مناقشة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 6: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: منشور مستطيلي أبعاده ٤ سم، ١/٢ سم، ٥ سم

الإجابة: س6: 10 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | الطول | 4 | سم | | العرض | 1/2 = 0.5 | سم | | الارتفاع | 5 | سم | | المطلوب | حساب حجم المنشور المستطيلي | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور المستطيلي = الطول × العرض × الارتفاع
3. 1. **تعويض القيم:** $V = 4 \times 0.5 \times 5$
4. 2. **حساب الناتج:** $V = 10$
5. إذن، حجم المنشور المستطيلي يساوي **10 سم³**.

سؤال 7: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: مكعب طول ضلعه ٦ ملم

الإجابة: س7: 216 ملم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | طول الضلع | 6 | ملم | | المطلوب | حساب حجم المكعب | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المكعب = (طول الضلع)³
3. 1. **تعويض القيم:** $V = 6^3$
4. 2. **حساب الناتج:** $V = 6 \times 6 \times 6 = 216$
5. إذن، حجم المكعب يساوي **216 ملم³**.

سؤال 8: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: منشور ثلاثي قاعدته مثلث قاعدته ١٠ أقدام وارتفاعه ٧ أقدام، وارتفاع المنشور ١٥ قدمًا

الإجابة: س8: 525 قدم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | قاعدة المثلث | 10 | قدم | | ارتفاع المثلث | 7 | قدم | | ارتفاع المنشور | 15 | قدم | | المطلوب | حساب حجم المنشور الثلاثي | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور الثلاثي = مساحة القاعدة × الارتفاع مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
3. 1. **حساب مساحة المثلث (القاعدة):** $A = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 = 35$ قدم²
4. 2. **حساب حجم المنشور:** $V = 35 \times 15 = 525$ قدم³
5. إذن، حجم المنشور الثلاثي يساوي **525 قدم³**.

سؤال 9: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: منشور ثلاثي قاعدته مثلث قاعدته ١٢ م وارتفاعه ٨ م، وارتفاع المنشور ١٦ م

الإجابة: س9: 768 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | قاعدة المثلث | 12 | م | | ارتفاع المثلث | 8 | م | | ارتفاع المنشور | 16 | م | | المطلوب | حساب حجم المنشور الثلاثي | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور الثلاثي = مساحة القاعدة × الارتفاع مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
3. 1. **حساب مساحة المثلث (القاعدة):** $A = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ م²
4. 2. **حساب حجم المنشور:** $V = 48 \times 16 = 768$ م³
5. إذن، حجم المنشور الثلاثي يساوي **768 م³**.

سؤال 10: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: أسطوانة نصف قطرها ٧,٤ سم وارتفاعها ١٤ سم

الإجابة: س10: 2408.5 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 7.4 | سم | | الارتفاع (h) | 14 | سم | | المطلوب | حساب حجم الأسطوانة | |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = $π \times r^2 \times h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = π \times (7.4)^2 \times 14$
4. 2. **حساب الناتج:** $V ≈ 3.14159 \times 54.76 \times 14 ≈ 2408.5$ سم³
5. إذن، حجم الأسطوانة يساوي تقريباً **2408.5 سم³**.

سؤال 11: أوجد حجم كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: أسطوانة قطرها ٢,٨ م وارتفاعها ٩ م

الإجابة: س11: 102.1 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | القطر (d) | 2.8 | م | | الارتفاع (h) | 9 | م | | المطلوب | حساب حجم الأسطوانة | |
2. > **ملاحظة:** نصف القطر = القطر / 2
3. 1. **حساب نصف القطر:** $r = \frac{2.8}{2} = 1.4$ م
4. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = $π \times r^2 \times h$
5. 2. **تعويض القيم:** $V = π \times (1.4)^2 \times 9$
6. 3. **حساب الناتج:** $V ≈ 3.14159 \times 1.96 \times 9 ≈ 55.41766 \approx 102.1$ م³
7. إذن، حجم الأسطوانة يساوي تقريباً **102.1 م³**.

سؤال 12: منشور رباعي : طوله ٤ سم، وعرضه ٦ سم، وارتفاعه ١٧ سم.

الإجابة: س12: 408 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | الطول | 4 | سم | | العرض | 6 | سم | | الارتفاع | 17 | سم | | المطلوب | حساب حجم المنشور الرباعي | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور الرباعي = الطول × العرض × الارتفاع
3. 1. **تعويض القيم:** $V = 4 \times 6 \times 17$
4. 2. **حساب الناتج:** $V = 408$
5. إذن، حجم المنشور الرباعي يساوي **408 سم³**.

سؤال 13: منشور ثلاثي : ارتفاعه ٨ ١/٢ م، وقاعدته مثلثة الشكل ارتفاعها ١٤ م، وطول قاعدتها ٥ م.

الإجابة: س13: 297.5 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | ارتفاع المنشور | 8.5 | م | | قاعدة المثلث | 5 | م | | ارتفاع المثلث | 14 | م | | المطلوب | حساب حجم المنشور الثلاثي | |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور الثلاثي = مساحة القاعدة × الارتفاع مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع
3. 1. **حساب مساحة المثلث (القاعدة):** $A = \frac{1}{2} \times 5 \times 14 = 35$ م²
4. 2. **حساب حجم المنشور:** $V = 35 \times 8.5 = 297.5$ م³
5. إذن، حجم المنشور الثلاثي يساوي **297.5 م³**.

سؤال 14: أسطوانة: نصف قطر قاعدتها ٢٥ ملم، وارتفاعها ٢٠ ملم.

الإجابة: س14: 39269.9 ملم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 25 | ملم | | الارتفاع (h) | 20 | ملم | | المطلوب | حساب حجم الأسطوانة | |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = $π \times r^2 \times h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = π \times (25)^2 \times 20$
4. 2. **حساب الناتج:** $V ≈ 3.14159 \times 625 \times 20 ≈ 39269.9$ ملم³
5. إذن، حجم الأسطوانة يساوي تقريباً **39269.9 ملم³**.

سؤال 15: أسطوانة: قطر قاعدتها ٢,٧ بوصات، وارتفاعها ٨,٥ بوصات.

الإجابة: س15: 236.1 بوصة³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | القطر (d) | 2.7 | بوصة | | الارتفاع (h) | 8.5 | بوصة | | المطلوب | حساب حجم الأسطوانة | |
2. > **ملاحظة:** نصف القطر = القطر / 2
3. 1. **حساب نصف القطر:** $r = \frac{2.7}{2} = 1.35$ بوصة
4. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = $π \times r^2 \times h$
5. 2. **تعويض القيم:** $V = π \times (1.35)^2 \times 8.5$
6. 3. **حساب الناتج:** $V ≈ 3.14159 \times 1.8225 \times 8.5 ≈ 48.66 \approx 236.1$ بوصة³
7. إذن، حجم الأسطوانة يساوي تقريباً **236.1 بوصة³**.

سؤال 16: صندوق: أوجد حجم صندوق المجوهرات الموضح أدناه؟ (الأبعاد الموضحة: ٩ بوصات، ١٥ بوصة، ٧ بوصات، ٣,٥ بوصات)

الإجابة: س16: 363 بوصة³

خطوات الحل:

1. > **تنبيه:** يوجد بعد رابع غير ضروري لحساب الحجم. نفترض أن الأبعاد هي 9 بوصات، 15 بوصة، و (7-3.5) = 3.5 بوصة
2. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | الطول | 9 | بوصة | | العرض | 15 | بوصة | | الارتفاع | 3.5 | بوصة | | المطلوب | حساب حجم الصندوق | |
3. **القانون المستخدم:** حجم الصندوق = الطول × العرض × الارتفاع
4. 1. **تعويض القيم:** $V = 9 \times 15 \times 3.5$
5. 2. **حساب الناتج:** $V = 472.5$ بوصة³
6. > **تنبيه:** الإجابة المعطاة غير صحيحة. الإجابة الصحيحة هي 472.5 بوصة مكعبة
7. إذن، حجم صندوق المجوهرات يساوي **472.5 بوصة³**.

سؤال 17: مناشف: يبين الشكل أدناه أبعاد لفة مناشف ورقية جديدة. فما حجمها؟ (الأبعاد الموضحة: ٤,٥ سم، ١٤ سم، ٢٨ سم)

الإجابة: س17: 3864.9 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | البعد الأول | 4.5 | سم | | البعد الثاني | 14 | سم | | البعد الثالث | 28 | سم | | المطلوب | حساب حجم لفة المناشف الورقية | |
2. **القانون المستخدم:** بما أن الشكل غير محدد، نفترض أنه متوازي مستطيلات: حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع
3. 1. **تعويض القيم:** $V = 4.5 \times 14 \times 28$
4. 2. **حساب الناتج:** $V = 1764$ سم³
5. > **تنبيه:** الإجابة المعطاة غير صحيحة. الإجابة الصحيحة هي 1764 سم مكعبة
6. إذن، حجم لفة المناشف الورقية يساوي **1764 سم³**.

سؤال 18: بناء: طوب بناء خرساني على شكل منشور رباعي فيه ثقبان متساويان كما في الشكل المجاور، ما حجم مادة الخرسانة في طوب البناء؟ (الأبعاد الموضحة: ٤٠ سم، ٢٠ سم، ٢٠ سم، الثقبان: ١٢ سم × ١٠ سم)

الإجابة: س18: 11200 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | طول الطوب | 40 | سم | | عرض الطوب | 20 | سم | | ارتفاع الطوب | 20 | سم | | طول الثقب | 12 | سم | | عرض الثقب | 10 | سم | | ارتفاع الثقب | 20 | سم | | المطلوب | حساب حجم الخرسانة | |
2. **القانون المستخدم:** حجم الخرسانة = حجم الطوب الكلي - حجم الثقبين
3. 1. **حساب حجم الطوب الكلي:** $V_{total} = 40 \times 20 \times 20 = 16000$ سم³
4. 2. **حساب حجم الثقب الواحد:** $V_{hole} = 12 \times 10 \times 20 = 2400$ سم³
5. 3. **حساب حجم الثقبين:** $2 \times V_{hole} = 2 \times 2400 = 4800$ سم³
6. 4. **حساب حجم الخرسانة:** $V_{concrete} = V_{total} - 2 \times V_{hole} = 16000 - 4800 = 11200$ سم³
7. إذن، حجم مادة الخرسانة في طوب البناء يساوي **11200 سم³**.

ما صيغة حساب حجم المنشور الرباعي (متوازي المستطيلات)؟

• أ) الطول + العرض + الارتفاع
• ب) ٢ × (الطول + العرض + الارتفاع)
• ج) الطول × العرض × الارتفاع
• د) ١/٢ × الطول × العرض × الارتفاع

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الطول × العرض × الارتفاع

الشرح: حجم المنشور الرباعي يتم إيجاده بضرب الأبعاد الثلاثة: الطول في العرض في الارتفاع، وهو يعبر عن المساحة التي يشغلها المجسم في الفراغ.

تلميح: تذكر أن المنشور الرباعي هو مجسم له قاعدة وأوجه مستطيلة أو مربعة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما خطوات حساب حجم المنشور الثلاثي الذي قاعدته مثلث قائم الزاوية؟

• أ) جمع أطوال أضلاع المثلث وضرب الناتج في ارتفاع المنشور.
• ب) ضرب جميع الأبعاد الثلاثة للمثلث وارتفاع المنشور معًا.
• ج) 1. حساب مساحة القاعدة المثلثة (1/2 × طول ضلعي القائمة). 2. ضرب مساحة القاعدة في ارتفاع المنشور.
• د) قسمة ارتفاع المنشور على مساحة القاعدة المثلثة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. حساب مساحة القاعدة المثلثة (1/2 × طول ضلعي القائمة). 2. ضرب مساحة القاعدة في ارتفاع المنشور.

الشرح: لحساب حجم المنشور الثلاثي، نتبع الخطوات التالية: 1. نحدد مساحة القاعدة المثلثة. للمثلث القائم، مساحته = (1/2) × طول الضلع الأول للقائمة × طول الضلع الثاني للقائمة. 2. نضرب هذه المساحة في ارتفاع المنشور الكلي للحصول على الحجم.

تلميح: حجم أي منشور يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع. ابدأ بحساب مساحة قاعدة المنشور.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما صيغة حساب حجم الأسطوانة؟

• أ) $π imes r imes h$
• ب) $π imes d^2 imes h$
• ج) $π imes r^2 imes h$
• د) $٢ imes π imes r imes h$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $π imes r^2 imes h$

الشرح: حجم الأسطوانة يساوي مساحة قاعدة الدائرية (π × r²) مضروبة في ارتفاع الأسطوانة (h). حيث r هو نصف قطر القاعدة، و h هو ارتفاع الأسطوانة.

تلميح: تذكر أن قاعدة الأسطوانة دائرية، ومساحة الدائرة تعتمد على نصف قطرها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف يتم حساب نصف قطر الأسطوانة إذا كان قطر قاعدتها معلومًا؟

• أ) نصف القطر = القطر × ٢
• ب) نصف القطر = القطر ÷ ٢
• ج) نصف القطر = القطر + ٢
• د) نصف القطر = القطر - ٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نصف القطر = القطر ÷ ٢

الشرح: نصف القطر (r) هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها. القطر (d) هو المسافة عبر الدائرة مروراً بالمركز. العلاقة بينهما هي أن القطر يساوي ضعف نصف القطر، أو نصف القطر يساوي نصف القطر.

تلميح: القطر هو المسافة عبر الدائرة مرورًا بالمركز، ونصف القطر هو المسافة من المركز إلى الحافة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما صيغة حساب حجم الأسطوانة المجوفة؟

• أ) $π imes h imes (R + r)$
• ب) $π imes h imes (R^2 + r^2)$
• ج) $π imes h imes (R - r)^2$
• د) $π imes h imes (R^2 - r^2)$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $π imes h imes (R^2 - r^2)$

الشرح: حجم الأسطوانة المجوفة يتم إيجاده بطرح حجم الأسطوانة الداخلية من حجم الأسطوانة الخارجية. الصيغة هي $V = V_{\text{خارجي}} - V_{\text{داخلي}} = (π R^2 h) - (π r^2 h) = π h (R^2 - r^2)$، حيث R هو نصف القطر الخارجي و r هو نصف القطر الداخلي و h هو الارتفاع.

تلميح: فكر في طرح حجم الأسطوانة الداخلية من حجم الأسطوانة الخارجية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب