رياضة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 23: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ٢، ٤، ٦، ٨، ...

الإجابة: الحد النوني: an = 2n ، والحدود الثلاثة التالية: ١٠، ١٢، ١٤

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 2n | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 2n$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 2n$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = 2 \times 5 = 10$ - $a_6 = 2 \times 6 = 12$ - $a_7 = 2 \times 7 = 14$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **10، 12، 14**.

سؤال 24: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ١٢، ٢٤، ٣٦، ٤٨، ...

الإجابة: الحد النوني: an = 12n ، والحدود الثلاثة التالية: ٦٠، ٧٢، ٨٤

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 12n | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 12n$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 12n$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = 12 \times 5 = 60$ - $a_6 = 12 \times 6 = 72$ - $a_7 = 12 \times 7 = 84$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **60، 72، 84**.

سؤال 25: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ١/٣، ٢/٣، ١، ١ ١/٣، ...

الإجابة: الحد النوني: an = 1/3n ، والحدود الثلاثة التالية: ١ ٢/٣، ٢، ٢ ١/٣

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 1/3n | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = \frac{1}{3}n$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = \frac{1}{3}n$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = \frac{1}{3} \times 5 = \frac{5}{3}$ - $a_6 = \frac{1}{3} \times 6 = 2$ - $a_7 = \frac{1}{3} \times 7 = \frac{7}{3}$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **1 2/3، 2، 2 1/3**.

سؤال 26: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ٢/٥، ٣/٥، ٤/٥، ١، ...

الإجابة: الحد النوني: an = (n+1)/5 ، والحدود الثلاثة التالية: ١ ١/٥، ١ ٢/٥، ١ ٣/٥

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | (n+1)/5 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = \frac{n+1}{5}$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = \frac{n+1}{5}$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = \frac{5+1}{5} = 1.2$ - $a_6 = \frac{6+1}{5} = 1.4$ - $a_7 = \frac{7+1}{5} = 1.6$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **1 1/5، 1 2/5، 1 3/5**.

سؤال 27: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ٥، ٩، ١٣، ١٧، ...

الإجابة: الحد النوني: an = 4n + 1 ، والحدود الثلاثة التالية: ٢١، ٢٥، ٢٩

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 4n + 1 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 4n + 1$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 4n + 1$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = 4 \times 5 + 1 = 21$ - $a_6 = 4 \times 6 + 1 = 25$ - $a_7 = 4 \times 7 + 1 = 29$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **21، 25، 29**.

سؤال 28: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم اكتب الحدود الثلاثة التالية فيها: ١، ٤، ٧، ١٠، ...

الإجابة: الحد النوني: an = 3n - 2 ، والحدود الثلاثة التالية: ١٣، ١٦، ١٩

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 3n - 2 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 3n - 2$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 3n - 2$**.
4. 2. لحساب الحدود الثلاثة التالية، نستخدم القيم التالية لـ n: 5، 6، 7.
5. 3. نحسب: - $a_5 = 3 \times 5 - 2 = 13$ - $a_6 = 3 \times 6 - 2 = 16$ - $a_7 = 3 \times 7 - 2 = 19$
6. 4. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي: **13، 16، 19**.

سؤال 29: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية فيما يأتي، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة: ٣، ٧، ١١، ١٥، ...؛ ن = ٨

الإجابة: an = 4n - 1 ، إذن a8 = 31

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 4n - 1 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 4n - 1$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 4n - 1$**.
4. 2. لحساب قيمة الحد عند ن = 8، نستخدم: - $a_8 = 4 \times 8 - 1 = 31$
5. 3. إذن، قيمة الحد عند ن = 8 هي: **31**.

سؤال 30: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية فيما يأتي، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة: ٢٣، ٢٥، ٢٧، ٢٩، ...؛ ن = ١٢

الإجابة: an = 2n + 21 ، إذن a12 = 45

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 2n + 21 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 2n + 21$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 2n + 21$**.
4. 2. لحساب قيمة الحد عند ن = 12، نستخدم: - $a_{12} = 2 \times 12 + 21 = 45$
5. 3. إذن، قيمة الحد عند ن = 12 هي: **45**.

سؤال 31: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية فيما يأتي، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة: ١٠، ٥، ٠، -٥، ...؛ ن = ٢١

الإجابة: an = 15 - 5n ، إذن a21 = -90

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 15 - 5n | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 15 - 5n$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 15 - 5n$**.
4. 2. لحساب قيمة الحد عند ن = 21، نستخدم: - $a_{21} = 15 - 5 \times 21 = -90$
5. 3. إذن، قيمة الحد عند ن = 21 هي: **-90**.

سؤال 32: اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني في كل متتابعة حسابية فيما يأتي، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن المعطاة: ٢٧، ١٩، ١١، ٣، ...؛ ن = ١٧

الإجابة: an = 35 - 8n ، إذن a17 = -101

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 35 - 8n | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 35 - 8n$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 35 - 8n$**.
4. 2. لحساب قيمة الحد عند ن = 17، نستخدم: - $a_{17} = 35 - 8 \times 17 = -101$
5. 3. إذن، قيمة الحد عند ن = 17 هي: **-101**.

سؤال 33: رياضة: للسؤالين ٣٣، ٣٤ استعمل الجدول المجاور. إذا أكمل عادل النمط المبين في الجدول، فكم دقيقة سيمشي يوميًا خلال الأسبوع الخامس؟

الإجابة: ٤٠ دقيقة

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | دقائق المشي | d | 40 | دقيقة |
2. > **ملاحظة:** يتم زيادة وقت المشي كل أسبوع.
3. 1. من الجدول، نلاحظ أن عادل يمشي وقتًا متزايدًا كل أسبوع.
4. 2. إذا أكمل عادل النمط، فإنه سيمشي: **40 دقيقة** في الأسبوع الخامس.

سؤال 34: رياضة: للسؤالين ٣٣، ٣٤ استعمل الجدول المجاور. هل يتناسب وقت مشي عادل مع عدد الأسابيع التي مشى فيها؟ فسّر إجابتك.

الإجابة: نعم يتناسب؛ لأن 8/1 = 16/2 = 8 (نسبة ثابتة)، أي 8 × عدد الأسابيع = الوقت

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | نسبة الوقت | r | 8 | - |
2. > **ملاحظة:** النسبة ثابتة بين الوقت وعدد الأسابيع.
3. 1. نلاحظ أن وقت مشي عادل يتناسب مع عدد الأسابيع.
4. 2. النسبة بين الوقت وعدد الأسابيع هي: $\frac{8}{1} = \frac{16}{2} = 8$.
5. 3. إذن، **نعم، يتناسب وقت مشي عادل مع عدد الأسابيع**.

سؤال 35: هندسة: للسؤالين ٣٥، ٣٦ استعمل الشكل المجاور. كم مربعًا سيكون في الشكل رقم ١٨؟

الإجابة: an = 3n + 1 إذا في الشكل 18 يوجد 55 مربعا

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 3n + 1 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 3n + 1$
3. 1. نبدأ بتحديد الحد النوني للمتتابعة: **الحد النوني هو $a_n = 3n + 1$**.
4. 2. لحساب عدد المربعات في الشكل رقم 18، نستخدم: - $a_{18} = 3 \times 18 + 1 = 55$
5. 3. إذن، في الشكل رقم 18 يوجد: **55 مربعًا**.

سؤال 36: هندسة: للسؤالين ٣٥، ٣٦ استعمل الشكل المجاور. هل يتناسب عدد المربعات في كل شكل مع رقم الشكل؟ فسّر إجابتك.

الإجابة: لا؛ لأن العلاقة an = 3n + 1 ليست على صورة kn

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 3n + 1 | - |
2. > **ملاحظة:** يجب أن تكون العلاقة على صورة $kn$ لتكون متناسبة.
3. 1. نلاحظ أن العلاقة $a_n = 3n + 1$ ليست على صورة $kn$.
4. 2. إذن، **لا، عدد المربعات في كل شكل لا يتناسب مع رقم الشكل**.

سؤال 37: مسألة مفتوحة: اكتب متتابعة حسابية يكون أساسها -١/٣.

الإجابة: مثال: 2, 5/3, 4/3, 1, ...

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | المتتابعة | an | - | - |
2. 1. نكتب متتابعة حسابية يكون أساسها -1/3: - مثال: 2، 5/3، 4/3، 1، ...
3. 2. إذن، **المتتابعة هي: 2، 5/3، 4/3، 1، ...**.

سؤال 38: تبرير: بيّن فيما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا أو أحيانًا أو غير صحيحة أبدًا. فسّر إجابتك. «المتتابعة التي يضاف فيها عدد إلى أيّ حدّ للحصول على الحد الذي يليه هي متتابعة حسابية».

الإجابة: أحيانًا صحيحة؛ تكون متتابعة حسابية فقط إذا كان العدد المضاف ثابتًا في كل مرة.

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | العبارة | - | - | - |
2. > **ملاحظة:** يجب أن يكون العدد المضاف ثابتًا.
3. 1. العبارة تقول: «المتتابعة التي يضاف فيها عدد إلى أي حد للحصول على الحد الذي يليه هي متتابعة حسابية».
4. 2. هذه العبارة **أحيانًا صحيحة**؛ لأنها تكون متتابعة حسابية فقط إذا كان العدد المضاف ثابتًا في كل مرة.

سؤال 39: تحدّ: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الموضحة في الجدول المجاور.

الإجابة: من الجدول: a1 = 8 والفرق d = 3 => an = 3n + 5

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 3n + 5 | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 3n + 5$
3. 1. من الجدول، نلاحظ أن $a_1 = 8$ والفرق $d = 3$.
4. 2. إذن، **العبارة هي: $a_n = 3n + 5$**.

سؤال 40: اكتب: مسألة من الواقع تمثل متتابعة حسابية، ثم حلّها.

الإجابة: مسألة: ادخار يبدأ بـ 10 ويزيد 5 أسبوعيًا. كم في الأسبوع 8؟ الحل: an = 10 + 5(n-1) => a8 = 45 ريالاً.

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الحد النوني | an | 10 + 5(n-1) | - |
2. **القانون المستخدم:** $a_n = 10 + 5(n-1)$
3. 1. نكتب مسألة من الواقع: ادخار يبدأ بـ 10 ويزيد 5 أسبوعيًا.
4. 2. لحساب قيمة الحد عند ن = 8، نستخدم: - $a_8 = 10 + 5(8-1) = 45$
5. 3. إذن، في الأسبوع 8 سيكون: **45 ريالاً**.

ما عبارة الحد النوني والحدود الثلاثة التالية للمتتابعة: ٢، ٤، ٦، ٨، ...؟

• أ) الحد النوني: $a_n = n+1$، والحدود التالية: ٩، ١٠، ١١
• ب) الحد النوني: $a_n = 2n$، والحدود التالية: ١٠، ١٢، ١٤
• ج) الحد النوني: $a_n = n imes 2$، والحدود التالية: ١٠، ١١، ١٢
• د) الحد النوني: $a_n = 2n+2$، والحدود التالية: ١٢، ١٤، ١٦

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحد النوني: $a_n = 2n$، والحدود التالية: ١٠، ١٢، ١٤

الشرح: ١. نلاحظ أن المتتابعة تزيد بمقدار ثابت ٢ في كل مرة، وهي متتابعة حسابية. ٢. الحد الأول $a_1 = 2$. ٣. الحد النوني $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)2 = 2n$. ٤. الحدود التالية (عند n=5, 6, 7): $a_5 = 2(5) = 10$, $a_6 = 2(6) = 12$, $a_7 = 2(7) = 14$.

تلميح: ابحث عن العلاقة بين الحد وترتيبه (الحد النوني)، ثم استخدمها لإيجاد الحدود التالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما عبارة الحد النوني والحدود الثلاثة التالية للمتتابعة: ١/٣، ٢/٣، ١، ١ ١/٣، ...؟

• أ) الحد النوني: $a_n = \frac{n}{3}$، والحدود التالية: ٥/٣، ٢، ٢ ٥/٣
• ب) الحد النوني: $a_n = n - \frac{2}{3}$، والحدود التالية: ٤ ١/٣، ٥ ١/٣، ٦ ١/٣
• ج) الحد النوني: $a_n = \frac{1}{3}n$، والحدود التالية: ١ ٢/٣، ٢، ٢ ١/٣
• د) الحد النوني: $a_n = \frac{n+2}{3}$، والحدود التالية: ٧/٣، ٨/٣، ٩/٣

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الحد النوني: $a_n = \frac{1}{3}n$، والحدود التالية: ١ ٢/٣، ٢، ٢ ١/٣

الشرح: ١. نلاحظ أن المتتابعة تزيد بمقدار ثابت ١/٣ في كل مرة. الحد الأول $a_1 = 1/3$. ٢. الحد النوني $a_n = a_1 + (n-1)d = 1/3 + (n-1)1/3 = n/3$. ٣. الحدود التالية (عند n=5, 6, 7): $a_5 = 5/3 = 1 \ 2/3$, $a_6 = 6/3 = 2$, $a_7 = 7/3 = 2 \ 1/3$.

تلميح: ابحث عن الفرق المشترك بين الحدود، وتذكر كيفية التعامل مع الكسور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني وقيمة الحد الثامن للمتتابعة الحسابية: ٣، ٧، ١١، ١٥، ...؛ ن = ٨؟

• أ) الحد النوني: $a_n = 4n + 1$، وقيمة الحد الثامن: ٣٣
• ب) الحد النوني: $a_n = 3n + 1$، وقيمة الحد الثامن: ٢٥
• ج) الحد النوني: $a_n = 4n - 1$، وقيمة الحد الثامن: ٣١
• د) الحد النوني: $a_n = 4n - 1$، وقيمة الحد الثامن: ٢٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الحد النوني: $a_n = 4n - 1$، وقيمة الحد الثامن: ٣١

الشرح: ١. الحد الأول $a_1 = 3$. الفرق المشترك $d = 7-3 = 4$. ٢. عبارة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$. ٣. لإيجاد الحد الثامن (ن=٨): $a_8 = 4(8) - 1 = 32 - 1 = 31$.

تلميح: استخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية $a_n = a_1 + (n-1)d$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني وقيمة الحد السابع عشر للمتتابعة الحسابية: ٢٧، ١٩، ١١، ٣، ...؛ ن = ١٧؟

• أ) الحد النوني: $a_n = 27 - 8n$، وقيمة الحد السابع عشر: -١١٩
• ب) الحد النوني: $a_n = 35 - 8n$، وقيمة الحد السابع عشر: -١٠١
• ج) الحد النوني: $a_n = 27 + 8n$، وقيمة الحد السابع عشر: ١٦٣
• د) الحد النوني: $a_n = 35 - 8n$، وقيمة الحد السابع عشر: -٩١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحد النوني: $a_n = 35 - 8n$، وقيمة الحد السابع عشر: -١٠١

الشرح: ١. الحد الأول $a_1 = 27$. الفرق المشترك $d = 19-27 = -8$. ٢. عبارة الحد النوني: $a_n = a_1 + (n-1)d = 27 + (n-1)(-8) = 35 - 8n$. ٣. لإيجاد الحد السابع عشر (ن=١٧): $a_{17} = 35 - 8(17) = 35 - 136 = -101$.

تلميح: انتبه للفرق المشترك السالب عند إيجاد الحد النوني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي المتتابعات الحسابية الآتية أساسها -٣؟

• أ) ٨، ١١، ١٤، ١٧، ...
• ب) ١٠، ٧، ٤، ١، ...
• ج) ١٠، ١٣، ١٦، ١٩، ...
• د) ٥، ٣، ١، -١، ...

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٠، ٧، ٤، ١، ...

الشرح: ١. الأساس هو الفرق الثابت بين أي حدين متتاليين. ٢. في المتتابعة ١٠، ٧، ٤، ١، ...، نجد أن ٧ - ١٠ = -٣، ٤ - ٧ = -٣، ١ - ٤ = -٣. ٣. إذن، الأساس هو -٣.

تلميح: الأساس (الفرق المشترك) هو قيمة ثابتة تضاف أو تطرح من كل حد للحصول على الحد التالي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صحة العبارة الآتية: «المتتابعة التي يضاف فيها عدد إلى أيّ حدّ للحصول على الحد الذي يليه هي متتابعة حسابية»؟

• أ) صحيحة دائمًا
• ب) غير صحيحة أبدًا
• ج) صحيحة أحيانًا
• د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: صحيحة أحيانًا

الشرح: ١. المتتابعة الحسابية تتطلب أن يكون الفرق بين أي حدّين متتاليين ثابتًا، أي يُضاف نفس العدد دائمًا. ٢. العبارة تستخدم كلمة 'عدد' دون تحديد إذا كان هذا العدد ثابتًا أم متغيرًا. ٣. إذا كان العدد المضاف ثابتًا، فالعبارة صحيحة وتكون متتابعة حسابية. ٤. إذا كان العدد المضاف يتغير من حد لآخر، فالعبارة خاطئة ولا تكون متتابعة حسابية. ٥. لذا، العبارة صحيحة أحيانًا فقط، وليست دائمًا أو أبدًا.

تلميح: تذكر تعريف المتتابعة الحسابية، وهل يشترط ثبات العدد المضاف؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا بدأ شخص بادخار مبلغ 10 ريالات، ويزيد المبلغ 5 ريالات كل أسبوع، فما المبلغ الإجمالي الذي سيدخره في نهاية الأسبوع الثامن؟

• أ) 40 ريالاً
• ب) 45 ريالاً
• ج) 50 ريالاً
• د) 55 ريالاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 45 ريالاً

الشرح: ١. هذه مسألة متتابعة حسابية حيث الحد الأول ($a_1$) هو 10 ريالات والأساس ($d$) هو 5 ريالات (الزيادة الأسبوعية). ٢. صيغة إيجاد الحد النوني هي $a_n = a_1 + (n-1)d$. ٣. لحساب المبلغ في نهاية الأسبوع الثامن (أي $a_8$): $a_8 = 10 + (8-1) \times 5$. ٤. $a_8 = 10 + 7 \times 5 = 10 + 35 = 45$ ريالاً.

تلميح: استخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني والحدود الثلاثة التالية للمتتابعة: ١٢، ٢٤، ٣٦، ٤٨، ...؟

• أ) an = 12 + n، والحدود الثلاثة التالية: ٥٣، ٥٤، ٥٥
• ب) an = n + 11، والحدود الثلاثة التالية: ٥٩، ٧١، ٨٣
• ج) an = 12n، والحدود الثلاثة التالية: ٦٠، ٧٢، ٨٤
• د) an = 6n + 6، والحدود الثلاثة التالية: ٦٦، ٧٨، ٩٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: an = 12n، والحدود الثلاثة التالية: ٦٠، ٧٢، ٨٤

الشرح: 1. نلاحظ أن كل حد هو مضاعف لترتيبه مضروبًا في ١٢ (مثلاً: ١٢ = ١٢×١، ٢٤ = ١٢×٢). 2. إذن، الحد النوني هو an = 12n. 3. لحساب الحدود التالية (ن=٥، ٦، ٧): a5 = ١٢×٥ = ٦٠، a6 = ١٢×٦ = ٧٢، a7 = ١٢×٧ = ٨٤.

تلميح: لاحظ النمط المتكرر للزيادة بين الحدود وكيف يرتبط كل حد بترتيبه (ن).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني والحدود الثلاثة التالية للمتتابعة: ٢/٥، ٣/٥، ٤/٥، ١، ...؟

• أ) an = n/5، والحدود الثلاثة التالية: ٥/٥، ٦/٥، ٧/٥
• ب) an = (n+1)/5، والحدود الثلاثة التالية: ١ ١/٥، ١ ٢/٥، ١ ٣/٥
• ج) an = (n-1)/5، والحدود الثلاثة التالية: ٤/٥، ٥/٥، ٦/٥
• د) an = n + 2/5، والحدود الثلاثة التالية: ٥ + ٢/٥، ٦ + ٢/٥، ٧ + ٢/٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: an = (n+1)/5، والحدود الثلاثة التالية: ١ ١/٥، ١ ٢/٥، ١ ٣/٥

الشرح: 1. المتتابعة هي ٢/٥، ٣/٥، ٤/٥، ٥/٥ (وهو ١). 2. نلاحظ أن البسط يزيد بمقدار ١ لكل حد (٢، ٣، ٤، ٥...) بينما المقام ثابت ٥. 3. إذن، الحد النوني هو an = (ن+١)/٥. 4. لحساب الحدود التالية (ن=٥، ٦، ٧): a5 = (٥+١)/٥ = ٦/٥ = ١ ١/٥، a6 = (٦+١)/٥ = ٧/٥ = ١ ٢/٥، a7 = (٧+١)/٥ = ٨/٥ = ١ ٣/٥.

تلميح: انتبه إلى نمط البسط مع بقاء المقام ثابتًا، وكيف يمكن التعبير عن العدد الصحيح ككسر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عبارة الحد النوني والحدود الثلاثة التالية للمتتابعة: ١، ٤، ٧، ١٠، ...؟

• أ) an = n + 3، والحدود الثلاثة التالية: ٨، ٩، ١٠
• ب) an = 4n - 3، والحدود الثلاثة التالية: ١٧، ٢١، ٢٥
• ج) an = 3n + 1، والحدود الثلاثة التالية: ١٦، ١٩، ٢٢
• د) an = 3n - 2، والحدود الثلاثة التالية: ١٣، ١٦، ١٩

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: an = 3n - 2، والحدود الثلاثة التالية: ١٣، ١٦، ١٩

الشرح: 1. الفرق الثابت بين الحدود (الأساس د) هو ٤ - ١ = ٣. 2. الحد الأول (أ١) هو ١. 3. باستخدام صيغة الحد النوني: an = أ١ + (ن-١)د = ١ + (ن-١)٣ = ١ + ٣ن - ٣ = ٣ن - ٢. 4. لحساب الحدود التالية (ن=٥، ٦، ٧): a5 = ٣×٥ - ٢ = ١٣، a6 = ٣×٦ - ٢ = ١٦، a7 = ٣×٧ - ٢ = ١٩.

تلميح: أوجد الفرق الثابت بين الحدود (الأساس)، ثم استخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية an = a1 + (n-1)d.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ٢٣، ٢٥، ٢٧، ٢٩، ...، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن = ١٢.

• أ) an = 2n + 23، إذن a12 = 47
• ب) an = 2n + 21، إذن a12 = 45
• ج) an = 3n + 20، إذن a12 = 56
• د) an = 2n + 19، إذن a12 = 43

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: an = 2n + 21، إذن a12 = 45

الشرح: 1. الأساس (الفرق الثابت د) هو ٢٥ - ٢٣ = ٢. 2. الحد الأول (أ١) هو ٢٣. 3. صيغة الحد النوني: an = أ١ + (ن-١)د = ٢٣ + (ن-١)٢ = ٢٣ + ٢ن - ٢ = ٢ن + ٢١. 4. لحساب قيمة الحد عند ن = ١٢: a١٢ = ٢×١٢ + ٢١ = ٢٤ + ٢١ = ٤٥.

تلميح: حدد الأساس (الفرق الثابت) والحد الأول، ثم طبق صيغة الحد النوني an = a1 + (n-1)d لحساب an ثم a12.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اكتب عبارة لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ١٠، ٥، ٠، -٥، ...، واستعملها لإيجاد قيمة الحد عند ن = ٢١.

• أ) an = 5n + 10، إذن a21 = 115
• ب) an = 10 - 5n، إذن a21 = -95
• ج) an = 15 - 5n، إذن a21 = -90
• د) an = 5n + 5، إذن a21 = 110

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: an = 15 - 5n، إذن a21 = -90

الشرح: 1. الأساس (الفرق الثابت د) هو ٥ - ١٠ = -٥. 2. الحد الأول (أ١) هو ١٠. 3. صيغة الحد النوني: an = أ١ + (ن-١)د = ١٠ + (ن-١)(-٥) = ١٠ - ٥ن + ٥ = ١٥ - ٥ن. 4. لحساب قيمة الحد عند ن = ٢١: a٢١ = ١٥ - ٥×٢١ = ١٥ - ١٠٥ = -٩٠.

تلميح: احسب الأساس (الفرق الثابت) الذي سيكون سالبًا. استخدمه مع الحد الأول في صيغة الحد النوني an = a1 + (n-1)d.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط