1-1 المعادلات - صفحة 14 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 المعادلات الخطية: المتطابقات والمعادلات بمتغيرين

المفاهيم الأساسية

المتطابقة: معادلة صحيحة لجميع قيم المتغير فيها، وطرفاها متكافئان دائمًا، وحلها مجموعة الأعداد الحقيقية.

معادلات بمتغيرين: تحتوي على متغيرين، ويُستخدم جدول القيم والتعويض لإيجاد قيمة المتغير الثاني إذا عُلمت قيمة الأول.

خريطة المفاهيم

```markmap

المعادلات

الجملة المفتوحة

• تحتوي على عبارات جبرية ورموز
• إذا احتوت على = تسمى معادلة

حل المعادلة

• إيجاد قيم المتغير التي تجعل الجملة صحيحة
• كل قيمة تسمى حلاً

مجموعة الحل

• مجموعة الحلول الصحيحة
• تُكتب بين { }

مجموعة التعويض

• الأعداد التي نعوض بها عن المتغير
• تُستخدم لتحديد مجموعة الحل

حل المعادلات بترتيب العمليات

• تطبيق ترتيب العمليات على العبارة
• حساب الأقواس أولاً ثم القوى ثم القسمة ثم الجمع

أنواع الحلول

• حل وحيد: قيمة واحدة تجعل المعادلة صحيحة
• لا يوجد حل: الرمز ∅ (فاي)

المتطابقات

• معادلة صحيحة لجميع قيم المتغير
• طرفاها متكافئان دائمًا
• حلها: مجموعة الأعداد الحقيقية

معادلات بمتغيرين

• تحتوي على متغيرين
• تُحل بالتعويض عن قيمة المتغير الأول
• يُستخدم جدول القيم

```

نقاط مهمة

• المتطابقة: إذا كان الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر دائمًا، فالمعادلة متطابقة وحلها مجموعة الأعداد الحقيقية (مثال 4: 2(5 - هـ) = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6)
• المعادلة بمتغيرين: تُكتب المعادلة ثم يُعوَّض عن المتغير المعلوم (مثال 5: ك = 0.25م + 35، وعند م = 80 فإن ك = 55 ريالًا)

تُسمى المعادلة التي تكون صحيحة لجميع قيم المتغير فيها متطابقة. ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية.

المتطابقة: هي معادلة طرفاها متكافئان دائمًا.

المتطابقات حُل المعادلة: 2(5 - هـ) = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6. المعادلة الأصلية: 2(5 - هـ) = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6 اضرب 2×5: 10 - 2هـ = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6 طرح 8 من 10: 2هـ + 12 = 3هـ + 6 خاصية التوزيع: 6هـ + 12 = 3هـ + 6 اجمع 2هـ + هـ: 6هـ + 12 = 6هـ + 12 خاصية التوزيع: 6هـ + 12 = 6هـ + 12 بما أن الطرف الأيمن للمعادلة يساوي الطرف الأيسر لها، فليس مهمًا أن تعوض أي قيمة بدلًا من هـ؛ لذا فالمعادلة دائمًا صحيحة، ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية.

حل كلًا من المعادلتين الآتيتين: أ) 3(ب + 1) - 5 = ب - 2

ب) 5 - 1/2(ج - 6) = 4

حل معادلات بمتغيرين: تحتوي بعض المعادلات على متغيرين؛ لذا من المفيد تكوين جدول للقيم واستعمال التعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني، إذا علمت قيمة المتغير الأول.

معادلات تحتوي متغيرين اتصالات: يدفع حمزة 35 ريالًا شهريًا رسوم اشتراك في خدمة الهاتف الجوال، بالإضافة لـ 0.25 ريال لكل دقيقة اتصال. اكتب معادلة وحلها لإيجاد المبلغ الذي سيدفعه هذا الشهر إذا علمت أنه اتصل مدة 80 دقيقة. رسم اشتراك الخدمة مقدار ثابت، والتغير هو في عدد دقائق الاتصال؛ لذا فالمبلغ الذي سيدفعه مقابل 80 دقيقة اتصال هو حاصل ضرب 0.25 في 80. لنفرض أن (ك) هو المبلغ الكلي الذي سيدفعه حمزة مقابل رسوم الخدمة والاتصال مدة 80 دقيقة، و(م) هي مدة الاتصال. المعادلة الأصلية: ك = 0.25م + 35 عوض 80 بدلًا من م: ك = 0.25(80) + 35 اضرب: ك = 20 + 35 اجمع: ك = 55 إذن سيدفع حمزة 55 ريالًا هذا الشهر.

5) سفر: يقود رامي سيارته بمعدل 104 كلم في الساعة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد الزمن الذي سيستغرقه للسفر مسافة 312 كلم.

تُسمى المعادلة التي تكون صحيحة لجميع قيم المتغير فيها متطابقة. ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- المتطابقة: هي معادلة طرفاها متكافئان دائمًا. --- SECTION: مثال 4 --- المتطابقات حُل المعادلة: 2(5 - هـ) = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6. المعادلة الأصلية: 2(5 - هـ) = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6 اضرب 2×5: 10 - 2هـ = 3(هـ + 6) + [2هـ + هـ] + 6 طرح 8 من 10: 2هـ + 12 = 3هـ + 6 خاصية التوزيع: 6هـ + 12 = 3هـ + 6 اجمع 2هـ + هـ: 6هـ + 12 = 6هـ + 12 خاصية التوزيع: 6هـ + 12 = 6هـ + 12 بما أن الطرف الأيمن للمعادلة يساوي الطرف الأيسر لها، فليس مهمًا أن تعوض أي قيمة بدلًا من هـ؛ لذا فالمعادلة دائمًا صحيحة، ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- حل كلًا من المعادلتين الآتيتين: أ) 3(ب + 1) - 5 = ب - 2 --- SECTION: تحقق من فهمك --- ب) 5 - 1/2(ج - 6) = 4 حل معادلات بمتغيرين: تحتوي بعض المعادلات على متغيرين؛ لذا من المفيد تكوين جدول للقيم واستعمال التعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني، إذا علمت قيمة المتغير الأول. --- SECTION: مثال 5 --- معادلات تحتوي متغيرين اتصالات: يدفع حمزة 35 ريالًا شهريًا رسوم اشتراك في خدمة الهاتف الجوال، بالإضافة لـ 0.25 ريال لكل دقيقة اتصال. اكتب معادلة وحلها لإيجاد المبلغ الذي سيدفعه هذا الشهر إذا علمت أنه اتصل مدة 80 دقيقة. رسم اشتراك الخدمة مقدار ثابت، والتغير هو في عدد دقائق الاتصال؛ لذا فالمبلغ الذي سيدفعه مقابل 80 دقيقة اتصال هو حاصل ضرب 0.25 في 80. لنفرض أن (ك) هو المبلغ الكلي الذي سيدفعه حمزة مقابل رسوم الخدمة والاتصال مدة 80 دقيقة، و(م) هي مدة الاتصال. المعادلة الأصلية: ك = 0.25م + 35 عوض 80 بدلًا من م: ك = 0.25(80) + 35 اضرب: ك = 20 + 35 اجمع: ك = 55 إذن سيدفع حمزة 55 ريالًا هذا الشهر. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 5) سفر: يقود رامي سيارته بمعدل 104 كلم في الساعة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد الزمن الذي سيستغرقه للسفر مسافة 312 كلم.