زراعة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 6: زراعة: استعمل البيانات في الجدول المجاور لحل الأسئلة ٦-٩: ما مدى هذه البيانات؟

الإجابة: س 6: المدى = 359 (ألف طن)

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد إيجاد **المدى** لمجموعة بيانات زراعية (بالآلاف من الأطنان). | | **2: تذكر تعريف المدى** | **المدى** = أكبر قيمة - أصغر قيمة. | | **3: تطبيق التعريف (بناءً على الإجابة)** | بما أن الإجابة هي **359 (ألف طن)**، فهذا يعني أن الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في البيانات هو **359**. | | **4: الإجابة النهائية** | ∴ **المدى** لمحاصيل الزراعة هو **359 ألف طن**.

سؤال 7: أوجد الوسيط والربيعين الأعلى والأدنى والمدى الربيعي لهذه البيانات.

الإجابة: س 7: الوسيط=228، Q1=147، Q3=447، IQR = 300

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد إيجاد **الوسيط**، **الربيع الأول (Q1)**، **الربيع الثالث (Q3)**، و **المدى الربيعي (IQR)** للبيانات الزراعية. | | **2: ترتيب الخطوات** | 1. ترتيب البيانات تصاعديًا.<br>2. إيجاد **الوسيط** (الوسط).<br>3. إيجاد **Q1** (وسيط النصف الأدنى).<br>4. إيجاد **Q3** (وسيط النصف الأعلى).<br>5. حساب **المدى الربيعي IQR = Q3 - Q1**. | | **3: تطبيق الخطوات (بناءً على الإجابة)** | استنادًا للإجابة المُعطاة:<br>- **الوسيط = 228**<br>- **الربيع الأدنى Q1 = 147**<br>- **الربيع الأعلى Q3 = 447**<br>- **المدى الربيعي IQR = Q3 - Q1 = 447 - 147 = 300** | | **4: الإجابة النهائية** | ∴ **مقاييس التشتت** للبيانات هي:<br>- الوسيط: **228 ألف طن**<br>- الربيع الأدنى (Q1): **147 ألف طن**<br>- الربيع الأعلى (Q3): **447 ألف طن**<br>- المدى الربيعي (IQR): **300 ألف طن**.

سؤال 8: حدد القيم المتطرفة.

الإجابة: س 8: لا توجد قيم متطرفة

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد تحديد إذا ما كانت توجد **قيم متطرفة** في البيانات الزراعية. | | **2: تعريف القيمة المتطرفة** | القيمة المتطرفة هي قيمة تقع خارج المجال:<br> **أقل من** $Q1 - 1.5 \times IQR$<br> **أو أعلى من** $Q3 + 1.5 \times IQR$. | | **3: تطبيق المعطيات من السؤال 7** | - $Q1 = 147$<br>- $Q3 = 447$<br>- $IQR = 300$<br> نحسب الحدود:<br> - **الحد الأدنى:** $147 - 1.5 \times 300 = 147 - 450 = -303$<br> - **الحد الأعلى:** $447 + 1.5 \times 300 = 447 + 450 = 897$ | | **4: التحقق من القيم** | أي قيمة في البيانات أقل من **-303** أو أكبر من **897** تُعتبر متطرفة. بما أن البيانات الزراعية (كميات إنتاج) لا يمكن أن تكون سالبة، فالحد الأدنى غير مهم عمليًا. الحد الأعلى هو **897**. | | **5: الاستنتاج (بناءً على الإجابة)** | الإجابة المُعطاة تقول: **لا توجد قيم متطرفة**. هذا يعني أنه **لا توجد قيمة** في البيانات أكبر من **897 ألف طن**. | | **6: الإجابة النهائية** | ∴ بعد التحقق من حدود القيم المتطرفة، **لا توجد أي قيم متطرفة** في بيانات الإنتاج الزراعي هذه.

سؤال 9: استعمل مقاييس التشتت لوصف البيانات في الجدول.

الإجابة: س 9: المدى=359، IQR=300

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد **وصف تشتت البيانات** الزراعية باستخدام **مقاييس التشتت**. | | **2: مقاييس التشتت المستخدمة** | - **المدى:** يصف الفرق بين أقصى القيم.<br>- **المدى الربيعي (IQR):** يصف انتشار **50%** الوسطى من البيانات (بين Q1 و Q3). | | **3: تحليل القيم من السؤالين 6 و7** | - **المدى = 359 ألف طن**<br>- **المدى الربيعي (IQR) = 300 ألف طن** | | **4: وصف البيانات** | > **ملاحظة:** المدى الربيعي (300) قريب من المدى الكلي (359). هذا يشير إلى أن **الانتشار الكبير للبيانات يأتي من انتشار النصف الأوسط منها نفسه**، وليس من قيم متطرفة بعيدة جدًا (وهذا يتوافق مع عدم وجود قيم متطرفة من السؤال 8). | | **5: الإجابة النهائية** | ∴ تشتت بيانات الإنتاج الزراعي **مرتفع نسبيًا**، حيث أن **نصف البيانات الوسطى** منتشرة على مدى **300 ألف طن**، وهو يشكل معظم المدى الكلي للبيانات.

سؤال 10: حيوانات: استعمل الجدول المجاور لحل الأسئلة ١٠-١٣: ما مدى هذه البيانات؟

الإجابة: س 10: المدى = 1095000

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد إيجاد **المدى** لمجموعة بيانات عن أعداد الحيوانات. | | **2: تذكر تعريف المدى** | **المدى** = أكبر قيمة - أصغر قيمة. | | **3: تطبيق التعريف (بناءً على الإجابة)** | بما أن الإجابة هي **المدى = 1095000**، فهذا يعني أن الفرق بين أكبر عدد حيوانات وأصغر عدد في البيانات هو **1,095,000** حيوان. | | **4: الإجابة النهائية** | ∴ **المدى** لأعداد الحيوانات في هذه العينة هو **1,095,000** حيوان.

سؤال 11: أوجد الوسيط والربيعين الأعلى والأدنى والمدى الربيعي لهذه البيانات.

الإجابة: س 11: الوسيط=9000، Q1=8000، Q3=24500، IQR=16500

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد إيجاد **الوسيط**، **الربيع الأول (Q1)**، **الربيع الثالث (Q3)**، و **المدى الربيعي (IQR)** لبيانات أعداد الحيوانات. | | **2: ترتيب الخطوات** | 1. ترتيب البيانات تصاعديًا.<br>2. إيجاد **الوسيط** (الوسط).<br>3. إيجاد **Q1** (وسيط النصف الأدنى).<br>4. إيجاد **Q3** (وسيط النصف الأعلى).<br>5. حساب **المدى الربيعي IQR = Q3 - Q1**. | | **3: تطبيق الخطوات (بناءً على الإجابة)** | استنادًا للإجابة المُعطاة:<br>- **الوسيط = 9000**<br>- **الربيع الأدنى Q1 = 8000**<br>- **الربيع الأعلى Q3 = 24500**<br>- **المدى الربيعي IQR = Q3 - Q1 = 24500 - 8000 = 16500** | | **4: الإجابة النهائية** | ∴ **مقاييس التشتت** للبيانات هي:<br>- الوسيط: **9000** حيوان<br>- الربيع الأدنى (Q1): **8000** حيوان<br>- الربيع الأعلى (Q3): **24500** حيوان<br>- المدى الربيعي (IQR): **16500** حيوان.

سؤال 12: حدد القيم المتطرفة.

الإجابة: س 12: القيمة المتطرفة 1100000

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد تحديد **القيم المتطرفة** في بيانات أعداد الحيوانات. | | **2: تعريف القيمة المتطرفة** | القيمة المتطرفة هي قيمة تقع خارج المجال:<br> **أقل من** $Q1 - 1.5 \times IQR$<br> **أو أعلى من** $Q3 + 1.5 \times IQR$. | | **3: تطبيق المعطيات من السؤال 11** | - $Q1 = 8000$<br>- $Q3 = 24500$<br>- $IQR = 16500$<br> نحسب الحدود:<br> - **الحد الأدنى:** $8000 - 1.5 \times 16500 = 8000 - 24750 = -16750$<br> - **الحد الأعلى:** $24500 + 1.5 \times 16500 = 24500 + 24750 = 49250$ | | **4: التحقق من القيم** | أي قيمة في البيانات أقل من **-16750** أو أكبر من **49250** تُعتبر متطرفة. بما أن عدد الحيوانات لا يمكن أن يكون سالبًا، فالحد الأدنى غير مهم. الحد الأعلى هو **49,250**. | | **5: الاستنتاج (بناءً على الإجابة)** | الإجابة المُعطاة تقول: **القيمة المتطرفة 1100000**. نلاحظ أن **1,100,000 > 49,250**. إذن، القيمة **1,100,000** هي **قيمة متطرفة** لأنها أكبر بكثير من الحد الأعلى. | | **6: الإجابة النهائية** | ∴ توجد **قيمة متطرفة واحدة** في بيانات أعداد الحيوانات، وهي **1,100,000** حيوان.

سؤال 13: استعمل مقاييس التشتت لوصف البيانات في الجدول.

الإجابة: س 13: المدى كبير بسبب القيمة المتطرفة، IQR يوضح مركز البيانات

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد **وصف تشتت البيانات** الخاصة بأعداد الحيوانات باستخدام **مقاييس التشتت**. | | **2: مقاييس التشتت المستخدمة** | - **المدى:** يصف الفرق بين أقصى القيم.<br>- **المدى الربيعي (IQR):** يصف انتشار **50%** الوسطى من البيانات (بين Q1 و Q3). | | **3: تحليل القيم من الأسئلة السابقة** | - **المدى = 1,095,000** (كبير جدًا)<br>- **المدى الربيعي (IQR) = 16,500** (صغير نسبيًا مقارنة بالمدى)<br>- **توجد قيمة متطرفة = 1,100,000** | | **4: وصف البيانات** | > **ملاحظة:** المدى **كبير جدًا** بسبب وجود **قيمة متطرفة عالية** (1,100,000) تبتعد كثيرًا عن بقية البيانات. أما **المدى الربيعي (IQR)** فهو **أصغر بكثير**، وهذا يعني أن **النصف الأوسط من البيانات (50%) مركز ومتجمع** نسبيًا بين 8000 و 24500 حيوان. القيمة المتطرفة هي التي جعلت المدى كبيرًا. | | **5: الإجابة النهائية** | ∴ تشتت بيانات أعداد الحيوانات **غير متجانس**: **50% من البيانات مركزة** في نطاق ضيق نسبيًا (16,500)، ولكن وجود **قيمة متطرفة عالية** أدى إلى **مدى كلي كبير جدًا** لا يعكس الانتشار الحقيقي لمعظم البيانات.

سؤال 14: هزات أرضية: استعمل لوحة النقاط المجاورة لحل الأسئلة ١٤-١٦: أوجد المدى والمتوسط والوسيط والمنوال والربيعين الأعلى والأدنى والمدى الربيعي لمجموعة البيانات.

الإجابة: س 14: المدى=2.1، المتوسط=2.1، الوسيط=1.9، المنوال=1.5، Q1=1.5، Q3=2.5، IQR = 1

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد إيجاد **جميع مقاييس النزعة المركزية والتشتت** لبيانات الهزات الأرضية (لوحة النقاط). | | **2: الخطوات العامة** | 1. استخلاص البيانات من لوحة النقاط (غير متوفرة هنا، نعتمد على الإجابة).<br>2. حساب **المدى، المتوسط، الوسيط، المنوال، Q1، Q3، IQR**. | | **3: تطبيق النتائج من الإجابة** | استنادًا للإجابة المُعطاة:<br> | المقياس | القيمة | |---------|--------| | **المدى** | 2.1 | | **المتوسط** | 2.1 | | **الوسيط** | 1.9 | | **المنوال** | 1.5 | | **الربيع الأدنى (Q1)** | 1.5 | | **الربيع الأعلى (Q3)** | 2.5 | | **المدى الربيعي (IQR)** | 1.0 | | **4: تفسير سريع** | - **المتوسط (2.1)** و **الوسيط (1.9)** قريبان، مما يشير إلى تناظر تقريبي.<br>- **المنوال (1.5)** هو الأكثر تكرارًا.<br>- **المدى الربيعي (1.0)** يوضح أن منتصف البيانات ينتشر على مدى درجة واحدة. | | **5: الإجابة النهائية** | ∴ **مقاييس النزعة المركزية والتشتت** لهزات الأرض هي: المدى **2.1**، المتوسط **2.1**، الوسيط **1.9**، المنوال **1.5**، الربيعان **1.5 و 2.5**، والمدى الربيعي **1.0**.

سؤال 15: حدد القيم المتطرفة.

الإجابة: س 15: لا توجد قيم متطرفة

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد تحديد إذا ما كانت توجد **قيم متطرفة** في بيانات الهزات الأرضية. | | **2: تعريف القيمة المتطرفة** | القيمة المتطرفة هي قيمة تقع خارج المجال:<br> **أقل من** $Q1 - 1.5 \times IQR$<br> **أو أعلى من** $Q3 + 1.5 \times IQR$. | | **3: تطبيق المعطيات من السؤال 14** | - $Q1 = 1.5$<br>- $Q3 = 2.5$<br>- $IQR = 1.0$<br> نحسب الحدود:<br> - **الحد الأدنى:** $1.5 - 1.5 \times 1.0 = 1.5 - 1.5 = 0$<br> - **الحد الأعلى:** $2.5 + 1.5 \times 1.0 = 2.5 + 1.5 = 4.0$ | | **4: التحقق من القيم** | أي قيمة في بيانات الهزات الأرضية **أقل من 0** أو **أكبر من 4.0** تُعتبر متطرفة. | | **5: الاستنتاج (بناءً على الإجابة)** | الإجابة المُعطاة تقول: **لا توجد قيم متطرفة**. هذا يعني أن **جميع قيم الهزات الأرضية** في لوحة النقاط كانت بين **0 و 4.0** (درجات على مقياس ريختر مثلاً). | | **6: الإجابة النهائية** | ∴ بعد حساب حدود القيم المتطرفة (0 و 4.0)، **لا توجد أي قراءة للهزات الأرضية** في هذه المجموعة تعتبر **قيمة متطرفة**.

سؤال 16: استعمل مقاييس التشتت لوصف هذه البيانات.

الإجابة: س 16: التشتت متوسط، 50% بين 1.5 و 2.5

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | نريد **وصف تشتت البيانات** للهزات الأرضية باستخدام **مقاييس التشتت**. | | **2: مقاييس التشتت المستخدمة** | - **المدى:** يصف الفرق بين أقصى القيم.<br>- **المدى الربيعي (IQR):** يصف انتشار **50%** الوسطى من البيانات. | | **3: تحليل القيم من السؤال 14** | - **المدى = 2.1**<br>- **المدى الربيعي (IQR) = 1.0** | | **4: وصف البيانات** | - **المدى (2.1)** ليس كبيرًا جدًا، مما يشير إلى أن الهزات كانت متقاربة بشكل عام.<br>- **المدى الربيعي (1.0)** يعني أن **الخمسين بالمئة الوسطى** من قوة الهزات تتراوح بين **1.5 و 2.5** (درجة واحدة فقط من الانتشار).<br>- بما أن **IQR** يشكل حوالي نصف المدى الكلي، فإن الانتشار ناتج عن توزيع معقول للقيم وليس عن قيم متطرفة (كما رأينا في السؤال 15). | | **5: الإجابة النهائية** | ∴ تشتت قوى الهزات الأرضية **معتدل ومركّز**، حيث أن نصف البيانات يقع ضمن نطاق ضيق (1.0)، مما يشير إلى **اتساق نسبي** في شدة هذه الهزات المسجلة.

سؤال 17: أوجد البيانات؛ اختر بعض البيانات الإحصائية عن المملكة، واكتب مسألة من واقع الحياة لتجد من خلالها مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت.

الإجابة: س 17: مثال: 24,26,28,28,29,30,32,34 المتوسط 28.9، الوسيط 28.5

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم المطلوب** | كتابة **مسألة من واقع الحياة** باستخدام بيانات إحصائية عن المملكة، ثم إيجاد مقاييس النزعة المركزية والتشتت لها. | | **2: اقتراح بيانات (مثال)** | بيانات: **أعداد الرحلات الجوية اليومية من مطار الملك خالد الدولي (بالآلاف) خلال 8 أيام**:<br> **24, 26, 28, 28, 29, 30, 32, 34** رحلة (بالآلاف). | | **3: حساب مقاييس النزعة المركزية** | 1. **المتوسط الحسابي:** $(24+26+28+28+29+30+32+34) / 8 = 231 / 8 = **28.875**$ ألف رحلة.<br>2. **الوسيط:** البيانات مرتبة. الوسيط هو متوسط القيمتين الرابعة والخامسة: $(28 + 29) / 2 = **28.5**$ ألف رحلة.<br>3. **المنوال:** القيمة الأكثر تكرارًا هي **28** ألف رحلة (تكررت مرتين). | | **4: حساب مقاييس التشتت** | 1. **المدى:** أكبر قيمة - أصغر قيمة = $34 - 24 = **10**$ ألف رحلة.<br>2. **الربيعان والمدى الربيعي:**<br> - **Q1:** وسيط النصف الأدنى (24, 26, 28, 28) = $(26+28)/2 = **27**$.<br> - **Q3:** وسيط النصف الأعلى (29, 30, 32, 34) = $(30+32)/2 = **31**$.<br> - **IQR:** $Q3 - Q1 = 31 - 27 = **4**$ ألف رحلة. | | **5: صياغة المسألة** | **مسألة:** سجلت أعداد الرحلات الجوية الصادرة من مطار الملك خالد الدولي (بالآلاف) على مدى 8 أيام كما يلي: 24, 26, 28, 28, 29, 30, 32, 34. أوجد المتوسط، الوسيط، المنوال، المدى، الربيعين، والمدى الربيعي لهذه البيانات. | | **6: الإجابة النهائية** | ∴ **المقاييس المحسوبة:** المتوسط ≈ **28.9** ألف، الوسيط = **28.5** ألف، المنوال = **28** ألف، المدى = **10** ألف، Q1 = **27** ألف، Q3 = **31** ألف، IQR = **4** آلاف رحلة.

سؤال 18: مسألة مفتوحة: اكتب مجموعة بيانات تتألف من ثمانية أعداد على الأقل بحيث يكون المدى الربيعي لها ٢٠، ولها قيمة متطرفة واحدة.

الإجابة: س 18: مثال: 20,30,30,35,40,50,50,100

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم المطلوب** | إنشاء مجموعة بيانات مكونة من **8 أعداد على الأقل** بحيث:<br> 1. **المدى الربيعي (IQR) = 20**<br> 2. تحتوي على **قيمة متطرفة واحدة**. | | **2: تصميم المجموعة** | نبدأ بتصميم **النصف الأوسط من البيانات (بين Q1 و Q3)** الذي يجب أن يمتد على مدى **20** (لأن IQR = Q3 - Q1 = 20).<br> - لنفرض $Q1 = 30$ و $Q3 = 50$، إذن $IQR = 20$. | | **3: اختيار البيانات حول الوسيط** | نختار أعدادًا بين Q1 و Q3 (بما فيهم الوسيط) لتمثيل 50% الوسطى. مثال: **35, 40, 45, 50**. سيكون الوسيط هنا بين 40 و 45. | | **4: إضافة النصف الأدنى (أقل من Q1)** | نضيف أعدادًا أقل من Q1 (30). مثال: **20, 25**. | | **5: إضافة النصف الأعلى (أعلى من Q3)** | نضيف أعدادًا أعلى من Q3 (50). هنا نضيف **القيمة المتطرفة** بحيث تكون أكبر بكثير من الحد الأعلى للقيم المتطرفة.<br> - نحدد الحد الأعلى العادي: $Q3 + 1.5 \times IQR = 50 + 30 = 80$.<br> - نختار قيمة متطرفة أكبر من 80، مثل **100**. | | **6: تجميع البيانات** | مجموعة البيانات المطلوبة (مرتبة): **20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 100**.<br> - **التحقق:** IQR = Q3 - Q1 = 50 - 30 = 20.<br> - **التحقق من القيمة المتطرفة:** الحد الأعلى = 80، القيمة 100 > 80، إذن **100 قيمة متطرفة**. | | **7: الإجابة النهائية** | ∴ مثال لمجموعة بيانات تحقق الشروط: **20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 100**. لها **IQR = 20** وتحتوي على **قيمة متطرفة واحدة هي 100**.

سؤال 19: تحد: اكتب مجموعتين من البيانات لهما المدى نفسه غير أن المدى الربيعي لكل منهما مختلف؛ ثم اكتب مجموعتين أخريين من البيانات لهما الوسيط والربيعات أنفسهما إلا أن مداهما مختلف.

الإجابة: س 19: (أ) و (ب) نفس المدى ويختلف IQR، (ج) و (د) نفس الوسيط ومختلف المدى

خطوات الحل:

1. | الخطوة | المطلوب | مثال لمجموعتين | الشرح | |--------|---------|----------------|-------| | **1: (أ) و (ب)** | **نفس المدى** لكن **مختلف المدى الربيعي (IQR)**. | **(أ):** 10, 20, 30, 40, 50<br>المدى = 50-10=40, Q1=20, Q3=40, IQR=20.<br>**(ب):** 10, 25, 30, 35, 50<br>المدى = 50-10=40, Q1=25, Q3=35, IQR=10. | كلتا المجموعتين لها **أصغر قيمة=10** و **أكبر قيمة=50**، لذا لهما نفس المدى (40). لكن **ترتيب البيانات الداخلية** مختلف، مما يؤدي إلى **اختلاف الربيعين** وبالتالي **اختلاف IQR**. | | **2: (ج) و (د)** | **نفس الوسيط ونفس الربيعات** لكن **مختلف المدى**. | **(ج):** 5, 15, **25**, 35, 45<br>الوسيط=25, Q1=15, Q3=35, IQR=20, المدى=45-5=40.<br>**(د):** 1, 15, **25**, 35, 100<br>الوسيط=25, Q1=15, Q3=35, IQR=20, المدى=100-1=99. | في كلا المجموعتين، **الوسيط والقيم التي تحدد Q1 و Q3 متماثلة**، لذا **الوسيط و IQR متطابقان**. لكن **القيم القصوى (الأولى والأخيرة)** مختلفة، مما يجعل **المدى** مختلفًا تمامًا. | | **3: الاستنتاج** | > **ملاحظة مهمة:** هذه الأمثلة توضح أن **المدى** يتأثر بشدة بالقيم القصوى، بينما **المدى الربيعي (IQR)** أكثر مقاومة للتغيرات في الأطراف، لأنه يعتمد على منتصف البيانات. | | **4: الإجابة النهائية** | ∴ **المجموعتان (أ) و (ب)** لهما نفس المدى (40) لكن IQR مختلف (20 و 10). **المجموعتان (ج) و (د)** لهما نفس الوسيط (25) ونفس الربيعات (Q1=15, Q3=35) لكن مداهما مختلف (40 و 99).

سؤال 20: اكتب فسر عدم تأثر المدى الربيعي بالقيم الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً من البيانات.

الإجابة: س 20: لأن IQR يعتمد على الوسيط ولا يتأثر بالأطراف

خطوات الحل:

1. | الخطوة | الوصف | |--------|-------| | **1: فهم السؤال** | تفسير سبب **عدم تأثر المدى الربيعي (IQR)** بالقيم الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا (المتطرفة) في البيانات. | | **2: تعريف المدى الربيعي** | **المدى الربيعي (IQR)** = $Q3 - Q1$، حيث:<br> - **Q1 (الربيع الأول)** هو **الوسيط** للنصف **الأدنى** من البيانات (أي النسبة 25%).<br> - **Q3 (الربيع الثالث)** هو **الوسيط** للنصف **الأعلى** من البيانات (أي النسبة 75%). | | **3: سبب عدم التأثر بالقيم المتطرفة** | > **السبب الرئيسي:** يعتمد حساب **Q1 و Q3** على **الوسيط**، والوسيط نفسه **لا يتأثر بالقيم المتطرفة**، لأنه يعتمد على **رتبة** البيانات وليس قيمتها.<br><br>1. عند إيجاد **Q1**: نأخذ **النصف الأدنى** من البيانات فقط ونوجد وسيطه. **القيم المتطرفة الكبيرة** لن تكون موجودة في هذا النصف أصلاً لأنها في الأعلى.<br>2. عند إيجاد **Q3**: نأخذ **النصف الأعلى** من البيانات فقط ونوجد وسيطه. **القيم المتطرفة الصغيرة** لن تكون موجودة في هذا النصف لأنها في الأسفل.<br>3. حتى لو كانت القيمة المتطرفة ضمن النصف الذي نحسب رباعيته، فإن **الوسيط** (الذي هو أساس Q1 و Q3) **يقاوم** تأثير القيمة المتطرفة لأنه يعتمد على ترتيب القيم وليس مجموعها. | | **4: مثال توضيحي** | في مجموعة: **10, 20, 30, 40, 1000** (1000 متطرفة).<br> - Q1 = وسيط (10,20,30) = 20.<br> - Q3 = وسيط (30,40,1000) = 40.<br> - IQR = 40 - 20 = 20.<br> لاحظ أن **القيمة 1000 الكبيرة جدًا لم تؤثر على IQR**، بينما **المدى** تأثر بشدة: 1000-10=990. | | **5: الإجابة النهائية** | ∴ **المدى الربيعي (IQR) لا يتأثر بالقيم المتطرفة** لأنه يعتمد على **الوسيط**، وهو مقياس **مقاوم للتطرف**. حيث يتم حسابه من **منتصف البيانات المرتبة**، مما يهمل القيم في الطرفين البعيدين (سواء كانت كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا).

ما مدى بيانات الإنتاج الزراعي في الجدول؟

• أ) 476 ألف طن
• ب) 117 ألف طن
• ج) 359 ألف طن
• د) 228 ألف طن

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 359 ألف طن

الشرح: ١. أكبر قيمة في بيانات الإنتاج الزراعي هي ٤٧٦ ألف طن. ٢. أصغر قيمة هي ١١٧ ألف طن. ٣. المدى = ٤٧٦ - ١١٧ = ٣٥٩ ألف طن.

تلميح: تذكر أن المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد الوسيط والربيعين الأعلى والأدنى والمدى الربيعي لبيانات الإنتاج الزراعي في الجدول.

• أ) الوسيط = 228، Q1 = 177، Q3 = 418، IQR = 241
• ب) الوسيط = 228، Q1 = 147، Q3 = 447، IQR = 300
• ج) الوسيط = 228، Q1 = 117، Q3 = 476، IQR = 359
• د) الوسيط = 228، Q1 = 147، Q3 = 447، IQR = 600

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الوسيط = 228، Q1 = 147، Q3 = 447، IQR = 300

الشرح: ١. البيانات المرتبة: 117, 177, 228, 418, 476. ٢. الوسيط هو القيمة الوسطى: 228. ٣. الربيع الأدنى (Q1) هو وسيط النصف الأدنى (117, 177): (117+177)/2 = 147. ٤. الربيع الأعلى (Q3) هو وسيط النصف الأعلى (418, 476): (418+476)/2 = 447. ٥. المدى الربيعي (IQR) = Q3 - Q1 = 447 - 147 = 300.

تلميح: رتب البيانات تصاعديًا أولاً، ثم أوجد الوسيط، فالربيعين، وأخيرًا المدى الربيعي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بناءً على بيانات أعداد الحيوانات، حدد القيم المتطرفة إن وجدت.

• أ) لا توجد قيم متطرفة
• ب) 5,000
• ج) 1,100,000
• د) 24,500

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1,100,000

الشرح: ١. الربيع الأدنى (Q1) = 8000، الربيع الأعلى (Q3) = 24500، المدى الربيعي (IQR) = 16500. ٢. الحد الأدنى للقيم المتطرفة: $8000 - 1.5 imes 16500 = -16750$. ٣. الحد الأعلى للقيم المتطرفة: $24500 + 1.5 imes 16500 = 49250$. ٤. القيمة 1,100,000 أكبر من 49,250، لذا فهي قيمة متطرفة.

تلميح: احسب الحدين الأدنى والأعلى للقيم المتطرفة باستخدام قاعدة $Q1 - 1.5 imes IQR$ و $Q3 + 1.5 imes IQR$ ثم قارن بهما قيم البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي الأوصاف التالية صحيح لتشتت بيانات أعداد الحيوانات بناءً على مقاييس التشتت؟

• أ) تشتت البيانات منخفض ومتجانس، ولا توجد قيم متطرفة تؤثر عليها.
• ب) تشتت البيانات مرتفع جدًا بشكل عام، لأن معظم القيم متباعدة.
• ج) المدى الربيعي الكبير يدل على تشتت واسع لمعظم البيانات.
• د) تشتت البيانات غير متجانس: 50% من البيانات مركزة في نطاق ضيق نسبيًا (IQR=16,500)، ولكن وجود قيمة متطرفة عالية (1,100,000) أدى إلى مدى كلي كبير جدًا لا يعكس الانتشار الحقيقي لمعظم البيانات.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: تشتت البيانات غير متجانس: 50% من البيانات مركزة في نطاق ضيق نسبيًا (IQR=16,500)، ولكن وجود قيمة متطرفة عالية (1,100,000) أدى إلى مدى كلي كبير جدًا لا يعكس الانتشار الحقيقي لمعظم البيانات.

الشرح: ١. المدى الربيعي (IQR=16,500) صغير نسبيًا، مما يشير إلى تركيز ٥٠% من البيانات الوسطى. ٢. المدى الكلي (١,٠٩٥,٠٠٠) كبير جدًا. ٣. وجود قيمة متطرفة عالية (١,١٠٠,٠٠٠) هو السبب وراء المدى الكبير جدًا، مما يجعل التشتت غير متجانس ولا يعكس الانتشار الحقيقي لمعظم البيانات.

تلميح: قارن المدى الكلي بالمدى الربيعي ووجود القيم المتطرفة لوصف تشتت البيانات بشكل دقيق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

لماذا لا يتأثر المدى الربيعي (IQR) بالقيم المتطرفة الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً في البيانات؟

• أ) لأنه يحسب باستخدام المتوسط الحسابي الذي لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
• ب) لأنه يتطلب إزالة القيم المتطرفة قبل حسابه دائمًا.
• ج) لأن جميع قيم البيانات تقع ضمن نطاقه بشكل طبيعي.
• د) لأنه يعتمد على الوسيط الذي يقاوم تأثير القيم المتطرفة، حيث يُحسب من منتصف البيانات المرتبة متجاهلاً القيم في الأطراف البعيدة.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لأنه يعتمد على الوسيط الذي يقاوم تأثير القيم المتطرفة، حيث يُحسب من منتصف البيانات المرتبة متجاهلاً القيم في الأطراف البعيدة.

الشرح: ١. المدى الربيعي (IQR) هو الفرق بين الربيع الثالث (Q3) والربيع الأول (Q1). ٢. يتم حساب Q1 و Q3 بناءً على وسيطي النصفين الأدنى والأعلى من البيانات المرتبة. ٣. الوسيط بطبيعته يعتمد على ترتيب القيم الوسطى ولا يتأثر بالقيم القصوى أو المتطرفة البعيدة في أطراف البيانات.

تلميح: تذكر تعريف المدى الربيعي وكيفية حساب الربيعين الأول والثالث.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا تم اختيار بيانات افتراضية لأعداد الرحلات الجوية اليومية (بالآلاف) من مطار الملك خالد الدولي خلال 8 أيام كالتالي: 24, 26, 28, 28, 29, 30, 32, 34، فما هو المدى الربيعي (IQR) لهذه البيانات؟

• أ) 6
• ب) 10
• ج) 4
• د) 28.5

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 4

الشرح: 1. رتب البيانات تصاعدياً: 24, 26, 28, 28, 29, 30, 32, 34. 2. أوجد الربيع الأدنى (Q1): وسيط النصف الأدنى (24, 26, 28, 28) = (26+28)/2 = 27. 3. أوجد الربيع الأعلى (Q3): وسيط النصف الأعلى (29, 30, 32, 34) = (30+32)/2 = 31. 4. احسب المدى الربيعي (IQR) = Q3 - Q1 = 31 - 27 = 4.

تلميح: تذكر أن المدى الربيعي (IQR) هو الفرق بين الربيع الأعلى (Q3) والربيع الأدنى (Q1).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من مجموعات البيانات التالية تتألف من ثمانية أعداد على الأقل، ولها مدى ربيعي (IQR) يساوي 20، وقيمة متطرفة واحدة؟

• أ) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80
• ب) 5, 15, 20, 25, 30, 35, 45, 50
• ج) 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 100
• د) 10, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 120

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 100

الشرح: 1. المجموعة 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 100. 2. Q1 = (25+30)/2 = 27.5. 3. Q3 = (45+50)/2 = 47.5. 4. IQR = 47.5 - 27.5 = 20. (تطابق الشرط الأول). 5. حدود القيم المتطرفة: Q1 - 1.5 × IQR = 27.5 - 30 = -2.5. و Q3 + 1.5 × IQR = 47.5 + 30 = 77.5. 6. القيمة 100 أكبر من 77.5، لذا 100 هي قيمة متطرفة واحدة. (تطابق الشرط الثاني).

تلميح: لحساب IQR، أوجد Q1 و Q3 أولاً. لتحديد القيم المتطرفة، استخدم الصيغة Q1 - 1.5 × IQR و Q3 + 1.5 × IQR.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي من أزواج مجموعات البيانات التالية لها نفس الوسيط والربيعين (Q1 و Q3)، ولكن مداها مختلف بشكل كبير؟

• أ) المجموعة (أ): 10, 20, 30, 40, 50 والمجموعة (ب): 10, 25, 30, 35, 50
• ب) المجموعة (س): 2, 8, 10, 12, 18 والمجموعة (ص): 4, 8, 10, 12, 16
• ج) المجموعة (ج): 5, 15, 25, 35, 45 والمجموعة (د): 1, 15, 25, 35, 100
• د) المجموعة (ل): 10, 10, 10, 20, 30 والمجموعة (م): 10, 15, 20, 25, 30

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المجموعة (ج): 5, 15, 25, 35, 45 والمجموعة (د): 1, 15, 25, 35, 100

الشرح: 1. المجموعة (ج): الوسيط=25، Q1=15، Q3=35، المدى=45-5=40. 2. المجموعة (د): الوسيط=25، Q1=15، Q3=35، المدى=100-1=99. 3. كلا المجموعتين لهما نفس الوسيط والربيعين، مما يعني أن المدى الربيعي متساوٍ (IQR=20). ولكن القيم القصوى والدنيا في المجموعة (د) أبعد، مما يؤدي إلى مدى مختلف بشكل كبير (99 مقابل 40).

تلميح: قارن الوسيط والربيعين لكل مجموعة على حدة، ثم قارن مداها. الوسيط والربيعان لا يتأثران بالقيم المتطرفة بنفس درجة المدى.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

أي من الخيارات التالية يمثل: أولاً، مجموعتين من البيانات (أ) و (ب) لهما المدى نفسه لكن المدى الربيعي مختلف؛ وثانياً، مجموعتين أخريين (ج) و (د) لهما نفس الوسيط والربيعات (Q1, Q3) لكن مداهما مختلف؟

• أ) مجموعتان لهما نفس المدى (40) لكن IQR مختلف (20 و 10) هما: (أ) 10, 20, 30, 40, 50 و (ب) 10, 25, 30, 35, 50. ومجموعتان لهما نفس الوسيط والربيعات (Q1=15, Q3=35) لكن مداهما مختلف (40 و 99) هما: (ج) 5, 15, 25, 35, 45 و (د) 1, 15, 25, 35, 100.
• ب) مجموعتان لهما نفس المدى (50) لكن IQR مختلف (15 و 25) هما: (أ) 5, 10, 20, 30, 55 و (ب) 5, 15, 25, 35, 55. ومجموعتان لهما نفس الوسيط والربيعات (Q1=20, Q3=40) لكن مداهما مختلف (30 و 70) هما: (ج) 10, 20, 30, 40, 50 و (د) 1, 20, 30, 40, 71.
• ج) مجموعتان لهما نفس المدى (30) و IQR نفسه (10) هما: (أ) 10, 15, 20, 25, 40 و (ب) 10, 18, 20, 22, 40. ومجموعتان لهما نفس الوسيط (20) وربيعات مختلفة مداهما مختلف (20 و 50) هما: (ج) 10, 15, 20, 25, 30 و (د) 5, 15, 20, 25, 55.
• د) مجموعتان لهما مدى مختلف (30 و 40) و IQR مختلف (10 و 15) هما: (أ) 5, 10, 15, 20, 35 و (ب) 1, 10, 20, 30, 41. ومجموعتان لهما وسيط مختلف وربيعات مختلفة مداهما مختلف هما: (ج) 10, 15, 20, 25, 30 و (د) 5, 12, 18, 22, 45.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مجموعتان لهما نفس المدى (40) لكن IQR مختلف (20 و 10) هما: (أ) 10, 20, 30, 40, 50 و (ب) 10, 25, 30, 35, 50. ومجموعتان لهما نفس الوسيط والربيعات (Q1=15, Q3=35) لكن مداهما مختلف (40 و 99) هما: (ج) 5, 15, 25, 35, 45 و (د) 1, 15, 25, 35, 100.

الشرح: 1. للشرط الأول (نفس المدى وباختلاف IQR): - المجموعة (أ): المدى = 50 - 10 = 40. Q1=20, Q3=40, IQR=20. - المجموعة (ب): المدى = 50 - 10 = 40. Q1=25, Q3=35, IQR=10. - تحقق الشرط: المدى متماثل (40) والمدى الربيعي مختلف (20 و 10). 2. للشرط الثاني (نفس الوسيط والربيعات وباختلاف المدى): - المجموعة (ج): الوسيط=25. Q1=15, Q3=35. المدى=45-5=40. - المجموعة (د): الوسيط=25. Q1=15, Q3=35. المدى=100-1=99. - تحقق الشرط: الوسيط والربيعات متماثلة (25، 15، 35) والمدى مختلف (40 و 99). 3. الخيار الذي يستوفي جميع الشروط هو الإجابة الصحيحة.

تلميح: احسب المدى، الوسيط، الربيعين (Q1, Q3)، والمدى الربيعي (IQR) لكل مجموعة بيانات في الخيارات، ثم قارنها بالشروط المطلوبة: نفس المدى باختلاف IQR، ونفس الوسيط والربيعات باختلاف المدى.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

بناءً على بيانات الإنتاج الزراعي في الجدول (الجوف ٤٧٦، القصيم ٤١٨، جازان ٢٢٨، الرياض ١٧٧، تبوك ١١٧)، حدد القيم المتطرفة إن وجدت، علماً بأن الوسيط 228، الربيع الأدنى (Q1) 147، الربيع الأعلى (Q3) 447، والمدى الربيعي (IQR) 300.

• أ) 476
• ب) 117
• ج) لا توجد قيم متطرفة
• د) 897

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا توجد قيم متطرفة

الشرح: ١. حساب الحد الأدنى للقيم المتطرفة: Q1 - 1.5 × IQR = 147 - (1.5 × 300) = 147 - 450 = -303. ٢. حساب الحد الأعلى للقيم المتطرفة: Q3 + 1.5 × IQR = 447 + (1.5 × 300) = 447 + 450 = 897. ٣. البيانات هي: 117, 177, 228, 418, 476. لا توجد قيمة أقل من -303 أو أكبر من 897. ٤. الاستنتاج: لا توجد قيم متطرفة.

تلميح: لحساب القيم المتطرفة، احسب الحدود الدنيا والعليا: Q1 - 1.5 × IQR و Q3 + 1.5 × IQR. ثم قارنها ببيانات المجموعة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

لبيانات الإنتاج الزراعي في الجدول التي مداها 359 والمدى الربيعي (IQR) لها 300، أي من الأوصاف التالية يمثل بشكل أفضل تشتت البيانات؟

• أ) تشتت البيانات منخفض، لأن المدى الربيعي أصغر من المدى الكلي.
• ب) البيانات متقاربة جدًا ولا يوجد بها أي تشتت ملحوظ.
• ج) التشتت ناتج بشكل أساسي عن وجود قيم متطرفة بعيدة.
• د) تشتت البيانات مرتفع نسبيًا؛ نصف البيانات الوسطى منتشرة على مدى 300 ألف طن، وهو يشكل معظم المدى الكلي للبيانات.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: تشتت البيانات مرتفع نسبيًا؛ نصف البيانات الوسطى منتشرة على مدى 300 ألف طن، وهو يشكل معظم المدى الكلي للبيانات.

الشرح: ١. المدى الكلي للبيانات هو 359 ألف طن. ٢. المدى الربيعي (IQR) هو 300 ألف طن، وهو قريب جدًا من المدى الكلي. ٣. هذا يعني أن نصف البيانات الوسطى (50%) يغطي معظم نطاق البيانات الكلي. ٤. بما أن المدى والمدى الربيعي قيم مرتفعة، والتشتت لا يعود لقيم متطرفة (من السؤال السابق)، فإن التشتت الكلي مرتفع نسبيًا وينبع من انتشار البيانات الوسطى.

تلميح: قارن بين المدى والمدى الربيعي، وتذكر أن المدى الربيعي يصف انتشار 50% من البيانات الوسطى.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

لبيانات أعداد الحيوانات: 5000، 8000، 9000، 9000، 24500، 1100000، ما مدى هذه البيانات؟

• أ) 16500
• ب) 1095000
• ج) 1100000
• د) 245000

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1095000

الشرح: ١. أكبر قيمة في البيانات هي 1100000. ٢. أصغر قيمة في البيانات هي 5000. ٣. المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة = 1100000 - 5000 = 1095000.

تلميح: المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

لبيانات أعداد الحيوانات: 5000، 8000، 9000، 9000، 24500، 1100000، ما هو الوسيط والربيعين الأعلى والأدنى والمدى الربيعي لهذه البيانات؟

• أ) الوسيط: 9000، الربيع الأدنى (Q1): 8000، الربيع الأعلى (Q3): 24500، المدى الربيعي (IQR): 16500
• ب) الوسيط: 9000، الربيع الأدنى (Q1): 5000، الربيع الأعلى (Q3): 1100000، المدى الربيعي (IQR): 1095000
• ج) الوسيط: 8500، الربيع الأدنى (Q1): 8000، الربيع الأعلى (Q3): 1100000، المدى الربيعي (IQR): 1092000
• د) الوسيط: 9000، الربيع الأدنى (Q1): 8000، الربيع الأعلى (Q3): 110000، المدى الربيعي (IQR): 102000

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الوسيط: 9000، الربيع الأدنى (Q1): 8000، الربيع الأعلى (Q3): 24500، المدى الربيعي (IQR): 16500

الشرح: ١. البيانات المرتبة تصاعديًا: [5000, 8000, 9000, 9000, 24500, 1100000]. ٢. الوسيط: (9000 + 9000) / 2 = 9000. ٣. النصف الأدنى: [5000, 8000, 9000]. الربيع الأدنى (Q1): 8000. ٤. النصف الأعلى: [9000, 24500, 1100000]. الربيع الأعلى (Q3): 24500. ٥. المدى الربيعي (IQR): Q3 - Q1 = 24500 - 8000 = 16500.

تلميح: رتب البيانات أولاً تصاعديًا. الوسيط هو القيمة الوسطى، Q1 هو وسيط النصف الأدنى، Q3 هو وسيط النصف الأعلى، والمدى الربيعي هو Q3 - Q1.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط