4-3 حل المتباينات المتعددة الخطوات - صفحة 136 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المتباينات المتعددة الخطوات

المفاهيم الأساسية

المتباينة متعددة الخطوات: جملة رياضية يمكن تحويلها إلى متباينة ثم حلها باستعمال خصائص المتباينات.

خاصية التوزيع في المتباينات: عند حل متباينات تحتوي على أقواس، استعمل أولاً خاصية التوزيع للتخلص من الأقواس، ثم استعمل ترتيب العمليات لتبسيط المتباينة الناتجة.

ترتيب العمليات:

احسب قيمة العبارات داخل الأقواس

احسب قيمة كل القوى

اضرب و/أو اقسم من اليمين إلى اليسار

اجمع و/أو اطرح من اليمين إلى اليسار

قاعدة مهمة: عند الضرب أو القسمة على عدد سالب، عكس اتجاه إشارة المتباينة.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المتباينات المتعددة الخطوات

حل المتباينات

• تتضمن أكثر من عملية واحدة
• تتضمن خاصية التوزيع
• عند الضرب أو القسمة على عدد سالب: عكس اتجاه إشارة المتباينة

تطبيقات من الحياة

• حساب الرواتب والعمولات
• الدخل = الراتب الأساسي + (العمولة × المبيعات)

مثال 1: من واقع الحياة

• راتب شهري 6000 ريال + عمولة 10%
• الهدف: كسب 12000 ريال شهريًا على الأقل
• المبيعات المطلوبة ≥ 60000 ريال

مثال 2: معامل سالب

• -11ص - 13 < 42
• الحل: ص > -5
• مجموعة الحل: {ص | ص > -5}

مثال 3: كتابة المتباينة وحلها

• تحويل الجملة اللفظية إلى متباينة
• 5 - 6ن > 4ن + 45
• الحل: ن < -4

مثال 4: خاصية التوزيع

• 4(3ت - 5) + 7 ≤ 8ت + 3
• استعمل خاصية التوزيع أولاً
• الحل: ت ≤ 4

تحقق من فهمك

• 23 ≤ 10 - 2ك
• 43 > -4ص + 11
• 6(5ع - 3) ≥ 42
• 2(هـ + 6) < 3(هـ - 8)

```

نقاط مهمة

• عند حل متباينة تحتوي أقواساً: استعمل خاصية التوزيع أولاً، ثم رتب العمليات
• عند الضرب أو القسمة على عدد سالب: اعكس اتجاه إشارة المتباينة
• خاصية التوزيع مع عدد سالب: وزّع العدد مع إشارته السالبة على كل حد بين القوسين
• إذا كانت نتيجة الحل عبارة صحيحة دائماً: مجموعة الحل هي مجموعة الأعداد الحقيقية {س | س عدد حقيقي}
• إذا كانت النتيجة عبارة غير صحيحة أبداً: مجموعة الحل هي المجموعة الخالية ∅

مثال 3: كتابة المتباينة وحلها

الجملة: خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال ذلك العدد زائد 45

5 - 6ن > 4ن + 45

خطوات الحل:

اطرح 4ن من الطرفين: -10ن + 5 > 45

اطرح 5 من الطرفين: -10ن > 40

اقسم على -10 وعكس الإشارة: ن < -4

مجموعة الحل: {ن | ن < -4}

مثال 4: خاصية التوزيع

4(3ت - 5) + 7 \leq 8ت + 3

خطوات الحل:

خاصية التوزيع: 12ت - 20 + 7 \leq 8ت + 3

جمع الحدود المتشابهة: 12ت - 13 \leq 8ت + 3

اطرح 8ت من الطرفين: 4ت - 13 \leq 3

أضف 13 للطرفين: 4ت \leq 16

اقسم على 4: ت \leq 4

مجموعة الحل: {ت | ت ≤ 4}

يمكن تحويل الجمل الرياضية إلى متباينات متعددة الخطوات، ثم حلها باستعمال خصائص المتباينات.

كتابة المتباينة وحلها عَرِّف المتغير، واكتب المتباينة، ثم حلها. خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال ذلك العدد زائد 45. خمسة - ستة أمثال عدد > أربعة أمثال العدد + خمسة وأربعين 5 - 6ن > 4ن + 45 اطرح 4ن من طرفي المتباينة -10ن + 5 > 45 اطرح 5 من طرفي المتباينة -10ن > 40 اقسم طرفي المتباينة على -10، وغير اتجاه إشارة المتباينة ن < -4 بسط لذا، فمجموعة الحل هي {ن | ن < -4}.

3) نصف عدد زائد اثنين أكبر من سبعة وعشرين.

حل المتباينات التي تتضمن خاصية التوزيع عند حل متباينات تحتوي على أقواس استعمل أولاً خاصية التوزيع للتخلص من الأقواس، ثم استعمل ترتيب العمليات لتبسيط المتباينة الناتجة.

خاصية التوزيع حل المتباينة: 4(3ت - 5) + 7 ≤ 8ت + 3. 4(3ت - 5) + 7 ≤ 8ت + 3 (المتباينة الأصلية) 12ت - 20 + 7 ≤ 8ت + 3 (خاصية التوزيع) 12ت - 13 ≤ 8ت + 3 (جمع الحدود المتشابهة) 4ت - 13 ≤ 3 (اطرح 8ت من الطرفين) 4ت ≤ 16 (أضف 13 إلى كلا الطرفين) ت ≤ 16/4 (اقسم طرفي المتباينة على 4) ت ≤ 4 (بسط) لذا فمجموعة الحل هي: {ت | ت ≤ 4}.

حل كلاً من المتباينتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل: أ) 6(5ع - 3) ≥ 42 ب) 2(هـ + 6) < 3(هـ - 8)

ترتيب العمليات 1) احسب قيمة العبارات داخل الأقواس. 2) احسب قيمة كل القوى. 3) اضرب و/ أو اقسم من اليمين إلى اليسار. 4) اجمع و/ أو اطرح من اليمين إلى اليسار.

خاصية التوزيع إذا ضرب عدد سالب في مجموع حدين أو الفرق بينهما، فتذكر أن توزع العدد مع إشارته السالبة على كل من الحدين بين القوسين. إذا كانت نتيجة حل المتباينة عبارة صحيحة دائماً، فإن مجموعة حل المتباينة هي مجموعة الأعداد الحقيقية، وتكتب على الصورة {س | س عدد حقيقي}. أما إذا كانت نتيجة الحل عبارة غير صحيحة أبداً، فإن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية وهي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر ويعبر عنها بالرمز ∅.

يمكن تحويل الجمل الرياضية إلى متباينات متعددة الخطوات، ثم حلها باستعمال خصائص المتباينات. --- SECTION: مثال 3 --- كتابة المتباينة وحلها عَرِّف المتغير، واكتب المتباينة، ثم حلها. خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال ذلك العدد زائد 45. خمسة - ستة أمثال عدد > أربعة أمثال العدد + خمسة وأربعين 5 - 6ن > 4ن + 45 اطرح 4ن من طرفي المتباينة -10ن + 5 > 45 اطرح 5 من طرفي المتباينة -10ن > 40 اقسم طرفي المتباينة على -10، وغير اتجاه إشارة المتباينة ن < -4 بسط لذا، فمجموعة الحل هي {ن | ن < -4}. --- SECTION: 3 --- 3) نصف عدد زائد اثنين أكبر من سبعة وعشرين. حل المتباينات التي تتضمن خاصية التوزيع عند حل متباينات تحتوي على أقواس استعمل أولاً خاصية التوزيع للتخلص من الأقواس، ثم استعمل ترتيب العمليات لتبسيط المتباينة الناتجة. --- SECTION: مثال 4 --- خاصية التوزيع حل المتباينة: 4(3ت - 5) + 7 ≤ 8ت + 3. 4(3ت - 5) + 7 ≤ 8ت + 3 (المتباينة الأصلية) 12ت - 20 + 7 ≤ 8ت + 3 (خاصية التوزيع) 12ت - 13 ≤ 8ت + 3 (جمع الحدود المتشابهة) 4ت - 13 ≤ 3 (اطرح 8ت من الطرفين) 4ت ≤ 16 (أضف 13 إلى كلا الطرفين) ت ≤ 16/4 (اقسم طرفي المتباينة على 4) ت ≤ 4 (بسط) لذا فمجموعة الحل هي: {ت | ت ≤ 4}. --- SECTION: تحقق من فهمك --- حل كلاً من المتباينتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل: أ) 6(5ع - 3) ≥ 42 ب) 2(هـ + 6) < 3(هـ - 8) أ. 6(5ع - 3) ≥ 42 ب. 2(هـ + 6) < 3(هـ - 8) --- SECTION: مراجعة المفردات --- ترتيب العمليات 1) احسب قيمة العبارات داخل الأقواس. 2) احسب قيمة كل القوى. 3) اضرب و/ أو اقسم من اليمين إلى اليسار. 4) اجمع و/ أو اطرح من اليمين إلى اليسار. --- SECTION: تنبيه ! --- خاصية التوزيع إذا ضرب عدد سالب في مجموع حدين أو الفرق بينهما، فتذكر أن توزع العدد مع إشارته السالبة على كل من الحدين بين القوسين. إذا كانت نتيجة حل المتباينة عبارة صحيحة دائماً، فإن مجموعة حل المتباينة هي مجموعة الأعداد الحقيقية، وتكتب على الصورة {س | س عدد حقيقي}. أما إذا كانت نتيجة الحل عبارة غير صحيحة أبداً، فإن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية وهي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر ويعبر عنها بالرمز ∅.