5-2 حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض - صفحة 167 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

المفاهيم الأساسية

حل النظام بالتعويض: حل إحدى المعادلتين بالنسبة لمتغير واحد، ثم التعويض به في المعادلة الأخرى لإيجاد قيمة المتغير الآخر.

النظام غير المستقل: نظام معادلتين خطيتين له عدد لا نهائي من الحلول، وتكون المعادلتان متطابقتين عند كتابتهما بصيغة الميل والمقطع.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

خطوات الحل

1. حل إحدى المعادلتين لمتغير

• اختر المتغير الذي معامله = ١
• اجعله وحده في طرف

2. التعويض في المعادلة الأخرى

• عوّض عن المتغير بقيمته
• حل المعادلة لإيجاد المتغير الثاني

3. إيجاد قيمة المتغير الأول

• عوّض بقيمة المتغير الثاني في أي معادلة

حالات النظام

حل وحيد

• النتيجة جملة صحيحة

لا يوجد حل

• النتيجة جملة خطأ مثل: ٣ = -٢

عدد لا نهائي من الحلول

• النتيجة متطابقة مثل: ٣ = ٣
• المعادلتان متطابقتان بصيغة الميل والمقطع

إرشادات للدراسة

صيغة الميل والمقطع

• اكتب المعادلتين بصيغة (ص = م س + ب)
• ساوِ بينهما لإيجاد س
• عوّض لإيجاد ص

```

نقاط مهمة

• خطوات الحل بالتعويض:

1. حل إحدى المعادلتين لمتغير (يُفضَّل المتغير ذو المعامل = ١)

2. عوّض في المعادلة الأخرى لإيجاد المتغير الثاني

3. عوّض بالقيمة الناتجة لإيجاد المتغير الأول

• نتائج حل النظام:

- جملة صحيحة ← حل وحيد

- جملة خطأ (مثل ٣ = -٢) ← لا يوجد حل

- جملة متطابقة (مثل ٣ = ٣) ← عدد لا نهائي من الحلول

• النظام غير المستقل: عدد لا نهائي من الحلول، والمعادلتان لهما التمثيل البياني نفسه

مثال محلول (للتوضيح)

النظام: س + ٢ص = ٦ ، ٣س - ٤ص = ٢٨

• حل المعادلة الأولى لـ س: س = ٦ - ٢ص
• التعويض في الثانية: ٣(٦ - ٢ص) - ٤ص = ٢٨ ← ص = -١
• التعويض لإيجاد س: س = ٨
• الحل: (٨، -١)

وإذا لم يكن أحد المتغيرين مكتوبًا وحده في طرف إحدى المعادلتين في النظام، فحل إحدى المعادلتين أولًا بالنسبة لهذا المتغير، ثم عوض لحل النظام.

استعمل التعويض لحل النظام الآتي: س + ٢ص = ٦ ٣س - ٤ص = ٢٨ الخطوة ١: حُل المعادلة الأولى بالنسبة للمتغير س لأن معامل س = ١. س + ٢ص = ٦ س + ٢ص - ٢ص = ٦ - ٢ص س = ٦ - ٢ص الخطوة ٢: عوّض عن س بـ (٦ - ٢ص) في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ص. ٣(٦ - ٢ص) - ٤ص = ٢٨ ١٨ - ٦ص - ٤ص = ٢٨ ١٨ - ١٠ص = ٢٨ ١٨ - ١٠ص - ١٨ = ٢٨ - ١٨ -١٠ص = ١٠ ص = -١ الخطوة ٣: أوجد قيمة س بالتعويض في المعادلة الأولى. س + ٢ص = ٦ س + ٢(-١) = ٦ س - ٢ = ٦ س = ٨ الحل هو (٨، -١)

تحقق من فهمك: أ) ٤س + ٥ص = ١١ ص - ٣س = -١٣ ب) س - ٣ص = -٩ ٥س - ٢ص = ٧

وبصورة عامة، إذا كانت نتيجة حل نظام من معادلتين جملة خطأ مثل ٣ = -٢، فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، أما إذا كانت النتيجة متطابقة مثل ٣ = ٣ فهناك عدد لا نهائي من الحلول.

عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل للنظام حل النظام الآتي مستعملًا التعويض: ص = ٢س - ٤ -٦س + ٣ص = -١٢ عوّض عن ص بـ (٢س - ٤) في المعادلة الثانية. -٦س + ٣(٢س - ٤) = -١٢ -٦س + ٦س - ١٢ = -١٢ -١٢ = -١٢ بما أن الجملة الناتجة تشكل متطابقة، لذا يوجد عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الميل والمقطع: إذا كُتبت كل من المعادلتين بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب)، فيمكن مساواتهما معًا، ثم إيجاد قيمة س، وتعويضها لإيجاد قيمة ص.

النظام غير المستقل: هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام في المثال ٣؛ لأنه عند كتابة المعادلتين بصيغة الميل والمقطع تكونان متطابقتين، ولهما التمثيل البياني نفسه.

وإذا لم يكن أحد المتغيرين مكتوبًا وحده في طرف إحدى المعادلتين في النظام، فحل إحدى المعادلتين أولًا بالنسبة لهذا المتغير، ثم عوض لحل النظام. --- SECTION: مثال ٢ --- استعمل التعويض لحل النظام الآتي: س + ٢ص = ٦ ٣س - ٤ص = ٢٨ الخطوة ١: حُل المعادلة الأولى بالنسبة للمتغير س لأن معامل س = ١. س + ٢ص = ٦ س + ٢ص - ٢ص = ٦ - ٢ص س = ٦ - ٢ص الخطوة ٢: عوّض عن س بـ (٦ - ٢ص) في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ص. ٣(٦ - ٢ص) - ٤ص = ٢٨ ١٨ - ٦ص - ٤ص = ٢٨ ١٨ - ١٠ص = ٢٨ ١٨ - ١٠ص - ١٨ = ٢٨ - ١٨ -١٠ص = ١٠ ص = -١ الخطوة ٣: أوجد قيمة س بالتعويض في المعادلة الأولى. س + ٢ص = ٦ س + ٢(-١) = ٦ س - ٢ = ٦ س = ٨ الحل هو (٨، -١) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك: أ) ٤س + ٥ص = ١١ ص - ٣س = -١٣ ب) س - ٣ص = -٩ ٥س - ٢ص = ٧ وبصورة عامة، إذا كانت نتيجة حل نظام من معادلتين جملة خطأ مثل ٣ = -٢، فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، أما إذا كانت النتيجة متطابقة مثل ٣ = ٣ فهناك عدد لا نهائي من الحلول. --- SECTION: مثال ٣ --- عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل للنظام حل النظام الآتي مستعملًا التعويض: ص = ٢س - ٤ -٦س + ٣ص = -١٢ عوّض عن ص بـ (٢س - ٤) في المعادلة الثانية. -٦س + ٣(٢س - ٤) = -١٢ -٦س + ٦س - ١٢ = -١٢ -١٢ = -١٢ بما أن الجملة الناتجة تشكل متطابقة، لذا يوجد عدد لا نهائي من الحلول. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- صيغة الميل والمقطع: إذا كُتبت كل من المعادلتين بصيغة الميل والمقطع (ص = م س + ب)، فيمكن مساواتهما معًا، ثم إيجاد قيمة س، وتعويضها لإيجاد قيمة ص. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- النظام غير المستقل: هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام في المثال ٣؛ لأنه عند كتابة المعادلتين بصيغة الميل والمقطع تكونان متطابقتين، ولهما التمثيل البياني نفسه.