مثال من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية، ثم استعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة: ط) ٤، ٩، ١٤، ١٩، ... ؛ ن = ١٢. ي) -٢٠، -١٦، -١٢، -٨، ... ؛ ن = ٢٠. ك) لتكن ن تمثل موقع العدد في المتتابعة ١/٤، ١/٢، ٣/٤، ١، ...، أي عبارة يمكن استعمالها لإيجاد حدود المتتابعة؟ أ) ن + ١/٤، ب) ٢ن، ج) ١/٤ ن، د) ٤ن.

الإجابة: ط) العبارة: an = 5n - 1 ، وعند n = 12 فإن an = 59. ي) العبارة: an = 4n - 24 ، وعند n = 20 فإن an = 56. ك) الإجابة الصحيحة هي (ج) n 1/4.

خطوات الحل:

1. **الجزء (ط):** 4, 9, 14, 19, ... ; n = 12
2. الخطوة 1: إيجاد الفرق المشترك (d)
3. $d = 9 - 4 = 5$
4. الخطوة 2: إيجاد الحد الأول (a1)
5. $a_1 = 4$
6. الخطوة 3: كتابة عبارة الحد النوني
7. **القانون:** $a_n = a_1 + (n - 1)d$
8. $a_n = 4 + (n - 1)5$
9. $a_n = 4 + 5n - 5$
10. $a_n = 5n - 1$
11. الخطوة 4: إيجاد قيمة الحد عندما n = 12
12. $a_{12} = 5(12) - 1$
13. $a_{12} = 60 - 1$
14. $a_{12} = 59$
15. **الإجابة:** قيمة الحد الثاني عشر هي 59.
16. ---
17. **الجزء (ي):** -20, -16, -12, -8, ... ; n = 20
18. الخطوة 1: إيجاد الفرق المشترك (d)
19. $d = -16 - (-20) = 4$
20. الخطوة 2: إيجاد الحد الأول (a1)
21. $a_1 = -20$
22. الخطوة 3: كتابة عبارة الحد النوني
23. **القانون:** $a_n = a_1 + (n - 1)d$
24. $a_n = -20 + (n - 1)4$
25. $a_n = -20 + 4n - 4$
26. $a_n = 4n - 24$
27. الخطوة 4: إيجاد قيمة الحد عندما n = 20
28. $a_{20} = 4(20) - 24$
29. $a_{20} = 80 - 24$
30. $a_{20} = 56$
31. **الإجابة:** قيمة الحد العشرون هي 56.
32. ---
33. **الجزء (ك):** 1/4, 1/2, 3/4, 1, ...
34. الخطوة 1: فهم المتتابعة
35. نلاحظ أن كل حد يزيد بمقدار 1/4 عن الحد السابق.
36. الخطوة 2: تحديد العبارة المناسبة
37. الخيار (أ): ن + 1/4 غير صحيح لأن الحد الأول (عند ن=1) يجب أن يكون 1/4 وليس 1 + 1/4.
38. الخيار (ب): 2ن غير صحيح لنفس السبب.
39. الخيار (ج): 1/4 ن صحيح لأن:
40. * عند ن = 1، 1/4 * 1 = 1/4
41. * عند ن = 2، 1/4 * 2 = 1/2
42. * عند ن = 3، 1/4 * 3 = 3/4
43. * عند ن = 4، 1/4 * 4 = 1
44. الخيار (د): 4ن غير صحيح.
45. **الإجابة:** العبارة الصحيحة هي (ج) $a_n = \frac{1}{4}n$.

سؤال 5: ما العبارة التي تمثل الحد النوني في المتتابعة الحسابية الموضحة في الجدول الآتي؟ الترتيب (ن): ١، ٢، ٣، ٤. قيمة الحد: ٣، ٥، ٧، ٩. أ) ن + ٢، ب) ٢ن، ج) ٢ن + ١، د) ٣ن.

الإجابة: الإجابة الصحيحة هي (ج) an = 2n + 1.

خطوات الحل:

1. | الترتيب (ن) | قيمة الحد |
2. |---|---|
3. | 1 | 3 |
4. | 2 | 5 |
5. | 3 | 7 |
6. | 4 | 9 |
7. الخطوة 1: إيجاد الفرق المشترك (d)
8. $d = 5 - 3 = 2$
9. الخطوة 2: إيجاد الحد الأول (a1)
10. $a_1 = 3$
11. الخطوة 3: كتابة عبارة الحد النوني
12. **القانون:** $a_n = a_1 + (n - 1)d$
13. $a_n = 3 + (n - 1)2$
14. $a_n = 3 + 2n - 2$
15. $a_n = 2n + 1$
16. الخطوة 4: التحقق من الخيارات
17. الخيار (أ): ن + 2 غير صحيح لأن الحد الأول (عند ن=1) يجب أن يكون 3 وليس 1 + 2 = 3 (صدفة). لكن عند ن=2، يجب أن يكون 5 وليس 2+2=4.
18. الخيار (ب): 2ن غير صحيح لأن الحد الأول يجب أن يكون 3 وليس 2.
19. الخيار (ج): 2ن + 1 صحيح لأن:
20. * عند ن = 1، 2(1) + 1 = 3
21. * عند ن = 2، 2(2) + 1 = 5
22. * عند ن = 3، 2(3) + 1 = 7
23. * عند ن = 4، 2(4) + 1 = 9
24. الخيار (د): 3ن غير صحيح لأن الحد الأول يجب أن يكون 3 وليس 3.
25. **الإجابة:** العبارة التي تمثل الحد النوني هي $a_n = 2n + 1$.

ما الصيغة المستعملة لإيجاد الحد النوني ($a_n$) في المتتابعة الحسابية، إذا عُرف الحد الأول ($a_1$) والفرق المشترك ($d$)؟

• أ) $a_n = n + d(a_1 - 1)$
• ب) $a_n = a_1 + (n - 1)d$
• ج) $a_n = d + (n - 1)a_1$
• د) $a_n = a_1 \cdot d \cdot n$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $a_n = a_1 + (n - 1)d$

الشرح: هذه هي الصيغة الأساسية التي تحدد أي حد في المتتابعة الحسابية بناءً على موقعه (ن)، الحد الأول ($a_1$)، والفرق المشترك ($d$).

تلميح: تتضمن الصيغة الحد الأول والفرق المشترك وموقع الحد.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما العبارة التي تمثل الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ٤، ٩، ١٤، ١٩، ...؟

• أ) $4n$
• ب) $5n + 1$
• ج) $4n - 1$
• د) $5n - 1$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $5n - 1$

الشرح: 1. الحد الأول ($a_1$) = 4. 2. الفرق المشترك ($d$) = 9 - 4 = 5. 3. باستخدام الصيغة: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ 4. $a_n = 4 + (n - 1)5$ 5. $a_n = 4 + 5n - 5$ 6. $a_n = 5n - 1$

تلميح: ابحث عن الفرق المشترك بين الحدود، ثم استخدم صيغة الحد النوني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي العبارات التالية تمثل الحد النوني في المتتابعة الحسابية الموضحة في الجدول أدناه؟ | الترتيب ن | قيمة الحد | |-----------|-----------| | ١ | ٣ | | ٢ | ٥ | | ٣ | ٧ | | ٤ | ٩ |

• أ) $n + 2$
• ب) $2n$
• ج) $2n + 1$
• د) $3n$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $2n + 1$

الشرح: 1. الفرق الثابت ($d$) بين الحدود هو 2 (مثلاً 5-3=2). 2. الحد الأول ($a_1$) = 3. 3. باستخدام الصيغة: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ 4. $a_n = 3 + (n - 1)2$ 5. $a_n = 3 + 2n - 2$ 6. $a_n = 2n + 1$

تلميح: لاحظ الفرق بين كل حد والحد الذي يليه لتحديد الأساس، ثم اختبر العبارات بالتعويض عن قيم ن.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

في عرض إرسال رسائل نصية، إذا كانت تكلفة إرسال ن رسالة تُعطى بالعبارة $ت = ٠,١٠ ن + ١٠$، فما الذي يمثله العدد ١٠ في هذه العبارة؟

• أ) تكلفة كل رسالة نصية
• ب) العدد الإجمالي للرسائل المرسلة
• ج) التكلفة الثابتة أو الرسوم الأساسية لإرسال الرسائل
• د) الزيادة في التكلفة لكل ١٠ رسائل

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يمثل التكلفة الثابتة أو الرسوم الأساسية لإرسال الرسائل.

الشرح: في العبارة $ت = ٠,١٠ ن + ١٠$: 1. $ت$ تمثل التكلفة الكلية. 2. $٠,١٠ ن$ تمثل التكلفة المتغيرة التي تعتمد على عدد الرسائل (ن). 3. العدد ١٠ لا يعتمد على ن، وبالتالي فهو يمثل التكلفة الثابتة أو الرسوم الأساسية التي تدفع بغض النظر عن عدد الرسائل المرسلة.

تلميح: فكر في معنى كل جزء من العبارة الخطية ($y = mx + b$) في سياق التكلفة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط