مسألة مفتوحة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 27: تحد: للأسئلة (٢٧-٣٠) صف كيف يتأثر حجم كل مجسم مما يأتي بعد إجراء التغيير المذكور في أبعاده. مضاعفة أحد أبعاد المنشور المستطيلي.

الإجابة: يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |-----------|----------| | مضاعفة أحد أبعاد المنشور المستطيلي (مثل الطول، أو العرض، أو الارتفاع). | وصف تأثير ذلك على حجم المنشور. |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور المستطيلي يُعطى بالصيغة: $V = l \times w \times h$، حيث: - $l$: الطول - $w$: العرض - $h$: الارتفاع
3. لنفترض أن الأبعاد الأصلية للمنشور هي: - الطول $l$ - العرض $w$ - الارتفاع $h$ حجمه الأصلي: $V_{\text{أصلي}} = l \times w \times h$.
4. **خطوة المضاعفة:** إذا تضاعف أحد الأبعاد، مثلاً الطول $l$، يصبح الطول الجديد $2l$، بينما يبقى العرض $w$ والارتفاع $h$ دون تغيير.
5. **حساب الحجم الجديد:** $V_{\text{جديد}} = (2l) \times w \times h = 2 \times (l \times w \times h) = 2 \times V_{\text{أصلي}}$.
6. > **ملاحظة:** نفس النتيجة تنطبق إذا تضاعف العرض $w$ فقط أو الارتفاع $h$ فقط.
7. **الاستنتاج:** مضاعفة بُعد واحد فقط تؤدي إلى مضاعفة الحجم مرتين (أي يصبح الحجم **ضعف** الحجم الأصلي).

سؤال 28: مضاعفة بُعدين من أبعاد المنشور المستطيلي.

الإجابة: يصبح الحجم 4 أضعاف (يزداد إلى 4 مرات).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |-----------|----------| | مضاعفة بُعدين من أبعاد المنشور المستطيلي (مثل الطول والعرض، أو الطول والارتفاع، أو العرض والارتفاع). | وصف تأثير ذلك على حجم المنشور. |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور المستطيلي: $V = l \times w \times h$.
3. لنفترض الأبعاد الأصلية: $l$، $w$، $h$. الحجم الأصلي: $V_{\text{أصلي}} = l \times w \times h$.
4. **خطوة المضاعفة:** إذا تضاعف البُعدين، مثلاً **الطول $l$ والعرض $w$**، يصبحان: - الطول الجديد: $2l$ - العرض الجديد: $2w$ بينما يبقى الارتفاع $h$ دون تغيير.
5. **حساب الحجم الجديد:** $V_{\text{جديد}} = (2l) \times (2w) \times h = (2 \times 2) \times (l \times w \times h) = 4 \times V_{\text{أصلي}}$.
6. > **ملاحظة:** نفس النتيجة تنطبق لأي زوج من الأبعاد يتم مضاعفته.
7. **الاستنتاج:** مضاعفة بعدين معًا تؤدي إلى زيادة الحجم إلى **أربعة أضعاف** الحجم الأصلي.

سؤال 29: مضاعفة جميع أبعاد المنشور المستطيلي.

الإجابة: يصبح الحجم 8 أضعاف (يزداد إلى 8 مرات).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |-----------|----------| | مضاعفة **جميع** أبعاد المنشور المستطيلي (الطول والعرض والارتفاع). | وصف تأثير ذلك على حجم المنشور. |
2. **القانون المستخدم:** حجم المنشور المستطيلي: $V = l \times w \times h$.
3. لنفترض الأبعاد الأصلية: $l$، $w$، $h$. الحجم الأصلي: $V_{\text{أصلي}} = l \times w \times h$.
4. **خطوة المضاعفة:** إذا تضاعفت جميع الأبعاد: - الطول الجديد: $2l$ - العرض الجديد: $2w$ - الارتفاع الجديد: $2h$.
5. **حساب الحجم الجديد:** $V_{\text{جديد}} = (2l) \times (2w) \times (2h) = (2 \times 2 \times 2) \times (l \times w \times h) = 8 \times V_{\text{أصلي}}$.
6. > **ملاحظة:** المضاعفة الكلية تعني ضرب الحجم في $2 \times 2 \times 2 = 8$.
7. **الاستنتاج:** مضاعفة الأبعاد الثلاثة يؤدي إلى زيادة الحجم إلى **ثمانية أضعاف** الحجم الأصلي.

سؤال 30: مضاعفة نصف قطر قاعدة الأسطوانة.

الإجابة: يصبح الحجم 4 أضعاف؛ لأن V = πr²h فإذا تضاعف r تضاعف r² أربع مرات.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |-----------|----------| | مضاعفة نصف قطر قاعدة الأسطوانة ($r$). | وصف تأثير ذلك على حجم الأسطوانة. |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$، حيث: - $r$: نصف قطر القاعدة الدائرية - $h$: ارتفاع الأسطوانة - $\pi$: ثابت رياضي.
3. لنفترض أن الأسطوانة الأصلية: - نصف القطر الأصلي: $r$ - الارتفاع: $h$ حجمها الأصلي: $V_{\text{أصلي}} = \pi r^2 h$.
4. **خطوة المضاعفة:** نصف القطر الجديد بعد المضاعفة: $2r$، بينما الارتفاع $h$ يبقى ثابتًا.
5. **حساب الحجم الجديد:** $V_{\text{جديد}} = \pi (2r)^2 h = \pi \times (4r^2) \times h = 4 \times (\pi r^2 h) = 4 \times V_{\text{أصلي}}$.
6. > **تفسير:** عند تضاعف نصف القطر $r$، يزداد $r^2$ (المربع) إلى **أربعة أضعاف** لأن $(2r)^2 = 4r^2$.
7. **الاستنتاج:** مضاعفة نصف قطر قاعدة الأسطوانة يؤدي إلى زيادة حجمها إلى **أربعة أضعاف** الحجم الأصلي.

سؤال 31: مسألة مفتوحة: اختر مجسمًا أسطوانيًا، ثم أوجد حجمه، وتحقق من استعمال وحدات مناسبة، وفسّر إجابتك.

الإجابة: مثال: علبة أسطوانية r = 3 سم، h = 10 سم. حجمها: V = 90π ≈ 283 سم³.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات واختيار مثال.** لنأخذ مثالًا على مجسم أسطواني: **علبة أسطوانية** (مثل علبة مشروب). | الكمية | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | نصف قطر القاعدة ($r$) | 3 | سم | | الارتفاع ($h$) | 10 | سم |
2. **الخطوة 2: كتابة القانون المستخدم.** قانون حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$.
3. **الخطوة 3: التعويض في القانون.** $V = \pi \times (3 \text{ سم})^2 \times 10 \text{ سم}$ $V = \pi \times 9 \text{ سم}^2 \times 10 \text{ سم}$ $V = \pi \times 90 \text{ سم}^3$
4. **الخطوة 4: حساب القيمة التقريبية.** باستخدام $\pi \approx 3.14$: $V \approx 3.14 \times 90 = 282.6 \text{ سم}^3$ نقرب إلى أقرب عدد صحيح: $\approx 283 \text{ سم}^3$.
5. **الخطوة 5: التحقق من الوحدات.** - الأبعاد معطاة بالسنتيمتر (سم). - نصف القطر والارتفاع عند ضربهما (سم × سم × سم) تعطي وحدة **السنتيمتر المكعب** (سم³)، وهي وحدة مناسبة لقياس الحجم. > **تفسير:** الحجم الناتج (283 سم³) يمثل السعة التقريبية للعلبة الأسطوانية، أي كمية المادة (سواء سائل أو هواء) التي يمكنها احتواؤها.

سؤال 32: اكتشف الخطأ: أوجد كل من زيد ولؤي حجم المنشور المجاور، فأيهما توصل للجواب الصحيح؟

الإجابة: الصحيح لؤي. قاعدة المنشور مثلث مساحته 15، فالحجم 15 × 9 = 135. أما زيد فأخطأ واعتبر القاعدة مستطيلاً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من نص الإجابة.** | الكمية | القيمة | الملاحظة | |--------|--------|----------| | شكل قاعدة المنشور | مثلث | (هذا هو المفتاح) | | مساحة القاعدة ($B$) | 15 وحدة مربعة | (معطاة أو محسوبة من الرسم) | | ارتفاع المنشور ($h$) | 9 وحدات | |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم.** حجم **أي** منشور (بغض النظر عن شكل قاعدته) = مساحة القاعدة $\times$ الارتفاع. $V = B \times h$.
3. **الخطوة 3: تحليل حل لؤي (الصحيح).** - لؤي تعرف على أن القاعدة **مثلث**. - استخدم المساحة المعطاة للقاعدة ($B = 15$). - طبق القانون: $V = 15 \times 9 = 135$ وحدة مكعبة.
4. **الخطوة 4: تحليل خطأ زيد.** - زيد افترض خطأً أن القاعدة **مستطيل**. - إذا كانت القاعدة مستطيلاً، فمساحتها تُحسب بـ (الطول × العرض). لكن المساحة الفعلية للمثلث هي 15. - استخدام افتراض خاطئ للقاعدة يؤدي إلى استخدام أبعاد خاطئة، وبالتالي حساب حجم غير صحيح.
5. **الخطوة 5: الاستنتاج النهائي.** الحل الصحيح هو حل **لؤي**، وحجم المنشور هو **135 وحدة مكعبة**.

سؤال 33: اكتب صيغتين يمكنك استعمالهما لإيجاد حجم المنشور المستطيلي (متوازي المستطيلات)، واذكر الصيغة التي تفضلها، وبين سبب ذلك.

الإجابة: الصيغة 1: V = lwh. الصيغة 2: V = Bh. أفضل V = lwh لأنها مباشرة عند معرفة الأبعاد.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تعريف المنشور المستطيلي.** هو مجسم له 6 أوجه مستطيلة، وكل وجهين متقابلين متطابقين ومتوازيين. أبعاده الثلاثة: الطول ($l$)، العرض ($w$)، الارتفاع ($h$).
2. **الخطوة 2: كتابة الصيغة الأولى.** **الصيغة المباشرة:** $V = l \times w \times h$ حيث: - $l$: طول القاعدة. - $w$: عرض القاعدة. - $h$: ارتفاع المنشور. > هذه الصيغة تستخدم أبعاد المنشور الثلاثة مباشرة.
3. **الخطوة 3: كتابة الصيغة الثانية.** **الصيغة العامة للمنشور:** $V = B \times h$ حيث: - $B$: **مساحة القاعدة**. - $h$: ارتفاع المنشور. > للمنشور المستطيلي، قاعدة مستطيلة، لذا $B = l \times w$. عند التعويض، نعود للصيغة الأولى.
4. **الخطوة 4: مقارنة الصيغتين.** | الصيغة | متى نستخدمها؟ | المميزات | |--------|----------------|----------| | $V = lwh$ | عندما تكون الأبعاد الثلاثة ($l$, $w$, $h$) معلومة. | مباشرة، لا تحتاج لحساب مساحة القاعدة أولاً. | | $V = Bh$ | عندما تكون مساحة القاعدة ($B$) معلومة (أو يسهل حسابها) والارتفاع ($h$) معلوم. | عامة تنطبق على **جميع** المناشير (ليس المستطيلة فقط). |
5. **الخطوة 5: التفضيل والسبب.** **أفضل الصيغة $V = lwh$.** **السبب:** في أغلب المسائل العملية المتعلقة بالمنشور المستطيلي، تكون أبعاده (الطول، العرض، الارتفاع) هي المعطيات الأساسية. هذه الصيغة توفر خطوة حساب واحدة مباشرة دون الحاجة إلى حساب مساحة القاعدة بشكل منفصل، مما يجعلها **أسرع وأقل عرضة للخطأ**.

سؤال 34: أسطوانة طول قطرها ١٢ بوصة، وارتفاعها ٣٠ بوصة، قدّر حجم الأسطوانة بالأقدام المكعبة؟ (إرشاد: ١ قدم = ١٢ بوصة) أ) ١ قدم مكعبة، ب) ٢ قدم مكعبة، ج) ٣ قدم مكعبة، د) ٤ أقدام مكعبة.

الإجابة: r = 0.5 قدم، h = 2.5 قدم => V ≈ 2 قدم³. الجواب الصحيح: (ب) 2 قدم مكعبة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات.** | الكمية | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | القطر (d) | 12 | بوصة | | الارتفاع (h) | 30 | بوصة | | التحويل | 1 قدم = 12 بوصة | |
2. **الخطوة 2: تحويل جميع القياسات إلى أقدام.** - نصف القطر ($r$) = القطر ÷ 2 = 12 بوصة ÷ 2 = 6 بوصة. - تحويل نصف القطر: $r = \frac{6 \text{ بوصة}}{12 \text{ بوصة/قدم}} = 0.5$ قدم. - تحويل الارتفاع: $h = \frac{30 \text{ بوصة}}{12 \text{ بوصة/قدم}} = 2.5$ قدم.
3. **الخطوة 3: القانون المستخدم.** حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$.
4. **الخطوة 4: التعويض بالقيم بالأقدام.** $V = \pi \times (0.5 \text{ قدم})^2 \times (2.5 \text{ قدم})$ $V = \pi \times 0.25 \text{ قدم}^2 \times 2.5 \text{ قدم}$ $V = \pi \times 0.625 \text{ قدم}^3$.
5. **الخطوة 5: التقدير باستخدام $\pi \approx 3.14$.** $V \approx 3.14 \times 0.625 \text{ قدم}^3$ $V \approx 1.9625 \text{ قدم}^3$.
6. **الخطوة 6: تقريب الناتج واختيار الخيار المناسب.** الحجم المقدر $\approx 2$ قدم مكعبة. > **ملاحظة:** التقدير مطلوب في السؤال، والخيار الأقرب هو 2.
7. **الاستنتاج:** حجم الأسطوانة يُقدّر بحوالي **2 قدم مكعبة**، إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار **(ب)**.

سؤال 35: إجابة قصيرة: صندوق مصنوع من الكرتون أبعاده موضحة على الشكل أدناه. ما حجم الصندوق بالأقدام المكعبة؟

الإجابة: الأبعاد بالأقدام: 4، 1.25، 2. الحجم V = 4 × 1.25 × 2 = 10 قدم³.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص أبعاد الصندوق من الإجابة المعطاة.** الصندوق على شكل منشور مستطيلي (متوازي مستطيلات). | البعد | القيمة | الوحدة | |-------|--------|--------| | الطول (l) | 4 | قدم | | العرض (w) | 1.25 | قدم | | الارتفاع (h) | 2 | قدم |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم.** حجم المنشور المستطيلي: $V = l \times w \times h$.
3. **الخطوة 3: التعويض المباشر بالقيم.** $V = 4 \text{ قدم} \times 1.25 \text{ قدم} \times 2 \text{ قدم}$.
4. **الخطوة 4: إجراء عملية الضرب خطوة بخطوة.** 1. $4 \times 1.25 = 5.0$ 2. $5.0 \times 2 = 10.0$
5. **الخطوة 5: كتابة الإجابة مع الوحدة.** > **تذكر:** ضرب (قدم × قدم × قدم) يعطي القدم المكعب (قدم³).
6. **الاستنتاج:** حجم صندوق الكرتون هو **10 أقدام مكعبة**.

ما حجم أسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 10 سم؟ (استخدم \( \pi \approx 3.14 \) وقرّب لأقرب عدد صحيح).

• أ) 90 سم³
• ب) 28.3 سم³
• ج) 283 سم³
• د) 900 سم³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 283 سم³

الشرح: 1. قانون حجم الأسطوانة: V = πr²h. 2. بالتعويض: V = 3.14 × (3)² × 10. 3. V = 3.14 × 9 × 10 = 3.14 × 90 = 282.6. 4. بالتقريب لأقرب عدد صحيح، V ≈ 283 سم³.

تلميح: تذكر قانون حجم الأسطوانة (V = πr²h) والقيمة التقريبية لـ \( \pi \).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يتأثر حجم المنشور المستطيلي إذا تضاعف أحد أبعاده (الطول أو العرض أو الارتفاع) فقط؟

• أ) يصبح 4 أضعاف.
• ب) يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).
• ج) يصبح 8 أضعاف.
• د) لا يتغير الحجم.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).

الشرح: 1. القانون الأصلي للحجم: V = lwh. 2. إذا تضاعف أحد الأبعاد (مثلاً الطول 2l)، يصبح الحجم الجديد: V' = (2l)wh = 2(lwh). 3. أي أن الحجم الجديد = 2 × الحجم الأصلي.

تلميح: تذكر صيغة حجم المنشور المستطيلي وعلاقتها بأبعاده.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يتأثر حجم المنشور المستطيلي إذا تضاعف بُعدان من أبعاده (مثلاً الطول والعرض) فقط؟

• أ) يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).
• ب) يصبح 4 أضعاف (يزداد إلى 4 مرات).
• ج) يصبح 8 أضعاف.
• د) لا يتغير الحجم.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يصبح 4 أضعاف (يزداد إلى 4 مرات).

الشرح: 1. القانون الأصلي للحجم: V = lwh. 2. إذا تضاعف بعدان (مثلاً الطول 2l والعرض 2w)، يصبح الحجم الجديد: V' = (2l)(2w)h = 4(lwh). 3. أي أن الحجم الجديد = 4 × الحجم الأصلي.

تلميح: ركز على عدد الأبعاد التي تضاعفت وتأثيرها في صيغة الحجم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يتأثر حجم المنشور المستطيلي إذا تضاعفت جميع أبعاده (الطول والعرض والارتفاع)؟

• أ) يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).
• ب) يصبح 4 أضعاف.
• ج) يصبح 8 أضعاف (يزداد إلى 8 مرات).
• د) لا يتغير الحجم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يصبح 8 أضعاف (يزداد إلى 8 مرات).

الشرح: 1. القانون الأصلي للحجم: V = lwh. 2. إذا تضاعفت جميع الأبعاد (2l, 2w, 2h)، يصبح الحجم الجديد: V' = (2l)(2w)(2h) = 8(lwh). 3. أي أن الحجم الجديد = 8 × الحجم الأصلي.

تلميح: فكر في كل بُعد وكيف يساهم في مضاعفة الحجم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يتأثر حجم الأسطوانة إذا تضاعف نصف قطر قاعدتها فقط، مع بقاء الارتفاع ثابتاً؟

• أ) يتضاعف الحجم (يزداد إلى 2 مرة).
• ب) يصبح 4 أضعاف.
• ج) يصبح 8 أضعاف.
• د) لا يتغير الحجم.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يصبح 4 أضعاف.

الشرح: 1. قانون حجم الأسطوانة: V = πr²h. 2. إذا تضاعف نصف القطر (2r)، يصبح الحجم الجديد: V' = π(2r)²h = π(4r²)h = 4(πr²h). 3. أي أن الحجم الجديد = 4 × الحجم الأصلي.

تلميح: تذكر أن نصف القطر في صيغة حجم الأسطوانة مرفوع للقوة الثانية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من صيغ حجم المنشور المستطيلي (متوازي المستطيلات) تُفضل عند معرفة الأبعاد الثلاثة (الطول والعرض والارتفاع) مباشرةً، وما السبب؟

• أ) V = Bh، لأنها الصيغة العامة لجميع المناشير.
• ب) V = lwh، لأنها مباشرة ولا تحتاج لحساب مساحة القاعدة أولاً.
• ج) V = l + w + h، لأنها الأبسط حسابياً.
• د) V = 2(lw + lh + wh)، لأنها تمثل المساحة الكلية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الصيغة V = lwh، لأنها مباشرة ولا تحتاج لحساب مساحة القاعدة أولاً.

الشرح: الصيغة V = lwh تستخدم الطول والعرض والارتفاع مباشرة، مما يجعلها أسرع وأقل عرضة للخطأ عند معرفة الأبعاد الثلاثة. الصيغة V = Bh تتطلب خطوة إضافية لحساب مساحة القاعدة B.

تلميح: فكر في عدد الخطوات المطلوبة لكل صيغة عندما تكون الأبعاد الثلاثة متاحة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أسطوانة طول قطرها ١٢ بوصة، وارتفاعها ٣٠ بوصة. ما هو تقدير حجم الأسطوانة بالأقدام المكعبة؟ (علماً بأن ١ قدم = ١٢ بوصة)

• أ) 1 قدم مكعبة
• ب) 2 قدم مكعبة
• ج) 3 أقدام مكعبة
• د) 4 أقدام مكعبة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2 قدم مكعبة

الشرح: 1. القطر 12 بوصة = 1 قدم، إذن نصف القطر r = 0.5 قدم. 2. الارتفاع h = 30 بوصة = 2.5 قدم. 3. حجم الأسطوانة V = πr²h = π(0.5)²(2.5) = π(0.25)(2.5) = 0.625π 4. بتقريب π ≈ 3.14، يصبح V ≈ 1.9625 ≈ 2 قدم مكعبة.

تلميح: تذكر تحويل القطر إلى نصف قطر ثم تحويل جميع الأبعاد إلى الأقدام قبل تطبيق قانون الحجم، ثم استخدم التقدير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند استخدام صيغة حجم المنشور العام V = Bh، ما الذي تمثله B في سياق المنشور المستطيلي؟

• أ) مجموع أبعاد القاعدة الثلاثة.
• ب) طول القاعدة فقط.
• ج) مساحة قاعدة المنشور المستطيلي (الطول × العرض).
• د) المحيط الكلي لقاعدة المنشور.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: مساحة قاعدة المنشور المستطيلي (الطول × العرض).

الشرح: في الصيغة العامة لحجم أي منشور V = Bh، تمثل B مساحة قاعدة المنشور. للمنشور المستطيلي، قاعدته مستطيلة، وبالتالي فإن B تساوي حاصل ضرب طول القاعدة وعرضها (B = l × w).

تلميح: تذكر أن B في صيغة V = Bh تعني مساحة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كان الحجم الأصلي لمنشور مستطيلي هو $V_{\text{أصلي}}$، وتضاعف أحد أبعاده (الطول أو العرض أو الارتفاع) مع بقاء البعدين الآخرين ثابتين، فما هو التعبير الرياضي الذي يصف حجمه الجديد؟

• أ) $V_{\text{جديد}} = 4 \times V_{\text{أصلي}}$
• ب) $V_{\text{جديد}} = 2 \times V_{\text{أصلي}}$
• ج) $V_{\text{جديد}} = V_{\text{أصلي}} + 2$
• د) $V_{\text{جديد}} = V_{\text{أصلي}}$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $V_{\text{جديد}} = 2 \times V_{\text{أصلي}}$

الشرح: قانون حجم المنشور V = lwh. إذا تضاعف أحد الأبعاد (مثل الطول ليصبح 2l)، فإن الحجم الجديد يصبح $V_{\text{جديد}} = (2l)wh = 2(lwh) = 2 \times V_{\text{أصلي}}$.

تلميح: فكر في كيفية تأثير ضرب أحد العوامل في رقم على الناتج الكلي لعملية الضرب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند حساب حجم الأسطوانة ($V = \pi r^2 h$)، إذا تضاعف نصف قطر قاعدتها ($r$) فإنه يؤثر على الحجم بمضاعفته 4 مرات. فكم مرة يزداد حجم الأسطوانة إذا تضاعف ارتفاعها ($h$) فقط مع بقاء نصف القطر ثابتاً؟

• أ) 4 مرات
• ب) مرتين (يزداد إلى الضعف)
• ج) 8 مرات
• د) لا يتغير الحجم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مرتين (يزداد إلى الضعف)

الشرح: صيغة حجم الأسطوانة هي V = πr²h. إذا تضاعف الارتفاع h ليصبح 2h بينما بقي r ثابتاً، فإن الحجم الجديد يصبح $V_{\text{جديد}} = \pi r^2 (2h) = 2 (\pi r^2 h) = 2 \times V_{\text{أصلي}}$.

تلميح: انتبه إلى أن نصف القطر في القانون يكون مربعاً، بينما الارتفاع يكون خطياً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط