فكرة الدرس:

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدريب على اختبار من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: METADATA

توسع ٢-١٠

نوع: محتوى تعليمي

أحدد ما إذا كانت علاقة ما دالة أم لا.

نوع: محتوى تعليمي

تعبر العلاقة عن ربط مجموعة من العناصر بمجموعة أخرى تسمى مُخرجات. افرض أن ثلاثة طلاب اختاروا ألوانهم المفضلة من بين الأزرق والأحمر والأخضر. والمخططات الآتية تبين نتيجتين من النتائج الممكنة لهذا الاختيار.

العلاقة ١

نوع: محتوى تعليمي

تذكر من الدرس السابق أن الدالة هي علاقة تُحدد مُخرجة واحدة فقط لكل مُدخلة. وفي المثال أعلاه تعد العلاقة الأولى دالة؛ لأن كل شخص اختار لونًا مُفضلاً واحدًا فقط. أما العلاقة الثانية فليست دالة؛ لأن فيصل اختار لونين مفضلين.

نشاط

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة ١

نوع: QUESTION_ACTIVITY

انسخ مخطط العلاقة أدناه، وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات لتصبح دالة.

الخطوة ٢

نوع: QUESTION_ACTIVITY

انسخ مخطط العلاقة من الخطوة الأولى، وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات على ألا تكون علاقة دالة.

حل النتائج

نوع: محتوى تعليمي

1

نوع: QUESTION_ACTIVITY

يمكن كتابة العلاقة في صورة مجموعة أزواج مرتبة، حيث تُمثل المدخلة بالإحداثي السيني والمخرجة بالإحداثي الصادي، اكتب كل علاقة رسم مخططًا في النشاط السابق في صورة أزواج مرتبة.

2

نوع: QUESTION_ACTIVITY

بين لماذا لا تُعد كل علاقة دالة. وفسّر تبريرك بدلالة أزواج مرتبة.

3

نوع: QUESTION_ACTIVITY

حدد ما إذا كانت كل علاقة فيما يأتي دالة أم لا، وفسّر ذلك:

نوع: METADATA

توسع ٢-١٠ : معمل الجبر: العلاقات والدوال

🔍 عناصر مرئية

العلاقة ١

Diagram showing a mapping from a 'مدخلة' column (فيصل, ماجد, ناصر) to a 'مخرجة' column (أزرق, أحمر, أخضر) with arrows indicating that each input maps to exactly one output.

العلاقة ٢

Diagram showing a mapping from a 'مدخلة' column (عمر, عماد, كامل) to a 'مخرجة' column (أزرق, أحمر, أخضر) with arrows indicating that multiple inputs can map to the same output, and one input (عمر) maps to multiple outputs (أزرق, أحمر).

📄 النص الكامل للصفحة

توسع ٢-١٠

--- SECTION: فكرة الدرس: ---
أحدد ما إذا كانت علاقة ما دالة أم لا.

تعبر العلاقة عن ربط مجموعة من العناصر بمجموعة أخرى تسمى مُخرجات. افرض أن ثلاثة طلاب اختاروا ألوانهم المفضلة من بين الأزرق والأحمر والأخضر. والمخططات الآتية تبين نتيجتين من النتائج الممكنة لهذا الاختيار.

--- SECTION: العلاقة ١ ---


تذكر من الدرس السابق أن الدالة هي علاقة تُحدد مُخرجة واحدة فقط لكل مُدخلة. وفي المثال أعلاه تعد العلاقة الأولى دالة؛ لأن كل شخص اختار لونًا مُفضلاً واحدًا فقط. أما العلاقة الثانية فليست دالة؛ لأن فيصل اختار لونين مفضلين.

--- SECTION: نشاط ---


--- SECTION: الخطوة ١ ---
انسخ مخطط العلاقة أدناه، وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات لتصبح دالة.

--- SECTION: الخطوة ٢ ---
انسخ مخطط العلاقة من الخطوة الأولى، وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات على ألا تكون علاقة دالة.

--- SECTION: حل النتائج ---


--- SECTION: 1 ---
يمكن كتابة العلاقة في صورة مجموعة أزواج مرتبة، حيث تُمثل المدخلة بالإحداثي السيني والمخرجة بالإحداثي الصادي، اكتب كل علاقة رسم مخططًا في النشاط السابق في صورة أزواج مرتبة.

--- SECTION: 2 ---
بين لماذا لا تُعد كل علاقة دالة. وفسّر تبريرك بدلالة أزواج مرتبة.

--- SECTION: 3 ---
حدد ما إذا كانت كل علاقة فيما يأتي دالة أم لا، وفسّر ذلك:
أ. { (٦, ٥)، (١١, ٨)، (١٠, ٧)، (١٣, ٨)، (١٨, ١٠)، (١٥, ٩)، (٩, ٣)، (٦, ٥) }
ب. { (٧, ٥)، (١١, ٨)، (١٣, ٨)، (١٠, ٧)، (١٨, ١٠)، (١٥, ٩)، (٩, ٣)، (٦, ٥) }

توسع ٢-١٠ : معمل الجبر: العلاقات والدوال

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: العلاقة ١
Description: Diagram showing a mapping from a 'مدخلة' column (فيصل, ماجد, ناصر) to a 'مخرجة' column (أزرق, أحمر, أخضر) with arrows indicating that each input maps to exactly one output.
X-axis: مدخلة
Y-axis: مخرجة
Context: Illustrates a function where each input has a unique output.

**DIAGRAM**: العلاقة ٢
Description: Diagram showing a mapping from a 'مدخلة' column (عمر, عماد, كامل) to a 'مخرجة' column (أزرق, أحمر, أخضر) with arrows indicating that multiple inputs can map to the same output, and one input (عمر) maps to multiple outputs (أزرق, أحمر).
X-axis: مدخلة
Y-axis: مخرجة
Context: Illustrates a relation that is NOT a function because one input (عمر) maps to multiple outputs.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال الخطوة ١: انسخ مخطط العلاقة أدناه، وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات لتصبح دالة.

الإجابة: مثال دالة: 1 ← 2، 3 ← 5، 6 ← 7، 8 ← 10

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مخطط علاقة بين مدخلات ومخرجات (غير محدد التفاصيل في نص السؤال) | | المطلوب | رسم خطوط ربط تجعل العلاقة **دالة**، أي كل مدخلة مرتبطة بمخرجة واحدة فقط |
**الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **تعريف الدالة**: العلاقة التي تربط كل عنصر من مجموعة (المجال/المدخلات) بعنصر **واحد فقط** من مجموعة أخرى (المدى/المخرجات).
**الخطوة 3: استراتيجية الرسم** 1. اختر قيمًا للمدخلات (مثل: 1، 3، 6، 8). 2. اختر لكل مدخلة **مخرجة واحدة فقط** لا تتكرر لها (مثل: 2، 5، 7، 10). 3. ارسم سهمًا (أو خطًا) من كل مدخلة إلى مخرجتها المحددة.
**الخطوة 4: التأكد من الشرط** قبل الانتهاء، تحقق من أن: - كل مدخلة لها **سهم خروج واحد فقط**. - لا يوجد مدخلة موصلة إلى أكثر من مخرجة.
**الإجابة النهائية**: العلاقة التي تم رسمها هي دالة، ويمكن تمثيلها بالأزواج المرتبة: ${(1,2), (3,5), (6,7), (8,10)}$.

سؤال الخطوة ٢: انسخ مخطط العلاقة من الخطوة الأولى. وارسم خطوطًا من قيم المدخلات إلى قيم المخرجات على ألا تكون العلاقة دالة.

الإجابة: مثال ليست دالة: 1 ← 2، 3 ← 5، 3 ← 7، 6 ← 8، 8 ← 10

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مخطط علاقة من الخطوة الأولى (أو أي مخطط ابتدائي) | | المطلوب | تعديل الرسم بحيث **لا تكون** العلاقة دالة، أي جعل مدخلة واحدة على الأقل مرتبطة بأكثر من مخرجة |
**الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **شرط عدم كون العلاقة دالة**: وجود عنصر واحد على الأقل في مجموعة المدخلات يرتبط **بأكثر من عنصر** في مجموعة المخرجات.
**الخطوة 3: استراتيجية الرسم** 1. ابدأ من مثال الدالة في الخطوة الأولى: ${(1,2), (3,5), (6,7), (8,10)}$. 2. اختر **مدخلة واحدة** من المدخلات الموجودة (مثل: 3). 3. ارسم لها **سهمين** إلى **مخرجتين مختلفتين** (مثل: 5 و 7). 4. تأكد من بقية المدخلات مرتبطة بمخرجة واحدة (لإبراز الفرق).
**الخطوة 4: التأكد من الشرط** تحقق من وجود **مدخلة واحدة على الأقل** موصلة إلى أكثر من مخرجة. في هذا المثال، المدخلة 3 موصلة إلى 5 وإلى 7.
**الإجابة النهائية**: العلاقة المرسومة **ليست دالة**، ويمكن تمثيلها بالأزواج المرتبة: ${(1,2), (3,5), (3,7), (6,8), (8,10)}$.

سؤال ١: يمكن كتابة العلاقة في صورة مجموعة أزواج مرتبة، حيث تُمثّل المدخلة بالإحداثي السيني والمخرجة بالإحداثي الصادي، اكتب كل علاقة رُسم مخططها في النشاط السابق في صورة أزواج مرتبة.

الإجابة: الخطوة 1 (دالة): {(1,2)، (3,5)، (6,7)، (8,10)}، الخطوة 2 (ليست دالة): {(1,2)، (3,5)، (3,7)، (6,8)، (8,10)}

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مخطط علاقة بين مدخلات ومخرجات (غير محدد التفاصيل في نص السؤال) | | المطلوب | رسم خطوط ربط تجعل العلاقة **دالة**، أي كل مدخلة مرتبطة بمخرجة واحدة فقط |
**الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **تعريف الدالة**: العلاقة التي تربط كل عنصر من مجموعة (المجال/المدخلات) بعنصر **واحد فقط** من مجموعة أخرى (المدى/المخرجات).
**الخطوة 3: استراتيجية الرسم** 1. اختر قيمًا للمدخلات (مثل: 1، 3، 6، 8). 2. اختر لكل مدخلة **مخرجة واحدة فقط** لا تتكرر لها (مثل: 2، 5، 7، 10). 3. ارسم سهمًا (أو خطًا) من كل مدخلة إلى مخرجتها المحددة.
**الخطوة 4: التأكد من الشرط** قبل الانتهاء، تحقق من أن: - كل مدخلة لها **سهم خروج واحد فقط**. - لا يوجد مدخلة موصلة إلى أكثر من مخرجة.
**الإجابة النهائية**: العلاقة التي تم رسمها هي دالة، ويمكن تمثيلها بالأزواج المرتبة: ${(1,2), (3,5), (6,7), (8,10)}$.

سؤال ٢: بيّن لماذا لا تُعد كل علاقة دالةً. وفسّر تبريرك بدلالة أزواج مرتبة.

الإجابة: ليست دالة؛ لأن بعض المدخلات (مثل 3) لها أكثر من مخرجة.

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مخطط علاقة من الخطوة الأولى (أو أي مخطط ابتدائي) | | المطلوب | تعديل الرسم بحيث **لا تكون** العلاقة دالة، أي جعل مدخلة واحدة على الأقل مرتبطة بأكثر من مخرجة |
**الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **شرط عدم كون العلاقة دالة**: وجود عنصر واحد على الأقل في مجموعة المدخلات يرتبط **بأكثر من عنصر** في مجموعة المخرجات.
**الخطوة 3: استراتيجية الرسم** 1. ابدأ من مثال الدالة في الخطوة الأولى: ${(1,2), (3,5), (6,7), (8,10)}$. 2. اختر **مدخلة واحدة** من المدخلات الموجودة (مثل: 3). 3. ارسم لها **سهمين** إلى **مخرجتين مختلفتين** (مثل: 5 و 7). 4. تأكد من بقية المدخلات مرتبطة بمخرجة واحدة (لإبراز الفرق).
**الخطوة 4: التأكد من الشرط** تحقق من وجود **مدخلة واحدة على الأقل** موصلة إلى أكثر من مخرجة. في هذا المثال، المدخلة 3 موصلة إلى 5 وإلى 7.
**الإجابة النهائية**: العلاقة المرسومة **ليست دالة**، ويمكن تمثيلها بالأزواج المرتبة: ${(1,2), (3,5), (3,7), (6,8), (8,10)}$.

سؤال ٣: حدّد ما إذا كانت كل علاقة فيما يأتي دالة أم لا، وفسّر ذلك: {(1، 18)، (9، 15)، (6، 3)، (9، 10)}

الإجابة: ليست دالة؛ لأن المدخلة 9 تكررت مع مخرجتين (15 و 10).

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مجموعة الأزواج المرتبة: ${(1, 18), (9, 15), (6, 3), (9, 10)}$ | | المطلوب | تحديد إذا كانت العلاقة **دالة** أم لا، مع التفسير |
**الخطوة 2: القانون المستخدم** > **معيار الدالة من الأزواج المرتبة**: العلاقة دالة إذا كان **كل عنصر أول** (مدخلة) يظهر **مرة واحدة فقط** مع عنصر ثاني (مخرجة) معين. أي، لا يتكرر العنصر الأول مع عناصر ثانية مختلفة.
**الخطوة 3: فحص تكرر العنصر الأول (المدخلات)** 1. استخرج العنصر الأول من كل زوج: - من (1, 18): المدخلة = 1 - من (9, 15): المدخلة = 9 - من (6, 3): المدخلة = 6 - من (9, 10): المدخلة = 9 2. أنشئ جدولاً لمتابعة التكرار: | المدخلة (x) | المخرجة (y) | عدد مرات الظهور كمدخلة | |-------------|-------------|-------------------------| | 1 | 18 | 1 | | 9 | 15 | **2** | | 6 | 3 | 1 | | 9 | 10 | **2** | 3. تلاحظ أن **المدخلة 9** تظهر مرتين مع مخرجتين مختلفتين (15 و 10).
**الخطوة 4: تطبيق المعيار** - بما أن المدخلة 9 مرتبطة بقيمتين مختلفتين للمخرجة (15 و 10)، فهذا ينتهك شرط الدالة. - المدخلات الأخرى (1 و 6) مرتبطة بمخرجة واحدة فقط، لكن وجود حالة واحدة من انتهاك الشرط كافٍ لعدم كون العلاقة دالة.
**الإجابة النهائية**: العلاقة **ليست دالة**، لأن العنصر $x = 9$ من مجموعة المدخلات له أكثر من قيمة $y$ في مجموعة المخرجات (قيمتان هما 15 و 10) كما يظهر في الأزواج المرتبة.

سؤال ٤: حدّد ما إذا كانت كل علاقة فيما يأتي دالة أم لا، وفسّر ذلك: {(5، 6)، (10، 11)، (8، 13)، (0، 7)}

الإجابة: دالة؛ لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط.

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البند | الوصف | |--------|--------| | المعطيات | مجموعة الأزواج المرتبة: ${(5, 6), (10, 11), (8, 13), (0, 7)}$ | | المطلوب | تحديد إذا كانت العلاقة **دالة** أم لا، مع التفسير |
**الخطوة 2: القانون المستخدم** > **معيار الدالة من الأزواج المرتبة**: العلاقة دالة إذا كان **كل عنصر أول** (مدخلة) يظهر مرة واحدة فقط في جميع الأزواج، أو إذا تكرر فيجب أن يكون مرتبطًا بنفس العنصر الثاني (نفس المخرجة) دائمًا.
**الخطوة 3: فحص تكرر العنصر الأول (المدخلات)** 1. استخرج العنصر الأول من كل زوج: - من (5, 6): المدخلة = 5 - من (10, 11): المدخلة = 10 - من (8, 13): المدخلة = 8 - من (0, 7): المدخلة = 0 2. أنشئ قائمة بالمدخلات مع مخرجاتها: | المدخلة (x) | المخرجة (y) | |-------------|-------------| | 5 | 6 | | 10 | 11 | | 8 | 13 | | 0 | 7 | 3. لاحظ أن **جميع المدخلات مختلفة** (5, 10, 8, 0). لا يوجد أي مدخلة مكررة.
**الخطوة 4: تطبيق المعيار** - بما أن كل مدخلة تظهر **مرة واحدة فقط** في مجموعة الأزواج، فهذا يضمن أن كل مدخلة مرتبطة **بمخرجة واحدة فقط**. - لا يوجد زوجان لهما نفس العنصر الأول مع عنصر ثاني مختلف.
**الإجابة النهائية**: العلاقة **دالة**، لأنه لكل قيمة $x$ (مدخلة) في المجموعة، هناك قيمة $y$ واحدة فقط مقترنة بها، كما هو واضح من عدم تكرار أي مدخلة في الأزواج المرتبة.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 10 بطاقة لهذه الصفحة

ما هو التعريف الصحيح للدالة في الرياضيات؟

أ) الدالة هي علاقة تربط كل مدخلة بأكثر من مخرجة.
ب) الدالة هي مجموعة من الأزواج المرتبة بغض النظر عن تكرار المدخلات.
ج) الدالة هي علاقة تُحدد مُخرجة واحدة فقط لكل مُدخلة.
د) الدالة هي عملية حسابية تنتج قيمة واحدة من عدة مدخلات.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الدالة هي علاقة تُحدد مُخرجة واحدة فقط لكل مُدخلة.

الشرح: ١. الدالة تتطلب أن يرتبط كل عنصر في مجموعة المدخلات بعنصر واحد فقط في مجموعة المخرجات.

تلميح: تذكر العلاقة بين المدخلات والمخرجات في الدالة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

متى لا تُعتبر العلاقة دالة عند تمثيلها بأزواج مرتبة؟

أ) إذا كانت جميع المدخلات مرتبطة بنفس المخرجة.
ب) إذا كانت هناك مدخلة واحدة على الأقل مرتبطة بأكثر من مخرجة.
ج) إذا كانت جميع المخرجات مختلفة عن بعضها البعض.
د) إذا لم ترتبط بعض المدخلات بأي مخرجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا كانت هناك مدخلة واحدة على الأقل مرتبطة بأكثر من مخرجة.

الشرح: ١. لكي لا تكون العلاقة دالة، يجب أن يوجد عنصر في مجموعة المدخلات يرتبط بعنصرين أو أكثر في مجموعة المخرجات.

تلميح: ركز على سلوك المدخلات وتكرارها مع مخرجات مختلفة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت العلاقة التالية دالة أم لا: `{(1,2), (3,5), (6,7), (8,10)}`

أ) ليست دالة؛ لأن المخرجات غير متساوية.
ب) دالة؛ لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط.
ج) ليست دالة؛ لأن عدد الأزواج صغير.
د) دالة؛ لأن جميع الأرقام فردية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: دالة

الشرح: ١. المدخلات هي: 1, 3, 6, 8. ٢. جميع المدخلات فريدة ولا تتكرر. ٣. بما أن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط، فالعلاقة دالة.

تلميح: تحقق مما إذا كانت أي مدخلة تتكرر مع مخرجات مختلفة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حدد ما إذا كانت العلاقة التالية دالة أم لا: `{(1,2), (3,5), (3,7), (6,8), (8,10)}`

أ) دالة؛ لأن كل مدخلة مرتبطة بمخرجة.
ب) ليست دالة؛ لأن المدخلة 3 مرتبطة بمخرجتين مختلفتين.
ج) دالة؛ لأن هناك قيمًا زوجية وفردية.
د) ليست دالة؛ لأن بعض المخرجات تتكرر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ليست دالة

الشرح: ١. المدخلة 3 تتكرر في الأزواج (3,5) و (3,7). ٢. ترتبط المدخلة 3 بمخرجتين مختلفتين (5 و 7). ٣. بما أن هناك مدخلة واحدة (3) لها أكثر من مخرجة، فالعلاقة ليست دالة.

تلميح: ابحث عن المدخلات المتكررة وانظر إلى المخرجات المرتبطة بها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت العلاقة التالية دالة أم لا، وفسّر ذلك: `{(٦, ٥)، (١١, ٨)، (١٠, ٧)، (١٣, ٨)، (١٨, ١٠)، (١٥, ٩)، (٩, ٣)، (٦, ٥)}`

أ) ليست دالة؛ لأن المدخلة ٦ تكررت.
ب) دالة؛ لأن كل مدخلة مرتبطة بمخرجة واحدة فقط، حتى المدخلة ٦.
ج) ليست دالة؛ لأن بعض المخرجات (٨) تكررت.
د) دالة؛ لأن جميع الأرقام زوجية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: دالة

الشرح: ١. المدخلات هي: ٦, ١١, ١٠, ١٣, ١٨, ١٥, ٩, ٦. ٢. المدخلة ٦ تتكرر مرتين. ٣. في المرتين، ترتبط المدخلة ٦ بالمخرجة ٥. ٤. بما أن كل مدخلة، بما فيها ٦ المتكررة، ترتبط بمخرجة واحدة فقط (٦ ← ٥)، فالعلاقة دالة.

تلميح: تتبع كل مدخلة وتأكد أنها مرتبطة بمخرجة واحدة فقط، حتى لو تكررت المدخلة مع نفس المخرجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدّد ما إذا كانت العلاقة التالية دالة أم لا، وفسّر ذلك: {(٧, ٥)، (١١, ٨)، (١٣, ٨)، (١٠, ٧)، (١٨, ١٠)، (١٥, ٩)، (٩, ٣)، (٦, ٥)}

أ) دالة؛ لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط.
ب) ليست دالة؛ لأن المخرجة 8 تكررت مرتين.
ج) دالة؛ لأن عدد المدخلات يساوي عدد المخرجات.
د) ليست دالة؛ لأن بعض الأزواج مرتبة بشكل غير تصاعدي.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: دالة؛ لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط.

الشرح: 1. نراجع المدخلات (الإحداثيات السينية) في جميع الأزواج المرتبة. 2. المدخلات هي: 7, 11, 13, 10, 18, 15, 9, 6. 3. نلاحظ أن جميع هذه المدخلات فريدة ولا تتكرر. 4. بما أن كل مدخلة تظهر مرة واحدة فقط، فإن كل مدخلة مرتبطة بمخرجة واحدة فقط. 5. لذلك، العلاقة دالة.

تلميح: تذكر أن العلاقة تكون دالة إذا ارتبطت كل مدخلة بمخرجة واحدة فقط. ابحث عن تكرار المدخلات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بيّن لماذا لا تُعد كل علاقة دالة، وفسّر تبريرك بدلالة أزواج مرتبة.

أ) لأن العلاقة قد تحتوي على أزواج مرتبة غير مرتبة تصاعديًا.
ب) لأن بعض المدخلات قد ترتبط بأكثر من مخرجة واحدة، مثل: (3, 5) و (3, 7).
ج) لأن عدد المدخلات لا يتساوى دائمًا مع عدد المخرجات.
د) لأن العلاقات فقط هي التي يمكن تمثيلها بالأزواج المرتبة وليس الدوال.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن بعض المدخلات قد ترتبط بأكثر من مخرجة واحدة، مثل: (3, 5) و (3, 7).

الشرح: 1. تعريف الدالة ينص على أن كل مدخلة يجب أن ترتبط بمخرجة واحدة فقط. 2. إذا ارتبطت مدخلة واحدة (مثل x) بأكثر من مخرجة (مثل y1 و y2 حيث y1 ≠ y2)، فإن العلاقة لا تكون دالة. 3. كمثال، الأزواج المرتبة (3, 5) و (3, 7) توضح أن المدخلة 3 مرتبطة بمخرجتين مختلفتين، 5 و 7. 4. هذا ينتهك شرط الدالة.

تلميح: ركز على الشرط الأساسي للدالة المتعلق بالمدخلات والمخرجات، وكيف يمكن للأزواج المرتبة أن توضحه.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن يتوفر في العلاقة لكي تُعتبر دالة؟

أ) يجب أن ترتبط كل مخرجة بمدخلة واحدة فقط.
ب) يجب أن ترتبط كل مدخلة بمخرجة واحدة فقط.
ج) يجب أن يكون عدد المدخلات مساويًا لعدد المخرجات.
د) يجب ألا تتكرر أي من المدخلات أو المخرجات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب أن ترتبط كل مدخلة بمخرجة واحدة فقط.

الشرح: 1. تعريف الدالة ينص بوضوح على أن العلاقة تكون دالة إذا ارتبط كل عنصر من عناصر مجموعة المدخلات. 2. بمخرج واحد فقط من عناصر مجموعة المخرجات. 3. أي، لكل قيمة للمدخل x، يجب أن تكون هناك قيمة واحدة فقط للمخرج y.

تلميح: فكر في العلاقة بين المدخلات والمخرجات في تعريف الدالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند تمثيل علاقة بمجموعة من الأزواج المرتبة، إذا وجدت زوجين مرتبين لهما نفس المدخلة (الإحداثي السيني) ولكن بمخرجتين مختلفتين (الإحداثي الصادي)، فماذا نستنتج عن هذه العلاقة؟

أ) العلاقة خطية.
ب) العلاقة دالة.
ج) العلاقة ليست دالة.
د) العلاقة عكسية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العلاقة ليست دالة.

الشرح: 1. شرط الدالة هو أن كل مدخلة ترتبط بمخرجة واحدة فقط. 2. إذا كان هناك زوجان مرتبان مثل (x, y1) و (x, y2) حيث y1 ≠ y2، فهذا يعني أن المدخلة x مرتبطة بمخرجتين مختلفتين. 3. هذه الحالة تنتهك شرط الدالة. 4. وبالتالي، العلاقة ليست دالة.

تلميح: تذكر ما الذي يمنع العلاقة من أن تكون دالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حدّد ما إذا كانت العلاقة التالية دالة أم لا، وفسّر ذلك: {(2,3), (5,6), (8,9), (2,10)}

أ) دالة؛ لأن جميع المخرجات مختلفة.
ب) ليست دالة؛ لأن المدخلة 2 تكررت مع مخرجتين مختلفتين (3 و 10).
ج) دالة؛ لأن عدد الأزواج المرتبة زوجي.
د) ليست دالة؛ لأن الأرقام في الأزواج ليست متسلسلة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ليست دالة؛ لأن المدخلة 2 تكررت مع مخرجتين مختلفتين (3 و 10).

الشرح: 1. نراجع المدخلات (الإحداثيات السينية) في جميع الأزواج المرتبة. 2. المدخلات هي: 2, 5, 8, 2. 3. نلاحظ أن المدخلة 2 تكررت مرتين. 4. في الزوج الأول، (2, 3)، المدخلة 2 مرتبطة بالمخرجة 3. 5. وفي الزوج الأخير، (2, 10)، المدخلة 2 مرتبطة بالمخرجة 10. 6. بما أن المدخلة 2 مرتبطة بمخرجتين مختلفتين (3 و 10)، فإن العلاقة ليست دالة.

تلميح: ركز على تكرار المدخلات وما يترتب عليه بالنسبة للمخرجات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط