طعام - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 11: سيارات: باعت وكالة سيارات ٨٠ سيارة، منها ٣٥ سيارة صغيرة. فما الاحتمال التجريبي لأن تكون السيارات المبيعة صغيرة؟

الإجابة: 35/80 = 7/16 = 0.4375

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | الرمز/الوصف | القيمة | |----------|-------------|--------| | إجمالي عدد السيارات المبيعة | N | 80 سيارة | | عدد السيارات الصغيرة المبيعة | E | 35 سيارة | | **المطلوب** | **الاحتمال التجريبي** لأن تكون السيارة المبيعة صغيرة | P(E) |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد مرات حدوث الحادثة في التجربة) / (عدد مرات إجراء التجربة). $$ P(E) = \frac{\text{عدد النتائج الملاحظة للحادثة}}{\text{إجمالي عدد المحاولات}} $$
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون على المعطيات** $$ P(\text{سيارة صغيرة}) = \frac{35}{80} $$
4. **الخطوة 4: تبسيط الناتج (إن أمكن)** يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر وهو 5: $$ \frac{35 \div 5}{80 \div 5} = \frac{7}{16} $$
5. **الخطوة 5: التعبير عن الناتج في صورة كسر عشري أو نسبة مئوية (إن لزم)** $$ \frac{7}{16} = 0.4375 $$ أي ما يعادل **43.75٪**. > ملاحظة: الاحتمال التجريبي يعتمد على البيانات الملاحظة الفعلية.
6. **الإجابة النهائية:** بناءً على البيانات السابقة، فإن احتمال أن تكون السيارة المبيعة من الوكالة صغيرة هو **سبعة على ستة عشر (أو 0.4375)**.

سؤال 12: رياضة: أجريت دراسة إحصائية على ٩٠ طالبًا، ففضّل ٤٢ طالبًا منهم كرة القدم، في حين فضّل ٢٤ منهم السباحة، فإذا كان عدد طلاب المدرسة ٣٠٠ طالب، فكم تتوقع عدد الطلاب الذين يفضلون السباحة؟

الإجابة: 24/90 * 300 = 80 طالباً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | حجم العينة (عدد الطلاب الذين أجريت عليهم الدراسة) | 90 طالبًا | | عدد الطلاب الذين فضلوا السباحة في العينة | 24 طالبًا | | إجمالي عدد طلاب المدرسة | 300 طالب | | **المطلوب** | **العدد المتوقع** للطلاب الذين يفضلون السباحة في المدرسة كلها |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** يمكن استخدام **النسبة أو الاحتمال التجريبي** من العينة لتقدير أو توقع العدد في المجتمع الأكبر (جميع طلاب المدرسة).
3. **الخطوة 3: حساب النسبة (الاحتمال التجريبي) للطلاب الذين يفضلون السباحة في العينة** $$ P(\text{يفضل السباحة}) = \frac{24}{90} $$
4. **الخطوة 4: استخدام هذه النسبة لتوقع العدد في المجتمع الكلي** العدد المتوقع = (النسبة من العينة) × (حجم المجتمع الكلي). $$ \text{العدد المتوقع} = \frac{24}{90} \times 300 $$
5. **الخطوة 5: إجراء عملية الضرب** $$ \frac{24}{90} \times 300 = 24 \times \frac{300}{90} = 24 \times \frac{10}{3} = \frac{240}{3} = 80 $$
6. > ملاحظة: هذا تقدير أو توقع يعتمد على أن العينة ممثلة للمجتمع.
7. **الإجابة النهائية:** من المتوقع أن **80 طالبًا** من أصل 300 طالب في المدرسة يفضلون رياضة السباحة.

سؤال 13: لحل الأسئلة ١٣ - ١٥، استعمل الجدول المجاور الذي يظهر نتائج دوران مؤشر قرص مقسم إلى ٨ أقسام متساوية مرقمة من ١ - ٨. قارن بين الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي لوقوف المؤشر على الرقم ٥.

الإجابة: س 13: النظري 1/8 ، التجريبي 1/5 ، التجريبي أكبر.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات من نص السؤال والجدول (المفترض)** | الوصف | القيمة/المعلومة | |--------|-----------------| | القرص مقسم إلى أقسام متساوية | 8 أقسام (مرقمة 1-8) | | **الاحتمال النظري** لوقوف المؤشر على أي رقم | متساوي لجميع الأرقام | | **الاحتمال التجريبي** لوقوف المؤشر على الرقم 5 | مُستنتج من نتائج التجربة في الجدول (غير موضح هنا) | | **المطلوب** | مقارنة بين الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي للرقم 5 |
2. **الخطوة 2: حساب الاحتمال النظري لوقوف المؤشر على الرقم 5** نظرًا لأن الأقسام متساوية والنتائج الممكنة 8، فإن: $$ P_{\text{نظري}}(5) = \frac{\text{عدد الأقسام ذات الرقم 5}}{\text{إجمالي عدد الأقسام}} = \frac{1}{8} $$
3. **الخطوة 3: استخلاص الاحتمال التجريبي للرقم 5 من الجدول (بناءً على الإجابة)** من الإجابة المُقدمة: **الاحتمال التجريبي = 1/5**. > يُستنتج من الجدول أن التكرار النسبي لظهور الرقم 5 في التجربة كان 1/5.
4. **الخطوة 4: المقارنة بين القيمتين** $$ P_{\text{نظري}} = \frac{1}{8} = 0.125 $$ $$ P_{\text{تجريبي}} = \frac{1}{5} = 0.2 $$ نلاحظ أن **0.2 > 0.125**.
5. **الخطوة 5: تفسير النتيجة** في هذه التجربة المحددة، كان **الاحتمال التجريبي** لوقوف المؤشر على الرقم 5 **أكبر من** الاحتمال النظري. > وهذا يوضح أن النتائج الفعلية للتجربة (التجريبية) قد لا تتطابق دائمًا مع النتائج المثالية النظرية بسبب العشوائية والصدفة في عدد محاولات محدودة.
6. **الإجابة النهائية:** الاحتمال النظري لوقوف المؤشر على الرقم 5 هو **ثُمن (1/8)**، بينما الاحتمال التجريبي المستنتج من التجربة هو **خُمس (1/5)**، وبالتالي فإن **الاحتمال التجريبي أكبر من النظري** في هذه الحالة.

سؤال 14: لحل الأسئلة ١٣ - ١٥، استعمل الجدول المجاور الذي يظهر نتائج دوران مؤشر قرص مقسم إلى ٨ أقسام متساوية مرقمة من ١ - ٨. اعتمادًا على الاحتمال التجريبي، كم تتوقع عدد مرات وقوف المؤشر على الرقم ٣ إذا دار القرص ٢٠٠ مرة؟

الإجابة: س 14: 200 * 9/50 = 36 مرة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات من السؤال والجدول (المفترض)** | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | القرص مقسم إلى 8 أقسام متساوية | (خلفية) | | **الاحتمال التجريبي** لوقوف المؤشر على الرقم 3 | مُستنتج من الجدول (بناءً على الإجابة: 9/50) | | عدد مرات دوران القرص في المستقبل | 200 مرة | | **المطلوب** | **العدد المتوقع** لمرات وقوف المؤشر على الرقم 3 خلال 200 دورة |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** العدد المتوقع لحدوث حادثة = (الاحتمال التجريبي لتلك الحادثة) × (عدد المحاولات الجديدة). $$ \text{العدد المتوقع} = P_{\text{تجريبي}}(\text{الحادثة}) \times \text{عدد المحاولات} $$
3. **الخطوة 3: تحديد الاحتمال التجريبي للرقم 3** من الإجابة المُقدمة ومن السياق، نجد أن **الاحتمال التجريبي للرقم 3 هو 9/50**. > يُستنتج هذا من قسمة تكرار ظهور الرقم 3 (في الجدول) على إجمالي عدد مرات الدوران في التجربة السابقة.
4. **الخطوة 4: تطبيق القانون للحصول على العدد المتوقع** $$ \text{العدد المتوقع لظهور الرقم 3} = \frac{9}{50} \times 200 $$
5. **الخطوة 5: إجراء عملية الضرب والحساب** $$ \frac{9}{50} \times 200 = 9 \times \frac{200}{50} = 9 \times 4 = 36 $$
6. > ملاحظة: هذا مجرد توقع إحصائي. النتائج الفعلية لـ 200 دورة قد تكون قريبة من 36 أو تختلف عنها.
7. **الإجابة النهائية:** إذا دار القرص 200 مرة، فمن **المتوقع** أن يقف المؤشر على الرقم 3 حوالي **36 مرة**.

سؤال 15: لحل الأسئلة ١٣ - ١٥، استعمل الجدول المجاور الذي يظهر نتائج دوران مؤشر قرص مقسم إلى ٨ أقسام متساوية مرقمة من ١ - ٨. توقع وليد أن يقف المؤشر على الرقم ٤ أو ٨ في المرة القادمة. فهل هذا التنبؤ منطقي؟ وضح ذلك.

الإجابة: س 15: لا، لأن النتائج السابقة لا تضمن اللاحقة، والاحتمال ليس مؤكدًا.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات والتنبؤ** | العنصر | الوصف | |--------|--------| | الحدث المتنبأ به | وقوف المؤشر على **الرقم 4 أو الرقم 8** في الدورة القادمة. | | أساس التنبؤ | النتائج السابقة المسجلة في الجدول (غير مُفصّلة هنا). | | **المطلوب** | تقييم ما إذا كان تنبؤ وليد **منطقيًا** وتوضيح السبب. |
2. **الخطوة 2: استدعاء المبدأ الأساسي في الاحتمالات** **مبدأ استقلالية التجارب:** كل دورة للقرص (أو تجربة عشوائية) هي حدث **مستقل** عن الأحداث السابقة. النتائج الماضية **لا تؤثر** على نتيجة المحاولة المستقبلية في التجارب العشوائية الحقيقية مثل دوران القرص.
3. **الخطوة 3: تحليل منطقية التنبؤ** - إذا اعتقد وليد أن المؤشر **سوف** يقف حتمًا على 4 أو 8 في المرة القادمة لأن ذلك حدث كثيرًا في السابق، فهذا **غير صحيح**. - السبب: حتى لو كان تكرار الرقمين 4 و8 في السابق مرتفعًا، فهذا لا **يضمن** أي نتيجة في المحاولة الواحدة القادمة. كل رقم من 1 إلى 8 لديه فرصة (احتمال نظري) للإحداث في كل دورة.
4. **الخطوة 4: الفرق بين التوقع الاحتمالي واليقين** يمكننا **توقع** أو **حساب احتمال** وقوف المؤشر على 4 أو 8، ولكن لا يمكننا **الجزم** بحدوثه. التنبؤ المنطقي يجب أن يُعبّر عنه بصيغة احتمالية (مثل: "من المرجح أن..." أو "احتماله كذا") وليس كحقيقة مؤكدة.
5. > تحذير: هذا الموقف يوضح **مغالطة المقامر**، حيث يعتقد البعض أن الأحداث السابقة تؤثر على المستقبل في العمليات العشوائية.
6. **الإجابة النهائية:** **لا**، تنبؤ وليد بأن المؤشر سيقف على 4 أو 8 في المرة القادمة **ليس تنبؤًا منطقيًا بصفته حتميًا**. السبب أن كل دورة **مستقلة**، والنتائج السابقة لا تضمن النتائج المستقبلية. يمكن فقط حساب **احتمال** حدوث ذلك، وليس التأكيد عليه.

سؤال 16: طعام: قام مسؤول المقصف المدرسي بسؤال بعض الطلاب عن فطائرهم المفضلة؛ فكانت النتائج كما في الجدول المجاور، إذا قدّم المقصف ٣٥٠ فطيرة، واختار كل طالب فطيرة واحدة منها، فكم تتوقع أن يكون عدد فطائر اللحم؟

الإجابة: س 16: المجموع=100 احتمال اللحم=19% المتوقع=67 فطيرة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من نص السؤال والجدول المجاور (المفترض)** بناءً على الإجابة، نستنتج من الجدول: | نوع الفطيرة | النسبة أو التكرار النسبي | |-------------|--------------------------| | اللحم | 19% | | (أنواع أخرى) | (مجمعة ليكون المجموع 100%) | | **المعطيات الإضافية** | **القيمة** | | إجمالي الفطائر التي سيتم تقديمها | 350 فطيرة | | **المطلوب** | **العدد المتوقع** لفطائر اللحم المختارة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** للتوقع بناءً على نسبة (احتمال تجريبي): $$ \text{العدد المتوقع} = (\text{النسبة المئوية أو الاحتمال}) \times \text{الإجمالي} $$
3. **الخطوة 3: تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري** $$ 19\% = \frac{19}{100} = 0.19 $$
4. **الخطوة 4: تطبيق القانون للحساب** $$ \text{عدد فطائر اللحم المتوقع} = 0.19 \times 350 $$
5. **الخطوة 5: إجراء عملية الضرب** $$ 0.19 \times 350 = 66.5 $$
6. **الخطوة 6: تقريب الناتج (لأن عدد الفطائر يجب أن يكون صحيحًا)** بما أننا نتحدث عن عدد أشخاص/فطائر، نقرب **66.5** إلى أقرب عدد صحيح. > عادةً، في مثل هذه التوقعات، إذا كان الكسر 0.5 أو أكثر نُقرّب للأعلى، وإلا نُقرّب للأدنى. $$ 66.5 \approx 67 $$
7. **الإجابة النهائية:** من المتوقع أن يختار الطلاب حوالي **67 فطيرة لحم** من أصل 350 فطيرة معروضة.

سؤال 17: مسألة مفتوحة: أجريت دراسة إحصائية على ٢٥٠ شخصًا عن لونهم المفضل من الألوان (الأزرق، والأحمر، والأخضر، والأبيض). اعمل جدولاً لكل النتائج الممكنة إذا كان الاحتمال التجريبي لأن يكون اللون المفضل هو اللون الأزرق هو ٤٠٪.

الإجابة: س 17: الأزرق: 100 الأحمر: 50 الأخضر: 50 الأبيض: 50

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | حجم المجتمع المدروس | 250 شخصًا | | الألوان المفضلة المحتملة | الأزرق، الأحمر، الأخضر، الأبيض | | الاحتمال التجريبي للون الأزرق | 40% | | **المطلوب** | عمل **جدول** يوضح توزيع العدد المتوقع للأشخاص الذين يفضلون كل لون، مع افتراض أن الاحتمالات متساوية للألوان الثلاثة الأخرى (حسب الإجابة). |
2. **الخطوة 2: احتساب عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأزرق** $$ \text{عدد المفضلين للأزرق} = 40\% \times 250 = 0.4 \times 250 = 100 \text{ شخص} $$
3. **الخطوة 3: احتساب العدد المتبقي للألوان الأخرى** الأشخاص المتبقون بعد استبعاد من فضلوا الأزرق: $$ 250 - 100 = 150 \text{ شخصًا} $$
4. **الخطوة 4: توزيع العدد المتبقي على الألوان الثلاثة الأخرى (الأحمر، الأخضر، الأبيض)** حسب الإجابة المُقدمة، يتم توزيع الـ 150 شخصًا **بالتساوي** على الألوان الثلاثة. $$ \text{عدد المفضلين لكل لون من الثلاثة} = \frac{150}{3} = 50 \text{ شخصًا لكل لون} $$
5. **الخطوة 5: إنشاء الجدول المطلوب** | اللون المفضل | العدد (الأشخاص) | |---------------|------------------| | الأزرق | 100 | | الأحمر | 50 | | الأخضر | 50 | | الأبيض | 50 | | **المجموع** | **250** |
6. > ملاحظة: هذا توزيع **مفترض** بناءً على شرط أن الأزرق 40% والباقي متساوٍ. في دراسة حقيقية، قد تكون التوزيعات مختلفة.
7. **الإجابة النهائية:** الجدول الذي يمثل النتائج الممكنة هو كما هو موضح أعلاه، حيث يُفضل **100 شخص اللون الأزرق**، ويُفضل **50 شخصًا كلًا من الألوان: الأحمر، والأخضر، والأبيض**.

سؤال 18: تحدّ: وجدت دراسة إحصائية أن ٧٥ طالبًا من أصل ٢٠٠ لديهم حذاء تزلج، وأن ٢٨٠ طالبًا من أصل ٤٠٠ لديهم دراجة هوائية. فما احتمال أن يكون لدى الطالب حذاء تزلج ودراجة هوائية معًا؟

الإجابة: س 18: P(معاً) = 3/8 * 7/10 = 21/80

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من نص السؤال** | المجموعة | عدد الطلاب الذين يملكون | إجمالي عدد الطلاب | الاحتمال التجريبي | |-----------|--------------------------|-------------------|---------------------| | حذاء تزلج | 75 طالبًا | 200 طالب | $P(T) = 75/200 = 3/8$ | | دراجة هوائية | 280 طالبًا | 400 طالب | $P(D) = 280/400 = 7/10$ | | **المطلوب** | **احتمال** أن يكون لدى طالب معين **حذاء تزلج ودراجة هوائية معًا** $P(T \cap D)$ |
2. **الخطوة 2: تحليل طبيعة الأحداث والافتراض الضمني** لم يذكر السؤال أي علاقة بين امتلاك حذاء التزلج وامتلاك الدراجة. في غياب معلومات إضافية، من المنطقي في سياق الاحتمالات **افتراض استقلال الحدثين**. > إذا كانا مستقلين، فإن احتمال وقوعهما معًا = حاصل ضرب احتمالهما المنفردين.
3. **الخطوة 3: تطبيق قانون احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا** $$ P(T \text{ و } D) = P(T) \times P(D) $$
4. **الخطوة 4: تعويض الاحتمالات بعد تبسيطها** $$ P(T) = \frac{75}{200} = \frac{3}{8} $$ $$ P(D) = \frac{280}{400} = \frac{7}{10} $$ $$ P(T \text{ و } D) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{10} $$
5. **الخطوة 5: إجراء عملية الضرب** $$ \frac{3}{8} \times \frac{7}{10} = \frac{3 \times 7}{8 \times 10} = \frac{21}{80} $$
6. **الخطوة 6: تفسير الناتج (إن أمكن)** $$ \frac{21}{80} = 0.2625 \text{ أو } 26.25\% $$ > هذا يعني أننا نتوقع، بناءً على هذه البيانات وافتراض الاستقلال، أن حوالي **26.25٪** من الطلاب لديهم كلا السلعتين.
7. **الإجابة النهائية:** بافتراض أن امتلاك حذاء تزلج وامتلاك دراجة هوائية حدثان مستقلان، فإن **احتمال أن يكون لدى الطالب كليهما معًا هو واحد وعشرون على ثمانين (21/80)**.

سؤال 19: اكتب وضح لماذا لا تستطيع أن تتوقع أن يكون الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي لحادثة ما متساويين.

الإجابة: س 19: التجريبي يعتمد على الواقع وقد يتفاوت، النظري نموذج مثالي ثابت

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تعريف المفهومين الرئيسيين** | المفهوم | التعريف | |---------|----------| | **الاحتمال النظري** | احتمالية حدوث حادثة في ظروف **مثالية**، محسوبة بناءً على جميع النتائج الممكنة إذا كانت **متساوية الفرص**. يعتمد على المنطق والتحليل الرياضي المجرد. | | **الاحتمال التجريبي** | احتمالية حدوث حادثة محسوبة بناءً على **البيانات الفعلية والملاحظات** من تجارب أو دراسات سابقة. يحسب بقسمة عدد مرات حدوث الحادثة على إجمالي عدد المحاولات التجريبية. |
2. **الخطوة 2: توضيح سبب الاختلاف الأساسي بينهما** السبب الرئيسي لعدم التساوي هو: - **الاحتمال النظري** هو قيمة **ثابتة ومثالية** تعتمد على نموذج رياضي. - **الاحتمال التجريبي** هو قيمة **متغيرة وتقريبية** تعتمد على الواقع، وقد تتأثر بعوامل مثل: 1. **الصدفة والعشوائية** في عدد محدود من المحاولات. 2. **أخطاء في القياس أو التسجيل** أثناء التجربة. 3. **تحيز في العينة** أو ظروف غير متساوية تمامًا في التجربة العملية.
3. **الخطوة 3: تقديم مثال توضيحي (رمي قطعة نقدية)** | المحاولات | الاحتمال النظري لظهور الصورة | الاحتمال التجريبي المحسوب | |-----------|-----------------------------|---------------------------| | 10 مرات | $P = 1/2 = 0.5$ | قد يكون $7/10 = 0.7$ أو $3/10 = 0.3$ | | 1000 مرة | $P = 0.5$ | سيقترب جدًا من $0.5$ (مثلاً $0.502$) | > يوضح المثال أنه كلما زاد عدد المحاولات التجريبية، يقترب **الاحتمال التجريبي** أكثر من **الاحتمال النظري** (قانون الأعداد الكبيرة). ولكن مع عدد محدود من المحاولات، غالبًا ما يكون هناك اختلاف.
4. **الخطوة 4: الخلاصة التعليمية** لا يمكننا توقع التساوي الدائم لأن: - **الواقع (التجريبي) ≠ النموذج المثالي (النظري)**. - **الاحتمال التجريبي هو تقدير** للاحتمال النظري، وهذا التقدير يصبح أدق مع زيادة عدد التجارب.
5. **الإجابة النهائية:** **لا يمكن توقع تساوي الاحتمالين دائمًا** لأن الاحتمال التجريبي يعتمد على نتائج عملية واقعية قابلة للتباين بسبب الصدفة والعوامل المؤثرة، بينما الاحتمال النظري هو قيمة رياضية مثالية وثابتة تُحسب في ظل فرضيات مثالية. ومع ذلك، بزيادة التجارب، يقترب الاحتمال التجريبي من النظري.

سيارات: باعت وكالة سيارات ٨٠ سيارة، منها ٣٥ سيارة صغيرة. فما الاحتمال التجريبي لأن تكون السيارات المبيعة صغيرة؟

• أ) 35/80
• ب) 7/16
• ج) 16/7
• د) 0.35

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 7/16

الشرح: 1. عدد السيارات الصغيرة (النتائج الملاحظة) = 35. 2. إجمالي عدد السيارات المبيعة (إجمالي المحاولات) = 80. 3. الاحتمال التجريبي = عدد السيارات الصغيرة / إجمالي السيارات = 35/80. 4. تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 5: 35 ÷ 5 = 7، و 80 ÷ 5 = 16. 5. الناتج: 7/16.

تلميح: الاحتمال التجريبي هو نسبة عدد مرات حدوث الحادثة إلى إجمالي عدد المحاولات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

رياضة: أجريت دراسة إحصائية على ٩٠ طالباً، فضل ٢٤ طالباً منهم السباحة. فإذا كان عدد طلاب المدرسة ٣٠٠ طالب، فكم تتوقع عدد الطلاب الذين يفضلون السباحة؟

• أ) 24 طالباً
• ب) 72 طالباً
• ج) 80 طالباً
• د) 100 طالباً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 80 طالباً

الشرح: 1. الاحتمال التجريبي لتفضيل السباحة في العينة = 24/90. 2. لتوقع العدد في المدرسة كلها، نضرب هذا الاحتمال في إجمالي عدد طلاب المدرسة. 3. العدد المتوقع = (24/90) × 300. 4. التبسيط: (24 × 300) / 90 = 7200 / 90 = 80. 5. الناتج: 80 طالباً.

تلميح: استخدم النسبة من العينة لتقدير العدد في المجتمع الأكبر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية على ٢٥٠ شخصاً عن لونهم المفضل، إذا كان الاحتمال التجريبي لأن يكون اللون الأزرق المفضل هو ٤٠٪، فكم عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأزرق؟

• أ) 40 شخصاً
• ب) 50 شخصاً
• ج) 100 شخص
• د) 150 شخصاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 100 شخص

الشرح: 1. إجمالي عدد الأشخاص = 250. 2. الاحتمال التجريبي لتفضيل اللون الأزرق = 40%. 3. لتحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري: 40% = 0.40. 4. عدد الأشخاص المفضلين للأزرق = 0.40 × 250. 5. الناتج: 100 شخص.

تلميح: لإيجاد النسبة المئوية من عدد، حول النسبة إلى كسر عشري ثم اضربها في العدد الكلي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

تحدّ: وجدت دراسة إحصائية أن ٧٥ طالباً من أصل ٢٠٠ لديهم حذاء تزلج، وأن ٢٨٠ طالباً من أصل ٤٠٠ لديهم دراجة هوائية. فما احتمال أن يكون لدى الطالب حذاء تزلج ودراجة هوائية معاً (بافتراض استقلال الحدثين)؟

• أ) 43/40
• ب) 21/80
• ج) 105/100
• د) 3/8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 21/80

الشرح: 1. احتمال امتلاك حذاء تزلج: P(تزلج) = 75/200 = 3/8. 2. احتمال امتلاك دراجة هوائية: P(دراجة) = 280/400 = 7/10. 3. احتمال امتلاك الاثنين معاً (لأنهما مستقلان) = P(تزلج) × P(دراجة). 4. P(معاً) = (3/8) × (7/10) = (3 × 7) / (8 × 10) = 21/80. 5. الناتج: 21/80.

تلميح: إذا كان الحدثان مستقلين، فإن احتمال وقوعهما معًا هو حاصل ضرب احتماليهما المنفردين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

وضح لماذا لا يمكن توقع أن يكون الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري لحادثة ما متساويين دائمًا.

• أ) لأن الاحتمال التجريبي يكون دائماً أكبر من النظري.
• ب) لأن الاحتمال النظري هو تقدير للواقع، والتجريبي هو القيمة المثالية.
• ج) لأن الاحتمال التجريبي يعتمد على نتائج عملية قابلة للتباين بسبب الصدفة، بينما الاحتمال النظري قيمة رياضية مثالية وثابتة تُحسب في ظل فرضيات مثالية.
• د) لأن الاحتمالين يتساويان دائمًا في عدد محدود من المحاولات.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الاحتمال التجريبي يعتمد على نتائج عملية قابلة للتباين بسبب الصدفة، بينما الاحتمال النظري قيمة رياضية مثالية وثابتة تُحسب في ظل فرضيات مثالية.

الشرح: 1. الاحتمال النظري قيمة مثالية وثابتة تعتمد على جميع النتائج الممكنة المتساوية الفرص. 2. الاحتمال التجريبي قيمة متغيرة وتقريبية تعتمد على البيانات الفعلية من التجارب. 3. يختلفان بسبب الصدفة والعشوائية في عدد محدود من المحاولات في التجربة الواقعية. 4. يتقاربان مع زيادة عدد التجارب (قانون الأعداد الكبيرة)، لكن نادراً ما يتساويان تماماً في عدد محدود.

تلميح: فكر في الفرق بين النموذج المثالي والنتائج الواقعية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

اعتماداً على الاحتمال التجريبي، كم تتوقع عدد مرات وقوف المؤشر على الرقم ٣ إذا دار القرص ٢٠٠ مرة، وكانت نتائج دوران سابق أظهرت ٤ مرات للرقم ٣ من إجمالي ٤٥ دورة؟

• أ) حوالي 25 مرة
• ب) حوالي 18 مرة
• ج) حوالي 12 مرة
• د) حوالي 9 مرات

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حوالي 18 مرة

الشرح: 1. الاحتمال التجريبي للرقم 3 هو 4 (عدد مرات ظهور الرقم 3) / 45 (إجمالي الدورات) = 4/45. 2. العدد المتوقع = الاحتمال التجريبي × إجمالي الدورات الجديدة = (4/45) × 200 = 800/45 = 160/9 ≈ 17.78. 3. بالتقريب لأقرب عدد صحيح، العدد المتوقع هو 18 مرة.

تلميح: استخدم الاحتمال التجريبي المستنتج من البيانات المعطاة لتوقع عدد مرات الحدوث في عدد مرات التجربة الجديدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت نتائج دوران مؤشر قرص (التكرار) هي ٤ مرات للرقم ٤ و ٣ مرات للرقم ٨ من إجمالي ٤٥ دورة، وتوقع وليد أن يقف المؤشر على الرقم ٤ أو ٨ في المرة القادمة، فهل هذا التنبؤ منطقي؟

• أ) لا، ليس منطقياً؛ لأن الاحتمال التجريبي هو 1/8
• ب) نعم، منطقي؛ لأن الاحتمال التجريبي لوقوف المؤشر على ٤ أو ٨ هو 7/45
• ج) نعم، منطقي؛ لأن الاحتمال النظري لـ 4 أو 8 هو 1/4
• د) لا، ليس منطقياً؛ لأن الاحتمال التجريبي ضعيف جداً (3/45)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نعم، منطقي؛ لأن الاحتمال التجريبي لوقوف المؤشر على ٤ أو ٨ هو 7/45

الشرح: 1. عدد مرات ظهور الرقم 4 هو 4، وعدد مرات ظهور الرقم 8 هو 3. 2. إجمالي مرات ظهور 4 أو 8 هو 4 + 3 = 7. 3. الاحتمال التجريبي لظهور 4 أو 8 هو 7 (مرات الظهور) / 45 (إجمالي الدورات) = 7/45. 4. بما أن هناك احتمالاً تجريبياً حقيقياً لحدوث ذلك، فإن التنبؤ منطقي.

تلميح: احسب الاحتمال التجريبي لوقوع أحد الحدثين (4 أو 8) ثم قيّم منطقية التوقع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في دراسة إحصائية على ٢٥٠ شخصاً عن لونهم المفضل، إذا كان الاحتمال التجريبي لأن يكون اللون الأزرق المفضل هو ٤٠٪، وتم توزيع تفضيل الألوان المتبقية (الأحمر، الأخضر، الأبيض) بالتساوي، فكم عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأحمر؟

• أ) 100 شخص
• ب) 50 شخصاً
• ج) 75 شخصاً
• د) 62.5 شخصاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 50 شخصاً

الشرح: 1. عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأزرق = 40% من 250 = 0.40 × 250 = 100 شخص. 2. عدد الأشخاص المتبقين = 250 - 100 = 150 شخصاً. 3. عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأحمر = 150 (المتبقون) / 3 (عدد الألوان المتبقية) = 50 شخصاً.

تلميح: احسب عدد الأشخاص الذين يفضلون اللون الأزرق أولاً، ثم وزع الباقي بالتساوي على الألوان الأخرى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة الرياضية لحساب الاحتمال التجريبي لحادثة ما؟

• أ) الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد النتائج الكلية الممكنة) / (عدد مرات حدوث الحادثة)
• ب) الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد النتائج الملاحظة للحادثة) / (إجمالي عدد المحاولات)
• ج) الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد المرات التي لم تحدث فيها الحادثة) / (إجمالي عدد المحاولات)
• د) الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد النتائج المفضلة) / (عدد النتائج الكلية الممكنة)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الاحتمال التجريبي لحادثة ما = (عدد النتائج الملاحظة للحادثة) / (إجمالي عدد المحاولات)

الشرح: ١. الاحتمال التجريبي يحسب بناءً على عدد مرات حدوث الحادثة فعليًا في التجربة. ٢. يقسم هذا العدد على إجمالي عدد المحاولات التي أجريت في التجربة.

تلميح: تذكر أن الاحتمال التجريبي يعتمد على نتائج التجارب الفعلية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي الخطوات المتبعة لتقدير عدد عناصر ذات خاصية معينة في مجتمع كبير بناءً على عينة إحصائية؟

• أ) جمع عدد العناصر في العينة مع حجم المجتمع الكلي ثم القسمة على اثنين.
• ب) قسمة حجم المجتمع الكلي على النسبة المئوية للخاصية في العينة.
• ج) حساب النسبة المئوية أو الاحتمال التجريبي للخاصية في العينة، ثم ضرب هذه النسبة في حجم المجتمع الكلي.
• د) طرح عدد العناصر في العينة من حجم المجتمع الكلي للحصول على العدد المتوقع.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حساب النسبة المئوية أو الاحتمال التجريبي للخاصية في العينة، ثم ضرب هذه النسبة في حجم المجتمع الكلي.

الشرح: ١. ابدأ بحساب نسبة أو احتمال الخاصية المراد تقديرها من بيانات العينة. ٢. طبق هذه النسبة على إجمالي حجم المجتمع لتقدير العدد المطلوب.

تلميح: تذكر أن العينة تستخدم لتمثيل المجتمع الأكبر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما تعريف الاحتمال التجريبي؟

• أ) احتمالية حدوث حادثة في ظروف مثالية بناءً على جميع النتائج الممكنة المتساوية الفرص.
• ب) هو احتمالية حدوث حادثة محسوبة بناءً على البيانات الفعلية والملاحظات من تجارب أو دراسات سابقة.
• ج) حاصل قسمة عدد المرات التي لم تحدث فيها الحادثة على إجمالي عدد المحاولات.
• د) العدد الكلي للنتائج الممكنة مقسوماً على عدد مرات حدوث الحادثة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو احتمالية حدوث حادثة محسوبة بناءً على البيانات الفعلية والملاحظات من تجارب أو دراسات سابقة.

الشرح: الاحتمال التجريبي هو تقدير للاحتمال بناءً على ما تم ملاحظته في التجارب الفعلية أو البيانات التاريخية، وليس على فرضيات نظرية.

تلميح: تذكر أن الاحتمال التجريبي يرتبط بالواقع والتجارب الفعلية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

متى يكون احتمال وقوع حدثين معًا (P(A و B)) هو حاصل ضرب احتمال كل منهما (P(A) × P(B))؟

• أ) عندما يكون الحدثان متنافيين.
• ب) عندما يكون الحدثان مستقلين.
• ج) عندما يكون أحدهما مشروطاً بالآخر.
• د) عندما يكون مجموع احتماليهما يساوي ١.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عندما يكون الحدثان مستقلين.

الشرح: قاعدة ضرب الاحتمالات P(A و B) = P(A) × P(B) تنطبق فقط عندما لا يؤثر حدوث أحد الحدثين على حدوث الآخر، أي عندما يكونا مستقلين.

تلميح: تذكر العلاقة بين الاحتمالات والحدوث المشترك للحدثين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

كيف تتأثر دقة الاحتمال التجريبي بزيادة عدد المحاولات التجريبية؟

• أ) تزداد دقة الاحتمال التجريبي ويقترب أكثر من الاحتمال النظري.
• ب) لا تتأثر دقته، بل يظل ثابتًا بغض النظر عن عدد المحاولات.
• ج) تنخفض دقته ويبتعد عن الاحتمال النظري بسبب العشوائية الزائدة.
• د) يصبح الاحتمال التجريبي مساوياً دائمًا للاحتمال النظري تماماً.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تزداد دقة الاحتمال التجريبي ويقترب أكثر من الاحتمال النظري.

الشرح: وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، كلما زاد عدد مرات إجراء التجربة، أصبح الاحتمال التجريبي تقديرًا أفضل وأكثر دقة للاحتمال النظري الحقيقي.

تلميح: تذكر مفهوم قانون الأعداد الكبيرة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط