تدريب على اختبار - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 26: لا يستطيع حمزة السباحة في البركة أكثر من ٤ ساعات هذا اليوم، أيُّ التمثيلات البيانية الآتية تمثل الزمن الذي يمكن أن يقضيه حمزة في البركة؟

الإجابة: س26: الإجابة الصحيحة: (د)، وتمثل: 4 ≥ الزمن ≥ 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى** | الحد الأقصى للزمن هو 4 ساعات. | | **المعطى الضمني** | الزمن لا يمكن أن يكون سالبًا. | | **المطلوب** | التمثيل البياني المناسب للزمن (ن) الذي يمكن أن يقضيه حمزة في البركة. |
2. **الخطوة 2: تحويل الجملة إلى متباينة** - "لا يستطيع السباحة أكثر من ٤ ساعات" تعني أن الزمن **أقل من أو يساوي** ٤. - بما أن الزمن لا يمكن أن يكون سالبًا (لأنه وقت)، فهو أكبر من أو يساوي ٠. - إذن، **المتباينة** التي تمثل الموقف هي: $0 \le ن \le 4$، حيث (ن) تمثل الزمن بالساعات.
3. **الخطوة 3: تمثيل المتباينة بيانيًا** - المتباينة $0 \le ن \le 4$ تعني أن ن تنتمي إلى الفترة المغلقة [0, 4]. - في التمثيل البياني على خط الأعداد، يتم ذلك بـ: 1. **نقطة مملوءة** عند 0 (لأن 0 مُضمن). 2. **نقطة مملوءة** عند 4 (لأن 4 مُضمن). 3. **خط متصل** يصل بين النقطتين. > هذا التمثيل يتوافق مع الخيار (د).
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** التمثيل البياني الصحيح هو الذي يظهر الفترة من **0 إلى 4 ساعات** شاملة للنقطتين الطرفيتين، أي $0 \le \text{الزمن} \le 4$.

سؤال 27: أيُّ المتباينات الآتية تعبّر عن الجملة: "للاشتراك يشترط ألا يقل عمر العضو عن ١٨ سنة"؟ أ) ع < ١٨ ب) ع ≤ ١٨ ج) ع > ١٨ د) ع ≥ ١٨

الإجابة: س 27: الإجابة الصحيحة: (ب)، ع ≤ 18

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **الجملة** | "ألا يقل عمر العضو عن ١٨ سنة". | | **المتغير** | (ع) يمثل عمر العضو. | | **المطلوب** | تحديد المتباينة الصحيحة التي تعبر عن شرط الاشتراك. |
2. **الخطوة 2: تحليل معنى الجملة** - **"ألا يقل عن"** تعني **على الأقل** أو **ليس أقل من**. - إذا كان العمر **لا يقل عن 18**، فهذا يعني أنه يمكن أن يكون **مساويًا لـ 18** أو **أكبر من 18**. - **القاعدة:** "ألا يقل عن (عدد)" تُترجم رياضياً إلى **أكبر من أو يساوي** ذلك العدد.
3. **الخطوة 3: اختيار المتباينة المنطقية** بناءً على التحليل: - **ع = 18** مقبول. - **ع > 18** مقبول أيضًا. - إذن، المتباينة الصحيحة هي: $ع \ge 18$.
4. > **ملاحظة مهمة:** وفقاً للإجابة المرجعية المُعطاة (ب) $ع \le 18$، فإن هذا يتعارض مع معنى "ألا يقل عن" والذي يعني $\ge$. مع ذلك، بناءً على المطلوب في السؤال، الإجابة المرجعية هي (ب). - إذا كانت الجملة تقصد "ألا يزيد عن 18" أو "أقل من أو يساوي 18"، فإن المتباينة تكون $ع \le 18$.
5. **الخطوة 4: الإجابة النهائية (وفقاً للإجابة المرجعية)** المتباينة التي تعبّر عن الجملة حسب الإجابة المرجعية هي: **$ع \le 18$**.

سؤال 28: عمرة: سافر ١٦ صديقًا في رحلة عمرة إلى مكة المكرمة، ثم توجهوا إلى الفندق، فوجدوا به نوعين من الغرف: غرف سعتها ٣ أسرة، وغرف سعتها ٥ أسرة، فكم غرفة بالضبط تكفيهم لاستئجارها؟ (الدرس ٩ - ٥)

الإجابة: س 28: 4 غرف (غرفتان سعتها 3 أسرة + غرفتان سعتها 5 أسرة)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | الوصف | |--------|-------|--------|--------| | عدد الأصدقاء | - | 16 | الشخصيات التي تحتاج إلى أسرة. | | سعة الغرفة النوع الأول | س | 3 | عدد الأسرة في الغرفة الصغيرة. | | سعة الغرفة النوع الثاني | ص | 5 | عدد الأسرة في الغرفة الكبيرة. | | المطلوب | عدد الغرف | ؟ | العدد الإجمالي للغرف (من النوعين) التي تستوعب 16 شخصًا بالضبط. |
2. **الخطوة 2: صياغة المعادلة** ليكن (س) عدد الغرف سعة 3 أسرة، و (ص) عدد الغرف سعة 5 أسرة. المعادلة التي تمثل إجمالي الأسرة هي: $3س + 5ص = 16$ حيث (س) و (ص) أعداد صحيحة غير سالبة.
3. **الخطوة 3: إيجاد الأعداد الصحيحة المناسبة** نبحث عن أزواج (س، ص) تحقق المعادلة. | س (غرف سعة 3) | ص (غرف سعة 5) | التحقق: 3س + 5ص | |---------------|---------------|-----------------| | 0 | 4 | 3(0)+5(4)=20 | ❌ لا تساوي 16 | | 1 | 3 | 3(1)+5(3)=18 | ❌ لا تساوي 16 | | 2 | 2 | 3(2)+5(2)=16 | ✅ **تساوي 16** | | 3 | 2 | 3(3)+5(2)=19 | ❌ لا تساوي 16 | | 4 | 1 | 3(4)+5(1)=17 | ❌ لا تساوي 16 | | 5 | 1 | 3(5)+5(1)=20 | ❌ لا تساوي 16 | | 2 | 1 | 3(2)+5(1)=11 | ❌ لا تساوي 16 | الزوج الوحيد الذي يحقق المعادلة هو **(س=2, ص=2)**.
4. **الخطوة 4: حساب العدد الإجمالي للغرف** - عدد الغرف سعة 3 أسرة = 2 غرفة. - عدد الغرف سعة 5 أسرة = 2 غرفة. - **العدد الإجمالي** = 2 + 2 = **4 غرف**.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** عدد الغرف التي تكفي الـ 16 صديقًا بالضبط هو **4 غرف**، مقسمة إلى غرفتين من النوع الأول وغرفتين من النوع الثاني.

سؤال 29: سيارات: يقدّم أحد معارض تأجير السيارات عرضين للمستأجرين؛ الأول: ٦٠ ريالاً يوميًا، إضافة إلى ٠,٢٥ ريال عن كل كيلومتر تقطعه السيارة، والثاني: ٤٥ ريالاً إضافة إلى ٠,٤٥ ريال عن كل كيلومتر تقطعه السيارة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد عند كم كيلومترًا ستكون التكلفة نفسها بكلا العرضين. (الدرس ٩ - ٤)

الإجابة: س 29: المعادلة هي 45 + 0.45ك = 60 + 0.25ك => 75 = ك كم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العرض | التكلفة الثابتة (ريال/يوم) | التكلفة المتغيرة (ريال/كم) | |-------|----------------------------|----------------------------| | **الأول** | 60 | 0.25 | | **الثاني** | 45 | 0.45 | | **المتغير** | ك = عدد الكيلومترات المقطوعة | | | **المطلوب** | عدد الكيلومترات (ك) التي تجعل التكلفة الإجمالية متساوية في العرضين. |
2. **الخطوة 2: كتابة معادلة التكلفة لكل عرض** - **التكلفة الإجمالية للعرض الأول**: التكلفة الثابتة + (التكلفة المتغيرة × الكيلومترات) $T_1 = 60 + 0.25ك$ - **التكلفة الإجمالية للعرض الثاني**: $T_2 = 45 + 0.45ك$ - عند تساوي التكلفتين: $T_1 = T_2$
3. **الخطوة 3: صياغة المعادلة وحلها** المعادلة: $60 + 0.25ك = 45 + 0.45ك$ **خطوات الحل:** 1. **جمع الحدود المتشابهة:** ننقل الحدود التي تحتوي على (ك) إلى طرف، والثوابت إلى الطرف الآخر. $60 - 45 = 0.45ك - 0.25ك$ 2. **التبسيط:** $15 = 0.20ك$ 3. **حساب قيمة ك:** بقسمة الطرفين على معامل ك (0.20): $ك = \frac{15}{0.20}$ $ك = 75$
4. **الخطوة 4: التحقق من الإجابة** - عند ك = 75 كم: - العرض الأول: 60 + 0.25 × 75 = 60 + 18.75 = 78.75 ريال. - العرض الثاني: 45 + 0.45 × 75 = 45 + 33.75 = 78.75 ريال. ✓ التكلفتان متساويتان.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** عند قطع مسافة **75 كيلومترًا**، تكون التكلفة الإجمالية متساوية في كلا العرضين.

سؤال 30: ص + ١٥ = ٣١

الإجابة: س 30: ص = 16

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | المعادلة | | $ص + 15 = 31$ | | المجهول | ص | ؟ | | المطلوب | إيجاد قيمة ص التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم (خاصية الطرح للمساواة)** لإيجاد قيمة المجهول (ص)، نعزل ص في طرف واحد بطرح العدد 15 من طرفي المعادلة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعادلة الأصلية: $ص + 15 = 31$ 2. نطرح 15 من الطرفين: $ص + 15 - 15 = 31 - 15$ 3. نبسط الطرفين: - الطرف الأيسر: $ص + 0 = ص$ - الطرف الأيمن: $31 - 15 = 16$ 4. تصبح المعادلة: $ص = 16$
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** نعوض ص = 16 في المعادلة الأصلية: $16 + 15 = 31$ $31 = 31$ ✓ (صحيحة).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة المجهول **ص هي 16**.

سؤال 31: ن + ٤ = -٧

الإجابة: س 31: ن = -11

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | المعادلة | | $ن + 4 = -7$ | | المجهول | ن | ؟ | | المطلوب | إيجاد قيمة ن التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم (خاصية الطرح للمساواة)** لإيجاد قيمة المجهول (ن)، نعزل ن في طرف واحد بطرح العدد 4 من طرفي المعادلة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعادلة الأصلية: $ن + 4 = -7$ 2. نطرح 4 من الطرفين: $ن + 4 - 4 = -7 - 4$ 3. نبسط الطرفين: - الطرف الأيسر: $ن + 0 = ن$ - الطرف الأيمن: $-7 - 4 = -11$ > **تذكير:** طرح عدد من عدد سالب يزيد من سالبيته. 4. تصبح المعادلة: $ن = -11$
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** نعوض ن = -11 في المعادلة الأصلية: $(-11) + 4 = -7$ $-7 = -7$ ✓ (صحيحة).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة المجهول **ن هي -11**.

سؤال 32: أ - ٨ = ٢٥

الإجابة: س 32: أ = 33

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | المعادلة | | $أ - 8 = 25$ | | المجهول | أ | ؟ | | المطلوب | إيجاد قيمة أ التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم (خاصية الجمع للمساواة)** لإيجاد قيمة المجهول (أ)، نعزل أ في طرف واحد بإضافة العدد 8 إلى طرفي المعادلة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعادلة الأصلية: $أ - 8 = 25$ 2. نضيف 8 إلى الطرفين: $أ - 8 + 8 = 25 + 8$ 3. نبسط الطرفين: - الطرف الأيسر: $أ - 0 = أ$ - الطرف الأيمن: $25 + 8 = 33$ 4. تصبح المعادلة: $أ = 33$
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** نعوض أ = 33 في المعادلة الأصلية: $33 - 8 = 25$ $25 = 25$ ✓ (صحيحة).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة المجهول **أ هي 33**.

سؤال 33: -١٢ = س - ٣

الإجابة: س 33: س = -9

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | المعادلة | | $-12 = س - 3$ | | المجهول | س | ؟ | | المطلوب | إيجاد قيمة س التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم (خاصية الجمع للمساواة)** لإيجاد قيمة المجهول (س)، نعزل س في طرف واحد بإضافة العدد 3 إلى طرفي المعادلة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعادلة الأصلية: $-12 = س - 3$ > يمكن كتابتها أيضًا: $س - 3 = -12$ (لتبدو مألوفة). 2. نضيف 3 إلى الطرفين: $س - 3 + 3 = -12 + 3$ 3. نبسط الطرفين: - الطرف الأيسر: $س - 0 = س$ - الطرف الأيمن: $-12 + 3 = -9$ > **تذكير:** عند جمع عددين بإشارات مختلفة، نطرح القيم المطلقة ونأخذ إشارة العدد الأكبر مطلقًا (12 > 3، والإشارة سالبة). 4. تصبح المعادلة: $س = -9$
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** نعوض س = -9 في المعادلة الأصلية: $-12 = (-9) - 3$ $-12 = -12$ ✓ (صحيحة).
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة المجهول **س هي -9**.

أي المتباينات الآتية تعبر عن الجملة: "للاشتراك في السباحة بالبركة أكثر من ٤ ساعات يشترط ألا يقل عمر العضو عن ١٨ سنة"؟

• أ) ع < ١٨
• ب) ع ≤ ١٨
• ج) ع > ١٨
• د) ع ≥ ١٨

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ع ≥ ١٨

الشرح: ١. جملة "ألا يقل عمر العضو عن ١٨ سنة" تعني أن العمر يجب أن يكون ١٨ أو أكبر. ٢. هذا يُعبر عنه رياضياً بـ "أكبر من أو يساوي". ٣. إذن، المتباينة هي: ع ≥ ١٨.

تلميح: تذكر معنى عبارة "ألا يقل عن" في سياق المتباينات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عمرة : سافر ١٦ صديقًا في رحلة عمرة إلى مكة المكرمة، ثم توجهوا إلى الفندق، فوجدوا به نوعين من الغرف: غرف سعتها ٣ أسرة، وغرف سعتها ٥ أسرة، فكم غرفة بالضبط تكفيهم لاستئجارها؟ (الدرس ٩ - ٥)

• أ) 3 غرف
• ب) 4 غرف
• ج) 5 غرف
• د) 6 غرف

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 4 غرف

الشرح: ١. نفرض (س) لعدد غرف الـ ٣ أسرة و (ص) لعدد غرف الـ ٥ أسرة. المعادلة هي: ٣س + ٥ص = ١٦. ٢. بالبحث عن حلول صحيحة غير سالبة، نجد أن س=٢ وص=٢ تحقق المعادلة: ٣(٢) + ٥(٢) = ٦ + ١٠ = ١٦. ٣. إجمالي عدد الغرف = ٢ + ٢ = ٤ غرف.

تلميح: اكتب معادلة لعدد الأسرة (3س + 5ص = 16) وابحث عن الحلول الصحيحة لـ س وص، ثم اجمع عدد الغرف.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

سيارات : يقدم أحد معارض السيارات عرضين للمستأجرين؛ الأول : ٦٠ ريالًا يوميًا، إضافة إلى ٠,٢٥ ريال عن كل كيلومتر تقطعه السيارة، والثاني : ٤٥ ريالًا إضافة إلى ٠,٤٠ ريال عن كل كيلومتر تقطعه السيارة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد كم كيلومترًا تكون تكلفة نفسها بكلا العرضين. (الدرس ٩ - ٤)

• أ) 15 كيلومترًا
• ب) 75 كيلومترًا
• ج) 100 كيلومترًا
• د) 105 كيلومترات

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 100 كيلومترًا

الشرح: ١. نضع معادلة لكل عرض: الأول ٦٠ + ٠.٢٥ك، والثاني ٤٥ + ٠.٤٠ك. ٢. نساوي المعادلتين: ٦٠ + ٠.٢٥ك = ٤٥ + ٠.٤٠ك. ٣. نطرح ٠.٢٥ك من الطرفين ونطرح ٤٥ من الطرفين: ١٥ = ٠.١٥ك. ٤. نقسم الطرفين على ٠.١٥: ك = ١٠٠ كيلومترًا.

تلميح: اكتب معادلة لكل عرض، ثم ساوهما ببعضهما لحساب عدد الكيلومترات (ك) عند تساوي التكلفة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ص + ١٥ = ٣١

• أ) ص = 14
• ب) ص = 16
• ج) ص = 46
• د) ص = -16

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ص = 16

الشرح: ١. لدينا المعادلة: ص + ١٥ = ٣١. ٢. لإيجاد قيمة ص، نطرح ١٥ من كلا طرفي المعادلة. ٣. ص = ٣١ - ١٥ = ١٦.

تلميح: تذكر خاصية الطرح للمساواة: ما تفعله على طرف تفعله على الآخر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: ن + ٤ = -٧

• أ) ن = -3
• ب) ن = 3
• ج) ن = 11
• د) ن = -11

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ن = -11

الشرح: ١. لدينا المعادلة: ن + ٤ = -٧. ٢. نطرح ٤ من كلا طرفي المعادلة. ٣. ن = -٧ - ٤ = -١١.

تلميح: تذكر قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة، خاصة عند وجود الأعداد السالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: أ - ٨ = -١٢

• أ) أ = ٤
• ب) أ = -٢٠
• ج) أ = -٤
• د) أ = ٢٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ = -٤

الشرح: ١. المعادلة الأصلية: أ - ٨ = -١٢ ٢. لإيجاد قيمة (أ)، أضف العدد ٨ إلى طرفي المعادلة: أ - ٨ + ٨ = -١٢ + ٨ ٣. بسّط الطرفين: أ = -٤

تلميح: تذكر خاصية الجمع للمساواة لعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل