٥-٦ - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: أوجد الوسيط لهذه البيانات.

الإجابة: الوسيط = 219983

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | البيانات من الجدول في الصفحة 38 (بالترتيب التصاعدي: 65224، 154346، 165134، 274832، 328347، 630563) | | **المطلوب** | إيجاد **الوسيط** لهذه البيانات |
2. **القانون أو المبدأ المستخدم:** الوسيط لقيم عددها $n$ هو: - إذا كان $n$ فردياً: الوسيط هو القيمة التي في المركز $(\frac{n+1}{2})$ بعد الترتيب. - إذا كان $n$ زوجياً: الوسيط هو متوسط القيمتين في المركزين $(\frac{n}{2})$ و $(\frac{n}{2}+1)$ بعد الترتيب.
3. **الخطوة 1: تحديد عدد البيانات** عدد البيانات $n = 6$ (عدد زوجي).
4. **الخطوة 2: ترتيب البيانات تصاعدياً** البيانات مرتبة بالفعل: $$65224,\ 154346,\ 165134,\ 274832,\ 328347,\ 630563$$
5. **الخطوة 3: تحديد مواقع الوسيط** لأن $n=6$ (زوجي)، فالوسيط هو متوسط القيمتين في المركز $\frac{6}{2}=3$ والمركز $\frac{6}{2}+1=4$. أي القيمة الثالثة والقيمة الرابعة في الترتيب.
6. **الخطوة 4: استخراج القيمتين** القيمة الثالثة = $165134$ القيمة الرابعة = $274832$
7. **الخطوة 5: حساب الوسيط** $$\text{الوسيط} = \frac{165134 + 274832}{2} = \frac{439966}{2} = 219983$$
8. **الإجابة النهائية:** قيمة الوسيط للبيانات المعطاة هي **219983**.

سؤال 2: قسم البيانات في الجدول إلى مجموعتين. مجموعة قيم مرتفعة (النصف الأعلى) ومجموعة قيم منخفضة (النصف الأدنى). ما عدد القيم في كل مجموعة؟

الإجابة: النصف الأدنى: 154346، 65224، 165134. النصف الأعلى: 274832، 328347، 630563

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | البيانات المرتبة تصاعدياً: 65224، 154346، 165134، 274832، 328347، 630563 | | **المطلوب** | تقسيم البيانات إلى مجموعتين: **النصف الأدنى** (القيم الأصغر) و**النصف الأعلى** (القيم الأكبر)، ومعرفة عدد القيم في كل مجموعة |
2. **المبدأ المستخدم:** عند تقسيم مجموعة بيانات مرتبة إلى نصفين: - **النصف الأدنى**: يحتوي على القيم من الأولى حتى ما قبل الوسيط (إذا كان العدد فردياً تشمل الوسيط، لكن هنا العدد زوجي). - **النصف الأعلى**: يحتوي على القيم من بعد الوسيط حتى الأخيرة.
3. **الخطوة 1: تحديد موقع الانقسام** عدد البيانات $n=6$ (زوجي)، والوسيط يقع بين المركزين 3 و4. - **النصف الأدنى** سيكون القيم في المراكز 1، 2، 3 (أي أول ثلاث قيم). - **النصف الأعلى** سيكون القيم في المراكز 4، 5، 6 (أي آخر ثلاث قيم).
4. **الخطوة 2: استخراج قيم النصف الأدنى** القيم في المراكز 1، 2، 3 هي: $$65224,\ 154346,\ 165134$$
5. **الخطوة 3: استخراج قيم النصف الأعلى** القيم في المراكز 4، 5، 6 هي: $$274832,\ 328347,\ 630563$$
6. **الخطوة 4: تحديد عدد القيم في كل مجموعة** - عدد قيم **النصف الأدنى** = 3 قيم. - عدد قيم **النصف الأعلى** = 3 قيم.
7. > **ملاحظة:** التقسيم صحيح لأن العدد زوجي، لذا كل نصف يحتوي على نصف العدد تماماً (3 من 6).
8. **الإجابة النهائية:** - **النصف الأدنى** يحتوي على القيم: 65224، 154346، 165134 (عددها 3). - **النصف الأعلى** يحتوي على القيم: 274832، 328347، 630563 (عددها 3).

سؤال 3: ما الوسيط لكل مجموعة؟

الإجابة: وسيط الأدنى = 154346. وسيط الأعلى = 328347

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | مجموعتي البيانات من السؤال السابق: - النصف الأدنى: 65224، 154346، 165134 - النصف الأعلى: 274832، 328347، 630563 | | **المطلوب** | إيجاد **وسيط** كل مجموعة على حدة |
2. **القانون المستخدم:** الوسيط لمجموعة عددها فردي هو القيمة التي تقع في المركز الأوسط بعد الترتيب.
3. **حساب وسيط النصف الأدنى:** 1. البيانات مرتبة بالفعل: 65224، 154346، 165134. 2. عدد البيانات $n=3$ (فردي). 3. موقع الوسيط = المركز $\frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (أي القيمة الثانية). 4. القيمة الثانية = **154346**. ∴ **وسيط النصف الأدنى = 154346**
4. **حساب وسيط النصف الأعلى:** 1. البيانات مرتبة بالفعل: 274832، 328347، 630563. 2. عدد البيانات $n=3$ (فردي). 3. موقع الوسيط = المركز $\frac{3+1}{2} = 2$ (أي القيمة الثانية). 4. القيمة الثانية = **328347**. ∴ **وسيط النصف الأعلى = 328347**
5. **الإجابة النهائية:** - وسيط مجموعة النصف الأدنى هو **154346**. - وسيط مجموعة النصف الأعلى هو **328347**.

سؤال 4: أوجد الفرق بين الإجابتين في السؤال الثالث.

الإجابة: الفرق = 174001

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | وسيط النصف الأدنى = 154346، وسيط النصف الأعلى = 328347 (من السؤال 3) | | **المطلوب** | إيجاد **الفرق** بين هاتين القيمتين |
2. **المبدأ المستخدم:** الفرق بين قيمتين يُحسب بالطرح: القيمة الأكبر − القيمة الأصغر.
3. **الخطوة 1: تحديد القيمتين** - القيمة الأولى (وسيط النصف الأدنى) = 154346 - القيمة الثانية (وسيط النصف الأعلى) = 328347
4. **الخطوة 2: إجراء عملية الطرح** $$\text{الفرق} = 328347 - 154346 = 174001$$
5. **الإجابة النهائية:** الفرق بين وسيط النصف الأعلى ووسيط النصف الأدنى يساوي **174001**.

سؤال 5: أوجد المدى لمجموعة البيانات.

الإجابة: المدى = 565339

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | مجموعة البيانات الكاملة (المرتبة): 65224، 154346، 165134، 274832، 328347، 630563 | | **المطلوب** | إيجاد **المدى** للمجموعة |
2. **القانون المستخدم:** المدى = أكبر قيمة في البيانات − أصغر قيمة في البيانات.
3. **الخطوة 1: تحديد أكبر قيمة** أكبر قيمة في البيانات هي **630563** (آخر قيمة في الترتيب التصاعدي).
4. **الخطوة 2: تحديد أصغر قيمة** أصغر قيمة في البيانات هي **65224** (أول قيمة في الترتيب التصاعدي).
5. **الخطوة 3: حساب المدى** $$\text{المدى} = 630563 - 65224 = 565339$$
6. **الإجابة النهائية:** مدى مجموعة البيانات هو **565339**.

سؤال 6: علام يدلك المدى عن الناتج المحلي لهذه الأنشطة؟

الإجابة: يدل على تباين كبير بين نواتج الأنشطة (الفرق 565339)

خطوات الحل:

1. | المهمة | الوصف | |---------|--------| | **المعطيات** | مدى مجموعة البيانات = 565339 (من السؤال 5) | | **المطلوب** | تفسير ما يدل عليه هذا **المدى** عن الناتج المحلي للأنشطة الاقتصادية المذكورة |
2. **المفهوم المستخدم:** **المدى** هو أبسط مقاييس التشتت، ويدل على مدى انتشار البيانات أو تباعدها. - كلما كبُر المدى، زاد **التباين** أو **التفاوت** بين القيم. - كلما صغُر المدى، قل التباين واقتربت القيم من بعضها.
3. **الخطوة 1: تحليل قيمة المدى** قيمة المدى المحسوبة (565339) هي فرق كبير بين أكبر وأصغر قيمة للناتج المحلي للأنشطة.
4. **الخطوة 2: الاستنتاج** هذا المدى الكبير يدل على: - وجود **تفاوت كبير** بين قيم الناتج المحلي لهذه الأنشطة. - بعض الأنشطة لها ناتج محلي مرتفع جداً (مثل 630563) وبعضها منخفض جداً (مثل 65224). - يعني أن **التباين** في الناتج المحلي بين مختلف الأنشطة الاقتصادية المُدروسة كبير.
5. > **ملاحظة:** المدى وحده لا يعطي صورة كاملة عن التوزيع، لكنه مؤشر على وجود فروقات كبيرة.
6. **الإجابة النهائية:** يدل المدى الكبير (565339) على وجود **تباين كبير** و **تفاوت واضح** في الناتج المحلي بين الأنشطة الاقتصادية المختلفة، مما يشير إلى أن بعض الأنشطة تساهم بشكل أكبر بكثير من أخرى.

ما صيغة حساب المدى الربيعي؟

• أ) المدى الربيعي = أكبر قيمة + أصغر قيمة
• ب) المدى الربيعي = الربيع الأعلى - الربيع الأدنى
• ج) المدى الربيعي = الوسط الحسابي ÷ عدد القيم
• د) المدى الربيعي = الوسيط × ٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المدى الربيعي = الربيع الأعلى - الربيع الأدنى

الشرح: صيغة المدى الربيعي هي طرح قيمة الربيع الأدنى من قيمة الربيع الأعلى، وهو مقياس لتشتت النصف الأوسط من البيانات.

تلميح: تذكر أن المدى الربيعي يمثل الفرق بين ربعين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

أوجد الوسيط للبيانات التالية: ٦٥٢٢٤، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤، ٢٧٤٨٣٢، ٣٢٨٣٤٧، ٦٣٠٥٦٣.

• أ) ١٦٥١٣٤
• ب) ٢٧٤٨٣٢
• ج) ٢١٩٩٨٣
• د) ٤٣٩٩٦٦

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢١٩٩٨٣

الشرح: ١. عدد البيانات ٦ (زوجي). ٢. البيانات مرتبة تصاعدياً. ٣. الوسيط هو متوسط القيمتين في المركزين الثالث (١٦٥١٣٤) والرابع (٢٧٤٨٣٢). ٤. الوسيط = (١٦٥١٣٤ + ٢٧٤٨٣٢) ÷ ٢ = ٤٣٩٩٦٦ ÷ ٢ = ٢١٩٩٨٣.

تلميح: تذكر أن الوسيط للبيانات الزوجية هو متوسط القيمتين الأوسطتين بعد الترتيب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الغرض الرئيسي من استعمال مقاييس التشتت؟

• أ) وصف مدى تركز البيانات في نقطة واحدة.
• ب) وصف مدى انتشار البيانات حول القيم المتوسطة.
• ج) تحديد القيمة الأكثر تكراراً في البيانات.
• د) حساب مجموع القيم في مجموعة البيانات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: وصف مدى انتشار البيانات حول القيم المتوسطة.

الشرح: تستعمل مقاييس التشتت لوصف مدى انتشار البيانات أو تباعدها عن قيم مثل الوسط الحسابي أو الوسيط.

تلميح: فكر فيما تصفه هذه المقاييس غير القيم المركزية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف المدى الربيعي؟

• أ) متوسط القيم في مجموعة البيانات.
• ب) أكبر قيمة مطروحاً منها أصغر قيمة في البيانات.
• ج) هو مدى نصف البيانات التي تقع في الوسط، وهو الفرق بين الربيعين الأعلى والأدنى.
• د) القيمة التي تقع في منتصف البيانات بعد ترتيبها.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هو مدى نصف البيانات التي تقع في الوسط، وهو الفرق بين الربيعين الأعلى والأدنى.

الشرح: المدى الربيعي يقيس تشتت النصف الأوسط من البيانات، ويُحسب بالفرق بين الربيع الأعلى (Q3) والربيع الأدنى (Q1).

تلميح: يرتبط المدى الربيعي بتوزيع البيانات المركزية بين الأرباع.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

البيانات المرتبة هي: ٦٥٢٢٤، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤، ٢٧٤٨٣٢، ٣٢٨٣٤٧، ٦٣٠٥٦٣. إذا قسمت هذه البيانات إلى نصف أدنى ونصف أعلى، فما عدد القيم في كل مجموعة؟

• أ) ٤ قيم في النصف الأعلى و ٢ قيم في النصف الأدنى
• ب) ٢ قيم في كل مجموعة
• ج) ٣ قيم في كل مجموعة
• د) ٥ قيم في النصف الأعلى و ١ قيمة في النصف الأدنى

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٣ قيم في كل مجموعة

الشرح: ١. عدد البيانات ٦ (زوجي). ٢. عند تقسيم مجموعة بيانات زوجية إلى نصفين، يكون عدد القيم في كل نصف متساوياً. ٣. عدد القيم في كل نصف = ٦ ÷ ٢ = ٣ قيم.

تلميح: عند تقسيم مجموعة بيانات عددها زوجي، فكر في كيفية توزيع القيم بالتساوي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد الوسط الحسابي للبيانات التالية للناتج المحلي (بملايين الريالات): ٦٥٠٥٦٣، ٣٢٨٣٤٧، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤، ٦٥٢٢٤، ٢٧٤٨٣٢.

• أ) 273074.33
• ب) 1638446
• ج) 219983
• د) 327689.2

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 273074.33

الشرح: ١. نجمع كل القيم: ٦٥٠٥٦٣ + ٣٢٨٣٤٧ + ١٥٤٣٤٦ + ١٦٥١٣٤ + ٦٥٢٢٤ + ٢٧٤٨٣٢ = ١٦٣٨٤٤٦. ٢. نعد عدد القيم: لدينا ٦ قيم. ٣. نقسم المجموع على العدد: ١٦٣٨٤٤٦ ÷ ٦ = ٢٧٣٠٧٤.٣٣٣... ٤. نقرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة: ٢٧٣٠٧٤.٣٣

تلميح: تذكر أن الوسط الحسابي يُحسب بجمع كل القيم وقسمتها على عددها الإجمالي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بعد تقسيم البيانات المرتبة (٦٥٢٢٤، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤، ٢٧٤٨٣٢، ٣٢٨٣٤٧، ٦٥٠٥٦٣) إلى نصف أدنى ونصف أعلى، ما الوسط الحسابي لكل مجموعة؟

• أ) الوسط للنصف الأدنى = 154346، الوسط للنصف الأعلى = 328347
• ب) الوسط للنصف الأدنى ≈ 128234.67، الوسط للنصف الأعلى = 417914
• ج) الوسط للنصف الأدنى = 384704، الوسط للنصف الأعلى = 1253742
• د) الوسط للنصف الأدنى = 130000، الوسط للنصف الأعلى = 420000

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الوسط للنصف الأدنى ≈ 128234.67، الوسط للنصف الأعلى = 417914

الشرح: ١. النصف الأدنى: ٦٥٢٢٤، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤. مجموعها = ٣٨٤٧٠٤. وسطها = ٣٨٤٧٠٤ ÷ ٣ ≈ ١٢٨٢٣٤.٦٧ ٢. النصف الأعلى: ٢٧٤٨٣٢، ٣٢٨٣٤٧، ٦٥٠٥٦٣. مجموعها = ١٢٥٣٧٤٢. وسطها = ١٢٥٣٧٤٢ ÷ ٣ = ٤١٧٩١٤

تلميح: النصف الأدنى يضم القيم الثلاث الأولى، والنصف الأعلى يضم القيم الثلاث الأخيرة. احسب الوسط لكل مجموعة على حدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد الفرق بين الوسط الحسابي للنصف الأعلى (417914) والوسط الحسابي للنصف الأدنى (≈ 128234.67) من البيانات.

• أ) 174001
• ب) 546148.67
• ج) 289679.33
• د) 219600

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 289679.33

الشرح: ١. الوسط الحسابي للنصف الأعلى = ٤١٧٩١٤. ٢. الوسط الحسابي للنصف الأدنى ≈ ١٢٨٢٣٤.٦٧. ٣. الفرق = ٤١٧٩١٤ - ١٢٨٢٣٤.٦٧ = ٢٨٩٦٧٩.٣٣.

تلميح: الفرق يُحسب بطرح القيمة الأصغر من القيمة الأكبر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد المدى لمجموعة البيانات التالية (الناتج المحلي بملايين الريالات): ٦٥٠٥٦٣، ٣٢٨٣٤٧، ١٥٤٣٤٦، ١٦٥١٣٤، ٦٥٢٢٤، ٢٧٤٨٣٢.

• أ) 565339
• ب) 650563
• ج) 585339
• د) 65224

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 585339

الشرح: ١. أكبر قيمة في البيانات هي ٦٥٠٥٦٣. ٢. أصغر قيمة في البيانات هي ٦٥٢٢٤. ٣. المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة = ٦٥٠٥٦٣ - ٦٥٢٢٤ = ٥٨٥٣٣٩.

تلميح: تذكر أن المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

علام يدل المدى البالغ 585339 عن الناتج المحلي لهذه الأنشطة الاقتصادية في المملكة العربية السعودية لعام 2017 م؟

• أ) يدل على تقارب قيم الناتج المحلي لجميع الأنشطة.
• ب) يدل على أن الناتج المحلي لجميع الأنشطة متساوٍ.
• ج) يدل على تباين كبير في الناتج المحلي بين الأنشطة الاقتصادية المختلفة.
• د) يدل على أن قيمة الناتج المحلي ثابتة بمرور الزمن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يدل على تباين كبير في الناتج المحلي بين الأنشطة الاقتصادية المختلفة.

الشرح: المدى هو مقياس للتشتت يعبر عن الفرق بين أكبر وأصغر قيمة. عندما يكون المدى كبيراً (مثل 585339)، فإن هذا يدل على وجود فروقات واضحة وتفاوت كبير بين قيم الناتج المحلي لمختلف الأنشطة الاقتصادية المدروسة.

تلميح: فكر في معنى 'المدى' وماذا تعني قيمته الكبيرة بالنسبة لانتشار البيانات.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط