تجارة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 19: أوجد ارتفاع منشور رباعي طوله ٦,٨ م، وعرضه ١,٥ م، وحجمه ٩١,٨ م٣.

الإجابة: h = 91.8 / (6.8 × 1.5) = 9 م

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | طول المنشور | l | 6.8 | م | | عرض المنشور | w | 1.5 | م | | حجم المنشور | V | 91.8 | م³ | | **المطلوب** | الارتفاع | h | م |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة × الارتفاع. حيث القاعدة مستطيلة: مساحتها = الطول × العرض. إذن: $V = l \times w \times h$
3. من القانون نستنتج قانوناً لحساب الارتفاع: $h = \frac{V}{l \times w}$.
4. نعوّض المعطيات في القانون: $h = \frac{91.8}{6.8 \times 1.5}$.
5. نحسب المقام أولاً: $6.8 \times 1.5 = 10.2$.
6. ثم نقسم: $h = \frac{91.8}{10.2} = 9$.
7. **الإجابة النهائية:** ارتفاع المنشور الرباعي هو **9 أمتار**.

سؤال 20: أوجد ارتفاع أسطوانة طول نصف قطرها ٤ سم، وحجمها ٣٠١,٦ سم٣.

الإجابة: h = 301.6 / (3.14 × 4²) ≈ 6 سم

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | نصف قطر الأسطوانة | r | 4 | سم | | حجم الأسطوانة | V | 301.6 | سم³ | | ثابت الباي (π) | π | 3.14 | - | | **المطلوب** | الارتفاع | h | سم |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة الدائرية × الارتفاع. $V = \pi r^2 h$
3. من القانون نستنتج: $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
4. نعوّض المعطيات: $h = \frac{301.6}{3.14 \times (4)^2}$.
5. نحسب المقام: 1. $4^2 = 16$. 2. $3.14 \times 16 = 50.24$.
6. نحسب الارتفاع: $h = \frac{301.6}{50.24} = 6$ (حيث 50.24 × 6 = 301.44، والفرق 0.16 بسبب التقريب).
7. **الإجابة النهائية:** ارتفاع الأسطوانة يساوي تقريباً **6 سنتيمترات**.

سؤال 21: تجارة: اشترى تاجر كمية من السمسم حجمها ٢٥٠٠ بوصة مكعبة، ثم وزعها في علب أبعادها ٢ × ٦ × ٨ بوصات، فإذا باع ٢٠ علبة منها، فكم يبقى من كمية السمسم؟

الإجابة: حجم العلبة = 96، المباع = 1920، المتبقي = 2500 - 1920 = 580 بوصة³

خطوات الحل:

1. | الوصف | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | الحجم الكلي للسمسم | 2500 | بوصة³ | | أبعاد العلبة (ط × ع × ا) | 2 × 6 × 8 | بوصة | | عدد العلب المباعة | 20 | علبة | | **المطلوب** | حجم السمسم المتبقي | بوصة³ |
2. **القانون المستخدم:** حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
3. **الخطوة 1: حساب حجم علبة واحدة.** حجم العلبة = $2 \times 6 \times 8 = 96$ بوصة³.
4. **الخطوة 2: حساب الحجم الكلي للسمسم الذي تم بيعه.** الحجم المباع = حجم العلبة × عدد العلب = $96 \times 20 = 1920$ بوصة³.
5. **الخطوة 3: حساب الحجم المتبقي.** الحجم المتبقي = الحجم الكلي - الحجم المباع = $2500 - 1920 = 580$ بوصة³.
6. **الإجابة النهائية:** يتبقى من كمية السمسم **580 بوصة مكعبة**.

سؤال 22: تغليف: يبين الشكل المجاور علبة كرتونية، إذا قررت الشركة المصنعة استعمال تصميم جديد للعلبة بالحجم والارتفاع نفسه، ولكن بشكل أسطواني، فما طول قطر قاعدة الشكل الجديد الذي يمكن استعماله؟

الإجابة: حجم العلبة = 216، h = 9، القاعدة = 24، r = √(24/π) ≈ 2.76، القطر ≈ 5.5 بوصة

خطوات الحل:

1. > **ملاحظة:** السؤال يشير إلى شكل غير موجود هنا، ولكن الإجابة المعطاة توفر القيم. نفترض أن العلبة الأصلية هي منشور رباعي أبعاده: الطول 6 بوصات، العرض 4 بوصات، الارتفاع 9 بوصات.
2. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | حجم العلبة (الأصلية والجديدة) | V | 216 | بوصة³ | | ارتفاع العلبة (ثابت) | h | 9 | بوصة | | مساحة قاعدة المنشور الأصلي | A_base | 24 | بوصة² | | ثابت الباي (π) | π | 3.14 | - | | **المطلوب** | قطر القاعدة الأسطوانية | d | بوصة |
3. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع. $V = \pi r^2 h$ حيث $r$ هو نصف القطر، والقطر $d = 2r$.
4. **الخطوة 1: إيجاد نصف قطر قاعدة الأسطوانة.** من القانون: $r^2 = \frac{V}{\pi h}$. نعوض: $r^2 = \frac{216}{3.14 \times 9} = \frac{216}{28.26} \approx 7.64$.
5. **الخطوة 2: حساب نصف القطر.** $r = \sqrt{7.64} \approx 2.76$ بوصة.
6. **الخطوة 3: حساب القطر.** $d = 2 \times r \approx 2 \times 2.76 = 5.52$ بوصة.
7. > **تقريب:** لأقرب جزء من عشرة، يصبح القطر حوالي 5.5 بوصة.
8. **الإجابة النهائية:** طول قطر قاعدة الشكل الأسطواني الجديد الذي يمكن استعماله هو **5.5 بوصة تقريباً**.

سؤال 23: برك: قرر أحمد حفر بركة سباحة لأطفاله بطول ٢٠ قدمًا، وعرض ١١ قدمًا، وعمق ٢,٥ قدم، وسينقل التراب الناتج عن الحفر بعربة تتسع لـ ٩ أقدام مكعبة من التراب، فكم مرة تستعمل العربة لنقل التراب من الموقع؟

الإجابة: حجم الحفر = 550 قدم³، عدد النقلات = 550 / 9 ≈ 62 مرة

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | طول البركة | l | 20 | قدم | | عرض البركة | w | 11 | قدم | | عمق البركة | h | 2.5 | قدم | | سعة العربة | V_truck | 9 | قدم³ | | **المطلوب** | عدد مرات استعمال العربة | n | مرة |
2. **القانون المستخدم:** حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع. عدد الرحلات = (حجم التراب) ÷ (سعة العربة)، مع **التقريب لأعلى عدد صحيح** لأنه لا يمكن نقل جزء من رحلة.
3. **الخطوة 1: حساب حجم التراب الذي سيتم إزالته (حجم البركة).** $V_{pool} = l \times w \times h = 20 \times 11 \times 2.5$. $20 \times 11 = 220$، ثم $220 \times 2.5 = 550$ قدم³.
4. **الخطوة 2: حساب عدد الرحلات المطلوبة نظرياً.** $n = \frac{550}{9} \approx 61.111...$
5. > بما أن العربة لا يمكنها نقل كسر من الرحلة، فإننا نحتاج إلى **62 رحلة** كاملة (حتى لو كانت الأخيرة غير ممتلئة بالكامل).
6. **الإجابة النهائية:** عدد المرات التي يجب استعمال العربة فيها لنقل التراب هو **62 مرة**.

سؤال 24: حدائق: يعمل إبراهيم حوضًا لزراعة الخضراوات بالقياسات المبينة. واستعمل لذلك أكياس تراب سعة الواحد منها ٠,٥ ياردة مكعبة، فكم كيسًا يحتاجها لملء الحوض؟ (إرشاد: ١ ياردة مكعبة = ٣×٣×٣ = ٢٧ قدمًا مكعبة)

الإجابة: حجم الحوض = 80، سعة الكيس = 13.5 قدم³، عدد الأكياس = 80 / 13.5 ≈ 6 أكياس

خطوات الحل:

1. > **ملاحظة:** السؤال يشير إلى قياسات مبينة في شكل غير موجود. الإجابة المعطاة تفترض أن حجم الحوض 80 قدم³. سنبني الحل على ذلك.
2. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |----------|--------|--------| | حجم الحوض | 80 | قدم³ | | سعة كيس التراب الواحد | 0.5 | ياردة³ | | التحويل (1 ياردة مكعبة) | 27 | قدم³ | | **المطلوب** | عدد الأكياس المطلوبة | كيس |
3. **الخطوة 1: تحويل سعة الكيس من ياردة مكعبة إلى قدم مكعب.** سعة الكيس بالقدم المكعب = $0.5 \times 27 = 13.5$ قدم³.
4. **الخطوة 2: حساب عدد الأكياس المطلوبة نظرياً.** العدد = $\frac{\text{حجم الحوض}}{\text{سعة الكيس}} = \frac{80}{13.5} \approx 5.925$.
5. > **تفسير:** النتيجة 5.925 تعني أننا نحتاج إلى 5 أكياس كاملة و جزء من الكيس السادس. لذلك، يجب **شراء 6 أكياس** لضمان وجود تراب كافٍ لملء الحوض بالكامل.
6. **الإجابة النهائية:** يحتاج إبراهيم إلى **6 أكياس** من التراب لملء الحوض.

سؤال 25: هندسة: اشرح كيف يمكنك إيجاد حجم المنشور السداسي المجاور، ثم أوجد حجمه.

الإجابة: مساحة القاعدة = (4 × 16/2) × 2 = 64 م²، حجم المنشور = 64 × 7 = 448 م³

خطوات الحل:

1. > **شرح:** لحساب حجم أي منشور (بما في ذلك السداسي)، نتبع الخطوات: > 1. إيجاد **مساحة القاعدة**. > 2. ضرب مساحة القاعدة في **ارتفاع المنشور**. > الصيغة العامة: $V = A_{base} \times h$.
2. | المعطيات (المستنتجة من الإجابة) | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------------------------------|-------|--------|--------| | ارتفاع المنشور | h | 7 | م | | جزء من أبعاد القاعدة (مثلث) | - | 4 م، 8 م | - | | مساحة القاعدة | A_base | 64 | م² | | **المطلوب** | حجم المنشور | V | م³ |
3. **الخطوة 1: حساب مساحة القاعدة السداسية.** وفق الإجابة، يمكن تقسيم القاعدة السداسية إلى أشكال أبسط (مثل مستطيل ومثلثات). الحساب المعطى: $(4 \times \frac{16}{2}) \times 2$. - $\frac{16}{2} = 8$. - $4 \times 8 = 32$ (مساحة جزء من القاعدة). - $32 \times 2 = 64$ م² (مساحة القاعدة الكلية).
4. **الخطوة 2: حساب حجم المنشور.** $V = A_{base} \times h = 64 \times 7 = 448$ م³.
5. **الإجابة النهائية:** حجم المنشور السداسي الموضح هو **448 متراً مكعباً**.

سؤال 26: افترض أن لديك بطاقة ملاحظات مستطيلة الشكل بعداها ٢١ سم × ٧ سم، إذا دوّرت البطاقة حول ضلعها الأطول، ثم حول ضلعها الأقصر كما في الشكل أدناه، فكوّنت أسطوانتين مختلفتين. أيّ الأسطوانتين حجمها أكبر؟ فسّر إجابتك.

الإجابة: الأسطوانة حول الضلع الأقصر (7) أكبر حجماً لأن نصف قطرها أكبر (r=21) والحجم يعتمد على r²

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | أبعاد البطاقة المستطيلة | 21 سم × 7 سم | | **المطلوب** | مقارنة حجمي الأسطوانتين الناتجتين عن الدوران حول كل من الضلع الأطول والضلع الأقصر. |
2. **مبدأ الحل:** عند تدوير مستطيل حول أحد أضلاعه، يتولد أسطوانة قائمة. - **الضلع الثابت (محور الدوران)** يصبح **ارتفاع الأسطوانة**. - **الضلع المجاور** له يصبح **محيط قاعدة الأسطوانة** (لأنه يدور ليشكل الدائرة). قانون محيط الدائرة: $C = 2\pi r$، حيث $C$ هو طول الضلع المجاور. قانون حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$.
3. **الحالة الأولى: الدوران حول الضلع الأطول (21 سم).** 1. الارتفاع $h_1 = 7$ سم (الضلع الأقصر يصبح الارتفاع). 2. محيط القاعدة $C_1 = 21$ سم (الضلع الأطول يصبح محيط الدائرة). 3. نجد نصف القطر: $2\pi r_1 = 21$ ⇒ $r_1 = \frac{21}{2\pi}$. 4. الحجم: $V_1 = \pi (r_1)^2 h_1 = \pi \left(\frac{21}{2\pi}\right)^2 \times 7$.
4. **الحالة الثانية: الدوران حول الضلع الأقصر (7 سم).** 1. الارتفاع $h_2 = 21$ سم (الضلع الأطول يصبح الارتفاع). 2. محيط القاعدة $C_2 = 7$ سم (الضلع الأقصر يصبح محيط الدائرة). 3. نجد نصف القطر: $2\pi r_2 = 7$ ⇒ $r_2 = \frac{7}{2\pi}$. 4. الحجم: $V_2 = \pi (r_2)^2 h_2 = \pi \left(\frac{7}{2\pi}\right)^2 \times 21$.
5. **الخطوة 3: المقارنة بين الحجمين دون حساب π.** - $V_1 = \pi \times \frac{441}{4\pi^2} \times 7 = \frac{3087}{4\pi}$. - $V_2 = \pi \times \frac{49}{4\pi^2} \times 21 = \frac{1029}{4\pi}$. بما أن البسط في $V_1$ (3087) أكبر من البسط في $V_2$ (1029)، والمقام متساوي ($4\pi$)، فإن $V_1 > V_2$.
6. > **استنتاج:** الأسطوانة الناتجة عن الدوران حول **الضلع الأطول (21 سم)** لها حجم أكبر، على الرغم من أن ارتفاعها أصغر، لأن نصف قطر قاعدتها أكبر بكثير (مربع نصف القطر له تأثير أكبر على الحجم).
7. **الإجابة النهائية:** حجم الأسطوانة المتكونة من دوران البطاقة حول **ضلعها الأطول (21 سم) أكبر** من حجم الأسطوانة المتكونة من الدوران حول الضلع الأقصر.

ما هي الصيغة الصحيحة لإيجاد ارتفاع منشور رباعي إذا علم حجمه وطول قاعدته وعرضها؟

• أ) $h = V \times l \times w$
• ب) $h = V - (l + w)$
• ج) $h = \frac{V}{l \times w}$
• د) $h = \frac{l \times w}{V}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $h = \frac{V}{l \times w}$

الشرح: 1. قانون حجم المنشور الرباعي هو $V = l \times w \times h$. 2. لإيجاد الارتفاع (h)، نقسم الحجم (V) على حاصل ضرب الطول (l) والعرض (w). 3. الصيغة الناتجة هي $h = V / (l \times w)$.

تلميح: تذكر أن حجم المنشور الرباعي هو ناتج ضرب أبعاده الثلاثة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة الصحيحة لحساب ارتفاع أسطوانة إذا علم حجمها ونصف قطر قاعدتها؟

• أ) $h = \frac{V}{\pi r^2}$
• ب) $h = V \times \pi r^2$
• ج) $h = V - \pi r^2$
• د) $h = \frac{\pi r^2}{V}$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $h = \frac{V}{\pi r^2}$

الشرح: 1. قانون حجم الأسطوانة هو $V = \pi r^2 h$. 2. لإيجاد الارتفاع (h)، نقسم الحجم (V) على حاصل ضرب ثابت باي (π) ومربع نصف القطر ($r^2$). 3. الصيغة الناتجة هي $h = V / (\pi r^2)$.

تلميح: تذكر أن حجم الأسطوانة هو مساحة القاعدة الدائرية مضروبة في الارتفاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند حساب عدد مرات استخدام أداة (كعربة نقل) لإنجاز مهمة، وكانت النتيجة عددًا كسريًا (مثلاً 61.11)، فكيف يجب تقريب عدد المرات اللازمة؟

• أ) يجب إهمال الجزء الكسري وأخذ العدد الصحيح فقط.
• ب) يجب التقريب إلى أقرب عدد صحيح أكبر (للأعلى) لضمان إنجاز المهمة بالكامل.
• ج) يجب التقريب إلى أقرب عدد صحيح (للأعلى أو للأسفل حسب الكسر).
• د) لا يمكن استخدام أعداد كسرية، لذا يجب إعادة الحساب.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب التقريب إلى أقرب عدد صحيح أكبر (للأعلى) لضمان إنجاز المهمة بالكامل.

الشرح: 1. في المسائل العملية التي تتطلب عددًا صحيحًا من الاستخدامات (مثل عدد الرحلات)، لا يمكن إنجاز جزء من الاستخدام. 2. إذا كان هناك جزء متبقي يتطلب استخدامًا إضافيًا (حتى لو لم يكن كاملاً)، فيجب إضافة استخدام كامل. 3. لذلك، يتم التقريب دائمًا للأعلى لضمان كفاية الوسيلة لإنجاز المهمة.

تلميح: فكر في المعنى العملي للعدد الكسري في هذا السياق، هل يمكنك نقل جزء من حمولة؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

كم قدم مكعبة (قدم³) تعادل 1 ياردة مكعبة (ياردة³)؟

• أ) 3 أقدام مكعبة
• ب) 9 أقدام مكعبة
• ج) 18 قدم مكعبة
• د) 27 قدم مكعبة

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 27 قدم مكعبة

الشرح: 1. بما أن 1 ياردة تساوي 3 أقدام. 2. فإن 1 ياردة مكعبة تعني $1 \text{ ياردة} \times 1 \text{ ياردة} \times 1 \text{ ياردة}$. 3. بتحويل كل ياردة إلى أقدام: $3 \text{ قدم} \times 3 \text{ قدم} \times 3 \text{ قدم} = 27 \text{ قدم}^3$.

تلميح: تذكر العلاقة بين الياردة والقدم في الأبعاد الخطية.

التصنيف: رقم/تاريخ | المستوى: سهل