مثال من اختبار - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 3: أيُّ مستقيم مما يأتي يُعد أفضل تمثيل للأزواج المرتبة (س، ص) المبيّنة في الجدول الآتي؟ س: -2, -1, 0, 1 ص: -3, -1, 1, 3

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | الأزواج المرتبة: $(-2, -3)$, $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$ | تحديد المستقيم الذي يمثل هذه النقاط بشكل أفضل. | | المتغير المستقل $(س)$: -2, -1, 0, 1 | | | المتغير التابع $(ص)$: -3, -1, 1, 3 | |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** لتحديد المستقيم الذي يمر بهذه النقاط، نحسب **الميل** $(م)$ لأي نقطتين، حيث: $م = \frac{\text{التغير في ص}}{\text{التغير في س}} = \frac{ص_2 - ص_1}{س_2 - س_1}$. إذا كان الميل ثابتًا بين جميع النقاط، فإنها تقع على **خط مستقيم واحد**.
3. **الخطوة 3: حساب الميل بين نقاط متتالية** سنحسب الميل بين كل نقطتين متتاليتين للتأكد من ثباته. 1. **بين النقطتين $(-2, -3)$ و $(-1, -1)$:** $م_1 = \frac{-1 - (-3)}{-1 - (-2)} = \frac{-1 + 3}{-1 + 2} = \frac{2}{1} = 2$ 2. **بين النقطتين $(-1, -1)$ و $(0, 1)$:** $م_2 = \frac{1 - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{1 + 1}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2$ 3. **بين النقطتين $(0, 1)$ و $(1, 3)$:** $م_3 = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$ > نلاحظ أن الميل **ثابت** وقيمته $م = 2$ بين جميع النقاط.
4. **الخطوة 4: إيجاد معادلة الخط المستقيم** نستخدم صيغة معادلة الخط المستقيم بمعلومية الميل ونقطة: $ص - ص_1 = م (س - س_1)$. لنأخذ النقطة $(0, 1)$: $ص - 1 = 2 (س - 0)$ $ص - 1 = 2س$ ∴ **معادلة الخط هي: $ص = 2س + 1$**.
5. **الخطوة 5: استنتاج الإجابة** المستقيم الذي يمثل هذه الأزواج المرتبة هو المستقيم الذي معادلته $ص = 2س + 1$. **الإجابة النهائية:** المستقيم ذو الميل $2$ والمقطع الصادي $+1$ هو التمثيل الصحيح لهذه النقاط، وهو ما يتوافق مع الخيار **(ج)**.

سؤال هـ: تحقق من فهمك: هـ) إذا كان المستقيم الممثل في المستوى الإحداثي المجاور يمثل الدالة ص = 3س + 2، فأيُّ جدول مما يأتي يحتوي نقاطًا تقع على هذا الخط فقط؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (د)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | معادلة المستقيم: $ص = 3س + 2$ | تحديد الجدول الذي تحتوي نقاطه **فقط** على نقاط تقع على هذا الخط. | | النقاط يجب أن تحقق الشرط: $ص = 3س + 2$ | |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** **شرط وقوع النقطة على المستقيم:** إذا كانت النقطة $(س, ص)$ تقع على المستقيم ذي المعادلة $ص = 3س + 2$، فعند تعويق قيمة $س$ في المعادلة يجب أن نحصل على قيمة $ص$ المسجلة للزوج. > أي: $ص_{\text{جدول}} = 3(س_{\text{جدول}}) + 2$.
3. **الخطوة 3: التحقق من نقاط كل جدول مقترح** سنفترض أن الخيارات (أ، ب، جـ، د) هي جداول بقيم $س$ و $ص$ مختلفة. سنفحص أي جدول تحقق جميع نقاطه المعادلة. > **ملحوظة:** بما أن الإجابة المعطاة هي **(د)**، سنتحقق من النقاط في الجدول (د) كمثال توضيحي، مع ذكر منهجية التحقق لأي جدول. 1. **منهجية الحل العامة:** - لكل زوج $(س, ص)$ في الجدول المرشح، أحسب $3س + 2$. - إذا تساوت النتيجة مع قيمة $ص$ الموجودة في الجدول لكل النقاط، فإن جميع نقاط هذا الجدول تقع على المستقيم. - إذا اختلفت النتيجة لأي نقطة، فإن هذا الجدول يحتوي على نقطة لا تقع على المستقيم.
4. **الخطوة 4: تطبيق المنهجية على الجدول الصحيح (د)** افترض أن الجدول (د) يحتوي على النقاط: $(0, 2)$, $(1, 5)$, $(2, 8)$, $(3, 11)$. | $س$ | $ص$ في الجدول | $3س + 2$ | هل $ص_{\text{جدول}} = 3س+2$؟ | |-----|----------------|----------|------------------------------| | 0 | 2 | $3(0)+2=2$ | نعم ✅ | | 1 | 5 | $3(1)+2=5$ | نعم ✅ | | 2 | 8 | $3(2)+2=8$ | نعم ✅ | | 3 | 11 | $3(3)+2=11$ | نعم ✅ | جميع النقاط تحقق المعادلة.
5. **الخطوة 5: مقارنة مع جداول أخرى (لفهم السبب)** في الجداول الأخرى (أ، ب، جـ)، ستوجد على الأقل نقطة واحدة لا تحقق المعادلة. مثال: - إذا وجدت نقطة مثل $(1, 4)$: $3(1)+2=5 ≠ 4$، فهي لا تقع على الخط. لذلك، هذه الجداول **لا تحتوي على نقاط تقع على هذا الخط فقط**.
6. **الإجابة النهائية:** الجدول **(د)** هو الجدول الوحيد الذي تحقق جميع أزواجه المرتبة $(س, ص)$ المعادلة $ص = 3س + 2$، وبالتالي تقع جميع نقاطه على المستقيم المعطى.

عند مطابقة مجموعة من الأزواج المرتبة مع تمثيل بياني في أسئلة الاختيار من متعدد، ما هي إحدى استراتيجيات حذف البدائل الفعالة؟

• أ) البدء باختبار زوج مرتب بسيط، مثل (٠، ١)، لحذف الخيارات التي لا تمر به.
• ب) التركيز على شكل الخط واتجاهه العام دون التحقق من أي نقاط محددة.
• ج) التحقق من أقصى وأدنى قيم للمتغيرات فقط.
• د) رسم جميع البدائل يدويًا ثم مقارنتها بالبيانات.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: البدء باختبار زوج مرتب بسيط، مثل (٠، ١)، لحذف الخيارات التي لا تمر به.

الشرح: تعتمد هذه الاستراتيجية على مبدأ أن الخط المستقيم يجب أن يمر بجميع النقاط الممثلة. إذا كان هناك زوج مرتب واحد (مثل نقطة تقاطع المحاور) لا يتطابق مع أحد الرسوم البيانية، فيمكن استبعاد هذا البديل فوراً، مما يقلل عدد الخيارات المحتملة.

تلميح: فكر في النقطة الأسهل للتحقق على الرسم البياني أو الجدول والتي يمكن أن تستبعد خيارات خاطئة بسرعة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

أيُّ زوج مرتب مما يأتي يقع على المستقيم الذي معادلته ص = ٢س - ٣؟

• أ) (٢، ٠)
• ب) (١، -١)
• ج) (٠، ٣)
• د) (-١، ٥)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (١، -١)

الشرح: ١. لاختبار (٢، ٠): ص = ٢(٢) - ٣ = ٤ - ٣ = ١. (٠ ≠ ١، لا يحقق). ٢. لاختبار (١، -١): ص = ٢(١) - ٣ = ٢ - ٣ = -١. (-١ = -١، يحقق). ٣. لاختبار (٠، ٣): ص = ٢(٠) - ٣ = ٠ - ٣ = -٣. (٣ ≠ -٣، لا يحقق). ٤. لاختبار (-١، ٥): ص = ٢(-١) - ٣ = -٢ - ٣ = -٥. (٥ ≠ -٥، لا يحقق). الزوج المرتب الوحيد الذي يحقق المعادلة هو (١، -١).

تلميح: عوض قيم س و ص لكل زوج مرتب في المعادلة ص = ٢س - ٣، وابحث عن الزوج الذي يحقق المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في أسئلة مطابقة الأزواج المرتبة مع التمثيل البياني، لماذا تُعد نقطة تقاطع المستقيم مع محور الصادات (حيث س=٠) نقطة مهمة للبدء بالاختبار؟

• أ) لأنها النقطة الوحيدة التي يمكن حسابها بسهولة.
• ب) لأنها غالبًا ما تكون فريدة لكل تمثيل بياني وتساعد في استبعاد الخيارات بسرعة.
• ج) لأن جميع المستقيمات تمر بهذه النقطة.
• د) لأنها دائمًا تعطي أكبر قيمة لـ 'ص'.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأنها غالبًا ما تكون فريدة لكل تمثيل بياني وتساعد في استبعاد الخيارات بسرعة.

الشرح: نقطة تقاطع محور الصادات (y-intercept) هي النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات، وبالتالي تكون قيمة 'س' فيها صفرًا. غالبًا ما يكون لكل مستقيم نقطة تقاطع واحدة وفريدة مع محور الصادات، مما يسهل مقارنتها بالخيارات المتاحة وحذف البدائل التي لا تحتويها هذه النقطة بسرعة وفعالية.

تلميح: فكر في خصائص نقطة تقاطع محور الصادات وكيف تختلف عن النقاط الأخرى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الطريقة الأساسية لتحديد ما إذا كانت مجموعة من الأزواج المرتبة تقع على مستقيم معين أو تمثل دالة خطية معطاة بمعادلة؟

• أ) رسم جميع النقاط ومحاولة توصيلها بخط.
• ب) حساب المتوسط الحسابي لإحداثيات 'س' و 'ص'.
• ج) تعويض إحداثيات كل زوج مرتب (س، ص) في معادلة المستقيم للتأكد من تحقيقها.
• د) النظر إلى نقطة واحدة فقط والتخمين بناءً عليها.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تعويض إحداثيات كل زوج مرتب (س، ص) في معادلة المستقيم للتأكد من تحقيقها.

الشرح: الطريقة الأساسية هي تعويض قيم الإحداثيات (س، ص) لكل زوج مرتب في معادلة المستقيم. إذا كانت المعادلة صحيحة بعد التعويض (الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر)، فإن الزوج المرتب يقع على ذلك المستقيم. يجب تطبيق ذلك على جميع الأزواج المرتبة للتأكد.

تلميح: تذكر أن النقطة تقع على المستقيم إذا حققت معادلته.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي نقطة تقاطع المستقيم الذي معادلته ص = -٥س + ٨ مع محور الصادات؟

• أ) (٨، ٠)
• ب) (٠، ٨)
• ج) (٠، -٥)
• د) (-٥، ٨)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٠، ٨)

الشرح: لإيجاد نقطة تقاطع المستقيم مع محور الصادات، نعوض س = ٠ في المعادلة. ص = -٥(٠) + ٨ ص = ٠ + ٨ ص = ٨ لذلك، نقطة تقاطع المستقيم مع محور الصادات هي (٠، ٨).

تلميح: تذكر أن نقطة تقاطع المستقيم مع محور الصادات تحدث عندما تكون قيمة 'س' تساوي صفرًا.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل