تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ك: تحقق من فهمك: ك) لتكن ن تمثل موقع العدد في المتتابعة ١/٤ ، ١/٢ ، ٣/٤ ، ١ ، ... ، أي عبارة يمكن استعمالها لإيجاد حدود المتتابعة؟ أ) ن + ١/٤ ب) ٢ن ج) ١/٤ ن د) ٤ن

الإجابة: (ج) n 1/4

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١/٤ ، ١/٢ ، ٣/٤ ، ١ ، ... | تحديد العبارة التي تمثل الحد النوني (أي التي تُستخدم لإيجاد أي حد بمعلومية موقعه ن) |
2. **المبدأ المستخدم:** لإيجاد عبارة الحد النوني لمتتابعة حسابية، نبحث عن **أساس المتتابعة (d)** و**الحد الأول (a₁)**، ثم نستخدم الصيغة: $a_n = a_1 + (n-1)d$. أو نبحث عن نمط مباشر بين رقم الحد (ن) وقيمته.
3. **الخطوة 1: تحويل الكسور إلى مقام موحد لتسهيل الملاحظة.** - الحد الأول (ن=1): $\frac{1}{4}$ - الحد الثاني (ن=2): $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ - الحد الثالث (ن=3): $\frac{3}{4}$ - الحد الرابع (ن=4): $1 = \frac{4}{4}$ > ملاحظة: جميع الحدود أصبحت بصيغة $\frac{?}{4}$.
4. **الخطوة 2: إيجاد العلاقة بين رقم الحد (ن) وقيمته (البسط).** - عندما ن=1، البسط = 1 - عندما ن=2، البسط = 2 - عندما ن=3، البسط = 3 - عندما ن=4، البسط = 4 يُلاحظ أن **البسط يساوي دائمًا رقم الحد ن**. وبما أن المقام ثابت = 4، فإن: $$a_n = \frac{n}{4}$$
5. **الخطوة 3: مطابقة النتيجة مع الخيارات.** - أ) ن + ١/٤: تعطي $n + \frac{1}{4}$، وهذا لا يساوي $\frac{n}{4}$. - ب) ٢ن: تعطي $2n$، وهذا لا يساوي $\frac{n}{4}$. - **ج) ١/٤ ن:** تعطي $\frac{1}{4}n = \frac{n}{4}$، وهذا مطابق تمامًا. - د) ٤ن: تعطي $4n$، وهذا لا يساوي $\frac{n}{4}$. إذن العبارة الصحيحة هي $\frac{1}{4} n$.
6. **الإجابة النهائية:** العبارة التي يمكن استعمالها لإيجاد أي حد في المتتابعة هي **$a_n = \frac{n}{4}$**، والتي تقابل الخيار (ج).

سؤال 1: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ...

الإجابة: س1: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2؛ والحدود الثلاثة التالية: 12، 14، 16.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **الحسابية** هي التي يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى هذا الفرق **الأساس (d)**. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 4 | 2 | 4 - 2 = **2** | | 6 | 4 | 6 - 4 = **2** | | 8 | 6 | 8 - 6 = **2** | | 10 | 8 | 10 - 8 = **2** | > الفرق ثابت ويساوي **2** في جميع الحالات.
4. **الخطوة 2: استنتاج نوع المتتابعة والأساس.** بما أن الفرق ثابت، فإن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 2**
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** يتم إضافة الأساس (d=2) إلى آخر حد معطى (10) بشكل متكرر. 1. الحد السادس = الحد الخامس + d = 10 + 2 = **12** 2. الحد السابع = الحد السادس + d = 12 + 2 = **14** 3. الحد الثامن = الحد السابع + d = 14 + 2 = **16**
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **حسابية**، أساسها **d = 2**، والحدود الثلاثة التالية لها هي **12، 14، 16**.

سؤال 2: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١١، ٤، -٢، -٧، -١١، ...

الإجابة: س2: ليست متتابعة حسابية (لا يوجد أساس ثابت).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١١، ٤، -٢، -٧، -١١، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **الحسابية** هي التي يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \] إذا تغير الفرق، فهي ليست حسابية.
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 4 | 11 | 4 - 11 = **-7** | | -2 | 4 | -2 - 4 = **-6** | | -7 | -2 | -7 - (-2) = -7 + 2 = **-5** | | -11 | -7 | -11 - (-7) = -11 + 7 = **-4** |
4. **الخطوة 2: تحليل الفروق.** الفرق بين الحدود المتتالية ليس ثابتًا: - الفرق الأول: -7 - الفرق الثاني: -6 - الفرق الثالث: -5 - الفرق الرابع: -4 > الفروق مختلفة، فهي تتغير بمقدار +1 كل مرة.
5. **الخطوة 3: الاستنتاج.** بما أن **الفرق بين الحدين المتتاليين غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**. > لا يمكن إيجاد أساس ثابت ولا حدود تالية باستخدام جمع أساس ثابت.
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **ليست حسابية** لأنه لا يوجد فرق ثابت بين حدودها المتتالية.

سؤال 3: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٨، ٢، -٤، -١٠، -١٦، ...

الإجابة: س3: متتابعة حسابية؛ الأساس d = -6؛ والحدود الثلاثة التالية: -22، -28، -34.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٨، ٢، -٤، -١٠، -١٦، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **الحسابية** هي التي يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا (الأساس d). \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 2 | 8 | 2 - 8 = **-6** | | -4 | 2 | -4 - 2 = **-6** | | -10 | -4 | -10 - (-4) = -10 + 4 = **-6** | | -16 | -10 | -16 - (-10) = -16 + 10 = **-6** |
4. **الخطوة 2: استنتاج نوع المتتابعة والأساس.** الفرق ثابت ويساوي **-6** في جميع الحالات. إذن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = -6**
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** نضيف الأساس (d = -6) إلى آخر حد معطى (-16) بشكل متكرر. 1. الحد السادس = الحد الخامس + d = -16 + (-6) = **-22** 2. الحد السابع = الحد السادس + d = -22 + (-6) = **-28** 3. الحد الثامن = الحد السابع + d = -28 + (-6) = **-34**
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **حسابية**، أساسها **d = -6**، والحدود الثلاثة التالية لها هي **-22، -28، -34**.

سؤال 4: بيّن ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ٣ن + ٤

الإجابة: س4: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 3

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = 3n + 4$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. إذا كان لدينا صيغة الحد النوني $a_n$، يمكن إيجاد الفرق بين حدين متتاليين بالتعويض ثم الطرح: \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = 3n + 4$ - الحد السابق: $a_{n-1} = 3(n-1) + 4 = 3n - 3 + 4 = 3n + 1$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = 3$، وهو **ثابت** (لا يعتمد على قيمة ن).
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت (يساوي 3)، فإن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 3**
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $3n+4$ هي **متتابعة حسابية**، وأساسها **d = 3**.

سؤال 5: بيّن ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ن^٢

الإجابة: س5: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = n^2$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. إذا كان لدينا صيغة الحد النوني $a_n$، يمكن حساب الفرق: \[ d = a_{n} - a_{n-1} \] إذا كان الناتج يعتمد على $n$ (أي ليس ثابتًا)، فإن المتتابعة ليست حسابية.
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = n^2$ - $a_{n-1} = (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = 2n - 1$، وهو **يعتمد على قيمة n**. عندما تتغير n، يتغير الفرق. على سبيل المثال: - إذا n=2، الفرق = 2(2)-1=3 - إذا n=3، الفرق = 2(3)-1=5 - إذا n=4، الفرق = 2(4)-1=7 الفرق غير ثابت.
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين الحدين المتتاليين **غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**.
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $n^2$ **ليست متتابعة حسابية**.

سؤال 6: بيّن ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ٧ - ٢ن

الإجابة: س6: متتابعة حسابية؛ الأساس d = -2

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = 7 - 2n$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. باستخدام صيغة الحد النوني، نحسب: \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = 7 - 2n$ - الحد السابق: $a_{n-1} = 7 - 2(n-1) = 7 - 2n + 2 = 9 - 2n$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = (7 - 2n) - (9 - 2n) = 7 - 2n - 9 + 2n = -2 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = -2$، وهو **ثابت** (لا يعتمد على n).
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت (يساوي -2)، فإن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = -2**
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $7-2n$ هي **متتابعة حسابية**، وأساسها **d = -2**.

سؤال 7: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها: ٣، ٦، ٩، ١٢، ...

الإجابة: س7: الحد النوني an = 3n، والحدود الثلاثة التالية: 15، 18، 21.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٣، ٦، ٩، ١٢، ... | 1. كتابة عبارة (صيغة) الحد النوني (a_n). 2. إيجاد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** للوصول إلى عبارة الحد النوني لمتتابعة حسابية، نحدد **الحد الأول (a₁)** و**الأساس (d)**، ثم نستخدم الصيغة: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] أو نلاحظ نمطًا مباشرًا.
3. **الخطوة 1: تحديد الحد الأول والأساس.** - الحد الأول: $a_1 = 3$ - الفرق بين حدود متتالية: 6-3=3، 9-6=3، 12-9=3. إذن **الأساس d = 3**.
4. **الخطوة 2: كتابة عبارة الحد النوني باستخدام الصيغة.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \times 3 = 3 + 3n - 3 = 3n \] > يمكن الوصول للنفس النتيجة بالملاحظة: كل حد يساوي 3 مضروبًا في رقمه: > - الحد 1: 3×1=3 > - الحد 2: 3×2=6 > - الحد 3: 3×3=9 > - الحد 4: 3×4=12 > لذا، $a_n = 3n$.
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** باستخدام العبارة $a_n = 3n$ أو بإضافة الأساس (d=3) بشكل متكرر: 1. الحد الخامس (ن=5): $a_5 = 3 \times 5 = 15$ 2. الحد السادس (ن=6): $a_6 = 3 \times 6 = 18$ 3. الحد السابع (ن=7): $a_7 = 3 \times 7 = 21$ > أو: 12+3=15، 15+3=18، 18+3=21.
6. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي **$a_n = 3n$**، والحدود الثلاثة التالية في المتتابعة هي **15، 18، 21**.

سؤال 8: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها: -٥، -١٠، -١٥، -٢٠، ...

الإجابة: س8: الحد النوني an = -5n، والحدود الثلاثة التالية: -25، -30، -35.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: -٥، -١٠، -١٥، -٢٠، ... | 1. كتابة عبارة (صيغة) الحد النوني (a_n). 2. إيجاد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** لإيجاد عبارة الحد النوني لمتتابعة حسابية، نحدد **الحد الأول (a₁)** و**الأساس (d)**، ثم نستخدم: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
3. **الخطوة 1: تحديد الحد الأول والأساس.** - الحد الأول: $a_1 = -5$ - الفرق بين حدود متتالية: -10 - (-5) = -10+5 = -5، -15 - (-10) = -15+10 = -5، -20 - (-15) = -20+15 = -5. إذن **الأساس d = -5**.
4. **الخطوة 2: كتابة عبارة الحد النوني باستخدام الصيغة.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = -5 + (n-1) \times (-5) = -5 -5n + 5 = -5n \] > يمكن الوصول للنفس النتيجة بالملاحظة: كل حد يساوي -5 مضروبًا في رقمه: > - الحد 1: -5×1=-5 > - الحد 2: -5×2=-10 > - الحد 3: -5×3=-15 > - الحد 4: -5×4=-20 > لذا، $a_n = -5n$.
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** باستخدام العبارة $a_n = -5n$ أو بإضافة الأساس (d=-5) بشكل متكرر: 1. الحد الخامس (ن=5): $a_5 = -5 \times 5 = -25$ 2. الحد السادس (ن=6): $a_6 = -5 \times 6 = -30$ 3. الحد السابع (ن=7): $a_7 = -5 \times 7 = -35$ > أو: -20 + (-5) = -25، ثم -25 + (-5) = -30، ثم -30 + (-5) = -35.
6. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي **$a_n = -5n$**، والحدود الثلاثة التالية في المتتابعة هي **-25، -30، -35**.

سؤال 9: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها: ١/١٠ ، ١/٥ ، ٣/١٠ ، ٢/٥ ، ...

الإجابة: س9: الحد النوني an = n/10، والحدود الثلاثة التالية: 1/2، 3/5، 7/10.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١/١٠ ، ١/٥ ، ٣/١٠ ، ٢/٥ ، ... | 1. كتابة عبارة (صيغة) الحد النوني (a_n). 2. إيجاد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** لإيجاد عبارة الحد النوني لمتتابعة حسابية، نكتب جميع الحدود **بمقام موحد** لتحديد الأساس والحد الأول بسهولة.
3. **الخطوة 1: تحويل الكسور إلى مقام مشترك (المقام 10).** - $\frac{1}{10}$ (كما هي) - $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$ - $\frac{3}{10}$ (كما هي) - $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ إذن المتتابعة تصبح: $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, ...$
4. **الخطوة 2: تحديد الحد الأول والأساس.** - الحد الأول: $a_1 = \frac{1}{10}$ - الفرق بين حدود متتالية: $\frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$، $\frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$، $\frac{4}{10} - \frac{3}{10} = \frac{1}{10}$. إذن **الأساس d = $\frac{1}{10}$**.
5. **الخطوة 3: كتابة عبارة الحد النوني باستخدام الصيغة.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{10} + (n-1) \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10} + \frac{n}{10} - \frac{1}{10} = \frac{n}{10} \] > يمكن الوصول للنفس النتيجة بالملاحظة: البسط يساوي رقم الحد ن، والمقام 10: $a_n = \frac{n}{10}$.
6. **الخطوة 4: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** باستخدام $a_n = \frac{n}{10}$: 1. الحد الخامس (ن=5): $a_5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ 2. الحد السادس (ن=6): $a_6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ 3. الحد السابع (ن=7): $a_7 = \frac{7}{10}$ > أو بإضافة الأساس $\frac{1}{10}$: $\frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$، ثم $\frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$، ثم $\frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.
7. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي **$a_n = \frac{n}{10}$**، والحدود الثلاثة التالية في المتتابعة هي **$\frac{1}{2}$، $\frac{3}{5}$، $\frac{7}{10}$**.

سؤال 10: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة. ٢٥، ٢٣، ٢١، ١٩، ...؛ ن = ٨

الإجابة: س10: an = 27 - 2n، وقيمة الحد: a8 = 11.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٢٥، ٢٣، ٢١، ١٩، ... | 1. كتابة عبارة للحد النوني (a_n). 2. استعمالها لإيجاد قيمة الحد عندما ن = ٨. |
2. **المبدأ المستخدم:** صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] حيث $a_1$ هو الحد الأول و $d$ هو الأساس.
3. **الخطوة 1: تحديد الحد الأول والأساس.** - الحد الأول: $a_1 = 25$ - الفرق بين حدود متتالية: 23 - 25 = -2، 21 - 23 = -2، 19 - 21 = -2. إذن **الأساس d = -2**.
4. **الخطوة 2: كتابة عبارة الحد النوني.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = 25 + (n-1) \times (-2) = 25 - 2n + 2 = 27 - 2n \] > يمكن التحقق: عند ن=1، a₁=27-2=25 (صح).
5. **الخطوة 3: استخدام العبارة لإيجاد قيمة الحد الثامن (ن = ٨).** \[ a_8 = 27 - 2 \times 8 = 27 - 16 = 11 \]
6. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي **$a_n = 27 - 2n$**، وقيمة الحد الثامن (عند ن=٨) هي **11**.

سؤال 11: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة. ٣، ١٠، ١٧، ٢٤، ...؛ ن = ٢٥

الإجابة: س11: an = 7n - 4، وقيمة الحد: a25 = 171.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٣، ١٠، ١٧، ٢٤، ... | 1. كتابة عبارة للحد النوني (a_n). 2. استعمالها لإيجاد قيمة الحد عندما ن = ٢٥. |
2. **المبدأ المستخدم:** صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
3. **الخطوة 1: تحديد الحد الأول والأساس.** - الحد الأول: $a_1 = 3$ - الفرق بين حدود متتالية: 10 - 3 = 7، 17 - 10 = 7، 24 - 17 = 7. إذن **الأساس d = 7**.
4. **الخطوة 2: كتابة عبارة الحد النوني.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \times 7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4 \] > يمكن التحقق: عند ن=1، a₁=7×1-4=3 (صح).
5. **الخطوة 3: استخدام العبارة لإيجاد قيمة الحد الخامس والعشرين (ن = ٢٥).** \[ a_{25} = 7 \times 25 - 4 = 175 - 4 = 171 \]
6. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي **$a_n = 7n - 4$**، وقيمة الحد الخامس والعشرين (عند ن=٢٥) هي **171**.

سؤال 12: اختيار من متعدد: ما العبارة التي تمثل الحد النوني في المتتابعة الآتية؟ (جدول: الترتيب ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ن؛ قيمة الحد ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، ؟) أ) ن + ١ ب) ن + ٥ ج) ٢ن د) ٦ن

الإجابة: س12: (ب) n+5

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | جدول يربط بين رقم الحد (ن) وقيمته: | اختيار العبارة التي تمثل الحد النوني من بين الخيارات. | | ن | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | ن | | القيمة | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | ؟ |
2. **المبدأ المستخدم:** نبحث عن علاقة خطية بين رقم الحد (ن) وقيمته (a_n). يمكن التعبير عنها بالصيغة: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] أو بشكل مبسط إذا كانت العلاقة مباشرة.
3. **الخطوة 1: تحديد الحد الأول والأساس من الجدول.** - عندما ن=1، القيمة = 6 → $a_1 = 6$ - الفرق بين قيم متتالية: 7-6=1، 8-7=1، 9-8=1، 10-9=1. إذن **الأساس d = 1**.
4. **الخطوة 2: كتابة عبارة الحد النوني.** \[ a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1) \times 1 = 6 + n - 1 = n + 5 \] > يمكن الوصول لذلك مباشرة بالملاحظة: القيمة تزيد 1 عن رقمها مضافًا إليه 5: > - عند ن=1: 1+5=6 > - عند ن=2: 2+5=7 > - عند ن=3: 3+5=8 > - وهكذا. إذن $a_n = n + 5$.
5. **الخطوة 3: مطابقة النتيجة مع الخيارات.** - أ) ن + ١ ← تعطي n+1 (لا تطابق، لأنها تعطي 2 عند ن=1 بدل 6). - **ب) ن + ٥ ← تعطي n+5 (تطابق تمامًا).** - ج) ٢ن ← تعطي 2n (لا تطابق، لأنها تعطي 2 عند ن=1 بدل 6). - د) ٦ن ← تعطي 6n (لا تطابق، لأنها تعطي 6 عند ن=1 لكن عند ن=2 تعطي 12 بدل 7).
6. **الإجابة النهائية:** العبارة التي تمثل الحد النوني هي **$a_n = n + 5$**، والتي تقابل الخيار **(ب)**.

سؤال 13: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢، ٣٦، ...

الإجابة: س13: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 4، والحدود الثلاثة التالية: 40، 44، 48.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢، ٣٦، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 24 | 20 | 24 - 20 = **4** | | 28 | 24 | 28 - 24 = **4** | | 32 | 28 | 32 - 28 = **4** | | 36 | 32 | 36 - 32 = **4** |
4. **الخطوة 2: استنتاج نوع المتتابعة والأساس.** الفرق ثابت ويساوي **4**. إذن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 4**
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** نضيف الأساس (d=4) إلى آخر حد معطى (36): 1. الحد السادس = 36 + 4 = **40** 2. الحد السابع = 40 + 4 = **44** 3. الحد الثامن = 44 + 4 = **48**
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **حسابية**، أساسها **d = 4**، والحدود الثلاثة التالية لها هي **40، 44، 48**.

سؤال 14: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١، ١٠، ١٠٠، ١٠٠٠، ١٠٠٠٠، ...

الإجابة: س14: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١، ١٠، ١٠٠، ١٠٠٠، ١٠٠٠٠، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 10 | 1 | 10 - 1 = **9** | | 100 | 10 | 100 - 10 = **90** | | 1000 | 100 | 1000 - 100 = **900** | | 10000 | 1000 | 10000 - 1000 = **9000** |
4. **الخطوة 2: تحليل الفروق.** الفرق ليس ثابتًا: - 9، 90، 900، 9000، ... > الفروق تتغير بشكل كبير (كل فرق يساوي 10 × الفرق السابق).
5. **الخطوة 3: الاستنتاج.** بما أن **الفرق بين الحدين المتتاليين غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**. > هذه المتتابعة في الحقيقة **هندسية** (كل حد يساوي 10 × الحد السابق)، ولكن السؤال يقتصر على التحقق من كونها حسابية فقط.
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **ليست حسابية** لأنه لا يوجد فرق ثابت بين حدودها المتتالية.

سؤال 15: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١٨٩، ٦٣، ٢١، ٧، ١/٣ ٢، ...

الإجابة: س15: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١٨٩، ٦٣، ٢١، ٧، ٢ ١/٣ ، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: تحويل الحدود إلى صيغة كسرية أو عشرية لتسهيل الحساب.** - 189، 63، 21، 7، $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.333...$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق بين حدود متتالية.** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 63 | 189 | 63 - 189 = **-126** | | 21 | 63 | 21 - 63 = **-42** | | 7 | 21 | 7 - 21 = **-14** | | $\frac{7}{3}$ | 7 | $\frac{7}{3} - 7 = \frac{7}{3} - \frac{21}{3} = -\frac{14}{3} \approx -4.667$ |
5. **الخطوة 3: تحليل الفروق.** الفرق غير ثابت: - -126، -42، -14، -14/3 > الفروق تتغير، ولا يوجد أساس ثابت.
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن **الفرق بين الحدين المتتاليين غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**. > هذه المتتابعة في الحقيقة **هندسية** (كل حد يساوي $\frac{1}{3}$ من الحد السابق)، ولكن السؤال يقتصر على التحقق من كونها حسابية فقط.
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **ليست حسابية** لأنه لا يوجد فرق ثابت بين حدودها المتتالية.

سؤال 16: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: -٦، -٤، -٢، ٠، ٢، ...

الإجابة: س16: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2، والحدود الثلاثة التالية: 4، 6، 8.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: -٦، -٤، -٢، ٠، ٢، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: التحقق من كونها متتابعة حسابية (حساب الفرق بين حدود متتالية).** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | -4 | -6 | -4 - (-6) = -4+6 = **2** | | -2 | -4 | -2 - (-4) = -2+4 = **2** | | 0 | -2 | 0 - (-2) = 0+2 = **2** | | 2 | 0 | 2 - 0 = **2** |
4. **الخطوة 2: استنتاج نوع المتتابعة والأساس.** الفرق ثابت ويساوي **2**. إذن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 2**
5. **الخطوة 3: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** نضيف الأساس (d=2) إلى آخر حد معطى (2): 1. الحد السادس = 2 + 2 = **4** 2. الحد السابع = 4 + 2 = **6** 3. الحد الثامن = 6 + 2 = **8**
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **حسابية**، أساسها **d = 2**، والحدود الثلاثة التالية لها هي **4، 6، 8**.

سؤال 17: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١، ٢، ٥، ١٠، ١٧، ...

الإجابة: س17: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ١، ٢، ٥، ١٠، ١٧، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: حساب الفرق بين حدود متتالية.** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 2 | 1 | 2 - 1 = **1** | | 5 | 2 | 5 - 2 = **3** | | 10 | 5 | 10 - 5 = **5** | | 17 | 10 | 17 - 10 = **7** |
4. **الخطوة 2: تحليل الفروق.** الفرق غير ثابت: - 1، 3، 5، 7، ... > الفروق نفسها تشكل متتابعة حسابية (تزيد بمقدار 2)، ولكن الفرق بين الحدود الأصلية ليس ثابتًا.
5. **الخطوة 3: الاستنتاج.** بما أن **الفرق بين الحدين المتتاليين غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**.
6. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **ليست حسابية** لأنه لا يوجد فرق ثابت بين حدودها المتتالية.

سؤال 18: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٤، ١/٢ ٦، ٩، ١/٢ ١١، ١٤، ...

الإجابة: س18: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 5/2، والحدود الثلاثة التالية: 16.5، 19، 21.5.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٤، ٦ ١/٢ ، ٩، ١١ ١/٢ ، ١٤، ... | 1. تحديد إذا كانت حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). 3. أوجد الحدود الثلاثة التالية. |
2. **المبدأ المستخدم:** المتتابعة **حسابية** إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية أو أعداد عشرية.** - $6\frac{1}{2} = 6.5 = \frac{13}{2}$ - $11\frac{1}{2} = 11.5 = \frac{23}{2}$ المتتابعة: 4، 6.5، 9، 11.5، 14، ...
4. **الخطوة 2: حساب الفرق بين حدود متتالية.** | الحد (aₙ) | الحد السابق (aₙ₋₁) | الفرق (aₙ - aₙ₋₁) | |-----------|-------------------|-------------------| | 6.5 | 4 | 6.5 - 4 = **2.5** | | 9 | 6.5 | 9 - 6.5 = **2.5** | | 11.5 | 9 | 11.5 - 9 = **2.5** | | 14 | 11.5 | 14 - 11.5 = **2.5** |
5. **الخطوة 3: استنتاج نوع المتتابعة والأساس.** الفرق ثابت ويساوي **2.5** (أو $\frac{5}{2}$). إذن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 2.5 = $\frac{5}{2}$**
6. **الخطوة 4: إيجاد الحدود الثلاثة التالية.** نضيف الأساس (d=2.5) إلى آخر حد معطى (14): 1. الحد السادس = 14 + 2.5 = **16.5** (أو $16\frac{1}{2}$) 2. الحد السابع = 16.5 + 2.5 = **19** 3. الحد الثامن = 19 + 2.5 = **21.5** (أو $21\frac{1}{2}$)
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة **حسابية**، أساسها **d = $\frac{5}{2}$ (أو 2.5)**، والحدود الثلاثة التالية لها هي **16.5، 19، 21.5**.

سؤال 19: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ٦ن - ٣

الإجابة: س19: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 6

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = 6n - 3$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. باستخدام صيغة الحد النوني، نحسب: \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = 6n - 3$ - الحد السابق: $a_{n-1} = 6(n-1) - 3 = 6n - 6 - 3 = 6n - 9$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = (6n - 3) - (6n - 9) = 6n - 3 - 6n + 9 = 6 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = 6$، وهو **ثابت** (لا يعتمد على n).
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت (يساوي 6)، فإن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = 6**
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $6n-3$ هي **متتابعة حسابية**، وأساسها **d = 6**.

سؤال 20: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ن^٣

الإجابة: س20: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = n^3$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = n^3$ - $a_{n-1} = (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 = 3n^2 - 3n + 1 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = 3n^2 - 3n + 1$، وهو **يعتمد على قيمة n** (ليس ثابتًا). على سبيل المثال: - إذا n=2، d = 3(4) - 3(2) + 1 = 12 - 6 + 1 = 7 - إذا n=3، d = 3(9) - 3(3) + 1 = 27 - 9 + 1 = 19 الفرق غير ثابت.
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين الحدين المتتاليين **غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**.
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $n^3$ **ليست متتابعة حسابية**.

سؤال 21: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ١/ن

الإجابة: س21: ليست متتابعة حسابية.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = \frac{1}{n}$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = \frac{1}{n}$ - $a_{n-1} = \frac{1}{n-1}$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} = \frac{(n-1) - n}{n(n-1)} = \frac{-1}{n(n-1)} \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = \frac{-1}{n(n-1)}$، وهو **يعتمد على قيمة n**. على سبيل المثال: - إذا n=2، d = $\frac{-1}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}$ - إذا n=3، d = $\frac{-1}{3 \times 2} = -\frac{1}{6}$ - إذا n=4، d = $\frac{-1}{4 \times 3} = -\frac{1}{12}$ الفرق غير ثابت.
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين الحدين المتتاليين **غير ثابت**، فإن المتتابعة **ليست حسابية**.
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $\frac{1}{n}$ **ليست متتابعة حسابية**.

سؤال 22: بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ٩ - ٣ن

الإجابة: س22: متتابعة حسابية؛ الأساس d = -3

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | عبارة الحد النوني: $a_n = 9 - 3n$ | 1. تحديد إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. 2. إذا كانت حسابية، فأوجد الأساس (d). |
2. **المبدأ المستخدم:** متتابعة تكون حسابية إذا كان الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. باستخدام صيغة الحد النوني، نحسب: \[ d = a_{n} - a_{n-1} \]
3. **الخطوة 1: كتابة الحد النوني والحد الذي يسبقه.** - $a_n = 9 - 3n$ - الحد السابق: $a_{n-1} = 9 - 3(n-1) = 9 - 3n + 3 = 12 - 3n$
4. **الخطوة 2: حساب الفرق (d).** \[ d = a_n - a_{n-1} = (9 - 3n) - (12 - 3n) = 9 - 3n - 12 + 3n = -3 \]
5. **الخطوة 3: تحليل النتيجة.** الفرق $d = -3$، وهو **ثابت** (لا يعتمد على n).
6. **الخطوة 4: الاستنتاج.** بما أن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت (يساوي -3)، فإن المتتابعة **حسابية**. **أساس المتتابعة (d) = -3**
7. **الإجابة النهائية:** المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $9-3n$ هي **متتابعة حسابية**، وأساسها **d = -3**.

ما العبارة التي يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ٣، ٦، ٩، ١٢، ...؟

• أ) $n + 3$
• ب) $3n$
• ج) $n^2 + 2$
• د) $3n - 1$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $3n$

الشرح: ١. الحد الأول (a₁) = 3. ٢. الأساس (d) = 6 - 3 = 3. ٣. طبق صيغة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)3$. ٤. بسّط العبارة: $a_n = 3 + 3n - 3 = 3n$.

تلميح: حدد الحد الأول (a₁) والأساس (d)، ثم استخدم الصيغة $a_n = a_1 + (n-1)d$.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

أوجد الحد النوني للمتتابعة الحسابية: -٥، -١٠، -١٥، -٢٠، ...

• أ) $5n$
• ب) $n - 5$
• ج) $-5n$
• د) $n + 5$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $-5n$

الشرح: ١. الحد الأول (a₁) = -5. ٢. الأساس (d) = -10 - (-5) = -5. ٣. طبق صيغة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = -5 + (n-1)(-5)$. ٤. بسّط العبارة: $a_n = -5 -5n + 5 = -5n$.

تلميح: أوجد الحد الأول (a₁) والأساس (d) للمتتابعة، ثم استخدم صيغة الحد النوني.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

لتكن ن تمثل موقع العدد في المتتابعة ١/٤ ، ١/٢ ، ٣/٤ ، ١ ، ... ، أي عبارة يمكن استعمالها لإيجاد حدود المتتابعة؟

• أ) ن + ١/٤
• ب) ٢ن
• ج) ١/٤ ن
• د) ٤ن

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١/٤ ن

الشرح: ١. حوّل الحدود إلى مقام موحد: ١/٤، ٢/٤، ٣/٤، ٤/٤. ٢. لاحظ أن البسط يساوي رقم الحد (ن)، والمقام ثابت (٤). ٣. إذن العبارة هي ن/٤ أو ١/٤ ن.

تلميح: حوّل الكسور إلى مقام موحد ثم ابحث عن العلاقة بين رقم الحد وقيمته.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن ما إذا كانت المتتابعة ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ... حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية فيها.

• أ) ليست حسابية
• ب) حسابية؛ الأساس 1؛ الحدود: 11، 12، 13
• ج) حسابية؛ الأساس 2؛ الحدود: 10، 12، 14
• د) حسابية؛ الأساس 2؛ الحدود: 12، 14، 16

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: حسابية؛ الأساس 2؛ الحدود: 12، 14، 16

الشرح: ١. احسب الفروق: ٤-٢=٢، ٦-٤=٢، ٨-٦=٢، ١٠-٨=٢. ٢. الفروق ثابتة (٢)، إذن المتتابعة حسابية وأساسها d=2. ٣. أضف الأساس للحد الأخير: ١٠+٢=١٢، ١٢+٢=١٤، ١٤+٢=١٦.

تلميح: احسب الفرق بين كل حد والحد الذي يسبقه للتحقق من الأساس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت المتتابعة ١١، ٤، -٢، -٧، -١١، ... حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية فيها.

• أ) حسابية؛ الأساس -7؛ الحدود: -18، -25، -32
• ب) ليست حسابية
• ج) حسابية؛ الأساس -4؛ الحدود: -15، -19، -23
• د) حسابية؛ الأساس -5؛ الحدود: -16، -21، -26

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ليست حسابية

الشرح: ١. احسب الفروق: ٤-١١=-٧، -٢-٤=-٦، -٧-(-٢)=-٥، -١١-(-٧)=-٤. ٢. الفروق غير ثابتة (-٧، -٦، -٥، -٤)، إذن المتتابعة ليست حسابية.

تلميح: المتتابعة الحسابية لها فرق ثابت بين الحدود المتتالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن ما إذا كانت المتتابعة ٨، ٢، -٤، -١٠، -١٦، ... حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها والحدود الثلاثة التالية فيها.

• أ) ليست حسابية
• ب) حسابية؛ الأساس 6؛ الحدود: -10، -4، 2
• ج) حسابية؛ الأساس -6؛ الحدود: -20، -26، -32
• د) حسابية؛ الأساس -6؛ الحدود: -22، -28، -34

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: حسابية؛ الأساس -6؛ الحدود: -22، -28، -34

الشرح: ١. احسب الفروق: ٢-٨=-٦، -٤-٢=-٦، -١٠-(-٤)=-٦، -١٦-(-١٠)=-٦. ٢. الفروق ثابتة (-٦)، إذن المتتابعة حسابية وأساسها d=-6. ٣. أضف الأساس للحد الأخير: -١٦+(-٦)=-٢٢، -٢٢+(-٦)=-٢٨، -٢٨+(-٦)=-٣٤.

تلميح: انتبه لإشارات الأعداد عند حساب الفرق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت المتتابعة المعطاة بعبارة الحد النوني $3n + 4$ حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها.

• أ) حسابية؛ الأساس 4
• ب) ليست حسابية
• ج) حسابية؛ الأساس 3
• د) حسابية؛ الأساس 7

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حسابية؛ الأساس 3

الشرح: ١. الحد النوني: $a_n = 3n + 4$. ٢. الحد السابق: $a_{n-1} = 3(n-1) + 4 = 3n - 3 + 4 = 3n + 1$. ٣. الأساس d = $a_n - a_{n-1} = (3n + 4) - (3n + 1) = 3$. بما أن الأساس ثابت، فهي حسابية.

تلميح: احسب الفرق بين $a_n$ و $a_{n-1}$ (الحد السابق).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما أساس المتتابعة الحسابية التي حدها النوني يُعطى بالعبارة $a_n = 7 - 2n$؟

• أ) 2
• ب) 7
• ج) -2
• د) -7

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: -2

الشرح: ١. الحد النوني المعطى هو $a_n = 7 - 2n$. ٢. أوجد الحد السابق ($a_{n-1}$) بالتعويض عن ن بـ (ن-1): $a_{n-1} = 7 - 2(n-1) = 7 - 2n + 2 = 9 - 2n$. ٣. احسب الفرق $d = a_n - a_{n-1} = (7 - 2n) - (9 - 2n) = 7 - 2n - 9 + 2n = -2$. ٤. الأساس هو -2.

تلميح: تذكر أن أساس المتتابعة الحسابية (d) هو الفرق الثابت بين أي حدين متتاليين ($a_n - a_{n-1}$).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ١/١٠ ، ١/٥ ، ٣/١٠ ، ٢/٥ ، ...؟

• أ) $n + \frac{1}{10}$
• ب) $10n$
• ج) $\frac{n}{5}$
• د) $\frac{n}{10}$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $\frac{n}{10}$

الشرح: ١. حوّل الحدود إلى مقام مشترك: $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, ...$ ٢. الحد الأول (a₁) = $\frac{1}{10}$. ٣. الأساس (d) = $\frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$. ٤. طبق صيغة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{10} + (n-1)\frac{1}{10}$. ٥. بسّط العبارة: $a_n = \frac{1}{10} + \frac{n}{10} - \frac{1}{10} = \frac{n}{10}$.

تلميح: وحّد المقامات لجميع الحدود لتسهيل تحديد الأساس والحد الأول، ثم طبق صيغة الحد النوني.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما قيمة الحد الثامن (ن = ٨) في المتتابعة الحسابية: ٢٥، ٢٣، ٢١، ١٩، ...؟

• أ) 9
• ب) 11
• ج) 13
• د) 15

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 11

الشرح: ١. الحد الأول (a₁) = 25. ٢. الأساس (d) = 23 - 25 = -2. ٣. عبارة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = 25 + (n-1)(-2) = 25 - 2n + 2 = 27 - 2n$. ٤. أوجد الحد الثامن (ن=٨): $a_8 = 27 - 2(8) = 27 - 16 = 11$.

تلميح: أوجد عبارة الحد النوني أولاً باستخدام الحد الأول (a₁) والأساس (d)، ثم عوض بقيمة ن.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في المتتابعة الحسابية التالية، واستعملها لإيجاد قيمة الحد الخامس والعشرين (ن=٢٥): ٣، ١٠، ١٧، ٢٤، ...

• أ) الحد النوني: $a_n = 3n + 4$ ؛ وقيمة الحد $a_{25} = 79$
• ب) الحد النوني: $a_n = 7n - 4$ ؛ وقيمة الحد $a_{25} = 171$
• ج) الحد النوني: $a_n = 7n + 3$ ؛ وقيمة الحد $a_{25} = 178$
• د) الحد النوني: $a_n = 4n - 7$ ؛ وقيمة الحد $a_{25} = 93$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحد النوني: $a_n = 7n - 4$ ؛ وقيمة الحد $a_{25} = 171$

الشرح: 1. الحد الأول $a_1 = 3$. 2. الأساس $d = 10 - 3 = 7$. 3. صيغة الحد النوني: $a_n = 3 + (n-1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$. 4. لإيجاد الحد $a_{25}$: $a_{25} = 7(25) - 4 = 175 - 4 = 171$.

تلميح: تذكر صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن ما إذا كانت المتتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢، ٣٦، ...

• أ) ليست متتابعة حسابية.
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 4؛ والحدود الثلاثة التالية: 40، 44، 48.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 20؛ والحدود الثلاثة التالية: 56، 76، 96.
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -4؛ والحدود الثلاثة التالية: 32، 28، 24.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 4؛ والحدود الثلاثة التالية: 40، 44، 48.

الشرح: 1. أوجد الفرق بين الحدود المتتالية: $24-20=4$, $28-24=4$, $32-28=4$, $36-32=4$. 2. الفرق ثابت، لذا هي متتابعة حسابية وأساسها $d=4$. 3. الحدود الثلاثة التالية: $36+4=40$, $40+4=44$, $44+4=48$.

تلميح: المتتابعة الحسابية يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت المتتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١، ١٠، ١٠٠، ١٠٠٠، ١٠٠٠٠، ...

• أ) ليست متتابعة حسابية.
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 9؛ والحدود الثلاثة التالية: 10009، 10018، 10027.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 10؛ والحدود الثلاثة التالية: 10010، 10020، 10030.
• د) متتابعة هندسية؛ الأساس r = 10.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ليست متتابعة حسابية.

الشرح: 1. أوجد الفرق بين الحدود المتتالية: $10-1=9$, $100-10=90$, $1000-100=900$. 2. الفرق بين الحدود غير ثابت (9, 90, 900). 3. لذا، هذه المتتابعة ليست حسابية.

تلميح: قارن الفروق بين الحدود المتتالية. هل هي ثابتة؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت المتتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: -٦، -٤، -٢، ٠، ٢، ...

• أ) ليست متتابعة حسابية.
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -2؛ والحدود الثلاثة التالية: 0، -2، -4.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2؛ والحدود الثلاثة التالية: 4، 6، 8.
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 1؛ والحدود الثلاثة التالية: 3، 4، 5.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2؛ والحدود الثلاثة التالية: 4، 6، 8.

الشرح: 1. أوجد الفرق بين الحدود المتتالية: $-4 - (-6) = 2$, $-2 - (-4) = 2$, $0 - (-2) = 2$, $2 - 0 = 2$. 2. الفرق ثابت، لذا هي متتابعة حسابية وأساسها $d=2$. 3. الحدود الثلاثة التالية: $2+2=4$, $4+2=6$, $6+2=8$.

تلميح: احسب الفرق بين كل حد والحد السابق له. انتبه لإشارات الأعداد السالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت المتتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ٤، ١/٢ ٦، ٩، ١/٢ ١١، ١٤، ...

• أ) ليست متتابعة حسابية.
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2؛ والحدود الثلاثة التالية: 16، 18، 20.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 0.5؛ والحدود الثلاثة التالية: 14.5، 15، 15.5.
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2.5؛ والحدود الثلاثة التالية: 16.5، 19، 21.5.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2.5؛ والحدود الثلاثة التالية: 16.5، 19، 21.5.

الشرح: 1. حوّل الحدود إلى أعداد عشرية: 4، 6.5، 9، 11.5، 14. 2. أوجد الفرق بين الحدود: $6.5-4=2.5$, $9-6.5=2.5$, $11.5-9=2.5$, $14-11.5=2.5$. 3. الفرق ثابت، لذا هي متتابعة حسابية وأساسها $d=2.5$ (أو $5/2$). 4. الحدود التالية: $14+2.5=16.5$, $16.5+2.5=19$, $19+2.5=21.5$.

تلميح: حوّل الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية أو كسور غير فعلية لتسهيل حساب الفرق بين الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ن^٢

• أ) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 1
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2
• ج) ليست متتابعة حسابية.
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = ن

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ليست متتابعة حسابية.

الشرح: 1. الحد النوني هو $a_n = n^2$. 2. الحد الذي يسبقه هو $a_{n-1} = (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$. 3. الفرق بينهما $d = a_n - a_{n-1} = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$. 4. بما أن الفرق $2n - 1$ يعتمد على قيمة ن ويتغير بتغيرها (غير ثابت)، فإن المتتابعة ليست حسابية.

تلميح: لحساب الأساس (d)، أوجد الفرق بين الحد النوني (a_n) والحد الذي يسبقه (a_{n-1}). إذا كان الفرق ثابتاً، فهي حسابية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما العبارة التي تمثل الحد النوني في المتتابعة الآتية؟ (جدول: الترتيب ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ن؛ قيمة الحد ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، ؟)

• أ) ن + ١
• ب) ن + ٥
• ج) ٢ن
• د) ٦ن

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ن + ٥

الشرح: 1. الحد الأول (a₁) عندما ن=1 هو 6. 2. نوجد الفرق بين الحدود المتتالية: 7-6=1، 8-7=1، 9-8=1، 10-9=1. إذن، الأساس (d) = 1. 3. باستخدام صيغة الحد النوني $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_n = 6 + (n-1) imes 1 = 6 + n - 1 = n + 5$. 4. إذن، العبارة التي تمثل الحد النوني هي ن + ٥.

تلميح: لاحظ العلاقة بين رقم الترتيب وقيمة الحد المقابلة له. يمكنك إيجاد الأساس (d) والحد الأول (a1) ثم استخدام صيغة الحد النوني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١٨٩، ٦٣، ٢١، ٧، ١/٣ ٢، ...

• أ) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -126
• ب) ليست متتابعة حسابية.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -42
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -14/3

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ليست متتابعة حسابية.

الشرح: 1. نحسب الفروق بين الحدود المتتالية: * $63 - 189 = -126$ * $21 - 63 = -42$ * $7 - 21 = -14$ * $2rac{1}{3} - 7 = rac{7}{3} - rac{21}{3} = -rac{14}{3}$ 2. بما أن هذه الفروق (-126، -42، -14، -14/3) ليست ثابتة، فإن المتتابعة ليست حسابية.

تلميح: تحقق من ثبات الفرق بين كل حد والحد الذي يسبقه. إذا كان الفرق غير ثابت، فالمتتابعة ليست حسابية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا. وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها، والحدود الثلاثة التالية فيها: ١، ٢، ٥، ١٠، ١٧، ...

• أ) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 1
• ب) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 3
• ج) ليست متتابعة حسابية.
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ليست متتابعة حسابية.

الشرح: 1. نحسب الفروق بين الحدود المتتالية: * $2 - 1 = 1$ * $5 - 2 = 3$ * $10 - 5 = 5$ * $17 - 10 = 7$ 2. بما أن هذه الفروق (1، 3، 5، 7) ليست ثابتة، فإن المتتابعة ليست حسابية.

تلميح: قارن الفروق بين الحدود المتتالية. هل هي ثابتة أم متغيرة؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بيّن ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي حسابية أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد أساسها. ٦ن - ٣

• أ) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 3
• ب) ليست متتابعة حسابية.
• ج) متتابعة حسابية؛ الأساس d = 6
• د) متتابعة حسابية؛ الأساس d = -3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: متتابعة حسابية؛ الأساس d = 6

الشرح: 1. عبارة الحد النوني هي $a_n = 6n - 3$. 2. الحد الذي يسبقه هو $a_{n-1} = 6(n-1) - 3 = 6n - 6 - 3 = 6n - 9$. 3. الفرق بينهما $d = a_n - a_{n-1} = (6n - 3) - (6n - 9) = 6n - 3 - 6n + 9 = 6$. 4. بما أن الفرق ثابت ويساوي 6 (لا يعتمد على ن)، فإن المتتابعة حسابية وأساسها d = 6.

تلميح: أوجد الحد النوني (a_n) والحد الذي يسبقه (a_{n-1}) ثم اطرحهما لإيجاد الفرق، وهو الأساس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط