المتتابعات - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: المتتابعات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 ١٠ - ١ المتتابعات

المفاهيم الأساسية

المتتابعة: مجموعة مرتبة من الأعداد، ويُسمى كل عدد فيها حدا.

المتتابعة الحسابية: متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتا.

أساس المتتابعة: الفرق الثابت بين كل حدين متتاليين في المتتابعة الحسابية.

الحد النوني: (مذكور كمفردة فقط دون تعريف في هذه الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 10: الجبر - الدوال الخطية

الفكرة العامة

فهم الميل

  • لتمثيل المسائل
  • لحل المسائل

استعمال الأسس والقوى والجذور

المفردات الرئيسة

  • الدالة الخطية
  • الميل
  • ثابت التغير

الربط بالحياة

  • حساب سرعة القطار الدوار

مراجعة سريعة (تهيئة)

تمثيل النقاط على المستوى الإحداثي

  • الإحداثي السيني (العدد الأول)
  • الإحداثي الصادي (العدد الثاني)

حساب قيمة العبارة الجبرية

  • التعويض بقيمة المتغير
  • التبسيط

حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة

  • معادلات الجمع
  • معادلات الطرح

١٠ - ١ المتتابعات

فكرة الدرس

  • تحديد المتتابعات الحسابية
  • كتابة عبارة جبرية لإيجاد حدود المتتابعة الحسابية

المفردات

  • المتتابعة
  • الحد
  • المتتابعة الحسابية
  • أساس المتتابعة
  • الحد النوني

تعريف المتتابعة الحسابية

  • الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت
  • هذا الفرق الثابت هو "أساس المتتابعة"

كيفية إيجاد الحد التالي

  • أضف أساس المتتابعة إلى الحد الأخير

```

نقاط مهمة

  • المتتابعة الحسابية مثال: ٥، ٧، ٩، ١١، ... أساسها هو ٢.
  • لإيجاد الحد التالي في متتابعة حسابية، اجمع الحد الأخير مع الأساس.
  • يمكن أن يكون أساس المتتابعة الحسابية عدداً سالباً.

---

حل النشاط

النشاط: تأمل النمط الآتي (تكوين مثلثات من عيدان):

* ١ مثلث ← ٣ عيدان

* ٢ مثلث ← ٥ عيدان

* ٣ مثلث ← ٧ عيدان

١. أكمل النمط لـ ٤، ٥، ٦ مثلثات. كم عودًا تحتاج إليه في كل حالة؟

* ٤ مثلثات ← ٩ عيدان

* ٥ مثلثات ← ١١ عودًا

* ٦ مثلثات ← ١٣ عودًا

(الملاحظة: عدد العيدان يشكل متتابعة حسابية: ٣، ٥، ٧، ٩، ١١، ١٣، ... أساسها ٢)

٢. كم عودًا إضافيًا تحتاج إليه لتكوين ٤ مثلثات؟ وما العدد الكلي للعيدان المطلوبة لتكوين ٧ مثلثات؟

* العيدان الإضافية لتكوين المثلث الرابع: ٢ عودان (لأن العدد الكلي يصبح ٩، وكان العدد السابق ٧).

* العدد الكلي للعيدان لتكوين ٧ مثلثات: ١٥ عودًا (باستكمال المتتابعة: ٣، ٥، ٧، ٩، ١١، ١٣، ١٥).

---

حل مثال

المثال ١: تحديد المتتابعات الحسابية.

بين إذا كانت المتتابعة: ۱۷، ۱۲، ۷، ۲، ۳-، ... حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية.

* الحل:

* نجد الفرق بين الحدود المتتالية:

* ۱۲ - ۱۷ = -٥

* ۷ - ۱۲ = -٥

* ۲ - ۷ = -٥

* ۳- - ۲ = -٥

* بما أن الفرق ثابت ويساوي (-٥)، فإن المتتابعة حسابية وأساسها -٥.

* لإيجاد الحدود الثلاثة التالية، نضيف الأساس (-٥) إلى الحد الأخير المعطى (۳-):

* الحد الأول التالي: ۳- + (-٥) = ۸-

* الحد الثاني التالي: ۸- + (-٥) = ۱۳-

* الحد الثالث التالي: ۱۳- + (-٥) = ۱۸-

* الحدود الثلاثة التالية هي: ۸-، ۱۳-، ۱۸-.

---

تحقق من فهمك

بين إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية.

أ) ٢، ٦، ١٠، ١٤، ١٨، ...

* الحل:

* الفرق ثابت: ٦-٢=٤، ١٠-٦=٤، ١٤-١٠=٤، ١٨-١٤=٤.

* إذن المتتابعة حسابية، وأساسها ٤.

* الحدود الثلاثة التالية: ٢٢، ٢٦، ٣٠.

ب) -٤، -٨، -١٦، -٣٢، ...

* الحل:

* الفرق غير ثابت: -٨ - (-٤) = -٤، لكن -١٦ - (-٨) = -٨.

* إذن المتتابعة ليست حسابية.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: NON_EDUCATIONAL

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

المتتابعات

نوع: محتوى تعليمي

المتتابعات ١-١

فكرة الدرس

نوع: محتوى تعليمي

فكرة الدرس: أحدد المتتابعات الحسابية. أكتب عبارة جبرية لأجد حدود المتتابعة الحسابية. المفردات المتتابعة الحد المتتابعة الحسابية أساس المتتابعة الحد النوني

نشاط

نوع: محتوى تعليمي

نشاط تأمل النمط الآتي:

1

نوع: QUESTION_ACTIVITY

أكمل النمط 4، 5، 6 مثلثات. كم عودًا تحتاج إليه في كل حالة؟

2

نوع: QUESTION_ACTIVITY

كم عودًا إضافيًا تحتاج إليه لتكوين 4 مثلثات؟ وما العدد الكلي للعيدان المطلوبة لتكوين 7 مثلثات؟

نوع: محتوى تعليمي

عدد العيدان في النمط السابق تشكل متتابعة. والمتتابعة: مجموعة مرتبة من الأعداد، ويُسمى كل عدد فيها حدًا. والمتتابعة الحسابية: هي متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا.

نوع: محتوى تعليمي

لإيجاد العدد التالي في المتتابعة الحسابية أضف أساس المتتابعة إلى الحد الأخير.

تحديد المتتابعات الحسابية

نوع: محتوى تعليمي

تحديد المتتابعات الحسابية

مثال

نوع: محتوى تعليمي

مثال

1

نوع: محتوى تعليمي

بين إذا كانت المتتابعة: 17، 12، 7، 2، -3، ... حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية. لاحظ أن: 17 - 12 = 5، 12 - 7 = 5، 7 - 2 = 5 وهكذا. بما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت ويساوي -5 ؛ لذا فالمتتابعة حسابية أساسها -5. أكمل النمط لإيجاد الحدود الثلاثة التالية. فتكون الحدود الثلاثة التالية هي: -18، -13، -8.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

بين إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية.

نوع: METADATA

الفصل 10: الجبر: الدوال الخطية

نوع: METADATA

178

🔍 عناصر مرئية

A table showing patterns of triangles made from sticks. The table has two rows and four columns. The first column header is 'عدد المثلثات' (Number of Triangles) and the first row header is 'عدد العيدان' (Number of Sticks). The subsequent columns show 'مثلث واحد' (One Triangle) with '٣ عيدان' (3 Sticks), 'مثلثان' (Two Triangles) with '٥ عيدان' (5 Sticks), and '٣ مثلثات' (Three Triangles) with '٧ عيدان' (7 Sticks). Each column also contains a visual representation of the triangles made from sticks.

A horizontal sequence of four numbers: 5, 7, 9, 11, followed by an ellipsis (...). Arrows are drawn between consecutive numbers, each labeled with '+2', indicating a constant addition. Below the arrows, a blue box contains the text 'ويسمى الفرق أساس المتتابعة' (The difference is called the common difference of the sequence).

📄 النص الكامل للصفحة

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المتتابعات ١-١ --- SECTION: فكرة الدرس --- فكرة الدرس: أحدد المتتابعات الحسابية. أكتب عبارة جبرية لأجد حدود المتتابعة الحسابية. المفردات المتتابعة الحد المتتابعة الحسابية أساس المتتابعة الحد النوني --- SECTION: نشاط --- نشاط تأمل النمط الآتي: --- SECTION: 1 --- أكمل النمط 4، 5، 6 مثلثات. كم عودًا تحتاج إليه في كل حالة؟ --- SECTION: 2 --- كم عودًا إضافيًا تحتاج إليه لتكوين 4 مثلثات؟ وما العدد الكلي للعيدان المطلوبة لتكوين 7 مثلثات؟ عدد العيدان في النمط السابق تشكل متتابعة. والمتتابعة: مجموعة مرتبة من الأعداد، ويُسمى كل عدد فيها حدًا. والمتتابعة الحسابية: هي متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا. لإيجاد العدد التالي في المتتابعة الحسابية أضف أساس المتتابعة إلى الحد الأخير. --- SECTION: تحديد المتتابعات الحسابية --- تحديد المتتابعات الحسابية --- SECTION: مثال --- مثال --- SECTION: 1 --- بين إذا كانت المتتابعة: 17، 12، 7، 2، -3، ... حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية. لاحظ أن: 17 - 12 = 5، 12 - 7 = 5، 7 - 2 = 5 وهكذا. بما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت ويساوي -5 ؛ لذا فالمتتابعة حسابية أساسها -5. أكمل النمط لإيجاد الحدود الثلاثة التالية. فتكون الحدود الثلاثة التالية هي: -18، -13، -8. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك: بين إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية. أ. 2، 6، 10، 14، 18، ... ب. 4-، 8-، 16-، 32-، ... الفصل 10: الجبر: الدوال الخطية 178 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: A table showing patterns of triangles made from sticks. The table has two rows and four columns. The first column header is 'عدد المثلثات' (Number of Triangles) and the first row header is 'عدد العيدان' (Number of Sticks). The subsequent columns show 'مثلث واحد' (One Triangle) with '٣ عيدان' (3 Sticks), 'مثلثان' (Two Triangles) with '٥ عيدان' (5 Sticks), and '٣ مثلثات' (Three Triangles) with '٧ عيدان' (7 Sticks). Each column also contains a visual representation of the triangles made from sticks. Table Structure: Headers: عدد المثلثات | مثلث واحد | مثلثان | ٣ مثلثات Rows: Row 1: عدد العيدان | ٣ عيدان | ٥ عيدان | ٧ عيدان Calculation needed: The table provides data points for a linear relationship between the number of triangles and the number of sticks, which can be used to find the common difference of an arithmetic sequence. Data: The table illustrates a pattern where one triangle requires 3 sticks, two triangles require 5 sticks, and three triangles require 7 sticks. This indicates that each additional triangle requires 2 more sticks. Key Values: 1 triangle: 3 sticks, 2 triangles: 5 sticks, 3 triangles: 7 sticks Context: This table introduces the concept of sequences and arithmetic sequences by showing a visual pattern of increasing triangles and the corresponding number of sticks, which is directly related to questions 1 and 2. **DIAGRAM**: Untitled Description: A horizontal sequence of four numbers: 5, 7, 9, 11, followed by an ellipsis (...). Arrows are drawn between consecutive numbers, each labeled with '+2', indicating a constant addition. Below the arrows, a blue box contains the text 'ويسمى الفرق أساس المتتابعة' (The difference is called the common difference of the sequence). Data: The sequence starts at 5 and increases by a constant difference of 2 for each subsequent term. This demonstrates an arithmetic progression. Key Values: Common difference: +2 Context: This diagram visually explains the concept of an arithmetic sequence and its common difference (أساس المتتابعة) by showing a constant addition of +2 between terms, which is a fundamental concept for the lesson.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 3

سؤال ١: نشاط: أكمل النمط لـ ٤، ٥، ٦ مثلثات. كم عودًا تحتاج إليه في كل حالة؟

الإجابة: في كل حالة ٤ مثلثات = ٩ عيدان، ٥ مثلثات = ١١ عودًا، ٦ مثلثات = ١٣ عودًا.

خطوات الحل:

  1. **الهدف:** إيجاد عدد الأعواد اللازمة لتكوين 4، 5، و 6 مثلثات بناءً على نمط معين.
  2. **الخطوة 1: تحليل النمط** نفترض أن النمط يبدأ بمثلث واحد يحتاج إلى 3 أعواد. لإضافة مثلث آخر، نحتاج إلى عودين إضافيين. | عدد المثلثات | عدد الأعواد | |---|---| | 1 | 3 | | 2 | 5 | | 3 | 7 |
  3. **الخطوة 2: تطبيق النمط** * لتكوين 4 مثلثات: 7 + 2 = 9 أعواد * لتكوين 5 مثلثات: 9 + 2 = 11 عودًا * لتكوين 6 مثلثات: 11 + 2 = 13 عودًا
  4. **الخلاصة:** * 4 مثلثات تحتاج إلى 9 أعواد. * 5 مثلثات تحتاج إلى 11 عودًا. * 6 مثلثات تحتاج إلى 13 عودًا.

سؤال ٢: نشاط: كم عودًا إضافيًا تحتاج إليه لتكوين ٤ مثلثات؟ وما العدد الكلي للعيدان المطلوبة لتكوين ٧ مثلثات؟

الإجابة: تحتاج ٢ عودًا إضافيًا لتكوين ٤ مثلثات، والعدد الكلي لتكوين ٧ مثلثات = ١٥ عودًا.

خطوات الحل:

  1. **الهدف:** تحديد عدد الأعواد الإضافية لتكوين 4 مثلثات والعدد الكلي للأعواد لتكوين 7 مثلثات.
  2. **الخطوة 1: تحديد عدد الأعواد الإضافية لتكوين 4 مثلثات** بافتراض أننا بدأنا بتكوين 3 مثلثات، نحتاج إلى معرفة عدد الأعواد الإضافية لتكوين 4 مثلثات. من النمط السابق، نعلم أن: * 3 مثلثات تحتاج إلى 7 أعواد. * 4 مثلثات تحتاج إلى 9 أعواد. إذًا، عدد الأعواد الإضافية = 9 - 7 = 2 عود.
  3. **الخطوة 2: تحديد العدد الكلي للأعواد لتكوين 7 مثلثات** نستمر في النمط: * 5 مثلثات تحتاج إلى 11 عودًا. * 6 مثلثات تحتاج إلى 13 عودًا. * 7 مثلثات تحتاج إلى 15 عودًا.
  4. **الخلاصة:** * تحتاج 2 عودًا إضافيًا لتكوين 4 مثلثات. * العدد الكلي للأعواد المطلوبة لتكوين 7 مثلثات هو 15 عودًا.

سؤال تحقق من فهمك: بيّن إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية. أ) ٢، ٦، ١٠، ١٤، ١٨، ... ب) -٤، -٨، -١٦، -٣٢، ...

الإجابة: أ) متتابعة حسابية؛ أساسها = ٤، والحدود الثلاثة التالية: ٢٢، ٢٦، ٣٠. ب) ليست متتابعة حسابية (الفروق ليست ثابتة: -٤، -٨، -١٦).

خطوات الحل:

  1. **الهدف:** تحديد إذا كانت المتتابعات المعطاة حسابية أم لا، وإيجاد أساس المتتابعة الحسابية والحدود الثلاثة التالية.
  2. **الجزء أ: ٢، ٦، ١٠، ١٤، ١٨، ...** * **الخطوة 1: حساب الفروق بين الحدود المتتالية** * 6 - 2 = 4 * 10 - 6 = 4 * 14 - 10 = 4 * 18 - 14 = 4 * **الخطوة 2: تحديد نوع المتتابعة** بما أن الفروق ثابتة وتساوي 4، فإن المتتابعة حسابية وأساسها 4. * **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية** * الحد التالي: 18 + 4 = 22 * الحد التالي: 22 + 4 = 26 * الحد التالي: 26 + 4 = 30
  3. **الجزء ب: -٤، -٨، -١٦، -٣٢، ...** * **الخطوة 1: حساب الفروق بين الحدود المتتالية** * -8 - (-4) = -4 * -16 - (-8) = -8 * -32 - (-16) = -16 * **الخطوة 2: تحديد نوع المتتابعة** بما أن الفروق ليست ثابتة، فإن المتتابعة ليست حسابية.
  4. **الخلاصة:** * أ) المتتابعة حسابية، أساسها = 4، والحدود الثلاثة التالية: 22، 26، 30. * ب) المتتابعة ليست حسابية.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما تعريف المتتابعة؟

  • أ) مجموعة من الأعداد العشوائية.
  • ب) مجموعة مرتبة من الأعداد.
  • ج) مجموعة من الأعداد المتساوية.
  • د) مجموعة أعداد لا نهائية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموعة مرتبة من الأعداد.

الشرح: المتتابعة هي مجموعة من الأعداد يتم ترتيبها وفق قاعدة أو نمط معين.

تلميح: تذكر أن الأعداد في المتتابعة لها ترتيب محدد.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف المتتابعة الحسابية؟

  • أ) متتابعة جميع حدودها متساوية.
  • ب) متتابعة يكون ناتج قسمة أي حدين متتاليين فيها ثابتًا.
  • ج) متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا.
  • د) متتابعة تتزايد حدودها بشكل عشوائي.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا.

الشرح: الخاصية المميزة للمتتابعة الحسابية هي أن الفرق بين كل حد والحد الذي يليه مباشرة يكون قيمة ثابتة تسمى 'أساس المتتابعة'.

تلميح: ابحث عن السمة الأساسية التي تميز المتتابعة الحسابية عن غيرها من المتتابعات.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ماذا يسمى الفرق الثابت بين أي حدين متتاليين في المتتابعة الحسابية؟

  • أ) الحد النوني.
  • ب) معدل التغير.
  • ج) أساس المتتابعة.
  • د) معامل التناسب.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أساس المتتابعة.

الشرح: الفرق الثابت الذي يميز المتتابعة الحسابية ويضاف (أو يطرح) لإيجاد الحد التالي يسمى أساس المتتابعة.

تلميح: هذا المصطلح هو المفتاح لفهم نمط المتتابعة الحسابية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

بيّن إذا كانت المتتابعة ٢، ٦، ١٠، ١٤، ١٨، ... حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية.

  • أ) المتتابعة حسابية، أساسها ٤، والحدود الثلاثة التالية هي ٢٢، ٢٦، ٣٠.
  • ب) المتتابعة ليست حسابية؛ بسبب عدم ثبات الفروق بين الحدود.
  • ج) المتتابعة حسابية، أساسها ٢، والحدود الثلاثة التالية هي ٢٠، ٢٢، ٢٤.
  • د) المتتابعة حسابية، أساسها ٤، ولكن الحدود الثلاثة التالية هي ٢٠، ٢٢، ٢٤.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المتتابعة حسابية، أساسها ٤، والحدود الثلاثة التالية هي ٢٢، ٢٦، ٣٠.

الشرح: 1. حساب الفروق: ٦-٢=٤، ١٠-٦=٤، ١٤-١٠=٤، ١٨-١٤=٤. 2. بما أن الفروق ثابتة وتساوي ٤، فالمتتابعة حسابية وأساسها ٤. 3. إيجاد الحدود التالية: ١٨+٤=٢٢، ٢٢+٤=٢٦، ٢٦+٤=٣٠.

تلميح: احسب الفرق بين كل حدين متتاليين أولاً لتحديد نوع المتتابعة وأساسها، ثم أضف الأساس لإيجاد الحدود التالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط