مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 13: تحد: أوجد عدد النواتج الممكنة عند رمي قطعة نقود مرة واحدة ومرتين وثلاث مرات. ثم أوجد عدد النواتج الممكنة عند رمي قطعة نقود (ن) مرة. صف الطريقة التي استعملتها.

الإجابة: مرة واحدة: 2 ناتجان. مرتين: 4 نواتج. ثلاث مرات: 8 نواتج. ن مرة: 2^ن.

خطوات الحل:

1. | عدد مرات الرمي | عدد النواتج الممكنة | |---|---| | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 8 | | ن | ؟ |
2. **القانون المستخدم:** مبدأ العد الأساسي. في كل رمية، يوجد ناتجان محتملان (صورة أو كتابة).
3. 1. في الرمية الأولى، يوجد ناتجان. 2. في الرميتين، يوجد $2 \times 2 = 4$ نواتج. 3. في الثلاث رميات، يوجد $2 \times 2 \times 2 = 8$ نواتج. 4. بشكل عام، في (ن) رمية، يوجد $2^ن$ ناتج.
4. > **ملاحظة:** الطريقة المستخدمة هي ضرب عدد النواتج الممكنة في كل رمية.
5. إذن، عدد النواتج الممكنة عند رمي قطعة نقود (ن) مرة هو $2^ن$.

سؤال 14: اكتشف المختلف: أوجد عدد النواتج إذا أخذت ن، م في مبدأ عد القيم أدناه، وأي حالة تختلف عن الحالتين الأخريين وفق عدد النواتج الممكنة؟ - 9 أنواع عصير، و8 أنواع حلوى. - 18 قميصاً مع 4 قياسات مختلفة. - 10 مجموعات مختلفة، و8 أنشطة.

الإجابة: 9 عصير و 8 حلوى: 72. 18 قميص و 4 قياسات: 72. 10 مجموعات و 8 أنشطة: 80. المختلف: الحالة الثالثة (80).

خطوات الحل:

1. | الحالة | عدد الخيارات الأولى | عدد الخيارات الثانية | عدد النواتج الممكنة | |---|---|---|---| | 1 | 9 | 8 | ؟ | | 2 | 18 | 4 | ؟ | | 3 | 10 | 8 | ؟ |
2. **القانون المستخدم:** مبدأ العد الأساسي: إذا كان لدينا (ن) طريقة لعمل شيء ما و (م) طريقة لعمل شيء آخر، فإن عدد الطرق الكلية لعمل الشيئين معًا هو $ن \times م$.
3. 1. **الحالة الأولى:** عدد النواتج الممكنة = $9 \times 8 = 72$. 2. **الحالة الثانية:** عدد النواتج الممكنة = $18 \times 4 = 72$. 3. **الحالة الثالثة:** عدد النواتج الممكنة = $10 \times 8 = 80$.
4. **الخلاصة:** الحالة الثالثة (10 مجموعات و 8 أنشطة) تختلف عن الحالتين الأخريين لأن عدد النواتج الممكنة فيها هو 80، بينما في الحالتين الأخريين هو 72.
5. إذن، الحالة المختلفة هي الحالة الثالثة (10 مجموعات و 8 أنشطة) وعدد النواتج الممكنة فيها هو 80.

سؤال 15: اكتب: وضّح متى يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة، ومتى يمكن استعمال الرسم الشجري.

الإجابة: مبدأ العد: للمراحل المتتابعة (ضرب). الرسم الشجري: لحصر النواتج وتفصيلها.

خطوات الحل:

1. | الطريقة | الاستخدام | المزايا | العيوب | |---|---|---|---| | **مبدأ العد الأساسي** | المراحل المتتابعة | سريع وسهل التطبيق | لا يوفر تفاصيل النواتج | | **الرسم الشجري** | حصر النواتج وتفصيلها | يوفر تفاصيل النواتج | قد يكون معقدًا ومستهلكًا للوقت في الحالات التي تتضمن عددًا كبيرًا من النواتج |
2. **مبدأ العد الأساسي:** * يستخدم عندما تكون هناك عدة مراحل متتابعة، وكل مرحلة لها عدد معين من النواتج الممكنة. * يتم إيجاد العدد الكلي للنواتج بضرب عدد النواتج في كل مرحلة. * مثال: إذا كان لدينا 3 قمصان و 2 بنطلون، فإن عدد الطرق الممكنة لارتداء القميص والبطلون هو $3 \times 2 = 6$ طرق.
3. **الرسم الشجري:** * يستخدم لحصر جميع النواتج الممكنة لتجربة ما. * يتم تمثيل كل ناتج بفرع في الشجرة. * مثال: عند رمي قطعة نقود مرتين، يمكن تمثيل النواتج الممكنة (صورة، كتابة) برسم شجري.
4. > **ملاحظة:** مبدأ العد الأساسي أسرع وأسهل في الحالات التي لا تتطلب تفصيل النواتج، بينما الرسم الشجري يوفر تفاصيل النواتج ولكنه قد يكون معقدًا في الحالات التي تتضمن عددًا كبيرًا من النواتج.
5. باختصار، يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي للمراحل المتتابعة (ضرب)، بينما يمكن استعمال الرسم الشجري لحصر النواتج وتفصيلها.

سؤال 16: رمت هند 3 مكعبات أرقام (1-6). ما احتمال أن يظهر العدد 4 على المكعبات الثلاثة؟ أ) 1/6 ب) 1/18 ج) 1/36 د) 1/216

الإجابة: (1/6)^3 = 1/216 الجواب الصحيح: (د)

خطوات الحل:

1. | الحدث | الاحتمال | |---|---| | ظهور العدد 4 على المكعب الأول | 1/6 | | ظهور العدد 4 على المكعب الثاني | 1/6 | | ظهور العدد 4 على المكعب الثالث | 1/6 |
2. **القانون المستخدم:** احتمال وقوع عدة أحداث مستقلة معًا يساوي حاصل ضرب احتمالات وقوع كل حدث على حدة.
3. 1. احتمال ظهور العدد 4 على المكعب الأول = 1/6. 2. احتمال ظهور العدد 4 على المكعب الثاني = 1/6. 3. احتمال ظهور العدد 4 على المكعب الثالث = 1/6. 4. احتمال ظهور العدد 4 على المكعبات الثلاثة = $(1/6) \times (1/6) \times (1/6) = (1/6)^3 = 1/216$.
4. إذن، الاحتمال المطلوب هو 1/216. الجواب الصحيح هو (د).

سؤال 17: إجابة قصيرة: يبيع محل تجاري قمصانًا بتصاميم وألوان ومقاسات مختلفة. فإذا علمت أن هناك 5 تصاميم و3 مقاسات، وكان عدد النواتج الممكنة لاختيار قميص عشوائيًا هو 60 ناتجًا، فكم لونًا مختلفًا للقمصان يبيع المحل؟ أ) 3 ب) 4 ج) 5 د) 12

الإجابة: عدد الألوان = 60 / (5 * 3) = 4 الجواب الصحيح: (ب)

خطوات الحل:

1. | العنصر | العدد | |---|---| | عدد التصاميم | 5 | | عدد المقاسات | 3 | | عدد الألوان | ؟ | | عدد النواتج الممكنة | 60 |
2. **القانون المستخدم:** مبدأ العد الأساسي: عدد النواتج الممكنة = عدد التصاميم × عدد المقاسات × عدد الألوان.
3. 1. لنفترض أن عدد الألوان هو (س). 2. إذن، $60 = 5 \times 3 \times س$. 3. $60 = 15 \times س$. 4. $س = 60 / 15 = 4$.
4. إذن، عدد الألوان المختلفة للقمصان التي يبيعها المحل هو 4. الجواب الصحيح هو (ب).

سؤال 18: مدارس: أوجد فضاء العينة عند رمي مكعب أرقام (1-6)، وقطعة نقد، واختيار بطاقة من بطاقتين إحداهما خضراء والأخرى سوداء.

الإجابة: فضاء العينة (24 ناتجاً): {(1, ص, خ), (1, ص, س), (1, ك, خ), (1, ك, س) ... (6, ك, س)}

خطوات الحل:

1. | التجربة | النواتج الممكنة | |---|---| | رمي مكعب أرقام | 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 نواتج) | | رمي قطعة نقد | ص (صورة), ك (كتابة) (2 ناتج) | | اختيار بطاقة | خ (خضراء), س (سوداء) (2 ناتج) |
2. **المفهوم:** فضاء العينة هو مجموعة جميع النواتج الممكنة لتجربة عشوائية.
3. 1. عدد النواتج الممكنة لرمي مكعب الأرقام = 6. 2. عدد النواتج الممكنة لرمي قطعة النقد = 2. 3. عدد النواتج الممكنة لاختيار بطاقة = 2. 4. باستخدام مبدأ العد الأساسي، عدد النواتج الكلية = $6 \times 2 \times 2 = 24$ ناتج.
4. فضاء العينة هو: {(1, ص, خ), (1, ص, س), (1, ك, خ), (1, ك, س), (2, ص, خ), (2, ص, س), (2, ك, خ), (2, ك, س), (3, ص, خ), (3, ص, س), (3, ك, خ), (3, ك, س), (4, ص, خ), (4, ص, س), (4, ك, خ), (4, ك, س), (5, ص, خ), (5, ص, س), (5, ك, خ), (5, ك, س), (6, ص, خ), (6, ص, س), (6, ك, خ), (6, ك, س)}
5. إذن، فضاء العينة يتكون من 24 ناتجاً.

سؤال 19: استعمل القرص الدوّار المجاور؛ لإيجاد الاحتمالات الآتية في أبسط صورة. ح(عدد زوجي)

الإجابة: الزوجي: 2, 4, 6, 8 الاحتمال = 4/8 = 1/2

خطوات الحل:

1. | الحدث | النواتج الممكنة | |---|---| | ظهور عدد زوجي | 2, 4, 6, 8 | | جميع النواتج الممكنة | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
2. **القانون المستخدم:** الاحتمال = (عدد النواتج الممكنة للحدث) / (عدد جميع النواتج الممكنة).
3. 1. عدد النواتج الممكنة لظهور عدد زوجي = 4 (2, 4, 6, 8). 2. عدد جميع النواتج الممكنة = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). 3. الاحتمال = 4/8 = 1/2.
4. إذن، احتمال ظهور عدد زوجي هو 1/2.

سؤال 20: استعمل القرص الدوّار المجاور؛ لإيجاد الاحتمالات الآتية في أبسط صورة. ح(عدد أكبر من 2)

الإجابة: أكبر من 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8 الاحتمال = 6/8 = 3/4

خطوات الحل:

1. | الحدث | النواتج الممكنة | |---|---| | ظهور عدد أكبر من 2 | 3, 4, 5, 6, 7, 8 | | جميع النواتج الممكنة | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
2. **القانون المستخدم:** الاحتمال = (عدد النواتج الممكنة للحدث) / (عدد جميع النواتج الممكنة).
3. 1. عدد النواتج الممكنة لظهور عدد أكبر من 2 = 6 (3, 4, 5, 6, 7, 8). 2. عدد جميع النواتج الممكنة = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). 3. الاحتمال = 6/8 = 3/4.
4. إذن، احتمال ظهور عدد أكبر من 2 هو 3/4.

ما هي الصيغة العامة لإيجاد عدد النواتج الممكنة عند رمي قطعة نقود (ن) مرة؟

• أ) 2^ن
• ب) ن^2
• ج) 2 × ن
• د) ن + 2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 2^ن

الشرح: 1. عند رمي قطعة النقود مرة واحدة، هناك 2 ناتج (صورة أو كتابة). 2. عند رمي قطعتين، 2 × 2 = 2^2 = 4 نواتج. 3. عند رمي 3 قطع، 2 × 2 × 2 = 2^3 = 8 نواتج. 4. بالتعميم، عند رمي (ن) مرة، يكون عدد النواتج 2^ن.

تلميح: تذكر مبدأ العد الأساسي وعدد النواتج الممكنة لرمي قطعة النقود الواحدة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي العبارات التالية تصف الاستخدام الأنسب لمبدأ العد الأساسي والرسم الشجري؟

• أ) مبدأ العد الأساسي لعدد النواتج الكلي، والرسم الشجري لتفصيل النواتج
• ب) مبدأ العد الأساسي لتفصيل النواتج، والرسم الشجري للعدد الكلي
• ج) كلاهما يستخدمان بنفس الطريقة وفي نفس الحالات
• د) مبدأ العد الأساسي يستخدم فقط لرمي العملات، والرسم الشجري فقط للمكعبات

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مبدأ العد الأساسي لعدد النواتج الكلي، والرسم الشجري لتفصيل النواتج

الشرح: 1. مبدأ العد الأساسي: يستخدم لإيجاد العدد الكلي للنواتج في التجارب ذات المراحل المتتابعة، ويفضل في حال كثرة النواتج لأنه أسرع. 2. الرسم الشجري: يستخدم لتمثيل وحصر جميع النواتج الممكنة بالتفصيل، ويفضل عندما يكون عدد النواتج قليلاً لتجنب التعقيد.

تلميح: فكر في الهدف الرئيسي لكل طريقة: هل هو معرفة العدد الكلي أم تفصيل كل ناتج؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

كم عدد النواتج الممكنة عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات؟

• أ) 6 نواتج
• ب) 9 نواتج
• ج) 8 نواتج
• د) 16 ناتجاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 8 نواتج

الشرح: ١. لكل رمية لقطعة النقود، يوجد ناتجان محتملان (صورة أو كتابة). ٢. عند رمي قطعة نقود 3 مرات، نستخدم قاعدة الضرب: 2 × 2 × 2 = 8. ٣. إذن، عدد النواتج الممكنة هو 8 نواتج.

تلميح: تذكر أن لكل رمية لقطعة النقود ناتجين محتملين (صورة أو كتابة)، وأن النواتج الكلية تتضاعف مع كل رمية إضافية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان هناك 9 أنواع عصير و 8 أنواع حلوى، فكم عدد النواتج الممكنة لاختيار عصير وحلوى؟

• أ) 17 ناتجاً
• ب) 72 ناتجاً
• ج) 81 ناتجاً
• د) 64 ناتجاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 72 ناتجاً

الشرح: ١. عدد أنواع العصير المتاحة هو 9. ٢. عدد أنواع الحلوى المتاحة هو 8. ٣. باستخدام مبدأ العد الأساسي، عدد النواتج الممكنة = عدد أنواع العصير × عدد أنواع الحلوى = 9 × 8 = 72. ٤. إذن، عدد النواتج الممكنة هو 72 ناتجاً.

تلميح: استخدم مبدأ العد الأساسي بضرب عدد الخيارات المتاحة لكل صنف للحصول على العدد الكلي للنواتج الممكنة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

رمت هند ٣ مكعبات أرقام (١-٦). ما احتمال أن يظهر العدد ٤ على المكعبات الثلاثة؟

• أ) ١/٦
• ب) ١/١٨
• ج) ١/٣٦
• د) ١/٢١٦

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ١/٢١٦

الشرح: 1. احتمال ظهور العدد 4 على مكعب واحد هو 1/6 (نتيجة واحدة مرغوبة من 6 نتائج ممكنة). 2. بما أن رميات المكعبات مستقلة، فإن احتمال ظهور 4 على المكعبات الثلاثة معًا هو حاصل ضرب الاحتمالات الفردية. 3. الاحتمال الكلي = (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216.

تلميح: تذكر أن احتمال وقوع عدة أحداث مستقلة معًا هو حاصل ضرب احتمالات وقوع كل حدث على حدة.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

يبيع محل تجاري قمصاناً بتصاميم وألوان ومقاسات مختلفة. فإذا علمت أن هناك ٥ تصاميم و ٣ مقاسات، وكان عدد النواتج الممكنة لاختيار قميص عشوائياً هو ٦٠ ناتجاً، فكم لوناً مختلفاً للقمصان يبيع المحل؟

• أ) ٣
• ب) ٤
• ج) ٥
• د) ١٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٤

الشرح: 1. نستخدم مبدأ العد الأساسي: عدد النواتج الكلية = عدد التصاميم × عدد المقاسات × عدد الألوان. 2. لنفترض أن عدد الألوان هو (س). 3. إذن: 60 = 5 × 3 × س. 4. 60 = 15 × س. 5. نقسم الطرفين على 15: س = 60 / 15 = 4. 6. عدد الألوان هو 4.

تلميح: تذكر مبدأ العد الأساسي وكيفية استخدامه لإيجاد أحد العوامل المجهولة عندما يكون الناتج الكلي معلومًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هو عدد النواتج الممكنة في فضاء العينة عند رمي مكعب أرقام (١-٦)، وقطعة نقد، واختيار بطاقة من بطاقتين (خضراء أو سوداء)؟

• أ) ١٢ ناتجًا
• ب) ٢٠ ناتجًا
• ج) ٢٤ ناتجًا
• د) ٣٦ ناتجًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢٤ ناتجًا

الشرح: 1. عدد النواتج الممكنة لرمي مكعب الأرقام (1-6) هو 6. 2. عدد النواتج الممكنة لرمي قطعة النقد (صورة أو كتابة) هو 2. 3. عدد النواتج الممكنة لاختيار بطاقة (خضراء أو سوداء) هو 2. 4. باستخدام مبدأ العد الأساسي، عدد النواتج الكلية = 6 × 2 × 2 = 24.

تلميح: استخدم مبدأ العد الأساسي بضرب عدد النواتج لكل حدث مستقل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

باستخدام مبدأ العد الأساسي، أي من الحالات التالية يختلف عدد نواتجها عن الحالتين الأخريين؟ A) 9 أنواع عصير و 8 أنواع حلوى B) 18 قميصاً و 4 قياسات مختلفة C) 10 مجموعات مختلفة و 8 أنشطة

• أ) الحالة A (9 أنواع عصير و 8 أنواع حلوى)
• ب) الحالة B (18 قميصاً و 4 قياسات مختلفة)
• ج) الحالة C (10 مجموعات و 8 أنشطة)
• د) جميع الحالات متساوية في عدد النواتج

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الحالة C (10 مجموعات و 8 أنشطة)

الشرح: ١. الحالة A: 9 أنواع عصير × 8 أنواع حلوى = 72 ناتجاً. ٢. الحالة B: 18 قميصاً × 4 قياسات = 72 ناتجاً. ٣. الحالة C: 10 مجموعات × 8 أنشطة = 80 ناتجاً. ٤. الحالة C هي المختلفة لأن عدد نواتجها هو 80، بينما الحالتان الأخريان ناتجاهما 72.

تلميح: احسب عدد النواتج لكل حالة على حدة باستخدام مبدأ العد الأساسي (الضرب) ثم قارن النتائج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في تجربة اختيار بطاقة من بطاقتين (خضراء أو سوداء) ورمي مكعب أرقام (1-6)، ما عدد النواتج الممكنة؟

• أ) 8 نواتج
• ب) 12 ناتجاً
• ج) 24 ناتجاً
• د) 36 ناتجاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 12 ناتجاً

الشرح: ١. عدد نواتج اختيار بطاقة هو 2 (خضراء أو سوداء). ٢. عدد نواتج رمي مكعب أرقام هو 6 (من 1 إلى 6). ٣. عدد النواتج الممكنة للتجربتين معاً = عدد نواتج البطاقة × عدد نواتج المكعب = 2 × 6 = 12 ناتجاً.

تلميح: حدد عدد النواتج المستقلة لكل جزء من التجربة، ثم استخدم مبدأ العد الأساسي لإيجاد العدد الكلي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند حساب احتمال وقوع حدثين مستقلين أو أكثر معًا، ما هي العلاقة الرياضية التي تربط احتمالات وقوع كل حدث على حدة؟

• أ) يساوي مجموع احتمالات وقوع كل حدث على حدة.
• ب) يساوي حاصل طرح احتمالات وقوع كل حدث على حدة.
• ج) يساوي حاصل ضرب احتمالات وقوع كل حدث على حدة.
• د) يساوي خارج قسمة احتمال الحدث الأول على الثاني.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يساوي حاصل ضرب احتمالات وقوع كل حدث على حدة.

الشرح: ١. الأحداث المستقلة هي الأحداث التي لا يؤثر وقوع أي منها على وقوع الآخر. ٢. لحساب احتمال وقوع حدثين مستقلين معاً، يتم ضرب احتمالات وقوع كل حدث على حدة. ٣. هذا القانون أساسي في الاحتمالات المركبة للأحداث المستقلة.

تلميح: فكر في كيفية تأثير وقوع حدث على الآخر في سياق الأحداث المستقلة وما هي العملية المناسبة لدمج احتمالاتها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل