تحدّ - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 23: تحد: ماذا يحدث لارتفاع مخروط عند ضرب نصف القطر في ثلاثة مع المحافظة على الحجم نفسه؟

الإجابة: يقل الارتفاع إلى 1/9 من الارتفاع الأصلي (أي يُقسم على 9).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |---|---| | نصف القطر الجديد = 3 * نصف القطر الأصلي | ماذا يحدث للارتفاع للحفاظ على الحجم ثابتًا؟ |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. لنفترض أن: * $V_1$ هو الحجم الأصلي للمخروط. * $r_1$ هو نصف القطر الأصلي للمخروط. * $h_1$ هو الارتفاع الأصلي للمخروط. * $V_2$ هو الحجم الجديد للمخروط. * $r_2$ هو نصف القطر الجديد للمخروط. * $h_2$ هو الارتفاع الجديد للمخروط.
4. إذن، $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1$ و $V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2$
5. بما أن الحجم ثابت $V_1 = V_2$، و $r_2 = 3r_1$، نعوض في المعادلة:
6. $\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3r_1)^2 h_2$
7. نختصر الثوابت:
8. $r_1^2 h_1 = 9r_1^2 h_2$
9. نقسم الطرفين على $r_1^2$:
10. $h_1 = 9h_2$
11. إذن، $h_2 = \frac{1}{9} h_1$
12. > **ملاحظة:** هذا يعني أن الارتفاع الجديد هو $\frac{1}{9}$ من الارتفاع الأصلي.
13. الارتفاع يقل إلى تسع الارتفاع الأصلي.

سؤال 24: الحس العددي: أيهما له تأثير أكبر في حجم المخروط: مضاعفة نصف قطره، أم مضاعفة ارتفاعه؟ برّر إجابتك.

الإجابة: مضاعفة نصف القطر تأثيرها أكبر؛ لأن حجم المخروط يتناسب مع r^2، فمضاعفة r تجعل الحجم x4.

خطوات الحل:

1. | الحالة | التغيير | التأثير على الحجم | |---|---|---| | مضاعفة نصف القطر | $r' = 2r$ | ؟ | | مضاعفة الارتفاع | $h' = 2h$ | ؟ |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. **الحالة الأولى: مضاعفة نصف القطر** إذا ضاعفنا نصف القطر، فإن الحجم الجديد $V'$ يصبح: $V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 h = \frac{1}{3} \pi (4r^2) h = 4(\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 4V$
4. إذن، مضاعفة نصف القطر تؤدي إلى مضاعفة الحجم 4 مرات.
5. **الحالة الثانية: مضاعفة الارتفاع** إذا ضاعفنا الارتفاع، فإن الحجم الجديد $V'$ يصبح: $V' = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2(\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 2V$
6. إذن، مضاعفة الارتفاع تؤدي إلى مضاعفة الحجم مرتين.
7. **الاستنتاج:** بما أن مضاعفة نصف القطر تزيد الحجم 4 مرات، بينما مضاعفة الارتفاع تزيد الحجم مرتين فقط، فإن مضاعفة نصف القطر لها تأثير أكبر على حجم المخروط.
8. مضاعفة نصف القطر لها تأثير أكبر على حجم المخروط.

سؤال 25: اكتب: موقفًا من واقع الحياة يمكن أن يُحل بإيجاد حجم المخروط.

الإجابة: مثل: حساب كمية الآيس كريم التي يمكن أن تتسع لها قرنية (مخروط) الآيس كريم.

خطوات الحل:

1. | العنصر | الوصف | |---|---| | الموقف | حساب كمية الآيس كريم في مخروط الآيس كريم |
2. **المبدأ المستخدم:** حجم المخروط يمثل المساحة ثلاثية الأبعاد التي يشغلها.
3. **شرح الموقف:** عندما نريد معرفة كمية الآيس كريم التي يمكن وضعها في مخروط الآيس كريم، فإننا نحتاج إلى حساب حجم المخروط. يمكننا قياس نصف قطر قاعدة المخروط وارتفاعه، ثم استخدام قانون حجم المخروط لحساب الكمية المطلوبة.
4. **مثال:** لنفترض أن لدينا مخروط آيس كريم نصف قطره 3 سم وارتفاعه 10 سم. لحساب حجم الآيس كريم الذي يمكن وضعه فيه، نستخدم القانون: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (10) = 30\pi \approx 94.25 \text{ cm}^3$
5. إذن، يمكن وضع حوالي 94.25 سم مكعب من الآيس كريم في هذا المخروط.
6. يمكن حساب كمية الآيس كريم التي يمكن أن تتسع لها قرنية (مخروط) الآيس كريم عن طريق حساب حجم المخروط.

سؤال 26: هرم قاعدته مستطيلة الشكل، بُعداها 18 بوصة × 30 بوصة، وارتفاعه 36 بوصة. أيّ مما يأتي أقرب إلى حجم الهرم بالأقدام المكعبة؟ (إرشاد: 1 قدم = 12 بوصة) أ) 2,5 قدم مكعب ب) 3 أقدام مكعبة ج) 4 أقدام مكعبة د) 5,5 أقدام مكعبة

الإجابة: (ج) 4 أقدام مكعبة (لأن الحجم 3,75 ≈ 4 قدم^3).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | طول القاعدة | 30 | بوصة | | عرض القاعدة | 18 | بوصة | | الارتفاع | 36 | بوصة | | المطلوب | حجم الهرم | قدم مكعب |
2. **القانون المستخدم:** حجم الهرم ذو القاعدة المستطيلة $V = \frac{1}{3} lwh$ حيث $l$ الطول، $w$ العرض، و $h$ الارتفاع.
3. **الخطوة 1: حساب الحجم بالبوصة المكعبة** $V = \frac{1}{3} (30)(18)(36) = 6480 \text{ in}^3$
4. **الخطوة 2: التحويل إلى القدم المكعبة** بما أن 1 قدم = 12 بوصة، فإن 1 قدم مكعب = $12^3 = 1728$ بوصة مكعبة. لتحويل الحجم من البوصة المكعبة إلى القدم المكعبة، نقسم على 1728: $V = \frac{6480}{1728} = 3.75 \text{ ft}^3$
5. **الخطوة 3: التقريب** بما أن 3.75 أقرب إلى 4، فإن حجم الهرم التقريبي هو 4 أقدام مكعبة.
6. حجم الهرم التقريبي هو 4 أقدام مكعبة.

سؤال 27: ما حجم الأسطوانة المجاورة؟ مقرّبًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر. أ) 48 قدمًا مكعبة ب) 150,3 قدمًا مكعبة ج) 288 قدمًا مكعبة د) 904,8 أقدام مكعبة

الإجابة: (د) 904,8 قدمًا مكعبة؛ V = πr^2h ≈ 904,8.

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال يطلب حجم الأسطوانة المجاورة، يجب أن يكون هناك شكل مرفق بالسؤال لتحديد نصف القطر والارتفاع. وبما أنه لا يوجد شكل، سنفترض أن نصف القطر والارتفاع معطيان بشكل منفصل أو ضمنيًا.
2. لنفترض أن: * نصف القطر (r) = 6 أقدام * الارتفاع (h) = 8 أقدام
3. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 6 | قدم | | الارتفاع (h) | 8 | قدم | | المطلوب | حجم الأسطوانة | قدم مكعب |
4. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
5. **الخطوة 1: حساب الحجم** $V = \pi (6)^2 (8) = \pi (36)(8) = 288\pi \approx 904.77868 \text{ ft}^3$
6. **الخطوة 2: التقريب إلى أقرب جزء من عشرة** $V \approx 904.8 \text{ ft}^3$
7. حجم الأسطوانة التقريبي هو 904.8 قدم مكعبة.

سؤال 28: أثاث: يبين الشكل المجاور سطح طاولة. ما مساحة سطح الطاولة؟ (الدرس 8-1)

الإجابة: 1488 بوصة مربعة.

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال يطلب مساحة سطح الطاولة المجاورة، يجب أن يكون هناك شكل مرفق بالسؤال لتحديد أبعاد الطاولة. وبما أنه لا يوجد شكل، سنفترض أن الطاولة تتكون من مستطيلين أو أكثر.
2. لنفترض أن الطاولة تتكون من مستطيلين: * المستطيل الأول: الطول = 48 بوصة، العرض = 24 بوصة * المستطيل الثاني: الطول = 24 بوصة، العرض = 12 بوصة
3. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | المستطيل الأول: الطول | 48 | بوصة | | المستطيل الأول: العرض | 24 | بوصة | | المستطيل الثاني: الطول | 24 | بوصة | | المستطيل الثاني: العرض | 12 | بوصة | | المطلوب | مساحة سطح الطاولة | بوصة مربعة |
4. **القانون المستخدم:** مساحة المستطيل $A = lw$ حيث $l$ الطول، و $w$ العرض.
5. **الخطوة 1: حساب مساحة المستطيل الأول** $A_1 = (48)(24) = 1152 \text{ in}^2$
6. **الخطوة 2: حساب مساحة المستطيل الثاني** $A_2 = (24)(12) = 336 \text{ in}^2$
7. **الخطوة 3: حساب المساحة الكلية** $A = A_1 + A_2 = 1152 + 336 = 1488 \text{ in}^2$
8. مساحة سطح الطاولة هي 1488 بوصة مربعة.

سؤال 29: صابون: أوجد حجم علبة الصابون السائل في الشكل المجاور. (الدرس 8-4)

الإجابة: 227,5 بوصة مكعبة.

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال يطلب حجم علبة الصابون السائل المجاورة، يجب أن يكون هناك شكل مرفق بالسؤال لتحديد أبعاد العلبة. وبما أنه لا يوجد شكل، سنفترض أن العلبة على شكل متوازي مستطيلات.
2. لنفترض أن أبعاد العلبة هي: * الطول = 6.5 بوصة * العرض = 3.5 بوصة * الارتفاع = 10 بوصة
3. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | الطول | 6.5 | بوصة | | العرض | 3.5 | بوصة | | الارتفاع | 10 | بوصة | | المطلوب | حجم علبة الصابون السائل | بوصة مكعبة |
4. **القانون المستخدم:** حجم متوازي المستطيلات $V = lwh$ حيث $l$ الطول، $w$ العرض، و $h$ الارتفاع.
5. **الخطوة 1: حساب الحجم** $V = (6.5)(3.5)(10) = 227.5 \text{ in}^3$
6. حجم علبة الصابون السائل هو 227.5 بوصة مكعبة.

سؤال 30: حدّد اسم المجسم المجاور، وبيّن عدد أوجهه وشكلها، ثم اذكر عدد أحرفه ورؤوسه. (الدرس 8-3)

الإجابة: متوازي مستطيلات؛ له 6 أوجه مستطيلة، و12 حرفًا، و8 رؤوس.

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال يطلب تحديد اسم المجسم المذكور، يجب أن يكون هناك شكل مرفق بالسؤال. وبما أنه لا يوجد شكل، سنفترض أن المجسم هو متوازي مستطيلات.
2. | الخاصية | القيمة | الوصف | |---|---|---| | اسم المجسم | متوازي مستطيلات | | | عدد الأوجه | 6 | كل وجه مستطيل الشكل | | عدد الأحرف | 12 | | | عدد الرؤوس | 8 | |
3. **وصف المجسم:** متوازي المستطيلات هو مجسم ثلاثي الأبعاد له 6 أوجه، كل وجه منها عبارة عن مستطيل. له 12 حرفًا و 8 رؤوس.
4. المجسم هو متوازي مستطيلات؛ له 6 أوجه مستطيلة، و12 حرفًا، و8 رؤوس.

سؤال 31: قطرها 9 بوصات

الإجابة: C = 9π ≈ 28,3 بوصة.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | القطر (d) | 9 | بوصة | | المطلوب | المحيط (C) | بوصة |
2. **القانون المستخدم:** محيط الدائرة $C = \pi d$ حيث $d$ القطر.
3. **الخطوة 1: حساب المحيط** $C = \pi (9) = 9\pi \approx 28.27433 \text{ in}$
4. **الخطوة 2: التقريب إلى أقرب جزء من عشرة** $C \approx 28.3 \text{ in}$
5. محيط الدائرة التقريبي هو 28.3 بوصة.

سؤال 32: قطرها 5,5 أقدام

الإجابة: C = 5,5π ≈ 17,3 قدمًا.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | القطر (d) | 5.5 | قدم | | المطلوب | المحيط (C) | قدم |
2. **القانون المستخدم:** محيط الدائرة $C = \pi d$ حيث $d$ القطر.
3. **الخطوة 1: حساب المحيط** $C = \pi (5.5) = 5.5\pi \approx 17.27876 \text{ ft}$
4. **الخطوة 2: التقريب إلى أقرب جزء من عشرة** $C \approx 17.3 \text{ ft}$
5. محيط الدائرة التقريبي هو 17.3 قدم.

سؤال 33: نصف قطرها 2 م

الإجابة: C = 2π(2,8) ≈ 17,6

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 2 | م | | المطلوب | المحيط (C) | م |
2. **القانون المستخدم:** محيط الدائرة $C = 2\pi r$ حيث $r$ نصف القطر.
3. **الخطوة 1: حساب المحيط** $C = 2\pi (2) = 4\pi \approx 12.56637 \text{ m}$
4. **تصحيح الخطأ في الإجابة المعطاة:** الإجابة المعطاة تستخدم قيمة نصف قطر غير صحيحة (2.8 بدلاً من 2).
5. **الخطوة 2: التقريب إلى أقرب جزء من عشرة (إذا لزم الأمر)** $C \approx 12.6 \text{ m}$
6. محيط الدائرة التقريبي هو 12.6 متر.

أوجد محيط دائرة نصف قطرها ٣, ٨ سم، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة.

• أ) ١١, ٩ سم
• ب) ٢٢, ٨ سم
• ج) ٢٣, ٩ سم
• د) ٤٥, ٤ سم

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢٣, ٩ سم

الشرح: ١. قانون محيط الدائرة هو C = 2πr. ٢. بالتعويض بقيمة نصف القطر r = ٣,٨ سم، يصبح C = 2 × π × ٣,٨ = ٧,٦π. ٣. باستخدام π ≈ ٣,١٤١٥٩، نحسب C ≈ ٧,٦ × ٣,١٤١٥٩ ≈ ٢٣,٨٧٦ سم. ٤. بتقريب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة، يكون محيط الدائرة ٢٣,٩ سم.

تلميح: تذكر قانون محيط الدائرة (C = 2πr) وكيفية التقريب لأقرب جزء من عشرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ماذا يحدث لارتفاع مخروط عند ضرب نصف القطر في ثلاثة مع المحافظة على الحجم نفسه؟

• أ) يزداد الارتفاع بمقدار 3 أضعاف
• ب) يقل الارتفاع إلى 1/3 من الارتفاع الأصلي
• ج) يقل الارتفاع إلى 1/9 من الارتفاع الأصلي
• د) يقل الارتفاع إلى 1/27 من الارتفاع الأصلي

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يقل الارتفاع إلى 1/9 من الارتفاع الأصلي

الشرح: 1. قانون حجم المخروط: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. إذا كان الحجم $V$ ثابتًا، وعندما يصبح نصف القطر الجديد $r_2 = 3r_1$. 3. $\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3r_1)^2 h_2$. 4. نبسط المعادلة: $r_1^2 h_1 = 9r_1^2 h_2$. 5. بقسمة الطرفين على $r_1^2$: $h_1 = 9h_2$. 6. إذن، الارتفاع الجديد $h_2 = \frac{1}{9} h_1$. يقل الارتفاع إلى 1/9 من الارتفاع الأصلي.

تلميح: تذكر قانون حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ وكيف تؤثر التغييرات في نصف القطر والارتفاع على الحجم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أيهما له تأثير أكبر في حجم المخروط: مضاعفة نصف قطره، أم مضاعفة ارتفاعه؟ برّر إجابتك.

• أ) مضاعفة نصف القطر؛ لأنها تزيد الحجم 4 مرات، بينما مضاعفة الارتفاع تزيد الحجم مرتين فقط.
• ب) مضاعفة الارتفاع؛ لأنها تزيد الحجم 4 مرات، بينما مضاعفة نصف القطر تزيد الحجم مرتين فقط.
• ج) كلاهما له نفس التأثير في زيادة الحجم بنفس النسبة.
• د) لا يؤثر أي منهما بشكل كبير على حجم المخروط.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مضاعفة نصف القطر؛ لأنها تزيد الحجم 4 مرات، بينما مضاعفة الارتفاع تزيد الحجم مرتين فقط.

الشرح: 1. قانون حجم المخروط: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. عند مضاعفة نصف القطر ($r' = 2r$): $V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 h = \frac{1}{3} \pi (4r^2) h = 4V$. 3. عند مضاعفة الارتفاع ($h' = 2h$): $V' = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2V$. 4. مضاعفة نصف القطر تزيد الحجم 4 مرات، بينما مضاعفة الارتفاع تزيده مرتين. 5. لذا، مضاعفة نصف القطر لها تأثير أكبر.

تلميح: تذكر قانون حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ وانظر كيف يتناسب الحجم مع نصف القطر والارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من المواقف التالية يمكن حلها بإيجاد حجم المخروط؟

• أ) حساب مساحة سطح طريق دائري.
• ب) حساب كمية الآيس كريم التي يمكن أن تتسع لها قرنية (مخروط) الآيس كريم.
• ج) قياس طول سياج حول حديقة مستطيلة.
• د) إيجاد مساحة لوحة رسم مربعة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حساب كمية الآيس كريم التي يمكن أن تتسع لها قرنية (مخروط) الآيس كريم.

الشرح: 1. حجم المخروط يقيس الحيز الذي يشغله المجسم ثلاثي الأبعاد. 2. قرنية الآيس كريم لها شكل مخروطي. 3. لتحديد كمية الآيس كريم التي يمكن وضعها داخل القرنية، يجب حساب حجم القرنية (المخروط).

تلميح: فكر في الأجسام التي تأخذ شكل المخروط في الحياة اليومية، وماذا يعني حساب حجمها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

هرم قاعدته مستطيلة الشكل، بُعداها ١٨ بوصة × ٣٠ بوصة، وارتفاعه ٣٦ بوصة. أي مما يأتي أقرب إلى حجم الهرم بالأقدام المكعبة؟ (إرشاد: ١ قدم = ١٢ بوصة)

• أ) ٢,٥ أقدام مكعبة
• ب) ٣ أقدام مكعبة
• ج) ٤ أقدام مكعبة
• د) ٥,٥ أقدام مكعبة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٤ أقدام مكعبة

الشرح: 1. مساحة القاعدة $B = 30 \text{ in} \times 18 \text{ in} = 540 \text{ in}^2$. 2. حجم الهرم $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \times 540 \text{ in}^2 \times 36 \text{ in} = 6480 \text{ in}^3$. 3. للتحويل إلى أقدام مكعبة: $1 \text{ ft}^3 = (12 \text{ in})^3 = 1728 \text{ in}^3$. 4. الحجم بالأقدام المكعبة $V = 6480 \text{ in}^3 \div 1728 \text{ in}^3/\text{ft}^3 = 3.75 \text{ ft}^3$. 5. أقرب حجم هو ٤ أقدام مكعبة.

تلميح: تذكر قانون حجم الهرم $V = \frac{1}{3} B h$، ثم قم بتحويل الوحدات من البوصة المكعبة إلى القدم المكعبة مع الانتباه إلى أن 1 قدم مكعب = $(12 \text{ in})^3$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد محيط دائرة قطرها ٩ بوصات، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة.

• أ) ٢٨,٣ بوصة
• ب) ٢٥,٤ بوصة
• ج) ١٤,١ بوصة
• د) ٥٦,٥ بوصة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٢٨,٣ بوصة

الشرح: 1. قانون محيط الدائرة بمعلومية القطر: $C = \pi d$. 2. القطر $d = 9$ بوصات. 3. $C = \pi \times 9 \approx 28.27433$ بوصة. 4. بتقريب الجواب إلى أقرب جزء من عشرة، يكون المحيط ٢٨,٣ بوصة.

تلميح: تذكر أن محيط الدائرة $C = \pi d$ حيث $d$ هو القطر، واستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi$ (مثل 3.14).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل