فكرة الدرس: - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1, 2: استعد - الطيران: تصل سرعة طائرة «الطائر الأسود» إلى ٣٦,٦ ميلاً في الدقيقة تقريبًا. إذا مثل المتغير س عدد دقائق الطيران بهذه السرعة، فإن قاعدة الدالة للمسافة المقطوعة هي ص = ٣٦,٦ س. ١) انسخ الجدول المجاور للدالة وأكمله. ٢) مثل الأزواج المرتبة (س، ص) في المستوى الإحداثي. ماذا تلاحظ؟

الإجابة: س١: س=١ => ص=٣٦,٦، س=٢ => ص=٧٣,٢، س=٣ => ص=١٠٩,٨، س=٤ => ص=١٤٦,٤. س٢: الأزواج المرتبة: (١، ٣٦,٦)، (٢، ٧٣,٢)، (٣، ١٠٩,٨)، (٤، ١٤٦,٤). الملاحظة: تقع النقاط على خط مستقيم وتزداد المسافة بمعدل ثابت.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة/الوصف | |----------|-------|----------------| | سرعة الطائرة | - | 36.6 ميل/دقيقة | | عدد دقائق الطيران | س | متغير | | المسافة المقطوعة | ص | متغير (تعتمد على س) | | قاعدة الدالة | - | ص = 36.6 س | **المطلوب:** 1. إكمال جدول قيم للدالة للقيم س = 1، 2، 3، 4. 2. تمثيل الأزواج المرتبة (س، ص) بيانيًا وذكر الملاحظة.
2. **القانون المستخدم:** معادلة الدالة الخطية $y = mx$، حيث: - $m$ هو **معدل التغير الثابت** (الميل) ويساوي 36.6 ميل/دقيقة.
3. **الخطوة 1: إكمال جدول القيم** نعوض قيمة $س$ في قاعدة الدالة $ص = 36.6 س$ لحساب قيمة $ص$. | $س$ (دقائق) | الحساب: $ص = 36.6 \times س$ | $ص$ (أميال) | |------------|-----------------------------|-------------| | 1 | $36.6 \times 1$ | 36.6 | | 2 | $36.6 \times 2$ | 73.2 | | 3 | $36.6 \times 3$ | 109.8 | | 4 | $36.6 \times 4$ | 146.4 |
4. **الخطوة 2: تحديد الأزواج المرتبة** من الجدول، الأزواج المرتبة (س، ص) هي: 1. (1, 36.6) 2. (2, 73.2) 3. (3, 109.8) 4. (4, 146.4)
5. **الخطوة 3: التمثيل البياني والملاحظة** - عند تمثيل هذه النقاط في **المستوى الإحداثي**، سنجد أنها: 1. جميعها تقع على **خط مستقيم** يمر بنقطة الأصل (0,0). 2. المسافة ($ص$) تزداد بمقدار ثابت (36.6 ميل) لكل زيادة مقدارها دقيقة واحدة في الزمن ($س$). > **ملاحظة:** العلاقة بين الزمن والمسافة هنا علاقة **تناسب طردي**، حيث أن الرسم البياني خط مستقيم وميله ثابت.
6. **النتيجة النهائية:** - **الجدول مكتمل** كما هو موضح في الخطوة 1. - **التمثيل البياني** يُظهر نقاطًا مستقيمة الخط، مما يدل على أن المسافة المقطوعة تتناسب طرديًا مع زمن الطيران، وذلك بمعدل ثابت قدره **36.6 ميل لكل دقيقة**.

سؤال أ: تحقق من فهمك: أ) نقود: مع أحمد ٢٧ ريالاً من فئة ٥ ريالات، أو ١ ريال، أو من كليهما فإذا كانت س تمثل عدد الأوراق من فئة ٥ ريالات، و ص تمثل عدد القطع من فئة ١ ريال، فمثل الدالة ٥ س + ص = ٢٧ بيانيًا. ثم أوجد عدد العملات النقدية من كل فئة.

الإجابة: ج: معادلة الدالة: ص = ٢٧ - ٥س. الحلول الصحيحة: (٠، ٢٧) ← ٠ ورقة و ٢٧ قطعة، (١، ٢٢) ← ١ ورقة و ٢٢ قطعة، (٢، ١٧) ← ٢ ورقة و ١٧ قطعة، (٣، ١٢) ← ٣ أوراق و ١٢ قطعة، (٤، ٧) ← ٤ أوراق و ٧ قطع، (٥، ٢) ← ٥ أوراق و ٢ قطعة.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | الوصف | |----------|-------|--------| | المبلغ الإجمالي | - | 27 ريال | | فئة الورقة النقدية | - | 5 ريالات | | فئة القطعة النقدية | - | 1 ريال | | عدد أوراق الـ 5 ريالات | س | عدد صحيح ≥ 0 | | عدد قطع الـ 1 ريال | ص | عدد صحيح ≥ 0 | | المعادلة الأصلية | - | 5س + ص = 27 | **المطلوب:** 1. تمثيل الدالة بيانيًا. 2. إيجاد جميع **الحلول الصحيحة** الممكنة لعدد العملات من كل فئة.
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** 1. إعادة ترتيب المعادلة لتصبح بصيغة الميل والمقطع: $ص = -5س + 27$. 2. حلول المعادلة في هذا السياق يجب أن تكون **أعدادًا صحيحة غير سالبة** لأنها تمثل عدد العملات.
3. **الخطوة 1: إعادة كتابة المعادلة لتمثيلها بيانيًا** $5س + ص = 27$ نحل للمتغير $ص$: $ص = 27 - 5س$ هذه معادلة خطية بميل $m = -5$ ومقطع صادي $b = 27$.
4. **الخطوة 2: تحديد الحلول الصحيحة الممكنة** حتى يكون $ص$ عددًا صحيحًا غير سالب، يجب أن تكون $س$ عددًا صحيحًا ويحقق الشرط $ص \geq 0$. - الشرط: $27 - 5س \geq 0$ → $5س \leq 27$ → $س \leq 5.4$ - بما أن $س$ عدد صحيح ≥ 0، فإن القيم الممكنة لـ $س$ هي: 0, 1, 2, 3, 4, 5. نعوض كل قيمة من قيم $س$ لإيجاد $ص$ المقابل: | $س$ (أوراق 5 ريالات) | الحساب: $ص = 27 - 5س$ | $ص$ (قطع 1 ريال) | الزوج المرتب (س, ص) | |---------------------|------------------------|------------------|-------------------| | 0 | $27 - 5(0) = 27$ | 27 | (0, 27) | | 1 | $27 - 5(1) = 22$ | 22 | (1, 22) | | 2 | $27 - 5(2) = 17$ | 17 | (2, 17) | | 3 | $27 - 5(3) = 12$ | 12 | (3, 12) | | 4 | $27 - 5(4) = 7$ | 7 | (4, 7) | | 5 | $27 - 5(5) = 2$ | 2 | (5, 2) |
5. **الخطوة 3: التمثيل البياني والوصف** - الخط المستقيم $ص = 27 - 5س$ يمثل **جميع الحلول الحقيقية** للمعادلة. - **الحلول الصحيحة** لهذا الموقف العملي هي **النقاط الست** المذكورة في الجدول أعلاه فقط، لأن إحداثياتها أعداد صحيحة غير سالبة. - عند الرسم، ستظهر هذه النقاط الست على استقامة واحدة على ذلك الخط.
6. **النتيجة النهائية:** يوجد ستة احتمالات مختلفة لتكوين مبلغ 27 ريالًا من أوراق الخمسة ريالات وقطع الريال الواحد، وهي: - **لا توجد** أوراق 5 ريالات، ويكون هناك **27** قطعة من فئة الريال. - **ورقة واحدة** من 5 ريالات، و **22** قطعة من فئة الريال. - **ورقتان** من 5 ريالات، و **17** قطعة من فئة الريال. - **3 أوراق** من 5 ريالات، و **12** قطعة من فئة الريال. - **4 أوراق** من 5 ريالات، و **7** قطع من فئة الريال. - **5 أوراق** من 5 ريالات، و **قطعتان** من فئة الريال.

ما تعريف "الدالة الخطية" في سياق تمثيل الدوال بيانيًا؟

• أ) دالة لها قيم س ثابتة دائمًا.
• ب) دالة يمكن تمثيلها بخط مستقيم عند رسمها بيانيًا.
• ج) دالة تتميز بمنحنى بياني.
• د) دالة لا تتغير فيها قيمة ص.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي دالة يمكن تمثيلها بخط مستقيم عند رسمها بيانيًا.

الشرح: الدالة الخطية هي أي دالة يمكن التعبير عنها في صورة ص = أ س + ب، حيث أ ≠ 0، ويكون تمثيلها البياني دائمًا خطًا مستقيمًا.

تلميح: تذكر شكل التمثيل البياني الناتج عن هذه الدالة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما هي الطرق الشائعة لتمثيل الدوال الرياضية؟

• أ) بالجداول والتمثيل البياني والأزواج المرتبة والتعبير اللفظي.
• ب) بالصور الفوتوغرافية والمخططات التوضيحية.
• ج) بالرسوم المتحركة والمقاطع الصوتية فقط.
• د) بالمعادلات النصية والأشكال المجردة.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: بالجداول والتمثيل البياني والأزواج المرتبة والتعبير اللفظي.

الشرح: يمكن التعبير عن الدوال بطرق متعددة لتسهيل فهمها وتحليلها، وتشمل الجداول لتنظيم البيانات، والرسوم البيانية لتوضيح العلاقات البصرية، والأزواج المرتبة كنقاط محددة، والوصف اللفظي لشرح القاعدة.

تلميح: فكر في الأدوات المختلفة التي تستخدمها لتوضيح العلاقة بين المتغيرات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند تمثيل معادلة خطية مثل ٢س + ص = ٥ بيانيًا باستعمال الجداول، ما هي الخطوة الأولى التي ينبغي اتخاذها عادةً لتسهيل اختيار القيم؟

• أ) رسم المحاور الإحداثية مباشرة ثم تحديد أي نقطة.
• ب) إعادة ترتيب المعادلة لحل المتغير ص.
• ج) اختيار قيم عشوائية لـ س و ص دون ترتيب مسبق.
• د) البحث عن معادلة أخرى لمقارنتها بالمعادلة الأصلية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إعادة ترتيب المعادلة لحل المتغير ص.

الشرح: لجعل عملية التعويض واختيار القيم أسهل، يُفضل دائمًا إعادة ترتيب المعادلة بحيث يكون المتغير التابع (ص) في طرف بمفرده، مثل ص = -٢س + ٥.

تلميح: الهدف هو جعل ص في طرف بمفرده لتسهيل إيجاد قيمته عند اختيار قيم لـ س.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في سياق مسألة تتضمن عدد العملات النقدية، مثل الدالة ٥س + ص = ٢٧، ما هي القيود التي يجب أن تنطبق على قيم المتغيرات س (عدد أوراق ٥ ريالات) وص (عدد قطع ١ ريال)؟

• أ) يجب أن تكون أعدادًا كسرية موجبة.
• ب) يجب أن تكون قيم س و ص أعدادًا صحيحة غير سالبة.
• ج) يمكن أن تكون أي أعداد حقيقية.
• د) يمكن أن تكون أعدادًا سالبة فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يجب أن تكون قيم س و ص أعدادًا صحيحة غير سالبة.

الشرح: بما أن س و ص تمثلان عدد أوراق أو قطع نقدية، فلا يمكن أن تكون هذه الأعداد سالبة (لا يوجد عدد سالب من العملات) ولا يمكن أن تكون كسورًا (لا يوجد نصف ورقة نقدية)، لذا يجب أن تكون أعدادًا صحيحة وموجبة أو صفر.

تلميح: العملات النقدية لا يمكن أن تكون كسورًا أو قيمًا سالبة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في مسألة نقود أحمد، حيث ٥س + ص = ٢٧ (س عدد أوراق ٥ ريالات، ص عدد قطع ١ ريال)، ما هو العدد الأقصى من أوراق فئة ٥ ريالات (س) الذي يمكن أن يمتلكها أحمد مع الأخذ في الاعتبار أن س و ص يجب أن تكون أعدادًا صحيحة غير سالبة؟

• أ) 6 أوراق من فئة ٥ ريالات.
• ب) 5 أوراق من فئة ٥ ريالات.
• ج) 27 ورقة من فئة ٥ ريالات.
• د) 4 أوراق من فئة ٥ ريالات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 5 أوراق من فئة ٥ ريالات.

الشرح: المعادلة هي ص = ٢٧ - ٥س. لكي تكون ص ≥ ٠، يجب أن يكون ٢٧ - ٥س ≥ ٠. (1) ٢٧ ≥ ٥س (2) س ≤ ٢٧ / ٥ (3) س ≤ ٥,٤. (4) بما أن س يجب أن يكون عددًا صحيحًا غير سالب، فإن أكبر قيمة ممكنة لـ س هي ٥.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة وأوجد المدى الممكن لقيم س التي تجعل ص غير سالب.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب