٢-٩ حل معادلات ذات خطوتين - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: ٢-٩ حل معادلات ذات خطوتين

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل معادلات ذات خطوتين

المفاهيم الأساسية

معادلة ذات خطوتين: معادلة تحتوي على عمليتين، مثل الضرب ثم الجمع أو القسمة ثم الطرح. لحلها، يتم حل كل عملية بالترتيب المعاكس لترتيب حدوثها.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل معادلات ذات خطوتين

تعريف المعادلة

تحتوي على عمليتين

مثال: ٣ س + ١ = ۷

طرق الحل

الطريقة ١: استعمال النماذج (الطريقة البصرية)

#### احذف العناصر الثابتة من الطرفين

#### وزع العناصر المتبقية في مجموعات متساوية

الطريقة ٢: استعمال الرموز (الطريقة الجبرية)

#### استعمال خاصية الطرح للمعادلة

#### استعمال خاصية القسمة للمعادلة

خطوات الحل العامة

#### ١. حل العملية الثانية (عكسياً) باستخدام الطرح أو الجمع

#### ٢. حل العملية الأولى (عكسياً) باستخدام القسمة أو الضرب

```

نقاط مهمة

  • الهدف من الدرس: تعلم كيفية حل معادلات ذات خطوتين.
  • المبدأ الأساسي: الحل بالترتيب المعاكس للعمليات الموجودة في المعادلة.
  • في المثال التوضيحي ٣ س + ١ = ۷، العمليات هي: الضرب (في ٣) ثم الجمع (+١). لذلك، نبدأ بحل الجمع (بالطرح) ثم نتبع بحل الضرب (بالقسمة).
  • يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة المتغير (س) في المعادلة الأصلية.

---

حل مثال

المثال (1): حل المعادلة: ٣س + ١ = ۷

الطريقة 1: استعمال النماذج (الطريقة البصرية)

  • ابدأ بالنموذج الذي يمثل ٣س + ١ في طرف، والعدد ۷ في الطرف الآخر.
  • احذف بطاقة واحدة (تمثل +١) من كل لوحة (طرفي المعادلة). يتبقى ٣س = ٦.
  • وزع البطاقات المتبقية (الـ٦) في ثلاث مجموعات متساوية (لأن معامل س هو ٣).
  • النتيجة: س = ٢، لأن كل مجموعة تحتوي على بطاقتين.

    • الطريقة 2: استعمال الرموز (الطريقة الجبرية)

  • اكتب المعادلة: ٣س + ١ = ۷
  • استعمل خاصية الطرح (لحل عملية الجمع): اطرح ١ من طرفي المعادلة.

    • ٣س + ١ - ١ = ۷ - ١

    ٣س = ٦

  • استعمل خاصية القسمة (لحل عملية الضرب): اقسم طرفي المعادلة على ٣.

    • \frac{٣س}{٣} = \frac{٦}{٣}

    س = ٢

    النتيجة النهائية: باستعمال أي من الطريقتين، يكون حل المعادلة هو س = ٢.

    📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    نوع: NON_EDUCATIONAL

    رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

    ٢-٩ حل معادلات ذات خطوتين

    نوع: محتوى تعليمي

    ٢-٩ حل معادلات ذات خطوتين

    فكرة الدرس

    نوع: محتوى تعليمي

    فكرة الدرس: أحل معادلات ذات خطوتين.

    المفردات

    نوع: محتوى تعليمي

    المفردات معادلة ذات خطوتين

    استعد

    نوع: محتوى تعليمي

    استعد

    نوع: محتوى تعليمي

    حلوى: اشترى زيد ٣ أكياس من الحلوى، وكيسًا واحدًا من البسكويت، ودفع ٧ ريالات ثمنًا لها جميعًا.

    نوع: QUESTION_ACTIVITY

    1 وضح كيف يمكنك استعمال استراتيجية الحل لإيجاد ثمن كل كيس من أكياس الحلوى التي اشتراها زيد.

    نوع: QUESTION_ACTIVITY

    2 أوجد ثمن كل كيس من الحلوى.

    نوع: محتوى تعليمي

    يمكن حل هذه المسألة أيضًا من خلال حل معادلة ذات خطوتين هي: ٣ س + ١ = ٧، حيث يمثل المتغير س ثمن الكيس الواحد من أكياس الحلوى. تحتوي المعادلة ذات الخطوتين على عمليتين، ففي المعادلة ٣ س + ١ = ٧ ، ضربت س في (٣) ثم أضيف (١) إلى الناتج. ولحل هذه المعادلات حُلّ كل عملية بالترتيب المعاكس.

    1

    نوع: محتوى تعليمي

    مثال ١: حل المعادلة: ٣ س + ١ = ٧

    الطريقة ١: استعمال النماذج

    نوع: محتوى تعليمي

    الطريقة ١: استعمال النماذج

    نوع: محتوى تعليمي

    احذف بطاقة واحدة من كل لوحة.

    نوع: محتوى تعليمي

    ثم وزع البطاقات المتبقية في ثلاث مجموعات متساوية.

    نوع: محتوى تعليمي

    هناك بطاقتان في كل مجموعة؛ لذا س = ٢

    الطريقة ٢: استعمال الرموز

    نوع: محتوى تعليمي

    الطريقة ٢: استعمال الرموز

    نوع: محتوى تعليمي

    استعمل خاصية الطرح: ٣ س + ١ = ٧ اكتب المعادلة - ١ = - ١ اطرح ١ من كل طرف ٣ س = ٦

    نوع: محتوى تعليمي

    استعمل خاصية القسمة: ٣ س = ٦ ٣ ٣ اقسم كل طرف على ٣ س = ٢ بسط

    نوع: محتوى تعليمي

    وباستعمال أي من الطريقتين يكون الناتج ٢

    نوع: METADATA

    الفصل ٩: الجبر: المعادلات والمتباينات

    نوع: METADATA

    ١٤٤

    نوع: NON_EDUCATIONAL

    وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

    🔍 عناصر مرئية

    An image showing four packets of biscuits labeled 'بسكويت' (biscuits) and three packets of sweets labeled 'حلوى' (sweets). Each sweet packet has a price tag of '١ ريال / كيس' (1 Riyal / bag). The biscuit packets are light brown with a green stripe, and the sweet packets are yellow with colorful fruit illustrations.

    احذف بطاقة واحدة من كل لوحة.

    The diagram shows two rectangular trays. The left tray contains three square blocks labeled 'س' (x) and one small square block labeled '١' (1). The right tray contains seven small square blocks, each labeled '١' (1). Below the trays, the mathematical operation '٣ س + ١ - ١ = ٧ - ١' is written, visually representing the removal of one '١' block from each side.

    ثم وزع البطاقات المتبقية في ثلاث مجموعات متساوية.

    The diagram shows three horizontal rows. Each row starts with a square block labeled 'س' (x), followed by two small square blocks, each labeled '١' (1). This visually represents the division of the remaining '٦' (6) blocks equally among the three 'س' (x) blocks, showing that each 'س' is equal to 2. Below the diagram, the conclusion 'هناك بطاقتان في كل مجموعة؛ لذا س = ٢' is stated.

    📄 النص الكامل للصفحة

    رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٢-٩ حل معادلات ذات خطوتين --- SECTION: فكرة الدرس --- فكرة الدرس: أحل معادلات ذات خطوتين. --- SECTION: المفردات --- المفردات معادلة ذات خطوتين --- SECTION: استعد --- استعد حلوى: اشترى زيد ٣ أكياس من الحلوى، وكيسًا واحدًا من البسكويت، ودفع ٧ ريالات ثمنًا لها جميعًا. 1 وضح كيف يمكنك استعمال استراتيجية الحل لإيجاد ثمن كل كيس من أكياس الحلوى التي اشتراها زيد. 2 أوجد ثمن كل كيس من الحلوى. يمكن حل هذه المسألة أيضًا من خلال حل معادلة ذات خطوتين هي: ٣ س + ١ = ٧، حيث يمثل المتغير س ثمن الكيس الواحد من أكياس الحلوى. تحتوي المعادلة ذات الخطوتين على عمليتين، ففي المعادلة ٣ س + ١ = ٧ ، ضربت س في (٣) ثم أضيف (١) إلى الناتج. ولحل هذه المعادلات حُلّ كل عملية بالترتيب المعاكس. --- SECTION: 1 --- مثال ١: حل المعادلة: ٣ س + ١ = ٧ --- SECTION: الطريقة ١: استعمال النماذج --- الطريقة ١: استعمال النماذج احذف بطاقة واحدة من كل لوحة. ثم وزع البطاقات المتبقية في ثلاث مجموعات متساوية. هناك بطاقتان في كل مجموعة؛ لذا س = ٢ --- SECTION: الطريقة ٢: استعمال الرموز --- الطريقة ٢: استعمال الرموز استعمل خاصية الطرح: ٣ س + ١ = ٧ اكتب المعادلة - ١ = - ١ اطرح ١ من كل طرف ٣ س = ٦ استعمل خاصية القسمة: ٣ س = ٦ ٣ ٣ اقسم كل طرف على ٣ س = ٢ بسط وباستعمال أي من الطريقتين يكون الناتج ٢ الفصل ٩: الجبر: المعادلات والمتباينات ١٤٤ وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: An image showing four packets of biscuits labeled 'بسكويت' (biscuits) and three packets of sweets labeled 'حلوى' (sweets). Each sweet packet has a price tag of '١ ريال / كيس' (1 Riyal / bag). The biscuit packets are light brown with a green stripe, and the sweet packets are yellow with colorful fruit illustrations. Context: This figure illustrates the word problem presented in the 'استعد' section, specifically for questions 1 and 2, which involve calculating the cost of sweets and biscuits. **DIAGRAM**: احذف بطاقة واحدة من كل لوحة. Description: The diagram shows two rectangular trays. The left tray contains three square blocks labeled 'س' (x) and one small square block labeled '١' (1). The right tray contains seven small square blocks, each labeled '١' (1). Below the trays, the mathematical operation '٣ س + ١ - ١ = ٧ - ١' is written, visually representing the removal of one '١' block from each side. Context: This diagram visually demonstrates the first step in solving the two-step equation 3x + 1 = 7 using physical models, specifically the subtraction property of equality. **DIAGRAM**: ثم وزع البطاقات المتبقية في ثلاث مجموعات متساوية. Description: The diagram shows three horizontal rows. Each row starts with a square block labeled 'س' (x), followed by two small square blocks, each labeled '١' (1). This visually represents the division of the remaining '٦' (6) blocks equally among the three 'س' (x) blocks, showing that each 'س' is equal to 2. Below the diagram, the conclusion 'هناك بطاقتان في كل مجموعة؛ لذا س = ٢' is stated. Context: This diagram visually demonstrates the second step in solving the two-step equation 3x = 6 (after subtracting 1 from both sides), using physical models to illustrate the division property of equality.

    ✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

    عدد الأسئلة: 2

    سؤال 1: حلوى؛ اشترى زيد 3 أكياس من الحلوى، وكيسًا واحدًا من البسكويت، ودفع 7 ريالات ثمنًا لها جميعًا. 1) وضح كيف يمكنك استعمال استراتيجية الحل عكسيًا لإيجاد ثمن كل كيس من أكياس الحلوى التي اشتراها زيد.

    الإجابة: س1: نبدأ من المبلغ الكلي 7 ريالات، نطرح ثمن كيس البسكويت (1 ريال) فيبقى 6 ريالات لـ 3 أكياس حلوى، ثم نقسم 6 على 3 فنحصل على ثمن الكيس الواحد.

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | العدد | الثمن (ريال) | ملاحظات | |--------|-------|--------------|----------| | أكياس الحلوى | 3 | مجهول (س) | المطلوب هو ثمن الواحد | | كيس البسكويت | 1 | 1 | معروف (واضح من السؤال والسياق) | | المبلغ الإجمالي | - | 7 | مجموع ثمن كل ما اشتراه | **المطلوب:** توضيح خطوات **استراتيجية الحل العكسي** لإيجاد ثمن كيس الحلوى.
    2. **الخطوة 2: شرح مبدأ الاستراتيجية العكسية** فكرة **الحل العكسي** تبدأ من النهاية (الناتج أو الإجمالي المعروف) وتعود خطوة بخطوة نحو البداية (المجهول) عن طريق عكس العمليات الحسابية التي تمت.
    3. **الخطوة 3: تطبيق استراتيجية الحل العكسي خطوة بخطوة** 1. نبدأ من **النقطة النهائية** المعروفة، وهي المبلغ الكلي الذي دفعه زيد: **7 ريالات**. 2. نعلم أن هذا المجموع يتكون من: (ثمن 3 أكياس حلوى) + (ثمن كيس بسكويت). 3. ثمن كيس البسكويت الواحد **معروف** وهو 1 ريال (وذلك من نص المسألة الكامل). 4. نعكس عملية الجمع **بطرح** ثمن البسكويت من المبلغ الإجمالي: $7 - 1 = 6$ ريالات. هذه الـ **6 ريالات** تمثل **المجموع الكلي لثمن أكياس الحلوى الثلاثة**. 5. نعلم أن هذه الـ 6 ريالات هي ثمن **3 أكياس**. 6. نعكس عملية الضرب (ثلاثة أكياس × ثمن الواحد) **بالقسمة** على عدد الأكياس: $6 \div 3 = 2$ ريالات. 7. الناتج (**2 ريالات**) هو **ثمن كيس الحلوى الواحد**، وهو ما بدأنا البحث عنه.
    4. **الخطوة 4: تلخيص الفكرة** > تُستخدم الاستراتيجية العكسيّة عندما يكون المجهول هو المُدخل، بينما المعلوم هو الناتج النهائي. فنبدأ من النهاية (المجموع 7) ونتراجع خطوات نحو البداية بعكس العمليات: (الطرح ثم القسمة) للحصول على القيمة الأصلية.

    سؤال 2: 2) أوجد ثمن كل كيس من الحلوى.

    الإجابة: س2: ثمن كيس الحلوى = 2 ريال. لأن 3س + 1 = 7 => 3س = 6 => س = 2

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | العدد | الثمن (ريال) | |--------|-------|--------------| | أكياس الحلوى | 3 | مجهول (س) للكيس الواحد | | كيس البسكويت | 1 | 1 | | المبلغ الإجمالي | - | 7 | **المطلوب:** إيجاد قيمة **س** (ثمن كيس الحلوى الواحد).
    2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة (القانون) المنطقي** المبلغ الإجمالي = (عدد أكياس الحلوى × ثمن الكيس) + (عدد أكياس البسكويت × ثمن الكيس) $ 3 \times س + 1 \times 1 = 7 $ أو بتبسيط: $3س + 1 = 7$
    3. **الخطوة 3: حل المعادلة خطوة بخطوة** 1. **عزل الحد المجهول:** نطرح 1 من طرفي المعادلة للتخلص من الثابت المرافق للمجهول. $3س + 1 - 1 = 7 - 1$ $3س = 6$ 2. **إيجاد قيمة المجهول:** نقسم طرفي المعادلة على معامل س (وهو 3) للحصول على قيمة س وحدها. $\frac{3س}{3} = \frac{6}{3}$ $س = 2$
    4. **الخطوة 4: تفسير النتيجة والتحقق** - **الإجابة:** ثمن **كل كيس من الحلوى** هو **2 ريال**. - **التحقق:** (3 × 2) + (1 × 1) = 6 + 1 = 7 ريالات. وهذا يتطابق مع المبلغ الإجمالي المذكور في المسألة.

    🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

    عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

    ما هو تعريف المعادلة ذات الخطوتين؟

    • أ) معادلة من الدرجة الأولى فقط.
    • ب) المعادلة التي تحتوي على عمليتين رياضيتين، وتحل بعكس العمليات بالترتيب المعاكس.
    • ج) معادلة تحتوي على مجهول واحد فقط بغض النظر عن عدد العمليات.
    • د) معادلة تحل دائماً بالجمع أو الطرح فقط.

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: المعادلة التي تحتوي على عمليتين رياضيتين، وتحل بعكس العمليات بالترتيب المعاكس.

    الشرح: المعادلة ذات الخطوتين تتضمن عمليتين رياضيتين (مثل الضرب ثم الجمع). لحلها، يتم إلغاء هذه العمليات بترتيب عكسي (الطرح ثم القسمة أو العكس).

    تلميح: تذكر عدد العمليات التي تحتويها هذه المعادلات وكيفية حلها.

    التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

    عند حل معادلة ذات خطوتين مثل ٣س + ١ = ٧، ما هي الخطوة الأولى التي يجب القيام بها؟

    • أ) طرح العدد ١ من كلا طرفي المعادلة.
    • ب) قسمة طرفي المعادلة على معامل س.
    • ج) ضرب طرفي المعادلة في العدد ١.
    • د) إضافة العدد ٧ إلى كلا طرفي المعادلة.

    الإجابة الصحيحة: a

    الإجابة: طرح العدد ١ من كلا طرفي المعادلة.

    الشرح: لحل معادلة ذات خطوتين، نبدأ بعكس عملية الجمع أو الطرح أولاً. في ٣س + ١ = ٧، العملية الأبعد عن س هي الجمع (+١)، لذا نطرح ١ من كلا الطرفين.

    تلميح: ابدأ بعكس العملية الأبعد عن المتغير س.

    التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

    ما هي استراتيجية حل المسائل التي تبدأ من الناتج النهائي وتعود خطوة بخطوة نحو المجهول بعكس العمليات؟

    • أ) استراتيجية التخمين والتحقق.
    • ب) استراتيجية الرسم.
    • ج) استراتيجية الحل عكسيًا.
    • د) استراتيجية إنشاء جدول.

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: استراتيجية الحل عكسيًا.

    الشرح: استراتيجية الحل عكسيًا تبدأ من النتيجة المعروفة وتعمل رجوعًا خطوة بخطوة، مع عكس كل عملية حسابية تمت للوصول إلى المجهول الأصلي.

    تلميح: فكر في كيفية تتبع خطوات الحل من النهاية إلى البداية.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

    بعد تحويل المعادلة ٣س + ١ = ٧ إلى ٣س = ٦، ما هي الخطوة التالية لإيجاد قيمة س؟

    • أ) طرح العدد ٣ من كلا الطرفين.
    • ب) جمع العدد ٣ إلى كلا الطرفين.
    • ج) ضرب طرفي المعادلة في العدد ٣.
    • د) قسمة طرفي المعادلة على العدد ٣.

    الإجابة الصحيحة: d

    الإجابة: قسمة طرفي المعادلة على العدد ٣.

    الشرح: بعد طرح ١ من كلا الطرفين للحصول على ٣س = ٦، الخطوة التالية هي عكس عملية الضرب. نقسم كلا الطرفين على معامل س، وهو ٣، لإيجاد قيمة س.

    تلميح: الآن وبعد عزل الحد الذي يحتوي على س، كيف تتخلص من المعامل؟

    التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل