مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 14: علوم الأرض: استعمل الشكل المجاور لتحديد النسبة المئوية للألومنيوم في القشرة الأرضية، ثم أوجد قياس الزاوية التي تمثل ذلك القطاع.

الإجابة: س 14: نسبة الألومنيوم = 8.1%، الزاوية ≈ 29.2°

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | نسبة الألومنيوم في القشرة الأرضية (من الشكل المجاور) = 8.1% | 1- النسبة المئوية للألومنيوم. <br> 2- قياس الزاوية التي تمثل قطاع الألومنيوم في الدائرة. |
2. **المبدأ المستخدم:** النسبة المئوية للقطاع في الدائرة الدائرية تتناسب مع زاويته المركزية، حيث أن الدائرة الكاملة 360° تمثل 100%. **القانون:** $\text{قياس الزاوية} = \frac{\text{النسبة المئوية}}{100} \times 360°$
3. **الخطوة 1:** استخراج النسبة المئوية من الشكل (وفقًا للإجابة المعطاة). - نسبة الألومنيوم = **8.1%**.
4. **الخطوة 2:** حساب قياس الزاوية المركزية المقابلة لنسبة 8.1%. - باستخدام القانون: $\text{قياس الزاوية} = \frac{8.1}{100} \times 360° = 0.081 \times 360° = 29.16°$ - تقريب النتيجة إلى منزلة عشرية واحدة (كما في الإجابة المعطاة): **29.2°**.
5. **الإجابة النهائية:** تبلغ نسبة الألومنيوم في القشرة الأرضية **8.1%**، مما يُعادل زاوية مركزية قياسها **29.2 درجة** تقريبًا في القطاع الدائري.

سؤال 15: جمع البيانات: قم بدراسة إحصائية على زملائك في الصف لتحديد عدد الساعات التي يقضونها في مشاهدة التلفاز في أسبوع ما. وكون مدرجاً تكرارياً للبيانات، ثم مثلها بالقطاعات الدائرية.

الإجابة: س 15: إجابة مفتوحة. مثال: 0-4 ساعات: 5 طلاب (25%)، 5-9 ساعات: 8 طلاب (40%)، 10-14 ساعة: 4 طلاب (20%)، 15-19 ساعة: 3 طلاب (15%)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | إجراء دراسة إحصائية على زملاء الصف (عددهم 20 طالبًا في المثال).<br>البيانات: عدد الساعات الأسبوعية لمشاهدة التلفاز. | 1- تكوين مدرج تكراري للبيانات.<br>2- تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية. |
2. **المبدأ المستخدم:** 1. **المدرج التكراري:** يستخدم لعرض البيانات المجمعة في فئات، حيث يمثل المحور الأفقي الفئات (الفترات) والمحور الرأسي التكرارات. 2. **القطاعات الدائرية:** تمثل كل فئة بنسبة مئوية من المجموع الكلي وزاوية مركزية في الدائرة. **القوانين:** - النسبة المئوية للفئة = $\frac{\text{تكرار الفئة}}{\text{المجموع الكلي}} \times 100$. - زاوية القطاع = $\frac{\text{تكرار الفئة}}{\text{المجموع الكلي}} \times 360°$.
3. **الخطوة 1:** جمع البيانات وتصنيفها (بناءً على المثال في الإجابة). لنفترض أن البيانات المجمعة كانت كالتالي: | الفئة (ساعات/أسبوع) | عدد الطلاب (التكرار) | |---------------------|----------------------| | 0 - 4 | 5 | | 5 - 9 | 8 | | 10 - 14 | 4 | | 15 - 19 | 3 |
4. **الخطوة 2:** إنشاء المدرج التكراري. - على المحور الأفقي نرسم فترات الساعات (0-4، 5-9، ...). - على المحور الرأسي نرسم التكرار (عدد الطلاب). - نرسم أعمدة لكل فئة بارتفاع يساوي تكرارها. > **ملاحظة:** التمثيل البياني لا يمكن إظهاره هنا نصيًا، ولكن الطالب يرسمه بناءً على الجدول.
5. **الخطوة 3:** حساب النسب المئوية والزوايا للقطاعات الدائرية. - المجموع الكلي للطلاب = 5 + 8 + 4 + 3 = 20 طالبًا. احسب لكل فئة: 1. **فئة 0-4 ساعات:** - النسبة = (5/20) × 100 = **25%**. - الزاوية = (5/20) × 360° = **90°**. 2. **فئة 5-9 ساعات:** - النسبة = (8/20) × 100 = **40%**. - الزاوية = (8/20) × 360° = **144°**. 3. **فئة 10-14 ساعة:** - النسبة = (4/20) × 100 = **20%**. - الزاوية = (4/20) × 360° = **72°**. 4. **فئة 15-19 ساعة:** - النسبة = (3/20) × 100 = **15%**. - الزاوية = (3/20) × 360° = **54°**. **التحقق:** مجموع النسب = 25% + 40% + 20% + 15% = 100%. مجموع الزوايا = 90° + 144° + 72° + 54° = 360°.
6. **الخطوة 4:** رسم القطاعات الدائرية. - نرسم دائرة، ثم نرسم قطاعًا زاويته 90° للفئة الأولى، ثم 144° للثانية، وهكذا. - نكتب لكل قطاع التسمية والنسبة المئوية.
7. **الإجابة النهائية:** بناءً على الدراسة الإحصائية المثال، تم تكوين مدرج تكراري للفئات الأربع، ثم تم تمثيل البيانات بقطاعات دائرية حيث تشكل فئة **5-9 ساعات** النسبة الأكبر (**40%**، زاوية **144°**).

سؤال 16: حج: استعمل البيانات في الشكل المجاور لإيجاد عدد حجاج القادمين عن طريق المدينة مكة، إذا علمت أن عدد حجاج الداخل كان ٩٩٠٠٠٠ حاج في أحد الأعوام.

الإجابة: س 16: نسبة طريق المدينة = 16.7%، عدد الحجاج = 165330 حاجاً.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | عدد حجاج الداخل في أحد الأعوام = 990,000 حاج.<br>نسبة الحجاج القادمين عن طريق المدينة المنورة (من الشكل المجاور) = 16.7%. | إيجاد عدد حجاج القادمين عن طريق المدينة المنورة. |
2. **القانون المستخدم:** لحساب العدد من النسبة المئوية: $\text{العدد} = \frac{\text{النسبة المئوية}}{100} \times \text{العدد الكلي}$
3. **الخطوة 1:** تحديد العدد الكلي للحجاج. - وفقًا للمسألة، عدد حجاج الداخل (العدد الكلي في هذه الحالة) = **990,000 حاج**.
4. **الخطوة 2:** استخراج النسبة المئوية لطريق المدينة من الشكل. - نسبة الحجاج القادمين عبر المدينة المنورة = **16.7%** (كما في الإجابة المعطاة).
5. **الخطوة 3:** تطبيق القانون. $\text{عدد حجاج المدينة} = \frac{16.7}{100} \times 990,000 = 0.167 \times 990,000$
6. **الخطوة 4:** إجراء عملية الضرب: - أولًا: $0.167 \times 990,000 = 0.167 \times (990 \times 1000)$. - نحسب: $0.167 \times 990 = 165.33$. - ثم: $165.33 \times 1000 = 165,330$. > يمكن أيضًا حساب مباشرة: $0.167 \times 990,000 = 165,330$.
7. **الخطوة 5:** تفسير النتيجة. - بما أن عدد الحجاج يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فنقرب إلى أقرب عدد صحيح إذا لزم الأمر. - هنا النتيجة 165,330 هي عدد صحيح بالفعل.
8. **الإجابة النهائية:** يبلغ عدد الحجاج القادمين عبر طريق المدينة المنورة في ذلك العام **165,330 حاجاً** تقريبًا، مما يشكل حوالي **16.7%** من إجمالي حجاج الداخل.

سؤال 17: ندوة شعرية: استعمل الجدول الآتي لحل الأسئلة من ١٧ - ١٩: مثل البيانات المبينة في الجدول المجاور بالقطاعات الدائرية.

الإجابة: س 17: الزوايا: رنين 97.2°، تحدث 81°، أحاديث 87.1°، تعليق 48.6°، أخرى 46.1°

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | الجدول (غير مرفق هنا) يحتوي على فئات (رنين، تحدث، أحاديث، تعليق، أخرى) مع تكرارات أو نسبها.<br>وفقًا للإجابة، القياسات الزاوية المعطاة: رنين 97.2°، تحدث 81°، أحاديث 87.1°، تعليق 48.6°، أخرى 46.1°. | تمثيل البيانات في الجدول بالقطاعات الدائرية. |
2. **المبدأ المستخدم:** لتمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية، نحتاج إما إلى التكرارات أو النسب المئوية، ثم نحسب الزوايا المركزية إذا لم تكن معطاة. **القانون:** $\text{زاوية القطاع} = \frac{\text{تكرار الفئة}}{\text{المجموع الكلي}} \times 360°$
3. > **ملاحظة:** بما أن الإجابة تحتوي على قياسات زاوية مباشرة، فسنفترض أن الجدول يحتوي على بيانات يمكن حساب هذه الزوايا منها.
4. **الخطوة 1:** التحقق من صحة الزوايا. - يجب أن يكون مجموع زوايا القطاعات 360°. - المجموع: 97.2° + 81° + 87.1° + 48.6° + 46.1° = 360°. - المجموع صحيح، مما يؤكد أن الزوايا متناسقة.
5. **الخطوة 2:** حساب النسب المئوية من الزوايا (اختياري، للتحقق). - النسبة المئوية = (الزاوية / 360°) × 100. 1. رنين: (97.2 / 360) × 100 ≈ **27%**. 2. تحدث: (81 / 360) × 100 = **22.5%**. 3. أحاديث: (87.1 / 360) × 100 ≈ **24.2%**. 4. تعليق: (48.6 / 360) × 100 = **13.5%**. 5. أخرى: (46.1 / 360) × 100 ≈ **12.8%**. - مجموع النسب ≈ 27% + 22.5% + 24.2% + 13.5% + 12.8% = 100%.
6. **الخطوة 3:** رسم القطاعات الدائرية. - نرسم دائرة. - باستخدام منقلة، نرسم قطاعًا زاويته 97.2° لفئة **رنين**. - ثم نرسم قطاعًا زاويته 81° لفئة **تحدث**، وهكذا لباقي الفئات. - نكتب اسم الفئة ونسبتها المئوية على كل قطاع.
7. **الإجابة النهائية:** تم تمثيل بيانات الجدول بنجاح باستخدام قطاعات دائرية، حيث احتل قطاع **رنين** أكبر زاوية (**97.2°**، ما يعادل حوالي **27%**).

سؤال 18: أجر دراسة إحصائية على زملاء صفك لتحديد أكثر الأمور إزعاجاً لهم عند حضورهم ندوة، ثم مثل البيانات بقطاعات دائرية.

الإجابة: س 18: إجابة مفتوحة. الأكثر إزعاجاً هو صاحب النسبة الأعلى.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | إجراء دراسة إحصائية على زملاء الصف.<br>موضوع الدراسة: تحديد أكثر الأمور إزعاجًا عند حضور ندوة. | 1- جمع البيانات وتصنيفها.<br>2- تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية. |
2. **المبدأ المستخدم:** 1. **جمع البيانات:** عن طريق استبيان أو سؤال مباشر. 2. **تمثيل القطاعات الدائرية:** يتطلب حساب النسب المئوية والزوايا المركزية لكل فئة (كل أمر مزعج). **القوانين:** - النسبة المئوية للفئة = (تكرار الفئة / المجموع الكلي) × 100. - زاوية القطاع = (تكرار الفئة / المجموع الكلي) × 360°.
3. **الخطوة 1:** تصميم الاستبيان وجمع البيانات. - نحدد قائمة بالأمور المزعجة المحتملة (مثل: الضوضاء، طول الوقت، عدم الوضوح، ...). - نسأل كل طالب: "ما أكثر أمر يزعجك عند حضور ندوة؟" (اختيار واحد أو أكثر، لكن للتبسيط نأخذ اختيار واحد لكل طالب). - نجمع الإجابات في جدول.
4. **الخطوة 2:** تبويب البيانات. لنفترض أن عدد الطلاب = 30 طالبًا، وكانت النتائج كالتالي: | الأمر المزعج | عدد الطلاب (التكرار) | |--------------|----------------------| | الضوضاء | 12 | | طول الوقت | 8 | | عدم وضوح المتحدث | 6 | | عدم تنظيم المكان | 4 |
5. **الخطوة 3:** حساب النسب والزوايا. - المجموع الكلي = 12 + 8 + 6 + 4 = 30. 1. **الضوضاء:** - النسبة = (12/30) × 100 = **40%**. - الزاوية = (12/30) × 360° = **144°**. 2. **طول الوقت:** - النسبة = (8/30) × 100 ≈ **26.7%**. - الزاوية = (8/30) × 360° = **96°**. 3. **عدم وضوح المتحدث:** - النسبة = (6/30) × 100 = **20%**. - الزاوية = (6/30) × 360° = **72°**. 4. **عدم تنظيم المكان:** - النسبة = (4/30) × 100 ≈ **13.3%**. - الزاوية = (4/30) × 360° = **48°**.
6. **الخطوة 4:** رسم القطاعات الدائرية. - نرسم دائرة ونقسمها إلى أربعة قطاعات حسب الزوايا المحسوبة. - نكتب على كل قطاع اسم الأمر المزعج ونسبته.
7. > **تفسير الإجابة المفتوحة:** وفقًا للإجابة المعطاة، أكثر الأمور إزعاجًا هو صاحب النسبة الأعلى. في مثالنا، **الضوضاء** هي الأكثر إزعاجًا بنسبة **40%**.
8. **الإجابة النهائية:** بعد إجراء الدراسة على زملاء الصف، تبين أن **الضوضاء** هي أكثر الأمور إزعاجًا عند حضور الندوات بنسبة **40%**، وتم تمثيل هذه النتيجة بيانيًا باستخدام القطاعات الدائرية.

سؤال 19: صف أوجه الشبه والاختلاف بين الشكلين اللذين قمت بتمثيلهما.

الإجابة: س 19: الشبه: كلاهما قطاعات دائرية. الاختلاف: النسب والفئات تختلف.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | الشكلان اللذان تم تمثيلهما في السؤالين 17 و18 (أو أي شكلين من القطاعات الدائرية). | وصف أوجه الشبه والاختلاف بين الشكلين. |
2. **المبدأ المستخدم:** المقارنة بين تمثيلين بيانيين بالقطاعات الدائرية يعتمد على: 1. **نوع البيانات** (فئات الظاهرة). 2. **التكرارات والنسب المئوية**. 3. **الهدف من التمثيل**.
3. **الخطوة 1:** تحديد الشكلين المقصودين. - **الشكل الأول:** تمثيل بيانات ندوة شعرية (من السؤال 17)، وفئاتها: رنين، تحدث، أحاديث، تعليق، أخرى. - **الشكل الثاني:** تمثيل بيانات دراسة إحصائية عن الأمور المزعجة في الندوات (من السؤال 18)، وفئاتها: الضوضاء، طول الوقت، عدم وضوح المتحدث، عدم تنظيم المكان. > يمكن أن تكون المقارنة بين أي شكلين من القطاعات الدائرية، لكن الإشارة هنا إلى السابقين.
4. **الخطوة 2:** أوجه **الشبه** (التشابهات). | وجه الشبه | التفسير | |------------|---------| | **نوع التمثيل** | كلا الشكلين يستخدمان القطاعات الدائرية (دوائر مقسمة إلى قطاعات). | | **الغرض الأساسي** | كلاهما يُستخدم لعرض البيانات النسبية (النسب المئوية) لمجموعة من الفئات. | | **طريقة البناء** | في كل منهما، تمثل كل فئة بقطاع زاويته تتناسب مع تكرارها أو نسبتها. | | **وجود مفتاح (وسوم)** | كل شكل يحتوي على مفتاح يوضح ما يمثله كل قطاع (اسم الفئة ونسبتها غالبًا). |
5. **الخطوة 3:** أوجه **الاختلاف** (الفروقات). | وجه الاختلاف | الشكل الأول (س17) | الشكل الثاني (س18) | |---------------|-------------------|-------------------| | **الموضوع** | بيانات عن مكونات ندوة شعرية (أنشطة). | بيانات عن أمور مزعجة في الندوات (آراء). | | **عدد الفئات** | 5 فئات (رنين، تحدث، أحاديث، تعليق، أخرى). | 4 فئات (في المثال المفترض). | | **النسب المئوية** | النسب مختلفة (رنين 27%، تحدث 22.5%، ...). | النسب مختلفة (الضوضاء 40%، ...). | | **الزوايا المركزية** | قيم زوايا محددة (97.2°، 81°، ...). | قيم زوايا مختلفة (144°، 96°، ...). | | **مصدر البيانات** | قد تكون بيانات واقعية أو افتراضية عن ندوة. | بيانات مجمعة من استبيان (دراسة إحصائية). |
6. **الخطوة 4:** تلخيص المقارنة. - **الشبه الرئيسي:** كلا التمثيلين يستخدمان القطاعات الدائرية لعرض التركيب النسبي للبيانات. - **الاختلاف الرئيسي:** يختلفان في طبيعة البيانات (موضوع الدراسة) والقيم العددية (النسب والزوايا).
7. **الإجابة النهائية:** يتشابه الشكلان في كونهما تمثيلاً بالقطاعات الدائرية يظهران النسب المئوية لفئات محددة، لكنهما يختلفان في **طبيعة الفئات** و**القيم العددية** للنسب والزوايا المركزية.

سؤال 20: الحس العددي: ما النسبة المئوية التي يمثلها كل من القطاعات أ، ب، ج في الشكل المجاور؟

الإجابة: س 20: أ = 50%، ب = 25%، ج = 12.5%

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | الشكل المجاور (غير مرفق) يحتوي على قطاعات دائرية مُصنفة بأ، ب، ج.<br>وفقًا للإجابة: أ = 50%، ب = 25%، ج = 12.5%. | إيجاد النسبة المئوية التي يمثلها كل قطاع. |
2. **المبدأ المستخدم:** في الدائرة الكاملة (360°)، تمثل 100%، والنسبة المئوية للقطاع تُحسب من زاويته أو من تقسيمات متناسبة. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة توحي بأن القطاعات متساوية أو ذات تقسيمات محددة (مثل التقسيم بالنصف).
3. **الخطوة 1:** تحليل الشكل (افتراضي). - غالبًا أن الشكل مقسم إلى قطاعات متساوية أو ذات علاقة محددة. - من الإجابة: أ = 50%، ب = 25%، ج = 12.5%. - نلاحظ أن نسبة كل قطاع تساوي نصف الذي يسبقه: - أ (50%) هو نصف الدائرة. - ب (25%) هو نصف الـ 50% المتبقية. - ج (12.5%) هو نصف الـ 25% المتبقية. - هذا يشير إلى أن الدائرة مقسمة بالتسلسل النصفي.
4. **الخطوة 2:** حساب النسب من الزوايا (إذا كانت الزوايا معطاة). - إذا كانت زاوية القطاع أ = 180° (نصف الدائرة)، فإن نسبته = (180/360) × 100 = **50%**. - إذا كانت زاوية القطاع ب = 90°، فإن نسبته = (90/360) × 100 = **25%**. - إذا كانت زاوية القطاع ج = 45°، فإن نسبته = (45/360) × 100 = **12.5%**. - هذا يتطابق مع الإجابة.
5. **الخطوة 3:** التحقق من أن مجموع النسب يساوي 100%. - 50% + 25% + 12.5% = 87.5%. - المجموع 87.5% وليس 100%، مما يعني وجود قطاع رابع (أو باقي) لم يُذكر في السؤال. - افترض أن هناك قطاع رابع (مثل د) يمثل النسبة المتبقية: 100% - 87.5% = 12.5%. - إذن ج و د متساويان في النسبة.
6. **الإجابة النهائية:** تمثل القطاعات في الشكل النسب التالية: القطاع **أ** يمثل نصف الدائرة (**50%**)، والقطاع **ب** يمثل ربع الدائرة (**25%**)، والقطاع **ج** يمثل ثمن الدائرة (**12.5%**).

سؤال 21: مسألة مفتوحة: أنشئ شكلاً من خمسة قطاعات دائرية يصف كيف تمضي يوماً اعتيادياً كاملاً.

الإجابة: س 21: مثال: نوم 35% (126°)، مدرسة 30% (108°)، واجب 10% (36°)، ترفيه 15% (54°)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | يوم اعتيادي كامل (24 ساعة).<br>عدد القطاعات المطلوبة: 5 قطاعات. | إنشاء شكل قطاعات دائرية يصف كيفية قضاء اليوم. |
2. **المبدأ المستخدم:** تقسيم اليوم (24 ساعة) إلى أنشطة، ثم حساب النسبة المئوية وزاوية القطاع لكل نشاط. **القوانين:** - النسبة المئوية للنشاط = (عدد ساعات النشاط / 24) × 100. - زاوية القطاع = (عدد ساعات النشاط / 24) × 360°.
3. **الخطوة 1:** تحديد الأنشطة الرئيسية الخمسة لليوم الاعتيادي. لنأخذ المثال من الإجابة: 1. النوم. 2. المدرسة. 3. الواجب المدرسي. 4. الترفيه (لعب، مشاهدة تلفاز، ...). 5. أخرى (الأكل، النظافة، التنقل، ...).
4. **الخطوة 2:** تقدير عدد الساعات لكل نشاط. لنفترض: - النوم: 8 ساعات. - المدرسة: 7 ساعات. - الواجب: 2 ساعة. - الترفيه: 3 ساعات. - أخرى: 4 ساعات. **التحقق:** المجموع = 8+7+2+3+4 = 24 ساعة.
5. **الخطوة 3:** حساب النسب المئوية. 1. النوم: (8/24) × 100 = **33.33%** (تقريبًا 33.3%). 2. المدرسة: (7/24) × 100 ≈ **29.17%** (تقريبًا 29.2%). 3. الواجب: (2/24) × 100 ≈ **8.33%** (تقريبًا 8.3%). 4. الترفيه: (3/24) × 100 = **12.5%**. 5. أخرى: (4/24) × 100 ≈ **16.67%** (تقريبًا 16.7%). المجموع ≈ 100%.
6. **الخطوة 4:** حساب الزوايا المركزية. 1. النوم: (8/24) × 360° = **120°**. 2. المدرسة: (7/24) × 360° = **105°**. 3. الواجب: (2/24) × 360° = **30°**. 4. الترفيه: (3/24) × 360° = **45°**. 5. أخرى: (4/24) × 360° = **60°**. المجموع = 120° + 105° + 30° + 45° + 60° = 360°.
7. **الخطوة 5:** رسم القطاعات الدائرية. - نرسم دائرة. - باستخدام المنقلة، نرسم القطاعات بالزوايا المحسوبة. - نكتب على كل قطاع اسم النشاط وعدد الساعات أو النسبة المئوية.
8. > **ملاحظة:** المثال في الإجابة المعطاة استخدم نسبًا مختلفة (نوم 35%، مدرسة 30%، واجب 10%، ترفيه 15%، أخرى 10%)، وهذا مقبول أيضًا طالما أن المجموع 100%.
9. **الإجابة النهائية:** يمكن تمثيل اليوم الاعتيادي باستخدام خمسة قطاعات دائرية، حيث يشغل **النوم** أكبر قطاع (حوالي **33%** من اليوم)، يليه **المدرسة** (حوالي **29%**).

سؤال 22: تبرير: وضح لماذا لا نستطيع تمثيل البيانات المبينة في الجدول المجاور بالقطاعات الدائرية.

الإجابة: س 22: لأن مجموع النسب > 100%، فالفئات متداخلة.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | جدول بيانات (غير مرفق).<br>وفقًا للإجابة: مجموع النسب > 100%، والفئات متداخلة. | تبرير سبب عدم إمكانية تمثيل هذه البيانات بالقطاعات الدائرية. |
2. **المبدأ المستخدم:** شروط تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية: 1. **المجموع الكلي للنسب المئوية يجب أن يساوي 100% بالضبط.** 2. **الفئات يجب أن تكون منفصلة (غير متداخلة)**، أي أن كل عنصر ينتمي إلى فئة واحدة فقط. > إذا انتهك أحد هذين الشرطين، لا يمكن استخدام القطاعات الدائرية.
3. **الخطوة 1:** تحليل الجدول (افتراضي). - لنفترض أن الجدول يحتوي على فئات مثل: - فئة أ: نسبة 60%. - فئة ب: نسبة 50%. - فئة ج: نسبة 40%. - المجموع = 60% + 50% + 40% = 150%. **أو** قد تكون الفئات متداخلة، مثل: - فئة: طلاب يحبون الرياضيات: 70%. - فئة: طلاب يحبون العلوم: 60%. - (هنا قد يكون بعض الطلاب يحبون كليهما، فالتداخل يجعل المجموع > 100%).
4. **الخطوة 2:** تحديد سبب عدم الجواز. - **السبب الأول:** **مجموع النسب أكبر من 100%** (كما في الإجابة). - في القطاعات الدائرية، الدائرة تمثل 100% ككل، فإذا زادت النسب عن ذلك، لا يمكن توزيعها على دائرة واحدة. - **السبب الثاني:** **الفئات متداخلة**. - في القطاعات الدائرية، كل قطاع منفصل عن الآخر، ولا يوجد تداخل. إذا كانت الفئات متداخلة (أي أن عنصرًا واحدًا قد ينتمي لأكثر من فئة)، فإن التمثيل سيكون مضللاً لأنه يفترض أن الفئات منفصلة.
5. **الخطوة 3:** اقتراح بديل للتمثيل. - إذا كانت البيانات متداخلة أو مجموع نسبها ≠ 100%، يمكن استخدام تمثيلات أخرى مثل: - **الرسم البياني الشريطي** (للمقارنة بين الفئات). - **مخطط فن** (لبيان التداخل بين الفئات).
6. **الإجابة النهائية:** لا يمكن تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية لأن **مجموع النسب المئوية للفئات يتجاوز 100%**، مما يناقض أساس التمثيل الدائري الذي يفترض أن الكل يساوي 100%. بالإضافة إلى ذلك، **الفئات متداخلة**، أي أن عنصرًا واحدًا قد ينتمي لأكثر من فئة، وهذا لا يظهر بدقة في القطاعات المنفصلة للدائرة.

سؤال 23: اكتب مسألة لفظية تصف شيئاً من واقع الحياة، واستعمل القطاعات الدائرية لحلها. ثم وضح كيف ساعد الشكل على حل المسألة.

الإجابة: س 23: مسألة: مكتبة بها 600 كتاب، 25% علوم. كم عددها؟ الحل: 150 كتاب. الشكل يوضح أن الربع = 150.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | كتابة مسألة لفظية من واقع الحياة.<br>استخدام القطاعات الدائرية لحلها.<br>توضيح كيف ساعد الشكل على الحل. | 1- صياغة المسألة.<br>2- حلها باستخدام القطاعات الدائرية.<br>3- شرح دور الشكل. |
2. **المبدأ المستخدم:** القطاعات الدائرية تمكننا من تصور النسب المئوية وتطبيقها على العدد الكلي لحساب قيمة جزء معين.
3. **الخطوة 1:** صياغة المسألة اللفظية. > **مسألة:** في إحدى المدارس، تمت دراسة توزيع طلاب الصف الأول الثانوي (البالغ عددهم 600 طالب) حسب النادي المفضل. وأظهرت النتائج أن 25% يفضلون النادي العلمي، و35% يفضلون النادي الثقافي، و20% يفضلون النادي الرياضي، والباقي في نوادي أخرى. > **السؤال:** ما عدد الطلاب الذين يفضلون النادي العلمي؟
4. **الخطوة 2:** حل المسألة حسابيًا (بدون شكل). - العدد الكلي للطلاب = 600. - نسبة النادي العلمي = 25%. - عدد طلاب النادي العلمي = 25% من 600 = $\frac{25}{100} \times 600 = 0.25 \times 600 = 150$ طالبًا.
5. **الخطوة 3:** تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية. - نحسب زوايا القطاعات: 1. النادي العلمي: 25% → الزاوية = (25/100) × 360° = **90°**. 2. النادي الثقافي: 35% → الزاوية = (35/100) × 360° = **126°**. 3. النادي الرياضي: 20% → الزاوية = (20/100) × 360° = **72°**. 4. أخرى: 20% → الزاوية = (20/100) × 360° = **72°**. (لأن الباقي = 100% - (25+35+20) = 20%). - نرسم دائرة ونقسمها إلى أربعة قطاعات بالزوايا المحسوبة.
6. **الخطوة 4:** توضيح كيف ساعد الشكل على حل المسألة. 1. **التصور البصري:** يظهر الشكل أن النادي العلمي يشكل ربع الدائرة (90° من 360°)، وهذا يساعد الطالب على تصور أن **الربع** من الكل هو المطلوب. 2. **استنتاج مباشر:** عند النظر إلى القطاع الدائري، نرى أن زاوية 90° تمثل **ربع الدائرة**، وبما أن الدائرة تمثل 600 طالب، فإن ربعها = 600 ÷ 4 = 150 طالبًا. 3. **تسهيل المقارنة:** الشكل يسمح بمقارنة حجم النادي العلمي مع بقية الأنشطة بسهولة، مما يؤكد أن نسبته هي الأصغر بعد الرياضي والأخرى. 4. **التحقق من الحساب:** إذا رسمنا الشبد بدقة، يمكن تقدير عدد الطلاب بالنظر إلى القطاع، مما يوفر تحققًا بصريًا من الإجابة الحسابية.
7. **الإجابة النهائية:** عدد طلاب النادي العلمي هو **150 طالبًا**، وقد ساعد شكل القطاعات الدائرية على تصور أن هذه الفئة تمثل **ربع الدائرة**، مما يجعل عملية الحساب ذهنية أسهل (ربع العدد الكلي).

لتمثيل بيانات عدد الساعات التي يقضيها الطلاب في مشاهدة التلفاز بالقطاعات الدائرية، إذا كانت فئة 5-9 ساعات تمثل 8 طلاب من إجمالي 20 طالبًا، فما قياس الزاوية المركزية للقطاع الذي يمثل هذه الفئة؟

• أ) 72°
• ب) 90°
• ج) 144°
• د) 54°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 144°

الشرح: ١. المجموع الكلي للطلاب = ٢٠ طالبًا. ٢. عدد طلاب فئة 5-9 ساعات = ٨ طلاب. ٣. قياس الزاوية = (عدد طلاب الفئة / المجموع الكلي) × ٣٦٠°. ٤. قياس الزاوية = (٨ / ٢٠) × ٣٦٠° = ٠.٤ × ٣٦٠° = ١٤٤°.

تلميح: تذكر أن الزاوية المركزية للقطاع تُحسب بقسمة تكرار الفئة على المجموع الكلي وضرب الناتج في 360°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية على 30 طالبًا لتحديد أكثر الأمور إزعاجًا في الندوات، اختار 12 طالبًا 'الضوضاء'. فما النسبة المئوية للطلاب الذين يزعجهم 'الضوضاء'؟

• أ) 26.7%
• ب) 20%
• ج) 40%
• د) 13.3%

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 40%

الشرح: ١. المجموع الكلي للطلاب = ٣٠ طالبًا. ٢. عدد الطلاب الذين اختاروا 'الضوضاء' = ١٢ طالبًا. ٣. النسبة المئوية = (عدد الطلاب للفئة / المجموع الكلي) × ١٠٠. ٤. النسبة المئوية = (١٢ / ٣٠) × ١٠٠ = ٠.٤ × ١٠٠ = ٤٠٪.

تلميح: تذكر أن النسبة المئوية تُحسب بقسمة الجزء على الكل ثم ضرب الناتج في 100.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا خصص طالب 8 ساعات للنوم من يومه الاعتيادي (24 ساعة)، و7 ساعات للمدرسة، و3 ساعات للترفيه. فما هي النسبة المئوية المخصصة للنوم في هذا اليوم؟

• أ) 29.17%
• ب) 33.33%
• ج) 12.5%
• د) 16.67%

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 33.33%

الشرح: ١. عدد ساعات اليوم الكلي = ٢٤ ساعة. ٢. عدد ساعات النوم = ٨ ساعات. ٣. النسبة المئوية للنوم = (عدد ساعات النوم / عدد ساعات اليوم الكلي) × ١٠٠. ٤. النسبة المئوية للنوم = (٨ / ٢٤) × ١٠٠ = (١/٣) × ١٠٠ ≈ ٣٣.٣٣٪.

تلميح: النسبة المئوية هي جزء من الكل مضروب في 100. تأكد من استخدام العدد الكلي الصحيح.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في مكتبة تحتوي على 600 كتاب، إذا كانت نسبة كتب العلوم 25٪، فكم عدد كتب العلوم في المكتبة؟

• أ) 120 كتابًا
• ب) 150 كتابًا
• ج) 250 كتابًا
• د) 75 كتابًا

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 150 كتابًا

الشرح: ١. لحساب عدد كتب العلوم نضرب العدد الكلي للكتب في النسبة المئوية. ٢. نحول النسبة المئوية إلى كسر عشري (٢٥٪ = ٠.٢٥). ٣. عدد كتب العلوم = ٠.٢٥ × ٦٠٠ = ١٥٠ كتابًا.

تلميح: تذكر أن النسبة المئوية تعني جزءًا من مئة، اضرب العدد الكلي في النسبة المئوية (ككسر عشري).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في دراسة إحصائية على 20 طالبًا لتحديد عدد ساعات مشاهدة التلفاز في الأسبوع، إذا قضى 5 طلاب من 20 طالبًا ما بين 0-4 ساعات، فما النسبة المئوية للطلاب في هذه الفئة؟

• أ) 25%
• ب) 40%
• ج) 20%
• د) 15%

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 25%

الشرح: ١. لحساب النسبة المئوية، نقسم عدد الطلاب في الفئة على العدد الكلي للطلاب. ٢. نضرب الناتج في ١٠٠. ٣. النسبة المئوية = (٥ ÷ ٢٠) × ١٠٠ = ٠.٢٥ × ١٠٠ = ٢٥٪.

تلميح: لحساب النسبة المئوية، قسّم الجزء على الكل ثم اضرب في ١٠٠.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية على 30 طالبًا حول أكثر الأمور إزعاجًا في الندوات، أشار 8 طلاب إلى أن 'طول الوقت' هو الأكثر إزعاجًا. ما قياس الزاوية المركزية التي تمثل هذه الفئة في القطاعات الدائرية؟

• أ) 72°
• ب) 144°
• ج) 96°
• د) 48°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 96°

الشرح: ١. لحساب قياس الزاوية المركزية، نقسم عدد الطلاب في الفئة على العدد الكلي للطلاب. ٢. نضرب الناتج في ٣٦٠ درجة. ٣. الزاوية = (٨ ÷ ٣٠) × ٣٦٠° = ٩٦°.

تلميح: تذكر أن مجموع الزوايا في القطاع الدائري هو ٣٦٠ درجة. اضرب نسبة الجزء في ٣٦٠.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا خصص طالب 7 ساعات للمدرسة من يومه الاعتيادي الكامل (24 ساعة)، فما قياس الزاوية المركزية التي تمثل وقت المدرسة عند تمثيل هذا اليوم بالقطاعات الدائرية؟

• أ) 120°
• ب) 90°
• ج) 105°
• د) 60°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 105°

الشرح: ١. لحساب قياس الزاوية المركزية، نقسم عدد ساعات النشاط على إجمالي ساعات اليوم (٢٤ ساعة). ٢. نضرب الناتج في ٣٦٠ درجة. ٣. الزاوية = (٧ ÷ ٢٤) × ٣٦٠° = ١٠٥°.

تلميح: اليوم الكامل 24 ساعة، والدائرة الكاملة 360 درجة. احسب نسبة الوقت المخصص للمدرسة ثم اضربها في ٣٦٠.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية حول عدد الساعات التي يقضيها الطلاب في مشاهدة التلفاز، إذا كان 4 طلاب من إجمالي 20 طالبًا يقضون ما بين 10-14 ساعة أسبوعيًا، فما قياس الزاوية المركزية التي تمثل هذه الفئة في القطاع الدائري؟

• أ) 20%
• ب) 72°
• ج) 36°
• د) 80°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 72°

الشرح: 1. المجموع الكلي للطلاب = 20. 2. تكرار الفئة (10-14 ساعة) = 4 طلاب. 3. زاوية القطاع = (تكرار الفئة / المجموع الكلي) × 360° = (4/20) × 360° = 0.2 × 360° = 72°.

تلميح: تذكر أن زاوية القطاع الدائري تُحسب بقسمة تكرار الفئة على المجموع الكلي ثم الضرب في 360 درجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية على 30 طالبًا حول أكثر الأمور إزعاجًا في الندوات، أشار 6 طلاب إلى أن 'عدم وضوح المتحدث' هو الأمر الأكثر إزعاجًا. فما النسبة المئوية للطلاب الذين يزعجهم 'عدم وضوح المتحدث'؟

• أ) 6%
• ب) 30%
• ج) 20%
• د) 26.7%

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 20%

الشرح: 1. المجموع الكلي للطلاب = 30. 2. تكرار الفئة (عدم وضوح المتحدث) = 6 طلاب. 3. النسبة المئوية = (تكرار الفئة / المجموع الكلي) × 100% = (6/30) × 100% = 0.2 × 100% = 20%.

تلميح: لحساب النسبة المئوية لفئة ما، اقسم تكرار الفئة على المجموع الكلي ثم اضرب الناتج في 100%.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان يوم الطالب الاعتيادي يتكون من 24 ساعة، ويخصص الطالب ساعتين للواجب المدرسي. فما قياس الزاوية المركزية التي تمثل 'الواجب المدرسي' عند تمثيل هذا اليوم بالقطاعات الدائرية؟

• أ) 8.33%
• ب) 72°
• ج) 30°
• د) 45°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 30°

الشرح: 1. المجموع الكلي للساعات = 24. 2. عدد ساعات الواجب = 2. 3. زاوية القطاع = (عدد ساعات الواجب / المجموع الكلي للساعات) × 360° = (2/24) × 360° = (1/12) × 360° = 30°.

تلميح: لحساب زاوية القطاع، قسّم عدد ساعات النشاط على إجمالي ساعات اليوم (24) ثم اضرب الناتج في 360 درجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط