مثال من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ج: سباحة: سأل مدرب سباحة طلابه المتدربين إذا كانوا يرغبون في تدريبات متقدمة في السباحة، فأبدى ٦٠٪ منهم رغبتهم في ذلك، فإذا كان عدد أعضاء النادي الرياضي هو ٨٧٠ عضواً، فما عدد الأعضاء الراغبين في التدريبات المتقدمة الذي يتوقعه المدرب؟

الإجابة: س: تحقق من فهمك - سباحة 60% × 870 = 522 عضواً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز أو القيمة | الوحدة | |--------|----------------|--------| | نسبة الراغبين في التدريبات المتقدمة | ٦٠٪ | % | | إجمالي عدد أعضاء النادي | ٨٧٠ | عضو | | **المطلوب** | عدد الأعضاء الراغبين المتوقع | عضو |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لإيجاد **الجزء** من كل معطى بنسبة مئوية، نستخدم القانون: $\text{الجزء} = \frac{\text{النسبة المئوية}}{100} \times \text{الكل}$ أو بشكل مباشر: $\text{العدد المتوقع} = \text{نسبة الراغبين} \times \text{إجمالي الأعضاء}$
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون وإجراء الحساب** ١. نحول النسبة المئوية إلى كسر عشري: $60\% = \frac{60}{100} = 0.6$. ٢. نطبق القانون: $\text{العدد المتوقع} = 0.6 \times 870$ ٣. ننفذ عملية الضرب: $0.6 \times 870 = 522$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** بناءً على الدراسة، يتوقع المدرب أن **٥٢٢ عضوًا** من أعضاء النادي يرغبون في الالتحاق بالتدريبات المتقدمة في السباحة.

سؤال 1: حدد ما إذا كانت الاستنتاجات الآتية دقيقة أم لا، ووضح إجابتك. اختيرت ١٠٠ عائلة من منطقة أبها عشوائياً، لتحديد معدل صرف العائلة السعودية على خدمة الكهرباء، فأجابت ٨٥ عائلة منهم بأنهم ينفقون عليها أقل من ٣٠٠ ريال شهرياً. فاستنتج الباحث أن معدل صرف العائلة السعودية على الكهرباء أقل من ٣٠٠ ريال في الشهر.

الإجابة: غير دقيقة؛ لأن العينة من منطقة واحدة فقط فلا تمثل الجميع، كما أن 85 عائلة فقط من 100 لا يثبت أن المعدل أقل.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والاستنتاج** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | حجم العينة (عدد العائلات المختارة) | ١٠٠ عائلة | | عدد العائلات التي تنفق أقل من ٣٠٠ ريال | ٨٥ عائلة | | مصدر العينة | منطقة أبها فقط | | **الاستنتاج المطروح** | معدل صرف العائلة السعودية (عامة) أقل من ٣٠٠ ريال شهريًا |
2. **الخطوة 2: المبادئ الإحصائية المستخدمة** للتأكد من دقة الاستنتاج، نفحص: 1. **تمثيل العينة**: هل العينة ممثلة للمجتمع كله (كل العائلات السعودية)؟ 2. **حجم العينة ونسبتها**: هل النسبة داخل العينة (٨٥٪) كافية لتعميم الاستنتاج؟ > **ملاحظة مهمة**: التعميم على مجتمع أكبر (كل السعودية) يتطلب عينة **عشوائية** و**ممثلة** من مختلف المناطق.
3. **الخطوة 3: تحليل دقة الاستنتاج** ١. **مشكلة في تمثيل العينة**: العينة مأخوذة من **منطقة واحدة** (أبها). قد تختلف أنماط الاستهلاك في الكهرباء باختلاف المناخ والثقافة والوضع الاقتصادي بين مناطق المملكة. ٢. **مشكلة في نسبة العينة**: حتى داخل العينة، هناك ١٥ عائلة (١٠٠ - ٨٥) لم توافق على هذا الاستهلاك. لذلك، الاستنتاج داخل العينة نفسها ليس إجماعياً. ٣. **الاستنتاج لا يدعمه المنطق الإحصائي**: لا يمكن تعميم نتيجة عينة محلية (حتى لو كانت عشوائية داخل أبها) على كل العائلات السعودية.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** الاستنتاج **غير دقيق**، لأنه: - **عينة غير ممثلة**: مأخوذة من منطقة جغرافية واحدة فقط. - **لا يثبت التعميم**: نسبة ٨٥٪ داخل عينة صغيرة ومحلية لا تكفي للجزم بمعدل الصرف لكل العائلات السعودية.

سؤال 2: حدد ما إذا كانت الاستنتاجات الآتية دقيقة أم لا، ووضح إجابتك. اختير شخص عشوائياً من كل دائرة في شركة لتحديد أولويات الموظفين، فكانت الخدمة الصحية أهم أولويات ٦٧٪ منهم، فاستنتج المدير أن الخدمة الصحية يجب أن تشمل جميع الموظفين.

الإجابة: غير دقيقة؛ ليست عشوائية، واختيار شخص واحد لا يمثل رأي الدائرة بأكملها.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والاستنتاج** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | طريقة الاختيار | شخص واحد عشوائياً من كل دائرة في الشركة | | النسبة التي رأت أن الخدمة الصحية أهم أولوية | ٦٧٪ | | **الاستنتاج المطروح** | الخدمة الصحية يجب أن تشمل جميع الموظفين |
2. **الخطوة 2: المبادئ الإحصائية المستخدمة** للتأكد من دقة الاستنتاج، نفحص: 1. **طريقة أخذ العينة**: هل هي **عشوائية بسيطة** تمثل آراء جميع الموظفين؟ 2. **حجم العينة بالنسبة لكل دائرة**: هل اختيار **شخص واحد** من كل دائرة يمثل رأي جميع موظفي تلك الدائرة؟ > **ملاحظة مهمة**: لكي تكون العينة ممثلة، يجب أن يكون لكل موظف فرصة متساوية في الاختيار، أو أن تكون العينة كبيرة بما يكفي من كل قسم.
3. **الخطوة 3: تحليل دقة الاستنتاج** ١. **مشكلة في طريقة أخذ العينة**: الطريقة المتبعة (شخص من كل دائرة) **ليست عينة عشوائية بسيطة** من جميع الموظفين. قد تختلف أولويات الموظفين داخل الدائرة الواحدة. ٢. **مشكلة في تمثيل الرأي داخل الدائرة**: اختيار **شخص واحد فقط** من كل دائرة لا يعتبر ممثلاً لرأي جميع زملائه في نفس الدائرة. آراء الأفراد قد تختلف. ٣. **الاستنتاج قد يكون متسرعاً**: حتى لو كانت النسبة ٦٧٪ في العينة المأخوذة بهذه الطريقة، فإنها لا تعني بالضرورة أن **جميع** الموظفين يرون ذلك، أو أن هذه أولويتهم القصوى.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** الاستنتاج **غير دقيق**، لأن: - **طريقة أخذ العينة غير سليمة**: ليست عشوائية من مجتمع الموظفين ككل. - **عينة غير ممثلة**: شخص واحد من كل دائرة لا يعكس بالضرورة أولويات جميع موظفي تلك الدائرة، وبالتالي لا يعكس أولويات جميع موظفي الشركة.

سؤال 3: حواسيب: عندما أراد خالد شراء جهاز حاسوب، اختار عينة عشوائية من زبائن متجر لبيع الحواسيب، وسجل النتائج في الجدول المجاور. فإذا أجرى خالد الدراسة على ١٥٠ شخصاً، فكم عدد الذين فضلوا الحواسيب المحمولة؟

الإجابة: س3: نسبة مفضلي المحمول = 7/10. العدد المتوقع = 7/10 × 150 = 105 أشخاص.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | ملاحظة (من نص السؤال الأصلي والجدول المجاور) | |--------|--------|--------------------------------------| | إجمالي حجم العينة (عدد الأشخاص الذين شملتهم الدراسة) | ١٥٠ | شخص | | نسبة الذين فضلوا الحواسيب **المحمولة** | $\frac{7}{10}$ | مذكورة في الجدول المجاور للسؤال | | **المطلوب** | عدد الذين فضلوا الحواسيب المحمولة من بين الـ ١٥٠ شخصاً | شخص |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحساب **العدد الفعلي** من نسبة معروفة وحجم مجتمع، نستخدم القانون: $\text{العدد المتوقع} = \text{النسبة} \times \text{حجم المجتمع (العينة)}$ حيث النسبة يمكن أن تكون كسراً ($\frac{7}{10}$) أو عدداً عشرياً.
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون وإجراء الحساب** ١. نكتب النسبة المعطاة: $\text{نسبة مفضلي المحمول} = \frac{7}{10}$. ٢. نطبق القانون: $\text{عدد المفضلين} = \frac{7}{10} \times 150$ ٣. ننفذ عملية الضرب: الطريقة ١: $\frac{7}{10} \times 150 = \frac{7 \times 150}{10} = \frac{1050}{10} = 105$ الطريقة ٢: $\frac{7}{10} = 0.7$، ثم $0.7 \times 150 = 105$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** بناءً على دراسة العينة العشوائية التي أجراها خالد، فإن **١٠٥ أشخاص** من أصل ١٥٠ شخصاً يفضلون شراء الحواسيب المحمولة.

ما الذي يميز العينات الصادقة (غير المتحيزة) في الدراسة الإحصائية؟

• أ) هي التي تشمل جميع أفراد المجتمع قيد الدراسة.
• ب) هي التي تُنتقى يدويًا بناءً على معايير الباحث الشخصية.
• ج) هي التي لا يمكن استعمال نتائجها في التنبؤ لعدم دقتها.
• د) هي التي يمكن استعمال نتائجها في التنبؤ لمجتمع أكبر.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: هي التي يمكن استعمال نتائجها في التنبؤ لمجتمع أكبر.

الشرح: العينات غير المتحيزة تُنتقى بطريقة تضمن تمثيلها للمجتمع الكلي، مما يجعل نتائجها قابلة للتعميم والتنبؤ الدقيق على نطاق أوسع.

تلميح: فكر في الغرض الأساسي من أخذ عينة غير متحيزة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الخطوات الصحيحة للتنبؤ بعدد معين من مجتمع كلي بناءً على نسبة مئوية من عينة ممثلة؟

• أ) تقسيم العدد الكلي للمجتمع على النسبة المئوية ثم الضرب في 100.
• ب) ضرب النسبة المئوية في 100 ثم قسمتها على العدد الكلي للمجتمع.
• ج) تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري ثم ضربها في العدد الكلي للمجتمع.
• د) طرح النسبة المئوية من العدد الكلي للمجتمع مباشرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري ثم ضربها في العدد الكلي للمجتمع.

الشرح: 1. يتم تحويل النسبة المئوية المعطاة إلى كسر عشري بقسمتها على 100. 2. يتم ضرب هذا الكسر العشري في العدد الكلي للمجتمع للحصول على العدد المتوقع.

تلميح: تذكر كيفية التعامل مع النسب المئوية في العمليات الحسابية والتطبيق على الكل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

لماذا لا يمكن للباحث أن يستنتج بدقة أن معدل صرف العائلة السعودية على الكهرباء أقل من ٣٠٠ ريال شهريًا، إذا كانت عينته من منطقة أبها فقط؟

• أ) لأن عدد العائلات المختارة (١٠٠ عائلة) قليل جدًا لتمثيل جميع العائلات السعودية.
• ب) لأن العينة مأخوذة من منطقة جغرافية واحدة ولا تمثل التنوع في الاستهلاك بأنحاء المملكة.
• ج) لأن ٨٥ عائلة فقط من أصل ١٠٠ رأت ذلك، وهي نسبة غير كافية للتعميم.
• د) لأن استهلاك الكهرباء يتغير باستمرار ولا يمكن قياسه بعينة واحدة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن العينة مأخوذة من منطقة جغرافية واحدة ولا تمثل التنوع في الاستهلاك بأنحاء المملكة.

الشرح: التعميم على مجتمع كبير مثل 'العائلة السعودية' يتطلب عينة ممثلة من مختلف المناطق الجغرافية، لأن أنماط الاستهلاك قد تختلف باختلاف المناخ والثقافة والوضع الاقتصادي بين المناطق.

تلميح: فكر في أهمية التنوع الجغرافي عند تعميم النتائج على مستوى الدولة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما السبب الرئيس وراء عدم دقة استنتاج مدير الشركة بأن الخدمة الصحية يجب أن تشمل جميع الموظفين بناءً على اختيار شخص عشوائي من كل دائرة؟

• أ) لأن نسبة ٦٧٪ ليست عالية بما يكفي لتطبيقها على جميع الموظفين في الشركة.
• ب) لأن المدير لم يحدد ميزانية كافية لتوفير الخدمة الصحية لجميع الموظفين.
• ج) اختيار شخص واحد من كل دائرة لا يمثل بالضرورة رأي جميع موظفي الدائرة، والعينة ليست عشوائية بسيطة من جميع الموظفين.
• د) لأن أولويات الموظفين تتغير باستمرار ولا يمكن تحديدها بدراسة واحدة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: اختيار شخص واحد من كل دائرة لا يمثل بالضرورة رأي جميع موظفي الدائرة، والعينة ليست عشوائية بسيطة من جميع الموظفين.

الشرح: لضمان تمثيل آراء الموظفين بشكل دقيق، يجب أن تكون العينة عشوائية بسيطة من جميع الموظفين، أو أن تكون كبيرة بما يكفي من كل قسم لتعكس التنوع في الآراء داخله بشكل موثوق.

تلميح: فكر في حجم العينة ونوعها داخل كل قسم لضمان تمثيل الرأي العام.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط