إرشادات للدراسة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حجم الهرم والمخروط

المفاهيم الأساسية

الهرم: شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة مضلعة وسطح جانبي من مثلثات تلتقي في رأس واحد.

المخروط: شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية، وسطح منحني يصل القاعدة بالرأس.

حجم المخروط: حجم المخروط (ح) الذي نصف قطر قاعدته (نق) يساوي ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة (م) في الارتفاع (ع).

خريطة المفاهيم

```markmap

حجم الهرم والمخروط

العلاقة بين الهرم والمنشور

نشاط استقصائي

#### صنع مكعب مفتوح

من 5 مربعات (طول ضلع 4 سم)

#### صنع هرم رباعي مفتوح

من 4 مثلثات متطابقة الساقين (قاعدة 4 سم، ارتفاع 2 سم)

#### المقارنة

مساحة القاعدة
الارتفاع

#### الاستنتاج

حجم الهرم = ⅓ حجم المنشور (إذا تساوت القاعدة والارتفاع)

قانون حجم الهرم

التعبير اللفظي

ح = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع

التعبير الرمزي

ح = \frac{1}{3} م ع

تطبيقات على حجم الهرم

مثال 1: إيجاد حجم هرم بقاعدة مستطيلة

القاعدة: 8.1 م × 6.4 م
الارتفاع: 11 م
الحساب: ح = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} × 8.1 × 6.4) × 11 ≈ 95 م³

مثال 2: تطبيق واقعي (برج الفيصلية)

إيجاد مساحة القاعدة بمعلومية الحجم والارتفاع
الحجم: 133500 م³ تقريبًا
الارتفاع: 267 م
الحساب: 133500 = \frac{1}{3} × م × 267 → م ≈ 1500 م²

قانون حجم المخروط

التعبير اللفظي

حجم المخروط = ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع

التعبير الرمزي

ح = \frac{1}{3} م ع
ح = \frac{1}{3} ط نق² ع

```

نقاط مهمة

العلاقة بين حجم المخروط وحجم الأسطوانة هي نفس العلاقة بين حجم الهرم وحجم المنشور (ثلث الحجم).
يمكن تقدير حجم الهرم باستخدام أرقام مقربة للتحقق من معقولية الناتج.
برج الفيصلية في الرياض هو تطبيق واقعي لشكل الهرم في العمارة.

---

حل مثال

المثال 1: إيجاد حجم الهرم المجاور

* المعطيات: قاعدة مستطيلة أبعادها 8.1 م و 6.4 م، ارتفاع الهرم = 11 م.

* الحل:

1. مساحة القاعدة المستطيلة = الطول × العرض = 8.1 × 6.4.

2. حجم الهرم = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع.

3. ح = \frac{1}{3} × (8.1 × 6.4) × 11

4. ح ≈ 95.04 م³

5. الجواب: الحجم ≈ 95 م³ (مقربًا لأقرب جزء من عشرة).

المثال 2: فن البناء (برج الفيصلية)

* المعطيات: حجم الهرم (ح) ≈ 133500 م³، ارتفاع الهرم (ع) = 267 م.

* المطلوب: المساحة التقريبية للقاعدة (م).

* الحل:

1. ح = \frac{1}{3} م ع

2. 133500 = \frac{1}{3} × م × 267

3. م = \frac{133500 × 3}{267}

4. م = 1500 م²

5. الجواب: مساحة القاعدة ≈ 1500 م².

---

تحقق من فهمك

أ) أوجد حجم هرم ارتفاعه 5 م، وقاعدته مربع طول ضلعه 2م.

* الحل:

1. مساحة القاعدة المربعة = الضلع × الضلع = 2 × 2 = 4 م².

2. حجم الهرم = ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع.

3. ح = \frac{1}{3} × 4 × 5

4. ح = \frac{20}{3} م³ ≈ 6.67 م³

ب) براعة: صنع ماجد شمعة على شكل هرم، حجمها 864 سم³، ومساحة قاعدتها 144 سم²، فما ارتفاعها؟

* الحل:

1. ح = \frac{1}{3} م ع

2. 864 = \frac{1}{3} × 144 × ع

3. 864 = 48 × ع

4. ع = \frac{864}{48} = 18 سم

5. الجواب: ارتفاع الشمعة = 18 سم.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

1

نوع: محتوى تعليمي

مثال إيجاد حجم الهرم
1) أوجد حجم الهرم المجاور، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة.
ح = 1/3 م ع (حجم الهرم).
ح = 1/3 (1/2 × 8.1 × 6.4) × 11
ح = 95.04 (بسط).
فيكون الحجم 95 م³ تقريبًا.

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة
تقدير
يمكنك تقدير حجم الهرم في المثال (1) ليكون 1/3 (1/2 × 8 × 6) × 11 = 88 م³ تقريبًا.
بما أن 95.04 م³ قريبة إلى 88 م³، إذن الجواب معقول.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك:
أ) أوجد حجم هرم ارتفاعه 5 م، وقاعدته مربع طول ضلعه 2م.

2

نوع: محتوى تعليمي

مثال من واقع الحياة
2) فن البناء: برج الفيصلية يمثل هرمًا مقوس الحواف. واعتمادًا على المعلومات المجاورة، احسب المساحة التقريبية لقاعدته، إذا كان حجم الهرم الذي يمثله 133500 م³ تقريبًا.
ح = 1/3 م ع (حجم الهرم).
133500 = 1/3 × م × 267
133500 × 3/267 = 3/267 × 267/3 × م (اضرب كل طرف في 3/267).
1500 = م (بسط).
فتكون مساحة قاعدته 1500 م² تقريبًا.

الربط بالحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط بالحياة
برج الفيصلية أحد أبرز معالم مدينة الرياض، ويبلغ ارتفاعه 267م، ويحتل المرتبة الأربعين ضمن أطول مباني العالم بارتفاع ثلاثين طابقًا، ويرتفع إلى أعلى بشكل هرمي مقوس الحواف تعلوه كرة زجاجية.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك:
ب) براعة: صنع ماجد شمعة على شكل هرم، حجمها 864 سم³، ومساحة قاعدتها 144 سم²، فما ارتفاعها؟

نوع: محتوى تعليمي

المخروط شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية، وسطح منحني يصل القاعدة بالرأس. وعلاقة حجم المخروط بحجم الأسطوانة كعلاقة حجم الهرم بحجم المنشور.

حجم المخروط

نوع: محتوى تعليمي

مفهوم أساسي: حجم المخروط
التعبير اللفظي: حجم المخروط (ح) الذي نصف قطر قاعدته (نق) يساوي ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة (م) في الارتفاع (ع).
الرموز: ح = 1/3 م ع أو ح = 1/3 ط نق² ع

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي لهرم ثلاثي الأبعاد بقاعدة مستطيلة. أبعاد القاعدة موضحة بـ 8.1 م و 6.4 م. الارتفاع موضح بخط متقطع عمودي من رأس الهرم إلى مركز القاعدة بطول 11 م.

صورة فوتوغرافية لبرج الفيصلية في مدينة الرياض، يظهر البرج بتصميمه المعماري الفريد الذي يشبه الهرم مقوس الحواف مع كرة زجاجية بالقرب من قمته.

رسم توضيحي لمخروط ثلاثي الأبعاد مظلل باللون الأزرق. يظهر نصف قطر القاعدة الدائرية مرموزًا له بـ 'نق'، والارتفاع العمودي من الرأس إلى مركز القاعدة مرموزًا له بـ 'ع'.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 1 ---
مثال إيجاد حجم الهرم
1) أوجد حجم الهرم المجاور، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة.
ح = 1/3 م ع (حجم الهرم).
ح = 1/3 (1/2 × 8.1 × 6.4) × 11
ح = 95.04 (بسط).
فيكون الحجم 95 م³ تقريبًا.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
تقدير
يمكنك تقدير حجم الهرم في المثال (1) ليكون 1/3 (1/2 × 8 × 6) × 11 = 88 م³ تقريبًا.
بما أن 95.04 م³ قريبة إلى 88 م³، إذن الجواب معقول.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك:
أ) أوجد حجم هرم ارتفاعه 5 م، وقاعدته مربع طول ضلعه 2م.

--- SECTION: 2 ---
مثال من واقع الحياة
2) فن البناء: برج الفيصلية يمثل هرمًا مقوس الحواف. واعتمادًا على المعلومات المجاورة، احسب المساحة التقريبية لقاعدته، إذا كان حجم الهرم الذي يمثله 133500 م³ تقريبًا.
ح = 1/3 م ع (حجم الهرم).
133500 = 1/3 × م × 267
133500 × 3/267 = 3/267 × 267/3 × م (اضرب كل طرف في 3/267).
1500 = م (بسط).
فتكون مساحة قاعدته 1500 م² تقريبًا.

--- SECTION: الربط بالحياة ---
الربط بالحياة
برج الفيصلية أحد أبرز معالم مدينة الرياض، ويبلغ ارتفاعه 267م، ويحتل المرتبة الأربعين ضمن أطول مباني العالم بارتفاع ثلاثين طابقًا، ويرتفع إلى أعلى بشكل هرمي مقوس الحواف تعلوه كرة زجاجية.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك:
ب) براعة: صنع ماجد شمعة على شكل هرم، حجمها 864 سم³، ومساحة قاعدتها 144 سم²، فما ارتفاعها؟

المخروط شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية، وسطح منحني يصل القاعدة بالرأس. وعلاقة حجم المخروط بحجم الأسطوانة كعلاقة حجم الهرم بحجم المنشور.

--- SECTION: حجم المخروط ---
مفهوم أساسي: حجم المخروط
التعبير اللفظي: حجم المخروط (ح) الذي نصف قطر قاعدته (نق) يساوي ثلث ناتج ضرب مساحة القاعدة (م) في الارتفاع (ع).
الرموز: ح = 1/3 م ع أو ح = 1/3 ط نق² ع

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لهرم ثلاثي الأبعاد بقاعدة مستطيلة. أبعاد القاعدة موضحة بـ 8.1 م و 6.4 م. الارتفاع موضح بخط متقطع عمودي من رأس الهرم إلى مركز القاعدة بطول 11 م.
Key Values: 8.1 م, 6.4 م, 11 م
Context: يوضح الأبعاد المطلوبة لحساب حجم الهرم في المثال الأول.

**IMAGE**: Untitled
Description: صورة فوتوغرافية لبرج الفيصلية في مدينة الرياض، يظهر البرج بتصميمه المعماري الفريد الذي يشبه الهرم مقوس الحواف مع كرة زجاجية بالقرب من قمته.
Context: تطبيق واقعي لشكل الهرم في العمارة.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لمخروط ثلاثي الأبعاد مظلل باللون الأزرق. يظهر نصف قطر القاعدة الدائرية مرموزًا له بـ 'نق'، والارتفاع العمودي من الرأس إلى مركز القاعدة مرموزًا له بـ 'ع'.
X-axis: نق (نصف القطر)
Y-axis: ع (الارتفاع)
Context: يوضح المتغيرات المستخدمة في قانون حجم المخروط.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال تحقق من فهمك: أ) أوجد حجم هرم ارتفاعه ٥ م، وقاعدته مربع طول ضلعه ٢ م. ب) براعة: صنع ماجد شمعة على شكل هرم، حجمها ٨٦٤ سم٣، ومساحة قاعدتها ١٤٤ سم٢، فما ارتفاعها؟ ج) أوجد حجم كل مخروط مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: مخروط نصف قطره ٤ أقدام وارتفاعه ١٧ قدمًا. د) مخروط نصف قطره ٨ سم وارتفاعه ١٠ سم.

الإجابة: أ) مساحة القاعدة 4 = 2^2 = 4 م^2، الحجم = 1/3 × 4 × 5 = 20/3 م^3 (≈ 6.7 م^3). ب) س: ب، الارتفاع 18 = (3 × 864) / 144 سم. ج) س: حجم المخروط - ج، ج: ح ≈ 284.8 قدم^3. د) س: حجم المخروط - د، ج: ح ≈ 670.2 سم^3.

خطوات الحل:

**الجزء أ: حجم الهرم** | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | ارتفاع الهرم (h) | 5 | م | | طول ضلع القاعدة المربعة (s) | 2 | م | | المطلوب | حجم الهرم (V) | م³ |
**القانون المستخدم:** حجم الهرم = $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ حيث A هي مساحة القاعدة و h هو الارتفاع.
1. حساب مساحة القاعدة المربعة: $A = s^2 = 2^2 = 4$ م²
2. حساب حجم الهرم: $V = \frac{1}{3} \times 4 \times 5 = \frac{20}{3} ≈ 6.7$ م³
**الإجابة النهائية (أ):** حجم الهرم يساوي تقريباً 6.7 متر مكعب.
**الجزء ب: ارتفاع الشمعة الهرمية** | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | حجم الشمعة (V) | 864 | سم³ | | مساحة القاعدة (A) | 144 | سم² | | المطلوب | ارتفاع الشمعة (h) | سم |
**القانون المستخدم:** حجم الهرم = $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ => $h = \frac{3V}{A}$
1. حساب ارتفاع الشمعة: $h = \frac{3 \times 864}{144} = \frac{2592}{144} = 18$ سم
**الإجابة النهائية (ب):** ارتفاع الشمعة يساوي 18 سم.
**الجزء ج: حجم المخروط** | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 4 | قدم | | الارتفاع (h) | 17 | قدم | | المطلوب | حجم المخروط (V) | قدم³ |
**القانون المستخدم:** حجم المخروط = $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
1. حساب حجم المخروط: $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 17 = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 17 = \frac{272 \pi}{3} ≈ 284.8$ قدم³
**الإجابة النهائية (ج):** حجم المخروط يساوي تقريباً 284.8 قدم مكعب.
**الجزء د: حجم المخروط** | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 8 | سم | | الارتفاع (h) | 10 | سم | | المطلوب | حجم المخروط (V) | سم³ |
**القانون المستخدم:** حجم المخروط = $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
1. حساب حجم المخروط: $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 10 = \frac{1}{3} \times \pi \times 64 \times 10 = \frac{640 \pi}{3} ≈ 670.2$ سم³
**الإجابة النهائية (د):** حجم المخروط يساوي تقريباً 670.2 سم مكعب.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الصيغة الرياضية لحساب حجم الهرم (ح) بدلالة مساحة قاعدته (م) وارتفاعه (ع)؟

أ) ح = م ع
ب) ح = 1/3 م ع
ج) ح = 2/3 م ع
د) ح = 1/3 ط نق² ع

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ح = 1/3 م ع

الشرح: حجم الهرم دائمًا يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه.

تلميح: تذكر علاقة حجم الهرم بالمنشور الذي يشترك معه في القاعدة والارتفاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند إيجاد حجم هرم قاعدته مربعة، ما هي الخطوة الأولى اللازمة قبل تطبيق صيغة الحجم؟

أ) ضرب الارتفاع في 3.
ب) حساب مساحة القاعدة المربعة.
ج) قسمة طول ضلع القاعدة على 2.
د) جمع أبعاد القاعدة والارتفاع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حساب مساحة القاعدة المربعة.

الشرح: 1. صيغة حجم الهرم هي ح = 1/3 م ع. 2. بما أن القاعدة مربعة، يجب حساب مساحتها (م = طول الضلع × طول الضلع) قبل التعويض في صيغة الحجم.

تلميح: صيغة حجم الهرم تتطلب معرفة مساحة القاعدة أولًا.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا عُلم حجم الهرم (ح) ومساحة قاعدته (م)، فكيف يمكن إيجاد ارتفاعه (ع)؟

أ) نقسم الحجم على (3 × مساحة القاعدة).
ب) نضرب مساحة القاعدة في 3 ثم نقسم الناتج على الحجم.
ج) نضرب الحجم في 3 ثم نقسم الناتج على مساحة القاعدة.
د) نقسم الحجم على مساحة القاعدة مباشرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نضرب الحجم في 3 ثم نقسم الناتج على مساحة القاعدة.

الشرح: 1. صيغة حجم الهرم: ح = 1/3 م ع. 2. لتبسيط العلاقة، اضرب الطرفين في 3: 3ح = م ع. 3. اقسم الطرفين على م لإيجاد ع: ع = 3ح/م.

تلميح: أعد ترتيب صيغة حجم الهرم الأصلية (ح = 1/3 م ع) لإيجاد (ع).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي مما يلي يصف المخروط بشكل دقيق؟

أ) شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدتان دائريتان متوازيتان، وسطح جانبي منحني.
ب) شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية، وسطح منحني يصل القاعدة بالرأس.
ج) شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة مضلعة، وأوجه جانبية مثلثية تلتقي في نقطة واحدة.
د) شكل ثلاثي الأبعاد له 6 أوجه مربعة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية، وسطح منحني يصل القاعدة بالرأس.

الشرح: المخروط يتميز بقاعدة دائرية واحدة، وسطح جانبي أملس ينحني ليجتمع في نقطة واحدة تسمى الرأس.

تلميح: ركز على شكل القاعدة وطبيعة السطح الجانبي للمخروط.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة الرياضية لحساب حجم المخروط (ح) بدلالة نصف قطر قاعدته (نق) وارتفاعه (ع)؟

أ) ح = ط نق² ع
ب) ح = 1/3 ط نق ع
ج) ح = 1/3 ط نق² ع
د) ح = 2/3 ط نق² ع

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ح = 1/3 ط نق² ع

الشرح: حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته (وهي دائرة: ط نق²) في ارتفاعه (ع).

تلميح: صيغة حجم المخروط تشبه صيغة حجم الهرم لكن مع مساحة قاعدة دائرية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل