقل من مرتين** (0 مرة أو 1 مرة).
6. 3. **حساب احتمال فوز محمد $P(M)$:** - النواتج التي تفوز لمحمد (عدد الشعارات = 0 أو 1): - **0 شعار:** (ك، ك، ك) → نتيجة واحدة. - **1 شعار:** (ش، ك، ك)، (ك، ش، ك)، (ك، ك، ش) → 3 نتائج. - عدد النواتج المفضلة لمحمد $n(M) = 1 + 3 = 4$. - $$P(M) = \frac{n(M)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
7. ∴ **احتمال فوز محمد يساوي $\frac{1}{2}$**.

سؤال 11: إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى، ويساوي 1/2، فأوجد الاحتمالات التالية: ح (الأطفال الثلاثة ذكور)

الإجابة: س11: 1/8

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة لكل طفل | عدد الأطفال | |------------------------|------------------------|-------------| | تحديد جنس الطفل | {ذكر (ذ), أنثى (أن)} | 3 |
2. **افتراض:** احتمال ولادة ذكر = احتمال ولادة أنثى = $\frac{1}{2}$، وولادة كل طفل مستقل عن الآخر.
3. **المبدأ المستخدم:** عدد النواتج الإجمالية لتجربة تتكون من 3 محاولات مستقلة، لكل محاولة نتيجتان = $2^3 = 8$ نواتج. يمكن كتابة **فضاء العينة $S$** كمجموعة من **الثلاثيات المرتبة**: $$S = \{(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)\}$$
4. 1. **المطلوب:** $P(\text{الأطفال الثلاثة ذكور}) = P(ذ،ذ،ذ)$. 2. **عدد النواتج المفضلة:** هناك **ناتج واحد فقط** هو (ذ، ذ، ذ). 3. **الاحتمال:** $$P(\text{ثلاثة ذكور}) = \frac{\text{عدد النواتج المفضلة}}{\text{عدد النواتج الكلية}} = \frac{1}{8}$$
5. > **ملاحظة:** يمكن حسابه أيضاً باستقلالية الأحداث: $P(ذ) \times P(ذ) \times P(ذ) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
6. ∴ **احتمال أن يكون الأطفال الثلاثة ذكوراً هو $\frac{1}{8}$**.

سؤال 12: إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال... ح (على الأقل ذكر واحد)

الإجابة: س12: 7/8

خطوات الحل:

1. > **بناءً على فضاء العينة للسؤال السابق (11):** $$S = \{(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)\}, \quad n(S)=8$$
2. 1. **المطلوب:** $P(\text{على الأقل ذكر واحد})$. 2. **التفسير:** "على الأقل ذكر واحد" تعني **واحد أو أكثر**، أي **ليس صفر ذكور** (جميعهم إناث). 3. **طريقة الحل:** يُحسب الاحتمال بسهولة باستخدام **حادثة المكملة** (الحدث المعاكس). - الحدث المعاكس: **لا يوجد أي ذكر** = (كل الأطفال إناث) = (أن، أن، أن).
3. 4. **الحساب:** - احتمال الحدث المعاكس: $P(\text{لا ذكر}) = P(أن،أن،أن) = \frac{1}{8}$. - احتمال المطلوب: $P(\text{على الأقل ذكر}) = 1 - P(\text{لا ذكر})$. $$P(\text{على الأقل ذكر}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
4. > **بديل:** عد النواتج المفضلة مباشرة: جميع النواتج عدا (أن، أن، أن) أي 7 نواتج. النتيجة نفسها $\frac{7}{8}$.
5. ∴ **احتمال وجود طفل ذكر واحد على الأقل هو $\frac{7}{8}$**.

سؤال 13: إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال... ح (ذكران وأنثى)

الإجابة: س13: 3/8

خطوات الحل:

1. > **بناءً على فضاء العينة للسؤال (11):** $$S = \{(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)\}, \quad n(S)=8$$
2. 1. **المطلوب:** $P(\text{ذكران وأنثى})$. 2. **التفسير:** "ذكران وأنثى" تعني بالضبط **ذكرين وأنثى واحدة** (بأي ترتيب). 3. **طريقة الحساب:** - نحدد جميع النواتج في $S$ التي تحتوي على **ذكرين بالضبط وأنثى واحدة**.
3. 4. **النواتج المفضلة:** - (ذ، ذ، أن): ذكران أوليان. - (ذ، أن، ذ): ذكران في الموضعين الأول والثالث. - (أن، ذ، ذ): ذكران في الموضعين الثاني والثالث. - **عدد النواتج المفضلة = 3**.
4. 5. **الاحتمال:** $$P(\text{ذكران وأنثى}) = \frac{\text{عدد النواتج المفضلة}}{\text{عدد النواتج الكلية}} = \frac{3}{8}$$
5. > **ملاحظة:** يمكن حسابه باستخدام **التوافيق**: عدد طرق اختيار موضعين للذكر من بين 3 أطفال هو $C(3,2)=3$، وكل تركيبة لها احتمال $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$، فيصبح الاحتمال $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
6. ∴ **احتمال أن يكون هناك طفلان ذكران وطفلة أنثى واحدة هو $\frac{3}{8}$**.

سؤال 14: إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال... ح (على الأقل ذكران)

الإجابة: س14: 1/2

خطوات الحل:

1. > **بناءً على فضاء العينة للسؤال (11):** $$S = \{(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)\}, \quad n(S)=8$$
2. 1. **المطلوب:** $P(\text{على الأقل ذكران})$. 2. **التفسير:** "على الأقل ذكران" تعني **إما ذكران أو ثلاثة ذكور** (2 أو 3 ذكور).
3. 3. **تحديد النواتج المفضلة:** - **الذكران بالضبط:** (ذ، ذ، أن)، (ذ، أن، ذ)، (أن، ذ، ذ) ← 3 نواتج. - **الثلاثة ذكور:** (ذ، ذ، ذ) ← 1 ناتج. - **المجموع:** عدد النواتج المفضلة = $3 + 1 = 4$.
4. 4. **الاحتمال:** $$P(\text{على الأقل ذكران}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
5. > **بديل باستخدام المكملة:** > الحدث المعاكس هو "أقل من ذكرين" أي (0 أو 1 ذكر). > - 0 ذكر: (أن، أن، أن) → 1. > - 1 ذكر: (ش، ك، ك)، (ك، ش، ك)، (ك، ك، ش) → 3. > عدد النواتج المعاكسة = 4، والاحتمال $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. > $P(\text{على الأقل ذكران}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (نفس النتيجة).
6. ∴ **احتمال وجود طفلين ذكرين على الأقل هو $\frac{1}{2}$**.

سؤال 15: إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال... ح (الطفلان الأكبران ولدان، والصغيرة أنثى)

الإجابة: س15: 1/8

خطوات الحل:

1. > **بناءً على فضاء العينة للسؤال (11):** $$S = \{(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)\}, \quad n(S)=8$$
2. 1. **المطلوب:** $P(\text{الطفلان الأكبران ولدان، والصغيرة أنثى})$. 2. **التفسير:** الترتيب مهم هنا. نريد: - **الطفل الأول (الأكبر)** ذكر. - **الطفل الثاني (الأوسط)** ذكر. - **الطفل الثالث (الأصغر)** أنثى. أي الناتج المحدد **(ذ، ذ، أن)**.
3. 3. **تحديد النواتج المفضلة:** - هناك **ناتج واحد فقط** في فضاء العينة يحقق هذا الشرط بالضبط، وهو (ذ، ذ، أن).
4. 4. **الاحتمال:** $$P = \frac{\text{عدد النواتج المفضلة}}{\text{عدد النواتج الكلية}} = \frac{1}{8}$$
5. > **ملاحظة:** يمكن حسابه باستقلالية الأحداث: احتمال الطفل الأول ذكر = $\frac{1}{2}$، والثاني ذكر = $\frac{1}{2}$، والثالث أنثى = $\frac{1}{2}$. بالضرب: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
6. ∴ **احتمال أن يكون الطفلان الأكبران ولداً والصغيرة بنتاً هو $\frac{1}{8}$**.

سؤال 16: زي رياضي: يمكن أن يختار فريق المدرسة لكرة قدم قميصًا وبنطالاً بأحد الألوان التالية: الأخضر أو الأصفر أو الأبيض أو الأسود. ما عدد الاحتمالات للزي الرياضي الذي يمكن للفريق ارتداؤه؟

الإجابة: س16: 16 احتمالاً

خطوات الحل:

1. | قطعة الزي | الألوان المتاحة | عدد الخيارات | |-----------|-----------------------------------|--------------| | القميص | {أخضر, أصفر, أبيض, أسود} | 4 | | البنطال | {أخضر, أصفر, أبيض, أسود} | 4 |
2. **المبدأ المستخدم:** مبدأ الضرب الأساسي في العد. عند اختيار زيتين، عدد **الاحتمالات الكلية** = عدد خيارات القميص × عدد خيارات البنطال.
3. 1. **الحساب:** $$\text{عدد الاحتمالات} = 4 \times 4 = 16$$
4. 2. **تفسير النتيجة:** يمكن للفريق تكوين 16 زيًا مختلفًا بناءً على اختيار لون القميص ولون البنطال بشكل مستقل.
5. > **ملاحظة:** إذا كان القميص والبنطال يمكن أن يكونا من نفس اللون أو مختلفين، فلا توجد قيود في السؤال.
6. ∴ **عدد الاحتمالات للزي الرياضي الذي يمكن للفريق ارتداؤه هو 16 احتمالاً**.

سؤال 17: زي رياضي: يمكن أن يختار فريق المدرسة... إذا اختار الفريق القميص والبنطال عشوائيًا، فما احتمال أن يكون القميص أخضر اللون والبنطال أسود؟

الإجابة: س17: 1/16

خطوات الحل:

1. > **بناءً على السؤال (16):** فضاء العينة لاختيار الزي يتكون من 16 نتيجة متساوية الاحتمال، كل نتيجة هي زوج مرتب (لون القميص، لون البنطال).
2. 1. **المطلوب:** $P(\text{القميص أخضر والبنطال أسود})$. 2. **تحديد الناتج المفضل:** الناتج المحدد هو **(أخضر، أسود)**.
3. 3. **الاحتمال:** - عدد النواتج الكلية $n(S) = 16$. - عدد النواتج المفضلة $n(E) = 1$ (نتيجة واحدة فقط). $$P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{16}$$
4. > **افتراض:** الاختيار عشوائي، لذا جميع الأزواج (القميص، البنطال) الـ 16 لها نفس فرصة الظهور.
5. ∴ **احتمال أن يكون القميص أخضر والبنطال أسود هو $\frac{1}{16}$**.

سؤال 18: اختر طريقة: يتضمن اختبار مادة الفقه سؤالين من نوع الصواب والخطأ. إذا أجاب سعود عن هذين السؤالين بطريقة التخمين، فما احتمال أن تكون إجابته صحيحة؟ حدد الطريقة المناسبة لحل المسألة، ثم حلها.

الإجابة: س18: الطريقة: رسم شجري، الاحتمال: 1/4

خطوات الحل:

1. | التجربة | النتائج الممكنة لكل سؤال | عدد الأسئلة | |------------------------|-------------------------|-------------| | الإجابة على سؤال الصواب والخطأ | {صواب (ص), خطأ (خ)} | 2 |
2. **المبدأ المستخدم:** عدد الطرق للإجابة على سؤالين = $2^2 = 4$ طرق. **الطريقة المناسبة:** يمكن استخدام **رسم شجري** أو إنشاء **جدول** لتمثيل جميع الاحتمالات، أو استخدام مبدأ العد مباشرة.
3. 1. **تحديد فضاء العينة (جميع إجابات سعود):** $$S = \{(ص، ص), (ص، خ), (خ، ص), (خ، خ)\}$$
4. 2. **المطلوب:** $P(\text{أن تكون إجابته صحيحة})$. - "صحيحة" تعني أن **جميع إجاباته صحيحة**، أي مطابقة للإجابات الصحيحة الفعلية. - لكن السؤال لم يحدد الإجابات الصحيحة! لذا يجب **افتراض أن هناك إجابة صحيحة واحدة فقط** من بين الـ 4. - بمعنى آخر: إذا خمن سعود عشوائيًا، فإن أي مجموعة إجابات من الـ 4 لها نفس الفرصة لتكون هي الإجابات الصحيحة.
5. 3. **الحساب:** - عدد النواتج الكلية في فضاء العينة = 4. - فقط **واحدة** من هذه النواتج هي الإجابات الصحيحة الكاملة. - احتمال أن تكون تخمينات سعود مطابقة تمامًا للإجابات الصحيحة = $\frac{1}{4}$.
6. > **شرح بالرسم الشجري:** > - الفرع الأول للسؤال الأول: ص، خ. > - من كل فرع، يتفرع للسؤال الثاني: ص، خ. > - النهايات (الأوراق) تمثل الإجابات الكاملة، وعددها 4. > - واحدة فقط منها هي الصحيحة.
7. ∴ **احتمال أن تكون جميع إجابات سعود صحيحة هو $\frac{1}{4}$**.

سؤال 19: اكتب: صف لعبة بين اثنين باستعمال قطعة نقود، بحيث تكون فرصتا ربحهما متساويتين.

الإجابة: س19: إذا ظهر الشعار يفوز الأول، وإذا ظهرت الكتابة يفوز الثاني.

خطوات الحل:

1. **المطلوب:** تصميم لعبة باستخدام قطعة نقود بحيث يكون فرصا الربح للاعبين متساويين.
2. 1. **تحليل الشروط:** - الأداة: **قطعة نقود** متزنة (غير مزيفة)، احتمال ظهور الشعار = احتمال ظهور الكتابة = $\frac{1}{2}$. - يجب أن تكون فرص الربح (الاحتمال) لكل لاعب **متساوية**، أي $\frac{1}{2}$ لكل منهما.
3. 2. **مبدأ الحل:** - بما أن لقطعة النقود **ناتجان فقط**، يمكن ربط كل ناتج بفائز مختلف. - هذا يضمن أن احتمالية فوز كل لاعب تساوي احتمال الناتج المرتبط به، أي $\frac{1}{2}$.
4. 3. **صياغة اللعبة:** - يمكن صياغتها بأكثر من طريقة، المهم هو **تقسيم النواتج بشكل متساوٍ**. - **أبسط طريقة:** > **اللاعب الأول يفوز إذا ظهر الشعار.** > **اللاعب الثاني يفوز إذا ظهرت الكتابة.**
5. 4. **تحقق من تساوي الفرص:** - $P(\text{شعار}) = \frac{1}{2}$ ← فرصة اللاعب الأول. - $P(\text{كتابة}) = \frac{1}{2}$ ← فرصة اللاعب الثاني. - الفرصتان متساويتان.
6. > **توسيع:** يمكن تصميم ألعاب أخرى باستخدام رمي القطعة أكثر من مرة، بشرط أن تكون مجموعات الفوز للاعبين متساوية في العدد (وبالتالي في الاحتمال). لكن أبسط حل هو ربط لاعب بكل وجه من وجهي القطعة.
7. ∴ **يمكن صياغة اللعبة كما يلي:** "يرمي اللاعب قطعة نقود مرة واحدة. إذا ظهر الشعار يفوز اللاعب (أ)، وإذا ظهرت الكتابة يفوز اللاعب (ب)."

يستطيع محمود شراء قميص كمه طويل أو قصير. ولونه رمادي أو أبيض. وحجمه صغير أو متوسط أو كبير. ما عدد الأزياء المختلفة التي يمكن لمحمود شراؤها؟

• أ) 7 أزياء
• ب) 8 أزياء
• ج) 6 أزياء
• د) 12 زي

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 12 زي

الشرح: 1. خيارات طول الكم: 2 (طويل، قصير). 2. خيارات اللون: 2 (رمادي، أبيض). 3. خيارات الحجم: 3 (صغير، متوسط، كبير). 4. عدد الأزياء الكلي = 2 × 2 × 3 = 12.

تلميح: اضرب عدد الخيارات لكل خاصية من خصائص القميص (الطول، اللون، الحجم).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما فضاء العينة عند رمي مكعب أرقام وقطعة نقود؟

• أ) {(1، ش)، (2، ش)، (3، ش)، (4، ش)، (5، ش)، (6، ش)، (1، ك)، (2، ك)، (3، ك)، (4، ك)، (5، ك)، (6، ك)}
• ب) {(1، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (4، ك)، (5، ش)، (6، ك)}
• ج) {(1، ش)، (1، ك)، (2، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (3، ك)، (4، ش)، (4، ك)}
• د) {(1، ش)، (1، ك)، (2، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (3، ك)، (4، ش)، (4، ك)، (5، ش)، (5، ك)، (6، ش)، (6، ك)}

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: {(1، ش)، (1، ك)، (2، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (3، ك)، (4، ش)، (4، ك)، (5، ش)، (5، ك)، (6، ش)، (6، ك)}

الشرح: 1. نتائج رمي مكعب الأرقام هي: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 نواتج). 2. نتائج رمي قطعة النقود هي: {شعار (ش), كتابة (ك)} (2 ناتج). 3. عدد النواتج الكلي = 6 × 2 = 12 ناتج. 4. فضاء العينة هو مجموعة الأزواج المرتبة (رقم المكعب، نتيجة القطعة). 5. نكتبها بشكل منهجي: {(1، ش)، (1، ك)، (2، ش)، (2، ك)، (3، ش)، (3، ك)، (4، ش)، (4، ك)، (5، ش)، (5، ك)، (6، ش)، (6، ك)}.

تلميح: تذكر أن فضاء العينة هو جميع النواتج الممكنة، ويمكن إيجاد عددها بضرب عدد نواتج كل تجربة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما فضاء العينة عند اختيار عدد من ١ إلى ٥ ولون من (أحمر، أزرق، أبيض)؟

• أ) {(1، أحمر)، (2، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (5، أزرق)}
• ب) {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)}
• ج) {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)، (5، أحمر)، (5، أزرق)، (5، أبيض)}
• د) {(أحمر، 1)، (أزرق، 1)، (أبيض، 1)، (أحمر، 2)، (أزرق، 2)، (أبيض، 2)، (أحمر، 3)، (أزرق، 3)، (أبيض، 3)، (أحمر، 4)، (أزرق، 4)، (أبيض، 4)، (أحمر، 5)، (أزرق، 5)، (أبيض، 5)}

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)، (5، أحمر)، (5، أزرق)، (5، أبيض)}

الشرح: 1. نتائج اختيار العدد: {1, 2, 3, 4, 5} (5 نواتج). 2. نتائج اختيار اللون: {أحمر, أزرق, أبيض} (3 نواتج). 3. عدد النواتج الكلي = 5 × 3 = 15 ناتج. 4. فضاء العينة هو مجموعة الأزواج المرتبة (عدد، لون). 5. نكتبها بشكل منهجي: {(1، أحمر)، (1، أزرق)، (1، أبيض)، (2، أحمر)، (2، أزرق)، (2، أبيض)، (3، أحمر)، (3، أزرق)، (3، أبيض)، (4، أحمر)، (4، أزرق)، (4، أبيض)، (5، أحمر)، (5، أزرق)، (5، أبيض)}.

تلميح: استخدم مبدأ الضرب الأساسي لإيجاد العدد الكلي للنواتج، ثم سردها بشكل منظم كأزواج مرتبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما فضاء العينة عند اختيار حرف من كلمة "جبل" وحرف علة من كلمة "وكيل"؟

• أ) {(ج، و)، (ج، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}
• ب) {(ج، و)، (ج، ي)، (ب، و)، (ب، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}
• ج) {(ج، و)، (ج، ك)، (ب، و)، (ب، ك)، (ل، و)، (ل، ك)}
• د) {(ج، و)، (ب، و)، (ل، و)}

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: {(ج، و)، (ج، ي)، (ب، و)، (ب، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}

الشرح: 1. الحروف من كلمة 'جبل': {ج, ب, ل} (3 نواتج). 2. حروف العلة من كلمة 'وكيل': {و, ي} (2 ناتج). 3. عدد النواتج الكلي = 3 × 2 = 6 نواتج. 4. فضاء العينة هو مجموعة الأزواج المرتبة (حرف من 'جبل'، حرف علة من 'وكيل'). 5. نكتبها بشكل منهجي: {(ج، و)، (ج، ي)، (ب، و)، (ب، ي)، (ل، و)، (ل، ي)}.

تلميح: تذكر حروف العلة في اللغة العربية، ثم قم بسرد جميع التركيبات الممكنة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد العدد الكلي لنتائج فضاء العينة عند رمي مكعب أرقام وقطعة نقود.

• أ) 12 نتيجة
• ب) 8 نتائج
• ج) 6 نتائج
• د) 2 نتيجة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 12 نتيجة

الشرح: 1. نتائج رمي مكعب الأرقام هي 6 (من 1 إلى 6). 2. نتائج رمي قطعة النقود هي 2 (شعار أو كتابة). 3. عدد النتائج الكلي لفضاء العينة = 6 × 2 = 12.

تلميح: استخدم مبدأ الضرب الأساسي: عدد نتائج التجربة الأولى × عدد نتائج التجربة الثانية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد العدد الكلي لنتائج فضاء العينة عند اختيار عدد من 1 إلى 5، وأحد الألوان التالية: أحمر أو أزرق أو أبيض.

• أ) 8 نتائج
• ب) 15 نتيجة
• ج) 5 نتائج
• د) 3 نتائج

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 15 نتيجة

الشرح: 1. عدد الخيارات للأرقام من 1 إلى 5 هو 5. 2. عدد الخيارات للألوان هو 3 (أحمر، أزرق، أبيض). 3. عدد النتائج الكلي لفضاء العينة = 5 × 3 = 15.

تلميح: احسب عدد الخيارات لكل نوع من الاختيار، ثم اضرب النتائج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يستطيع محمود شراء قميص كمه طويل أو قصير، ولونه رمادي أو أبيض، وحجمه صغير أو متوسط أو كبير. ما هو فضاء العينة لجميع الخيارات الممكنة؟

• أ) {(طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (قصير، رمادي، صغير)، (قصير، رمادي، متوسط)، (قصير، أبيض، صغير)، (قصير، أبيض، متوسط)}
• ب) {(طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، رمادي، كبير)، (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (طويل، أبيض، كبير)، (قصير، رمادي، صغير)، (قصير، رمادي، متوسط)، (قصير، رمادي، كبير)، (قصير، أبيض، صغير)، (قصير، أبيض، متوسط)، (قصير، أبيض، كبير)}
• ج) {(طويل، رمادي)، (طويل، أبيض)، (قصير، رمادي)، (قصير، أبيض)، (صغير)، (متوسط)، (كبير)}
• د) {(طويل، صغير، رمادي)، (طويل، متوسط، أبيض)، (طويل، كبير، رمادي)، (قصير، صغير، أبيض)، (قصير، متوسط، رمادي)، (قصير، كبير، أبيض)}

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: {(طويل، رمادي، صغير)، (طويل، رمادي، متوسط)، (طويل، رمادي، كبير)، (طويل، أبيض، صغير)، (طويل، أبيض، متوسط)، (طويل، أبيض، كبير)، (قصير، رمادي، صغير)، (قصير، رمادي، متوسط)، (قصير، رمادي، كبير)، (قصير، أبيض، صغير)، (قصير، أبيض، متوسط)، (قصير، أبيض، كبير)}

الشرح: 1. خيارات طول الكم: {طويل, قصير} (2 ناتج). 2. خيارات اللون: {رمادي, أبيض} (2 ناتج). 3. خيارات الحجم: {صغير, متوسط, كبير} (3 نواتج). 4. عدد النواتج الكلي = 2 × 2 × 3 = 12 ناتج. 5. فضاء العينة هو مجموعة الثلاثيات المرتبة (الطول، اللون، الحجم).

تلميح: طبق مبدأ الضرب الأساسي لعدد الخيارات لكل خاصية، ثم سرد الثلاثيات المرتبة بشكل منهجي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

في لعبة رمي قطعة نقود 3 مرات، يفوز خالد إذا ظهر الشعار مرتين على الأقل، وإلا يفوز محمد. ما احتمال فوز محمد؟

• أ) 1/4
• ب) 3/8
• ج) 1/2
• د) 5/8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/2

الشرح: 1. فضاء العينة لرمي قطعة نقود 3 مرات (2^3 = 8 نواتج): S = {(ش، ش، ش), (ش، ش، ك), (ش، ك، ش), (ش، ك، ك), (ك، ش، ش), (ك، ش، ك), (ك، ك، ش), (ك، ك، ك)}. 2. خالد يفوز إذا ظهر الشعار مرتين على الأقل (2 أو 3 شعارات): {(ش، ش، ش), (ش، ش، ك), (ش، ك، ش), (ك، ش، ش)} (4 نواتج). 3. محمد يفوز إذا ظهر الشعار أقل من مرتين (0 أو 1 شعار). 4. النواتج التي تفوز لمحمد: (ك، ك، ك) (0 شعار) و {(ش، ك، ك), (ك، ش، ك), (ك، ك، ش)} (1 شعار). 5. عدد نواتج فوز محمد = 1 + 3 = 4 نواتج. 6. احتمال فوز محمد = (عدد نواتج فوز محمد) / (العدد الكلي للنواتج) = 4/8 = 1/2.

تلميح: حدد فضاء العينة لثلاث رميات، ثم عد النواتج التي تؤدي إلى فوز محمد (أقل من شعارين).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد العدد الكلي لنتائج فضاء العينة عند اختيار حرف من كلمة 'جبل'، وحرف علة من كلمة 'وكيل'.

• أ) 5 نتائج
• ب) 12 نتيجة
• ج) 6 نتائج
• د) 7 نتائج

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 6 نتائج

الشرح: 1. الحروف من كلمة 'جبل' هي 3 (ج، ب، ل). 2. حروف العلة من كلمة 'وكيل' هي 2 (و، ي). 3. عدد النتائج الكلي لفضاء العينة = 3 × 2 = 6.

تلميح: حدد حروف العلة في كلمة 'وكيل' قبل تطبيق مبدأ الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يرمي محمد قطعة نقود ثلاث مرات. إذا ظهر الشعار مرتين على الأقل، فإن خالدًا هو الفائز، وإلا فإن محمدًا هو الفائز. ما احتمال فوز محمد؟

• أ) 1/2
• ب) 3/8
• ج) 1/4
• د) 5/8

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 1/2

الشرح: 1. فضاء العينة لرمي قطعة نقود 3 مرات ($2^3$) هو 8 نواتج: {(ش،ش،ش), (ش،ش،ك), (ش،ك،ش), (ش،ك،ك), (ك،ش،ش), (ك،ش،ك), (ك،ك،ش), (ك،ك،ك)}. 2. خالد يفوز إذا ظهر الشعار مرتين على الأقل (2 أو 3 شعارات): 4 نواتج. 3. محمد يفوز إذا ظهر الشعار أقل من مرتين (0 أو 1 شعار): (ك،ك،ك), (ش،ك،ك), (ك،ش،ك), (ك،ك،ش). هذه 4 نواتج. 4. احتمال فوز محمد = عدد نواتج فوز محمد / عدد النواتج الكلية = 4 / 8 = 1/2.

تلميح: حدد فضاء العينة الكامل أولاً، ثم نواتج فوز محمد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى (1/2)، فأوجد احتمال أن يكون الأطفال الثلاثة ذكورًا.

• أ) 1/2
• ب) 1/4
• ج) 1/8
• د) 3/8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/8

الشرح: 1. عدد النواتج الكلية في فضاء العينة لثلاثة أطفال = 2^3 = 8 نواتج. 2. الحدث "الأطفال الثلاثة ذكور" هو ناتج واحد فقط: (ذكر، ذكر، ذكر). 3. الاحتمال = عدد النواتج المفضلة / عدد النواتج الكلية = 1/8.

تلميح: تذكر أن لكل طفل احتمالين متساويين، وأن جنس كل طفل مستقل عن الآخر. عدد النواتج الكلية = 2^عدد الأطفال.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى (1/2)، فأوجد احتمال وجود ذكر واحد على الأقل.

• أ) 1/8
• ب) 7/8
• ج) 1/2
• د) 3/8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 7/8

الشرح: 1. فضاء العينة لثلاثة أطفال هو 8 نواتج. 2. "وجود ذكر واحد على الأقل" يعني ليس "لا يوجد أي ذكر". 3. الحدث "لا يوجد أي ذكر" يعني (أنثى، أنثى، أنثى)، وهو ناتج واحد. 4. احتمال "لا يوجد أي ذكر" = 1/8. 5. احتمال "وجود ذكر واحد على الأقل" = 1 - 1/8 = 7/8.

تلميح: فكر في الحدث المتمم لـ 'وجود ذكر واحد على الأقل'.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى (1/2)، فأوجد احتمال أن يكون هناك ذكران وأنثى واحدة.

• أ) 3/8
• ب) 1/8
• ج) 1/2
• د) 7/8

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3/8

الشرح: 1. فضاء العينة لثلاثة أطفال هو 8 نواتج. 2. الحدث "ذكران وأنثى" يعني ذكرين بالضبط وأنثى واحدة. 3. النواتج الممكنة هي: (ذكر، ذكر، أنثى)، (ذكر، أنثى، ذكر)، (أنثى، ذكر، ذكر). 4. عدد النواتج المفضلة = 3. 5. الاحتمال = عدد النواتج المفضلة / عدد النواتج الكلية = 3/8.

تلميح: حدد جميع الترتيبات الممكنة لذكرين وأنثى واحدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى (1/2)، فأوجد احتمال وجود ذكرين على الأقل.

• أ) 3/8
• ب) 5/8
• ج) 1/2
• د) 1/8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/2

الشرح: 1. فضاء العينة لثلاثة أطفال هو 8 نواتج. 2. "وجود ذكرين على الأقل" يعني إما (ذكران بالضبط) أو (ثلاثة ذكور). 3. نواتج "ذكرين بالضبط": (ذ،ذ،أن)، (ذ،أن،ذ)، (أن،ذ،ذ) ← 3 نواتج. 4. نواتج "ثلاثة ذكور": (ذ،ذ،ذ) ← 1 ناتج. 5. عدد النواتج المفضلة = 3 + 1 = 4. 6. الاحتمال = 4/8 = 1/2.

تلميح: "ذكرين على الأقل" تعني إما ذكرين بالضبط أو ثلاثة ذكور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إحصاءات: لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى (1/2)، فأوجد احتمال أن يكون الطفلان الأكبران ولدان، والصغيرة أنثى.

• أ) 1/2
• ب) 3/8
• ج) 1/8
• د) 1/4

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/8

الشرح: 1. فضاء العينة لثلاثة أطفال هو 8 نواتج. 2. الحدث المطلوب محدد بالترتيب: (الطفل الأول ذكر، الطفل الثاني ذكر، الطفل الثالث أنثى). 3. هذا يمثل ناتجًا واحدًا فقط في فضاء العينة: (ذكر، ذكر، أنثى). 4. الاحتمال = عدد النواتج المفضلة / عدد النواتج الكلية = 1/8.

تلميح: بما أن الترتيب محدد (الطفل الأول، الثاني، الثالث)، ابحث عن الناتج الذي يطابق هذا الترتيب بالضبط في فضاء العينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان فريق المدرسة لكرة القدم يستطيع اختيار قميص وبنطال بأحد الألوان التالية: الأخضر أو الأصفر أو الأبيض أو الأسود، فما عدد الاحتمالات للزي الرياضي الذي يمكن للفريق ارتداؤه؟

• أ) 8 احتمالات
• ب) 12 احتمالاً
• ج) 16 احتمالاً
• د) 4 احتمالات

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 16 احتمالاً

الشرح: 1. عدد خيارات لون القميص = 4. 2. عدد خيارات لون البنطال = 4. 3. عدد الاحتمالات الكلية = عدد خيارات القميص × عدد خيارات البنطال = 4 × 4 = 16.

تلميح: استخدم مبدأ الضرب الأساسي للعد. لكل قطعة زي (قميص وبنطال) هناك خيارات ألوان مستقلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا اختار فريق كرة القدم قميصًا وبنطالًا عشوائيًا من بين أربعة ألوان متاحة (الأخضر، الأصفر، الأبيض، الأسود)، فما احتمال أن يكون القميص أخضر اللون والبنطال أسود؟

• أ) 1/4
• ب) 1/8
• ج) 1/16
• د) 1/2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/16

الشرح: 1. عدد خيارات لون القميص = 4، وعدد خيارات لون البنطال = 4. إذن، عدد الاحتمالات الكلية للزي = 4 × 4 = 16. 2. الاحتمال المطلوب هو اختيار 'أخضر' للقميص و'أسود' للبنطال، وهو ناتج واحد فقط. 3. الاحتمال = عدد النواتج المفضلة / عدد النواتج الكلية = 1 / 16.

تلميح: أوجد العدد الكلي للاحتمالات أولاً، ثم حدد عدد الاحتمالات التي تحقق الشرط المطلوب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يتضمن اختبار مادة الفقه سؤالين من نوع الصواب والخطأ. إذا أجاب سعود عن هذين السؤالين بطريقة التخمين العشوائي، فما احتمال أن تكون إجابته صحيحة تمامًا؟

• أ) 1/2
• ب) 1/4
• ج) 1/8
• د) 1/1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1/4

الشرح: 1. لكل سؤال من أسئلة الصواب والخطأ، هناك ناتجان محتملان: صواب (ص) أو خطأ (خ). 2. لِـسؤالين، فضاء العينة هو: {(ص، ص)، (ص، خ)، (خ، ص)، (خ، خ)}، أي 4 نواتج ممكنة. 3. هناك ناتج واحد فقط تكون فيه الإجابتان صحيحتين تماماً (ص، ص). 4. الاحتمال = عدد النواتج المفضلة / عدد النواتج الكلية = 1 / 4.

تلميح: كم عدد الطرق المختلفة للإجابة على سؤالين من نوع الصواب والخطأ؟ وكم منها صحيح تماماً؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يمكن تصميم لعبة بين شخصين باستخدام قطعة نقود واحدة بحيث تكون فرصتا ربحهما متساويتين؟

• أ) يرمي اللاعبان قطعة النقود مرتين، ومن يحصل على شعارين يفوز.
• ب) يفوز اللاعب الأول إذا ظهر الشعار، ويفوز اللاعب الثاني إذا ظهرت الكتابة.
• ج) يرمي اللاعبان القطعة معاً، ومن يحصل على الشعار يفوز، وإذا لم يظهر الشعار لأحدهما يفوز الآخر.
• د) يفوز اللاعب الأول إذا ظهر شعار وكتابة، ويفوز اللاعب الثاني إذا ظهر شعاران.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يفوز اللاعب الأول إذا ظهر الشعار، ويفوز اللاعب الثاني إذا ظهرت الكتابة.

الشرح: 1. قطعة النقود لها ناتجان متساويان في الاحتمال: الشعار (ش) والكتابة (ك)، وكلاهما باحتمال 1/2. 2. لضمان تساوي فرص الفوز، يجب تخصيص أحد النواتج لكل لاعب. 3. بالتالي، إذا فاز الأول بظهور الشعار والثاني بظهور الكتابة، تكون فرص الفوز متساوية.

تلميح: قطعة النقود المتزنة لها ناتجان محتملان متساويان في الاحتمال.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

لدى عائلة ثلاثة أطفال. إذا كان احتمال أن يكون الطفل ذكرًا مساويًا لاحتمال أن يكون أنثى، فأوجد احتمال أن يكون هناك أنثيان وولد، وأن تكون الطفلة الأصغر أنثى.

• أ) 1/8
• ب) 3/8
• ج) 1/4
• د) 1/2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1/4

الشرح: 1. فضاء العينة لثلاثة أطفال ($2^3=8$ نواتج) هو: {(ذ،ذ،ذ), (ذ،ذ،أن), (ذ،أن،ذ), (ذ،أن،أن), (أن،ذ،ذ), (أن،ذ،أن), (أن،أن،ذ), (أن،أن،أن)} 2. 'أنثيان وولد' تعني وجود ذكر واحد وأنثيين. 3. 'الطفلة الأصغر أنثى' تعني أن الطفل الثالث في الترتيب أنثى. 4. النواتج التي تحقق الشرطين هي: (ذ، أن، أن) و (أن، ذ، أن). 5. عدد النواتج المفضلة = 2. 6. الاحتمال = 2 / 8 = 1 / 4.

تلميح: اكتب فضاء العينة أولاً. ثم حدد النواتج التي تحقق شرط وجود أنثيين وولد، وكون الأصغر أنثى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب