مثال - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ج: تحقق من فهمك: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ج) مخروط نصف قطره ٤ أقدام وارتفاعه ١٧ قدمًا.

الإجابة: س: حجم المخروط ج ≈ 284.8 قدم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 4 | قدم | | الارتفاع (h) | 17 | قدم |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (4)^2 \times (17)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 17$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 272$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{272 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 284.8$ قدم³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **284.8 قدم³**.

سؤال د: تحقق من فهمك: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: د) مخروط نصف قطره ٨ سم وارتفاعه ١٠ سم.

الإجابة: س: حجم المخروط د ج: 670.2 سم³ ≈

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 8 | سم | | الارتفاع (h) | 10 | سم |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (8)^2 \times (10)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 64 \times 10$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 640$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{640 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 670.2$ سم³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **670.2 سم³**.

سؤال 1: تأكد: أوجد حجم كل هرم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ١) هرم قاعدته مستطيلة أبعادها ١٤ سم × ٨ سم وارتفاعه ١١ سم.

الإجابة: س1: ≈ 410.7 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | طول القاعدة (l) | 14 | سم | | عرض القاعدة (w) | 8 | سم | | الارتفاع (h) | 11 | سم |
2. **القانون المستخدم:** حجم الهرم $V = \frac{1}{3} lwh$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times 14 \times 8 \times 11$
4. 2. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times 1232$
5. 3. **التبسيط:** $V = \frac{1232}{3}$
6. 4. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 410.7$ سم³
7. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
8. إذن، حجم الهرم يساوي تقريباً **410.7 سم³**.

سؤال 2: تأكد: أوجد حجم كل هرم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ٢) هرم قاعدته مثلث طول قاعدته ١٠ م وارتفاعه ٣ م، وارتفاع الهرم ١٢ م.

الإجابة: س2: ≈ 60.0 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | قاعدة المثلث (b) | 10 | م | | ارتفاع المثلث (h_triangle) | 3 | م | | ارتفاع الهرم (h) | 12 | م |
2. **القانون المستخدم:** حجم الهرم $V = \frac{1}{3} \times Area_{base} \times h$, حيث $Area_{base} = \frac{1}{2}bh_{triangle}$
3. 1. **حساب مساحة القاعدة المثلثة:** $Area_{base} = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15$ م²
4. 2. **تعويض القيم في قانون حجم الهرم:** $V = \frac{1}{3} \times 15 \times 12$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times 180$
6. 4. **التبسيط:** $V = 60$ م³
7. إذن، حجم الهرم يساوي **60.0 م³**.

سؤال 3: ٣) أوجد حجم هرم ارتفاعه ١٧ مترًا، وقاعدته مربعة طول ضلعها ٢٢ مترًا.

الإجابة: س3: ≈ 2742.7 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | طول ضلع القاعدة المربعة (s) | 22 | م | | ارتفاع الهرم (h) | 17 | م |
2. **القانون المستخدم:** حجم الهرم $V = \frac{1}{3} \times Area_{base} \times h$, حيث $Area_{base} = s^2$
3. 1. **حساب مساحة القاعدة المربعة:** $Area_{base} = (22)^2 = 484$ م²
4. 2. **تعويض القيم في قانون حجم الهرم:** $V = \frac{1}{3} \times 484 \times 17$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times 8228$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{8228}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 2742.7$ م³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم الهرم يساوي تقريباً **2742.7 م³**.

سؤال 4: ٤) آثار: هرم (منقرع) هو أحد أهرامات مصر القديمة، ارتفاعه الحالي ٦٥,٥ م، وحجمه ٢٥٤٦٦٤ م³ تقريبًا، فما طول كل جانب من قاعدته المربعة؟

الإجابة: س4: 108 م

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | حجم الهرم (V) | 254664 | م³ | | ارتفاع الهرم (h) | 65.5 | م |
2. **القانون المستخدم:** حجم الهرم $V = \frac{1}{3} \times Area_{base} \times h$, حيث $Area_{base} = s^2$ (لأن القاعدة مربعة)
3. 1. **إعادة ترتيب القانون لإيجاد مساحة القاعدة:** $Area_{base} = \frac{3V}{h}$
4. 2. **تعويض القيم:** $Area_{base} = \frac{3 \times 254664}{65.5}$
5. 3. **الضرب والقسمة:** $Area_{base} = \frac{763992}{65.5} \approx 11663.97$ م²
6. 4. **إيجاد طول الضلع (s) للقاعدة المربعة:** $s = \sqrt{Area_{base}} = \sqrt{11663.97} \approx 108$ م
7. إذن، طول كل جانب من القاعدة المربعة يساوي تقريباً **108 متر**.

سؤال 5: تأكد: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ٥) مخروط نصف قطره ٥ م وارتفاعه ٧ م.

الإجابة: س5: ≈ 183.3 م³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 5 | م | | الارتفاع (h) | 7 | م |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times (7)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 7$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 175$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{175 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 183.3$ م³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **183.3 م³**.

سؤال 6: تأكد: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ٦) مخروط نصف قطره ١٦ قدمًا وارتفاعه ١١ قدمًا.

الإجابة: س6: ≈ 2948.9 قدم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 16 | قدم | | الارتفاع (h) | 11 | قدم |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (16)^2 \times (11)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 256 \times 11$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 2816$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{2816 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 2948.9$ قدم³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **2948.9 قدم³**.

سؤال 7: تأكد: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ٧) مخروط نصف قطره ٤ ملم وارتفاعه ٧ ملم.

الإجابة: س7: ≈ 117.3 ملم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 4 | ملم | | الارتفاع (h) | 7 | ملم |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (4)^2 \times (7)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 7$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 112$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{112 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 117.3$ ملم³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **117.3 ملم³**.

سؤال 8: تأكد: أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ٨) مخروط نصف قطره ١٢ سم وارتفاعه ١٥ سم.

الإجابة: س8: ≈ 2261.9 سم³

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | الوحدة | |---|---|---| | نصف القطر (r) | 12 | سم | | الارتفاع (h) | 15 | سم |
2. **القانون المستخدم:** حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
3. 1. **تعويض القيم:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times (15)$
4. 2. **حساب مربع نصف القطر:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 144 \times 15$
5. 3. **الضرب:** $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 2160$
6. 4. **التبسيط:** $V = \frac{2160 \pi}{3}$
7. 5. **حساب القيمة التقريبية:** $V \approx 2261.9$ سم³
8. > **ملاحظة:** تم تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة.
9. إذن، حجم المخروط يساوي تقريباً **2261.9 سم³**.

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: د. مخروط بارتفاع 10 سم ونصف قطر 8 سم.

• أ) 670.2 سم³
• ب) 1340.4 سم³
• ج) 134.0 سم³
• د) 2010.6 سم³

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 670.2 سم³

الشرح: 1. قانون حجم المخروط: V = (1/3)πr²h 2. تعويض القيم: V = (1/3) × π × (8)² × 10 3. حساب: V = (1/3) × π × 64 × 10 ≈ 670.2 سم³

تلميح: تذكر أن حجم المخروط هو ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته (πr²) في ارتفاعه (h).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل هرم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 1. هرم بقاعدة مربعة طول ضلعها 8 سم وارتفاع 11 سم.

• أ) 704.0 سم³
• ب) 352.0 سم³
• ج) 234.7 سم³
• د) 29.3 سم³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 234.7 سم³

الشرح: 1. قانون حجم الهرم: V = (1/3) × مساحة القاعدة × h 2. مساحة القاعدة المربعة = s² = (8)² = 64 3. تعويض القيم: V = (1/3) × 64 × 11 4. حساب: V ≈ 234.7 سم³

تلميح: تذكر أن حجم الهرم هو ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه (h).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: ج. مخروط بارتفاع 17 قدمًا ونصف قطر 4 أقدام.

• أ) 427.2 قدم³
• ب) 854.5 قدم³
• ج) 284.8 قدم³
• د) 71.2 قدم³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 284.8 قدم³

الشرح: 1. قانون حجم المخروط: V = (1/3)πr²h 2. تعويض القيم: V = (1/3) × π × (4)² × 17 3. حساب: V = (1/3) × π × 16 × 17 ≈ 284.8 قدم³

تلميح: تذكر أن حجم المخروط هو ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته (πr²) في ارتفاعه (h).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل هرم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 2. هرم بقاعدة مربعة طول ضلعها 10 م وارتفاع 12 م.

• أ) 600.0 م³
• ب) 400.0 م³
• ج) 1200.0 م³
• د) 40.0 م³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 400.0 م³

الشرح: 1. قانون حجم الهرم: V = (1/3) × مساحة القاعدة × h 2. مساحة القاعدة المربعة = s² = (10)² = 100 3. تعويض القيم: V = (1/3) × 100 × 12 4. حساب: V ≈ 400.0 م³

تلميح: تذكر أن حجم الهرم هو ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه (h).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم هرم ارتفاعه 17 مترًا، وقاعدته مربعة طول ضلعها 22 مترًا.

• أ) 8228.0 م³
• ب) 2742.7 م³
• ج) 4114.0 م³
• د) 1613.8 م³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2742.7 م³

الشرح: 1. قانون حجم الهرم: V = (1/3) × مساحة القاعدة × h 2. مساحة القاعدة المربعة = s² = (22)² = 484 3. تعويض القيم: V = (1/3) × 484 × 17 4. حساب: V ≈ 2742.7 م³

تلميح: تذكر أن حجم الهرم هو ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه (h).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

آثار: هرم (منقرع) هو أحد أهرامات مصر القديمة، ارتفاعه الحالي 65.5 م، وحجمه 254664 م³ تقريباً، فما طول كل جانب من قاعدته المربعة؟

• أ) 11664 م
• ب) 62.3 م
• ج) 108 م
• د) 3888 م

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 108 م

الشرح: 1. صيغة حجم الهرم هي $V = \frac{1}{3} Area_{base} \times h$. 2. بما أن القاعدة مربعة، $Area_{base} = s^2$. إذن $V = \frac{1}{3} s^2 h$. 3. لإيجاد $s^2$, نعيد ترتيب الصيغة: $s^2 = \frac{3V}{h}$. 4. نعوض القيم: $s^2 = \frac{3 \times 254664}{65.5} = \frac{763992}{65.5} \approx 11664$. 5. نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد $s$: $s = \sqrt{11664} = 108$. إذن طول كل جانب من قاعدته المربعة هو 108 م.

تلميح: تذكر أن حجم الهرم يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع، ومساحة القاعدة المربعة هي مربع طول الضلع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 5. مخروط بارتفاع 7 م ونصف قطر 5 م.

• أ) 183.3 م³
• ب) 549.8 م³
• ج) 73.3 م³
• د) 256.6 م³

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 183.3 م³

الشرح: 1. صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. نعوض نصف القطر $r=5$ م والارتفاع $h=7$ م في الصيغة. 3. $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 7$. 4. $V = \frac{175\pi}{3}$. 5. باستخدام $\pi \approx 3.14159$, نحسب $V \approx \frac{175 \times 3.14159}{3} \approx 183.259$ م³. 6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم $183.3$ م³.

تلميح: استخدم صيغة حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. تذكر أن تقرب لأقرب جزء من عشرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 6. مخروط بارتفاع 7 ملم ونصف قطر 4 ملم.

• أ) 351.9 ملم³
• ب) 58.7 ملم³
• ج) 29.3 ملم³
• د) 117.3 ملم³

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 117.3 ملم³

الشرح: 1. صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. نعوض نصف القطر $r=4$ ملم والارتفاع $h=7$ ملم في الصيغة. 3. $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (4)^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 7$. 4. $V = \frac{112\pi}{3}$. 5. باستخدام $\pi \approx 3.14159$, نحسب $V \approx \frac{112 \times 3.14159}{3} \approx 117.286$ ملم³. 6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم $117.3$ ملم³.

تلميح: صيغة حجم المخروط تتضمن $\pi r^2 h$ مقسومة على 3.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 7. مخروط بارتفاع 16 قدمًا ونصف قطر 11 قدمًا.

• أ) 6082.1 قدم³
• ب) 2027.7 قدم³
• ج) 368.6 قدم³
• د) 2948.9 قدم³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2027.7 قدم³

الشرح: 1. صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. نعوض نصف القطر $r=11$ قدمًا والارتفاع $h=16$ قدمًا في الصيغة. 3. $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (11)^2 \times 16 = \frac{1}{3} \times \pi \times 121 \times 16$. 4. $V = \frac{1936\pi}{3}$. 5. باستخدام $\pi \approx 3.14159$, نحسب $V \approx \frac{1936 \times 3.14159}{3} \approx 2027.67$ قدم³. 6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم $2027.7$ قدم³.

تلميح: تأكد من استخدام القيم الصحيحة لنصف القطر والارتفاع في صيغة حجم المخروط $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب جزء من عشرة: 8. مخروط بارتفاع 15 سم ونصف قطر 12 سم.

• أ) 6785.8 سم³
• ب) 377.0 سم³
• ج) 188.5 سم³
• د) 2261.9 سم³

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 2261.9 سم³

الشرح: 1. صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. 2. نعوض نصف القطر $r=12$ سم والارتفاع $h=15$ سم في الصيغة. 3. $V = \frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times 15 = \frac{1}{3} \times \pi \times 144 \times 15$. 4. $V = \frac{2160\pi}{3} = 720\pi$. 5. باستخدام $\pi \approx 3.14159$, نحسب $V \approx 720 \times 3.14159 \approx 2261.94$ سم³. 6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم $2261.9$ سم³.

تلميح: تذكر أن تربيع نصف القطر هو الخطوة الأولى في حساب مساحة القاعدة الدائرية للمخروط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط