المثال ١

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 7 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مبدأ العد الأساسي

المفاهيم الأساسية

مبدأ العد الأساسي: طريقة لإيجاد عدد النواتج الممكنة في مسائل الاحتمال التي تتضمن أكثر من حادثة.

العدد الكلي للنواتج الممكنة = عدد نواتج الحادثة الأولى × عدد نواتج الحادثة الثانية × ... × عدد نواتج الحادثة الأخيرة

خريطة المفاهيم

```markmap

مبدأ العد الأساسي

الاستعمال

إيجاد عدد النواتج الممكنة

حل مسائل احتمالية معقدة (أكثر من حادثتين)

التطبيق

مثال من واقع الحياة (أجهزة التسجيل)

أمثلة رياضية

#### اختيار قميص، سروال، حذاء

#### اختيار رقم وحرف

#### رمي قطعة نقود

#### اختيار شطيرة وعصير

#### ظهور عدد على مكعب واختيار كرة

```

نقاط مهمة

يمكن استخدام المبدأ لحساب الاحتمال بقسمة عدد النواتج التي تحقق الشرط على العدد الكلي للنواتج الممكنة.
مثال: في مسألة أجهزة التسجيل، كان العدد الكلي للنواتج ٤٥، والاحتمال المطلوب هو ١/٤٥.

---

تحقق من فهمك

السؤال: إذا أضاف المحل التجاري لونًا آخر هو اللون الأزرق، فكم يصبح عدد النواتج الممكنة؟ وما احتمال الحصول على جهاز ارتفاعه ٢٥ سم، وطوله ٥٥ سم، ولونه بني عند اختيار أحدها عشوائيًا؟

الحل:

عدد النواتج الممكنة الجديد:

- عدد الألوان: ٤ (أسود، بني، أبيض، أزرق)

- عدد الأطوال: ٣ (٣٥ سم، ٤٠ سم، ٥٥ سم)

- عدد الارتفاعات: ٥ (١٥ سم، ٢٠ سم، ٢٥ سم، ٣٠ سم، ٣٥ سم)

- العدد الكلي = ٤ × ٣ × ٥ = ٦٠ ناتجًا ممكنًا.

الاحتمال المطلوب:

- الناتج الذي يحقق الشرط (ارتفاع ٢٥ سم، طول ٥٥ سم، لون بني) هو ناتج واحد فقط.

- الاحتمال = (عدد النواتج التي تحقق الشرط) / (العدد الكلي للنواتج) = ١ / ٦٠.

- لذا، الاحتمال المطلوب هو ١/٦٠.

---

حل مثال

المثال ١: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية:

رمي قطعة نقود ثلاث مرات:

- كل مرة لها ناتجان محتملان (صورة أو كتابة).

- العدد الكلي = ٢ × ٢ × ٢ = ٨ نواتج ممكنة.

اختيار شطيرة وكوب عصير عشوائيًا، على فرض أن هناك ٤ أنواع من الشطائر و ٣ أنواع عصير:

- العدد الكلي = ٤ × ٣ = ١٢ ناتجًا ممكنًا.

ظهور عدد على مكعب الأرقام، واختيار كرة من الكيس المجاور:

- مكعب الأرقام له ٦ أوجه (٦ نواتج).

- الكيس يحتوي على كرات ملونة (يظهر في الرسم كرات حمراء وصفراء وخضراء وزرقاء، وربما أخرى). بناءً على الرسم، لنفترض أن عدد الكرات المميزة هو ٤.

- العدد الكلي = ٦ × ٤ = ٢٤ ناتجًا ممكنًا.

المثال ٢: استعمل مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة في كل مما يأتي:

أ) اختيار قميص من بين ٣ قمصان، وسروال من بين ٤ سراويل، وحذاء من بين حذائين:

- العدد الكلي = ٣ × ٤ × ٢ = ٢٤ ناتجًا ممكنًا.

ب) اختيار رقم من الأرقام ١، ٢، ٣، ٤، ٥، واختيار حرف من الحروف أ، ب، جـ:

- العدد الكلي = ٥ × ٣ = ١٥ ناتجًا ممكنًا.

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة، وحل مسائل احتمالية في مسائل أكثر تعقيداً يكون فيها أكثر من حادثتين.

٢

نوع: محتوى تعليمي

مثال من واقع الحياة
٢) تقنية: يبيع محل تجاري أجهزة تسجيل بأطوال وارتفاعات وألوان مختلفة كما هو مبين في الجدول المجاور، إذا اخترنا جهازاً بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يكون ارتفاعه ٣٠ سم، وطوله ٤٥ سم، ولونه بنياً؟

نوع: محتوى تعليمي

الارتفاع ٥ × الطول ٣ × اللون ٣ = العدد الكلي ٤٥
هناك ٤٥ ناتجاً ممكناً، من بينها ناتج واحد فقط يحقق الشرط المطلوب.
لذا فالاحتمال المطلوب هو ١/٤٥.

ب

نوع: QUESTION_ACTIVITY

تحقق من فهمك:
ب) تقنية: إذا أضاف المحل التجاري لوناً آخر هو اللون الأزرق، فكم يصبح عدد النواتج الممكنة؟ وما احتمال الحصول على جهاز ارتفاعه ٢٥ سم، وطوله ٥٥ سم، ولونه بني عند اختيار أحدها عشوائياً؟

نوع: محتوى تعليمي

تأكد

نوع: QUESTION_HOMEWORK

المثال ١: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١) رمي قطعة نقود ثلاث مرات.

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢) اختيار شطيرة وكوب عصير عشوائياً، على فرض أن هناك ٤ أنواع من الشطائر و ٣ أنواع عصير.

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٣) ظهور عدد على مكعب الأرقام، واختيار كرة من الكيس المجاور.

نوع: METADATA

٩٠ الفصل ٧: الاحتمال
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

أجهزة التسجيل

A mathematical expression showing the multiplication of the number of options for each category to find the total outcomes.

A brown paper bag with colored marbles (red, yellow, green, blue, orange) spilling out. Next to it is a red die (number cube) showing the numbers 3 and 4.

📄 النص الكامل للصفحة

يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة، وحل مسائل احتمالية في مسائل أكثر تعقيداً يكون فيها أكثر من حادثتين.

--- SECTION: ٢ ---
مثال من واقع الحياة
٢) تقنية: يبيع محل تجاري أجهزة تسجيل بأطوال وارتفاعات وألوان مختلفة كما هو مبين في الجدول المجاور، إذا اخترنا جهازاً بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يكون ارتفاعه ٣٠ سم، وطوله ٤٥ سم، ولونه بنياً؟

الارتفاع ٥ × الطول ٣ × اللون ٣ = العدد الكلي ٤٥
هناك ٤٥ ناتجاً ممكناً، من بينها ناتج واحد فقط يحقق الشرط المطلوب.
لذا فالاحتمال المطلوب هو ١/٤٥.

--- SECTION: ب ---
تحقق من فهمك:
ب) تقنية: إذا أضاف المحل التجاري لوناً آخر هو اللون الأزرق، فكم يصبح عدد النواتج الممكنة؟ وما احتمال الحصول على جهاز ارتفاعه ٢٥ سم، وطوله ٥٥ سم، ولونه بني عند اختيار أحدها عشوائياً؟

تأكد

--- SECTION: المثال ١ ---
المثال ١: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية:

--- SECTION: 1 ---
١) رمي قطعة نقود ثلاث مرات.

--- SECTION: 2 ---
٢) اختيار شطيرة وكوب عصير عشوائياً، على فرض أن هناك ٤ أنواع من الشطائر و ٣ أنواع عصير.

--- SECTION: 3 ---
٣) ظهور عدد على مكعب الأرقام، واختيار كرة من الكيس المجاور.

٩٠ الفصل ٧: الاحتمال
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: أجهزة التسجيل
Description: No description
Table Structure:
Headers: الارتفاع | الطول | اللون
Rows:
Row 1: ١٥ سم | ٣٥ سم | أسود
Row 2: ٢٠ سم | ٤٥ سم | بني
Row 3: ٢٥ سم | ٥٥ سم | أبيض
Row 4: ٣٠ سم | EMPTY | EMPTY
Row 5: ٣٥ سم | EMPTY | EMPTY
Empty cells: Cells in columns 'الطول' and 'اللون' for heights 30cm and 35cm are empty, indicating these columns have only 3 options each while 'الارتفاع' has 5.
Calculation needed: Used to determine the number of options for each category: 5 heights, 3 lengths, and 3 colors.
Context: Provides the data for Example 2 to apply the Fundamental Counting Principle.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A mathematical expression showing the multiplication of the number of options for each category to find the total outcomes.
Context: Visualizes the application of the Fundamental Counting Principle for Example 2.

**IMAGE**: Untitled
Description: A brown paper bag with colored marbles (red, yellow, green, blue, orange) spilling out. Next to it is a red die (number cube) showing the numbers 3 and 4.
Context: Illustrates the experiment described in question 3 of the 'تأكد' section.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 4

سؤال ب: تحقق من فهمك: ب) تقنية : إذا أضاف المحل التجاري لونًا آخر هو اللون الأزرق، فكم يصبح عدد النواتج الممكنة؟ وما احتمال الحصول على جهاز ارتفاعه ٢٥ سم، وطوله ٥٥ سم، ولونه بني عند اختيار أحدها عشوائيًا؟

الإجابة: س: ب - إضافة اللون الأزرق عدد النواتج الممكنة = 60 = 5 × 3 × 4 ، والاحتمال = 1/60

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | عدد الخيارات قبل الإضافة | عدد الخيارات بعد الإضافة | |---|---|---| | الارتفاع | 5 | 5 | | الطول | 3 | 3 | | اللون | 3 | 4 (بإضافة الأزرق) | **المطلوب:** * إيجاد عدد النواتج الممكنة بعد إضافة اللون الأزرق. * إيجاد احتمال الحصول على جهاز بارتفاع 25 سم، وطول 55 سم، ولونه بني.
**الخطوة 2: القانون المستخدم** * **مبدأ العد الأساسي:** إذا كان لدينا عدة تجارب مستقلة، فإن عدد النواتج الممكنة هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة. * **الاحتمال:** الاحتمال = (عدد النواتج المطلوبة) / (عدد النواتج الممكنة)
**الخطوة 3: حساب عدد النواتج الممكنة** عدد النواتج الممكنة = عدد خيارات الارتفاع × عدد خيارات الطول × عدد خيارات اللون عدد النواتج الممكنة = $5 \times 3 \times 4 = 60$
**الخطوة 4: حساب الاحتمال** بما أننا نبحث عن جهاز محدد (ارتفاع 25 سم، طول 55 سم، لون بني)، فإن عدد النواتج المطلوبة = 1. الاحتمال = $\frac{1}{60}$
**الخطوة 5: الإجابة النهائية** عدد النواتج الممكنة بعد إضافة اللون الأزرق هو 60. واحتمال الحصول على جهاز بارتفاع 25 سم، وطول 55 سم، ولونه بني هو $\frac{1}{60}$.

سؤال 1: تأكد: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية: ١) رمي قطعة نقود ثلاث مرات.

الإجابة: عدد النواتج الممكنة = 8 = 2 × 2 × 2

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | التجربة | عدد النواتج الممكنة | |---|---| | رمي قطعة نقود | 2 (صورة أو كتابة) | **المطلوب:** * إيجاد عدد النواتج الممكنة لرمي قطعة نقود ثلاث مرات.
**الخطوة 2: القانون المستخدم** * **مبدأ العد الأساسي:** إذا كان لدينا عدة تجارب مستقلة، فإن عدد النواتج الممكنة هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة.
**الخطوة 3: حساب عدد النواتج الممكنة** عدد النواتج الممكنة = عدد النواتج في الرمية الأولى × عدد النواتج في الرمية الثانية × عدد النواتج في الرمية الثالثة عدد النواتج الممكنة = $2 \times 2 \times 2 = 8$
**الخطوة 4: الإجابة النهائية** عدد النواتج الممكنة لرمي قطعة نقود ثلاث مرات هو 8.

سؤال 2: تأكد: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية: ٢) اختيار شطيرة وكوب عصير عشوائيًا، على فرض أن هناك ٤ أنواع من الشطائر و٣ أنواع عصير.

الإجابة: عدد النواتج الممكنة = 12 = 3 × 4

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | عدد الأنواع | |---|---| | الشطائر | 4 | | العصير | 3 | **المطلوب:** * إيجاد عدد النواتج الممكنة لاختيار شطيرة وكوب عصير.
**الخطوة 2: القانون المستخدم** * **مبدأ العد الأساسي:** إذا كان لدينا عدة تجارب مستقلة، فإن عدد النواتج الممكنة هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة.
**الخطوة 3: حساب عدد النواتج الممكنة** عدد النواتج الممكنة = عدد أنواع الشطائر × عدد أنواع العصير عدد النواتج الممكنة = $4 \times 3 = 12$
**الخطوة 4: الإجابة النهائية** عدد النواتج الممكنة لاختيار شطيرة وكوب عصير هو 12.

سؤال 3: تأكد: استعمل مبدأ العد الأساسي لتجد عدد النواتج الممكنة في الحالات التالية: ٣) ظهور عدد على مكعب الأرقام، واختيار كرة من الكيس المجاور.

الإجابة: س3: عدد النواتج الممكنة = 24 = 4 × 6

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | التجربة | عدد النواتج الممكنة | |---|---| | ظهور عدد على مكعب الأرقام | 6 (الأرقام من 1 إلى 6) | | اختيار كرة من الكيس | 4 (بافتراض وجود 4 كرات مختلفة في الكيس) | **المطلوب:** * إيجاد عدد النواتج الممكنة لظهور عدد على مكعب الأرقام واختيار كرة من الكيس.
**الخطوة 2: القانون المستخدم** * **مبدأ العد الأساسي:** إذا كان لدينا عدة تجارب مستقلة، فإن عدد النواتج الممكنة هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة.
**الخطوة 3: حساب عدد النواتج الممكنة** عدد النواتج الممكنة = عدد النواتج لمكعب الأرقام × عدد النواتج للكيس عدد النواتج الممكنة = $6 \times 4 = 24$
**الخطوة 4: الإجابة النهائية** عدد النواتج الممكنة لظهور عدد على مكعب الأرقام واختيار كرة من الكيس هو 24.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هو مبدأ العد الأساسي في الاحتمالات؟

أ) هو عدد النواتج المطلوبة مقسومًا على عدد النواتج الممكنة.
ب) هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة إذا كانت التجارب مستقلة.
ج) هو جمع عدد النواتج لكل تجربة مستقلة لإيجاد الإجمالي.
د) هو عدد المرات التي يمكن أن يحدث فيها حدث معين بنجاح.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو حاصل ضرب عدد النواتج لكل تجربة إذا كانت التجارب مستقلة.

الشرح: ينص مبدأ العد الأساسي على أنه إذا كان هناك 'ن1' طريقة لحدث أول، و'ن2' طريقة لحدث ثانٍ، وهكذا، فإن عدد الطرق الكلي لحدوث جميع الأحداث معًا هو 'ن1 × ن2 × ...'.

تلميح: فكر في كيفية إيجاد إجمالي الاحتمالات عندما تكون لديك خيارات متعددة في كل خطوة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما هي الخطوات الأساسية لتطبيق مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة؟

أ) جمع عدد الخيارات لكل حدث ثم قسمة الناتج على عدد الأحداث.
ب) ضرب عدد الخيارات لكل حدث معًا بعد تحديدها بدقة.
ج) تحديد الحدث الأكثر احتمالًا ثم حساب ناتجه فقط.
د) طرح عدد الخيارات الأقل من عدد الخيارات الأكثر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب عدد الخيارات لكل حدث معًا بعد تحديدها بدقة.

الشرح: 1. حدد كل حدث مستقل في المسألة. 2. احسب عدد الخيارات المتاحة لكل حدث. 3. اضرب أعداد الخيارات هذه ببعضها للحصول على العدد الكلي للنواتج الممكنة.

تلميح: تذكر أن المبدأ يعتمد على العلاقة بين الخيارات المتعددة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

يبيع محل أجهزة تسجيل بخيارات متعددة: 5 ارتفاعات، 3 أطوال، و 3 ألوان. إذا أضاف المحل لونًا آخر (الأزرق)، فكم يصبح العدد الكلي للأجهزة المختلفة الممكنة؟

أ) 45 جهازًا.
ب) 50 جهازًا.
ج) 60 جهازًا.
د) 75 جهازًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 60 جهازًا.

الشرح: 1. عدد خيارات الارتفاع = 5. 2. عدد خيارات الطول = 3. 3. عدد خيارات اللون بعد إضافة الأزرق = 3 (الأصلية) + 1 (الأزرق) = 4. 4. عدد النواتج الممكنة = 5 × 3 × 4 = 60.

تلميح: تذكر أن إضافة خيار جديد تزيد من عدد الاحتمالات الكلية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بالاستناد إلى السؤال السابق (5 ارتفاعات، 3 أطوال، 4 ألوان)، ما احتمال الحصول على جهاز بارتفاع 25 سم، وطول 55 سم، ولون بني عند اختياره عشوائيًا؟

أ) 1/45
ب) 1/60
ج) 1/12
د) 1/5

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1/60

الشرح: 1. عدد النواتج الممكنة الكلي (من السؤال السابق) = 60. 2. عدد النواتج المطلوبة (جهاز بارتفاع 25 سم، وطول 55 سم، ولون بني) = 1. 3. الاحتمال = (النواتج المطلوبة) / (النواتج الكلية) = 1/60.

تلميح: الاحتمال هو نسبة النواتج المطلوبة إلى إجمالي النواتج الممكنة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا أُلقيت قطعة نقود ثلاث مرات، فكم عدد النواتج الممكنة لجميع الرميات؟

أ) 3 نواتج.
ب) 6 نواتج.
ج) 8 نواتج.
د) 9 نواتج.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 8 نواتج.

الشرح: 1. عدد النواتج لرمية قطعة نقود واحدة = 2 (صورة أو كتابة). 2. بما أن الرميات ثلاث مرات ومستقلة، فإن عدد النواتج الكلية = 2 × 2 × 2 = 8.

تلميح: كل رمية لقطعة النقود لها ناتجان محتملان.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل