أعمار - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 24: أجرى سعد دراسة مسحية حول الرياضة المفضلة لدى طلاب الصف الثاني المتوسط، وكانت النتائج كما في الجدول المجاور. أي تمثيل مما يأتي يعرض هذه البيانات؟ الرياضة: كرة السلة (١٢٠)، كرة اليد (١٨٠)، كرة القدم (٢٤٠)، الكرة الطائرة (٦٠)

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (ب)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الرياضة | عدد الطلاب (التكرار) | |----------|----------------------| | كرة السلة | ١٢٠ | | كرة اليد | ١٨٠ | | كرة القدم | ٢٤٠ | | الكرة الطائرة | ٦٠ | **المطلوب:** تحديد التمثيل المناسب لعرض هذه البيانات.
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** لتمثيل البيانات الفئوية (الاسمية) مثل أنواع الرياضة، نستخدم: - **التمثيل بالأعمدة** (Bar Graph) أو - **التمثيل الدائري** (Pie Chart). > ملاحظة: المدرج التكراري (Histogram) لا يناسب البيانات الفئوية، فهو للبيانات الكمية.
3. **الخطوة 3: تحليل الخيارات (الموجودة في السؤال الأصلي)** بناءً على المعطيات، يجب أن يعرض التمثيل الصحيح أربع فئات (أنواع الرياضة) بارتفاعات أو أحجام تتناسب مع التكرارات المعطاة (١٢٠، ١٨٠، ٢٤٠، ٦٠).
4. **الخطوة 4: الاستنتاج** بما أن الإجابة المرجعية هي (ب)، فإن التمثيل الصحيح هو الذي يعرض **أعمدة أفقية أو رأسية** تظهر بوضوح أن أعلى عمود لكرة القدم (٢٤٠) وأقصر عمود للكرة الطائرة (٦٠)، مع تساوي المسافات بين الفئات.
5. ∴ التمثيل البياني الصحيح هو **التمثيل بالأعمدة (Bar Graph)** الذي يعرض الرياضة المفضلة وعدد الطلاب لكل رياضة.

سؤال 25: أعمار: تبيّن القائمة أدناه الأعمار المتوقعة لبعض الحيوانات. اختر فئات مناسبة ومثّل البيانات بجدول تكراري، ثم انشئ مدرجًا تكراريًا. (الدرس ٦ - ٢) الأعمار المتوقعة لبعض الحيوانات: ١، ٣، ٥، ٥، ٦، ٧، ٨، ٨، ١٠، ١٠، ١٠، ١٢، ١٢، ١٢، ١٢، ١٥، ١٥، ١٥، ١٥، ١٦، ١٨، ٢٠، ٢٠، ٢٥، ٣٥

الإجابة: س25: الفئات (التكرار): (1-5)، (4)؛ (6-10)، (7)؛ (11-15)، (8)؛ (16-20)، (4)؛ (21-25)، (1)؛ (26-30)، (0)؛ (31-35)، (1). المدرج: ارسم أعمدة بالتكرارات

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | البيانات (الأعمار المتوقعة بالسنوات) | |----------------------------------------| | ١، ٣، ٥، ٥، ٦، ٧، ٨، ٨، ١٠، ١٠، ١٠، ١٢، ١٢، ١٢، ١٢، ١٥، ١٥، ١٥، ١٥، ١٦، ١٨، ٢٠، ٢٠، ٢٥، ٣٥ | **المطلوب:** 1. اختيار فئات مناسبة. 2. إنشاء جدول تكراري. 3. إنشاء مدرج تكراري.
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **الفئات** في الجدول التكراري يجب أن تكون شاملة، متساوية المدى قدر الإمكان، وغير متداخلة. - **المدرج التكراري** رسم بياني بالأعمدة المتلاصقة حيث تمثل القيم على المحور الأفقي (الفئات) والتكرار على المحور الرأسي.
3. **الخطوة 3: تحديد المدى وتحديد الفئات** - أصغر قيمة = **1**، أكبر قيمة = **35**. - المدى = ٣٥ - ١ = **٣٤**. - عدد البيانات = **٢٥** قيمة. - لتحديد عدد الفئات، يمكن استخدام قاعدة مثل $\sqrt{n}$ تقريبًا أو التقسيم المنطقي. هنا نختار فئات مداها **5 سنوات** للوضوح: 1. ١–٥ 2. ٦–١٠ 3. ١١–١٥ 4. ١٦–٢٠ 5. ٢١–٢٥ 6. ٢٦–٣٠ 7. ٣١–٣٥
4. **الخطوة 4: إنشاء الجدول التكراري** | الفئة (الأعمار بالسنوات) | التكرار (عدد الحيوانات) | |---------------------------|--------------------------| | ١–٥ | ٤ | | ٦–١٠ | ٧ | | ١١–١٥ | ٨ | | ١٦–٢٠ | ٤ | | ٢١–٢٥ | ١ | | ٢٦–٣٠ | ٠ | | ٣١–٣٥ | ١ |
5. **الخطوة 5: وصف المدرج التكراري** لرسم المدرج التكراري: 1. ارسم محورين: أفقي (الفئات)، رأسي (التكرار من ٠ إلى ٨). 2. لكل فئة، ارسم عمودًا ارتفاعه يساوي تكرارها، وأعمدته متلاصقة. 3. العمدان ستكون بارتفاعات: ٤، ٧، ٨، ٤، ١، ٠، ١ على التوالي. > تذكر: عدم ترك فراغ بين الأعمدة في المدرج التكراري.
6. ∴ **الجدول التكراري** أعلاه يعرض الفئات والتكرارات، و**المدرج التكراري** هو تمثيل بياني لهذا الجدول بأعمدة متلاصقة.

سؤال 26: مهارة سابقة: أوجد قيمة كل مما يأتي: (٤٦ + ٣٢ + ٢٥ + ٥٧) / ٤

الإجابة: س26: 40

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | العدد الأول | ٤٦ | | العدد الثاني | ٣٢ | | العدد الثالث | ٢٥ | | العدد الرابع | ٥٧ | | عدد القيم (ن) | ٤ | **المطلوب:** إيجاد المتوسط الحسابي لهذه القيم.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **المتوسط الحسابي** $= \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عددها}}$ أو بالرموز: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. **جمع القيم:** $٤٦ + ٣٢ + ٢٥ + ٥٧ = ١٦٠$ > يمكن الجمع خطوة خطوة: > ٤٦ + ٣٢ = ٧٨ > ٧٨ + ٢٥ = ١٠٣ > ١٠٣ + ٥٧ = ١٦٠ 2. **تطبيق القانون:** المتوسط = $\frac{١٦٠}{٤}$ 3. **إجراء القسمة:** $١٦٠ \div ٤ = ٤٠$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ∴ **متوسط الأعداد (٤٦، ٣٢، ٢٥، ٥٧) يساوي ٤٠**.

سؤال 27: مهارة سابقة: أوجد قيمة كل مما يأتي: (١٣ × ١٠ + ٣٤٢ + ١٠٧ × ١٤) / ٣

الإجابة: س27: 1970 / 3 = 656 2/3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | التعبير | |--------|----------| | العدد الأول | $١٣ \times ١٠$ | | العدد الثاني | ٣٤٢ | | العدد الثالث | $١٠٧ \times ١٤$ | | عدد القيم (ن) | ٣ | **المطلوب:** إيجاد المتوسط الحسابي لهذه القيم بعد تنفيذ العمليات.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **المتوسط الحسابي** $= \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عددها}}$
3. **الخطوة 3: تنفيذ العمليات داخل البسط أولاً** 1. حساب $١٣ \times ١٠ = ١٣٠$ 2. حساب $١٠٧ \times ١٤$: - $١٠٠ \times ١٤ = ١٤٠٠$ - $٧ \times ١٤ = ٩٨$ - المجموع = $١٤٠٠ + ٩٨ = ١٤٩٨$ 3. الآن البسط = $١٣٠ + ٣٤٢ + ١٤٩٨$ 4. **جمع البسط خطوة خطوة:** - $١٣٠ + ٣٤٢ = ٤٧٢$ - $٤٧٢ + ١٤٩٨ = ١٩٧٠$ إذن، مجموع القيم = **١٩٧٠**
4. **الخطوة 4: تطبيق قانون المتوسط** المتوسط = $\frac{١٩٧٠}{٣}$
5. **الخطوة 5: إجراء القسمة** $١٩٧٠ \div ٣ = ٦٥٦.٦٦٦...$ أو بالكسر: - $٣ \times ٦٥٦ = ١٩٦٨$ - الباقي = ١٩٧٠ - ١٩٦٨ = ٢ - إذن، الناتج = $٦٥٦ \frac{٢}{٣}$
6. ∴ **القيمة النهائية للمتوسط الحسابي هي $\frac{1970}{3}$، والتي تكافئ $656 \frac{2}{3}$ تقريباً.**

سؤال 28: مهارة سابقة: أوجد قيمة كل مما يأتي: (٢٠ - ٢٠٥ + ١٢٥ - ٥٠٠) / ٨

الإجابة: س28: 70

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | التعبير | |--------|----------| | العدد الأول | ٢٠ | | العدد الثاني | -٢٠٥ (ناقص ٢٠٥) | | العدد الثالث | ١٢٥ | | العدد الرابع | -٥٠٠ (ناقص ٥٠٠) | | عدد القيم (ن) | ٤ | **المطلوب:** إيجاد المتوسط الحسابي لهذه القيم، مع مراعاة الإشارات.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **المتوسط الحسابي** $= \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عددها}}$
3. **الخطوة 3: جمع القيم مع مراعاة الإشارات** 1. ابدأ بالعددين الموجبين: $٢٠ + ١٢٥ = ١٤٥$ 2. اجمع العددين السالبين: $(-٢٠٥) + (-٥٠٠) = -٧٠٥$ 3. الآن اجمع الناتجين: $١٤٥ + (-٧٠٥) = ١٤٥ - ٧٠٥ = -٥٦٠$ > طريقة بديلة: المجموع الكلي = ٢٠ - ٢٠٥ + ١٢٥ - ٥٠٠ = (٢٠+١٢٥) - (٢٠٥+٥٠٠) = ١٤٥ - ٧٠٥ = -٥٦٠ إذن، **مجموع القيم = -٥٦٠**
4. **الخطوة 4: تطبيق قانون المتوسط** المتوسط = $\frac{-٥٦٠}{٤}$
5. **الخطوة 5: إجراء القسمة** $٥٦٠ \div ٤ = ١٤٠$، مع مراعاة الإشارة السالبة. إذن، $\frac{-٥٦٠}{٤} = -١٤٠$ > ملاحظة: قسمة عدد سالب على عدد موجب تعطي عدداً سالباً.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** ∴ **متوسط الأعداد (٢٠، -٢٠٥، ١٢٥، -٥٠٠) يساوي -١٤٠**.

أوجد قيمة كل مما يأتي : (٤٦ + ٣٢ + ٢٥ + ٥٧) / ٤

• أ) ٤٠
• ب) ١٦٠
• ج) ٣٨
• د) ٤٢,٥

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٤٠

الشرح: ١. نجمع القيم في البسط: ٤٦ + ٣٢ + ٢٥ + ٥٧ = ١٦٠ ٢. نقسم المجموع على عدد القيم (٤): ١٦٠ ÷ ٤ = ٤٠ ٣. إذن، الناتج هو ٤٠

تلميح: تذكر قانون المتوسط الحسابي: مجموع القيم مقسوماً على عددها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قيمة كل مما يأتي : (١٣ × ١٠ + ٣٤٢ + ١٠٧ × ١٤) / ٣

• أ) ١٩٧٠
• ب) ٦٥٦ ٢/٣
• ج) ٦٥٧
• د) ٦٥٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٦٥٦ ٢/٣

الشرح: ١. نحسب الضرب أولاً: ١٣ × ١٠ = ١٣٠، ١٠٧ × ١٤ = ١٤٩٨ ٢. نجمع القيم في البسط: ١٣٠ + ٣٤٢ + ١٤٩٨ = ١٩٧٠ ٣. نقسم المجموع على عدد القيم (٣): ١٩٧٠ ÷ ٣ = ٦٥٦ والباقي ٢ ٤. إذن، الناتج هو ٦٥٦ ٢/٣

تلميح: تذكر ترتيب العمليات الحسابية (الضرب قبل الجمع) وقانون المتوسط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة كل مما يأتي : (٢٠ - ٢٥ + ١٢٥ - ٥٠٠) / ٤

• أ) -٣٨٠
• ب) ٩٥
• ج) -٩٥
• د) -١٠٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: -٩٥

الشرح: ١. نجمع الأعداد الموجبة ونطرح السوالب: (٢٠ + ١٢٥) = ١٤٥، (-٢٥ - ٥٠٠) = -٥٢٥ ٢. نجمع النواتج: ١٤٥ - ٥٢٥ = -٣٨٠ ٣. نقسم المجموع على عدد القيم (٤): -٣٨٠ ÷ ٤ = -٩٥ ٤. إذن، الناتج هو -٩٥

تلميح: انتبه لإشارات الأعداد عند الجمع والطرح، ثم اقسم على عدد القيم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بالنظر إلى قائمة أعمار الحيوانات المتوقعة (١، ٣، ٥، ٥، ٦، ٧، ٨، ٨، ١٠، ١٠، ١٠، ١٢، ١٢، ١٢، ١٢، ١٥، ١٥، ١٥، ١٥، ١٦، ١٨، ٢٠، ٢٠، ٢٥، ٣٥)، وباستخدام فئات بمدى 5 سنوات تبدأ من 1 (1-5، 6-10، 11-15، وهكذا)، ما هو تكرار الفئة 11-15؟

• أ) ٤
• ب) ٧
• ج) ٨
• د) ١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٨

الشرح: ١. تحديد الفئة المطلوبة: ١١–١٥ سنة. ٢. عدّ الأعمار في القائمة التي تقع ضمن هذه الفئة: ١٢، ١٢، ١٢، ١٢، ١٥، ١٥، ١٥، ١٥. ٣. عدد هذه القيم هو ٨، وهو التكرار للفئة ١١-١٥.

تلميح: لحساب التكرار لفئة معينة، عدّ جميع القيم التي تقع ضمن حدود تلك الفئة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة كل مما يأتي: (٢٠ - ٢٠٥ + ١٢٥ - ٥٠٠) / ٨

• أ) ٧٠
• ب) -٧٠
• ج) -١٤٠
• د) ١٤٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -٧٠

الشرح: ١. نجمع الأعداد الموجبة: ٢٠ + ١٢٥ = ١٤٥. ٢. نجمع الأعداد السالبة: -٢٠٥ - ٥٠٠ = -٧٠٥. ٣. نجمع النتائج: ١٤٥ - ٧٠٥ = -٥٦٠. ٤. نقسم الناتج على ٨: -٥٦٠ ÷ ٨ = -٧٠.

تلميح: تذكر ترتيب العمليات الحسابية: ابدأ بجمع وطرح الأعداد مع مراعاة الإشارات، ثم قم بالقسمة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط