القسم ٣ الإجابة المطولة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 4: يوضح الجدول أدناه جميع النتائج الممكنة لثلاثة مفاتيح كهربائية من حيث كونها مفتوحة أو مغلقة. إذا اختيرت عينة عشوائية، فأيُّ العبارات الآتية صحيحة؟ أ) احتمال أن تكون المفاتيح الكهربائية كلها مفتوحة، هو الاحتمال نفسه أن تكون كلها مغلقة. ب) احتمال أن يكون مفتاح كهربائي واحد مفتوحاً، أكبر من احتمال أن يكون هناك مفتاحان مفتوحان. ج) احتمال أن يكون لمفتاحين النتائج نفسها بالضبط هو 1/2. د) احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مفتوحاً أكبر من احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مغلقاً.

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (أ)

خطوات الحل:

1. **الهدف:** تحديد العبارة الصحيحة المتعلقة باحتمالات المفاتيح الكهربائية.
2. **الخطوة 1: تحليل الاحتمالات** بما أن السؤال يعتمد على فهم الاحتمالات المختلفة لحالات المفاتيح، يجب تحليل كل عبارة: * **العبارة أ:** احتمال أن تكون المفاتيح كلها مفتوحة هو الاحتمال نفسه أن تكون كلها مغلقة. * **العبارة ب:** احتمال أن يكون مفتاح كهربائي واحد مفتوحاً أكبر من احتمال أن يكون هناك مفتاحان مفتوحان. * **العبارة ج:** احتمال أن يكون لمفتاحين النتائج نفسها بالضبط هو 1/2. * **العبارة د:** احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مفتوحاً أكبر من احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مغلقاً.
3. **الخطوة 2: تقييم العبارات** بافتراض أن جميع الحالات الممكنة للمفاتيح الكهربائية (مفتوح/مغلق) متساوية الاحتمال، يمكن تقييم العبارات بناءً على عدد الحالات التي تحققها كل عبارة. * العبارة (أ) صحيحة لأن هناك حالة واحدة فقط تكون فيها جميع المفاتيح مفتوحة وحالة واحدة فقط تكون فيها جميع المفاتيح مغلقة. وبالتالي، الاحتمالان متساويان.
4. **الاستنتاج:** العبارة الصحيحة هي (أ) لأن احتمال أن تكون المفاتيح الكهربائية كلها مفتوحة هو الاحتمال نفسه أن تكون كلها مغلقة.

سؤال 6: علبة فيها (15) قطعة كعك متماثلة، 5 منها محشوة بالمكسرات و5 بالتمر و5 بالعسل. إذا سُحب من العلبة كعكتان واحدة تلو الأخرى، دون إعادة الكعكة المسحوبة الأولى إلى العلبة. أ) ما احتمال أن تكون كل منهما محشوة بالمكسرات؟ ب) ما احتمال سحب كعكة محشوة بالعسل من الكعك المتبقي في العلبة بعد سحب كعكتين محشوتين بالمكسرات.

الإجابة: أ) 5/15 × 4/14 = 2/21 ، ب) بعد سحب كعكتين بالمكسرات يبقى 13 كعكة، منها 5 بالعسل؛ إذن الاحتمال 5/13

خطوات الحل:

1. **الهدف:** حساب الاحتمالات في تجربة سحب كعك على التوالي بدون إرجاع.
2. **الخطوة 1: المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة | |---|---| | عدد قطع الكعك الكلي | 15 | | عدد الكعك بالمكسرات | 5 | | عدد الكعك بالتمر | 5 | | عدد الكعك بالعسل | 5 | **المطلوب:** * أ) احتمال سحب كعكتين بالمكسرات على التوالي. * ب) احتمال سحب كعكة بالعسل بعد سحب كعكتين بالمكسرات.
3. **الخطوة 2: حساب الاحتمال في الجزء (أ)** * احتمال سحب الكعكة الأولى بالمكسرات: $P(A_1) = \frac{5}{15}$ * بعد سحب كعكة بالمكسرات، يتبقى 4 كعكات بالمكسرات و 14 كعكة إجمالاً. * احتمال سحب الكعكة الثانية بالمكسرات: $P(A_2|A_1) = \frac{4}{14}$ * إذن، الاحتمال الكلي لسحب كعكتين بالمكسرات هو: $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{5}{15} \times \frac{4}{14} = \frac{20}{210} = \frac{2}{21}$
4. **الخطوة 3: حساب الاحتمال في الجزء (ب)** * بعد سحب كعكتين بالمكسرات، يتبقى 13 كعكة في العلبة. * عدد الكعك بالعسل لا يزال 5. * احتمال سحب كعكة بالعسل: $P(B) = \frac{5}{13}$
5. **الاستنتاج:** * أ) احتمال سحب كعكتين بالمكسرات على التوالي هو $\frac{2}{21}$. * ب) احتمال سحب كعكة بالعسل بعد سحب كعكتين بالمكسرات هو $\frac{5}{13}$.

سؤال 5: أُجريت دراسة إحصائية على 32 طالبًا حول مادتهم المفضلة، فأجاب 14 منهم أنهم يفضلون العلوم، فكم تتوقع أن يكون عدد الطلاب الذين يفضلون مادة العلوم، إذا كان عدد الطلاب الكلي 880 طالبًا؟

الإجابة: 14/32 × 880 = 385 طالباً

خطوات الحل:

1. **الهدف:** تقدير عدد الطلاب الذين يفضلون العلوم بناءً على نسبة من عينة.
2. **الخطوة 1: المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة | |---|---| | حجم العينة | 32 طالبًا | | عدد الطلاب الذين يفضلون العلوم في العينة | 14 طالبًا | | العدد الكلي للطلاب | 880 طالبًا | **المطلوب:** * تقدير عدد الطلاب الذين يفضلون العلوم من بين 880 طالبًا.
3. **الخطوة 2: حساب النسبة** * نسبة الطلاب الذين يفضلون العلوم في العينة: $\frac{14}{32}$
4. **الخطوة 3: التقدير** * تقدير عدد الطلاب الذين يفضلون العلوم في العدد الكلي للطلاب: $\text{العدد المتوقع} = \frac{14}{32} \times 880 = 385$
5. **الاستنتاج:** نتوقع أن يكون هناك حوالي 385 طالبًا يفضلون مادة العلوم من بين 880 طالبًا.

يوضح الجدول أدناه جميع النتائج الممكنة لثلاثة مفاتيح كهربائية من حيث كونها مفتوحة أو مغلقة. إذا اختيرت عينة عشوائية، فأيُّ العبارات الآتية صحيحة؟

• أ) احتمال أن تكون المفاتيح الكهربائية كلها مفتوحة، هو الاحتمال نفسه أن تكون كلها مغلقة.
• ب) احتمال أن يكون مفتاح كهربائي واحد مفتوحاً، أكبر من احتمال أن يكون هناك مفتاحان مفتوحان.
• ج) احتمال أن يكون لمفتاحين النتائج نفسها بالضبط هو 1/2.
• د) احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مفتوحاً أكبر من احتمال أن يكون مفتاح واحد على الأقل مغلقاً.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: احتمال أن تكون المفاتيح الكهربائية كلها مفتوحة، هو الاحتمال نفسه أن تكون كلها مغلقة.

الشرح: 1. عدد جميع النتائج الممكنة لثلاثة مفاتيح (مفتوح/مغلق) هو 2^3 = 8. 2. حالة 'كلها مفتوحة' هي نتيجة واحدة (1/8). 3. حالة 'كلها مغلقة' هي نتيجة واحدة (1/8). 4. بما أن الاحتمالين متساويان (1/8)، فالعبارة (أ) صحيحة.

تلميح: تذكر عدد جميع النواتج الممكنة لثلاثة أحداث ذات ناتجين (مفتوح/مغلق) وقارن بين احتمالات كل عبارة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

علبة فيها (١٥) قطعة كعك متماثلة، ٥ منها محشوة بالمكسرات و٥ بالتمر و٥ بالعسل. إذا سُحب من العلبة كعكتان واحدة تلو الأخرى، دون إعادة الكعكة المسحوبة الأولى إلى العلبة. ما احتمال أن تكون كلتاهما محشوة بالمكسرات؟

• أ) 1/9
• ب) 1/3
• ج) 2/21
• د) 5/14

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 2/21

الشرح: 1. احتمال سحب الكعكة الأولى بالمكسرات = 5/15 = 1/3. 2. بعد سحب كعكة بالمكسرات دون إرجاع، يتبقى 4 كعكات بالمكسرات و 14 كعكة إجمالاً. 3. احتمال سحب الكعكة الثانية بالمكسرات = 4/14 = 2/7. 4. الاحتمال الكلي = (1/3) × (2/7) = 2/21.

تلميح: تذكر أن السحب دون إعادة يؤثر على عدد الكعكات المتبقية في العلبة وعلى عدد الكعكات من النوع المطلوب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

علبة فيها (١٥) قطعة كعك متماثلة، ٥ منها محشوة بالمكسرات و٥ بالتمر و٥ بالعسل. إذا سُحب من العلبة كعكتان محشوتين بالمكسرات، دون إعادة. ما احتمال سحب كعكة محشوة بالعسل من الكعك المتبقي في العلبة؟

• أ) 5/15
• ب) 5/14
• ج) 3/13
• د) 5/13

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 5/13

الشرح: 1. عدد الكعك الكلي بعد سحب كعكتين بالمكسرات = 15 - 2 = 13 كعكة. 2. عدد الكعك المحشو بالعسل لم يتغير، وهو 5 كعكات. 3. احتمال سحب كعكة بالعسل من الكعك المتبقي = 5/13.

تلميح: ركز على العدد المتبقي من الكعك الكلي ومن نوع العسل بعد سحب الكعكتين الأوليين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أُجريت دراسة إحصائية على ٣٢ طالبًا حول مادتهم المفضلة، فأجاب ١٤ منهم أنهم يفضلون العلوم، فكم تتوقع أن يكون عدد الطلاب الذين يفضلون مادة العلوم، إذا كان عدد الطلاب الكلي ٨٨٠ طالبًا؟

• أ) 440 طالباً
• ب) 385 طالباً
• ج) 293 طالباً
• د) 350 طالباً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 385 طالباً

الشرح: 1. نسبة الطلاب الذين يفضلون العلوم في العينة = 14/32. 2. عدد الطلاب المتوقع في المجتمع الكلي = (14/32) × 880. 3. التبسيط: (7/16) × 880. 4. الحساب: 7 × (880 ÷ 16) = 7 × 55 = 385 طالباً.

تلميح: استخدم التناسب لتقدير العدد الكلي للطلاب الذين يفضلون العلوم بناءً على نسبة العينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط