5-3 حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح - صفحة 173 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 الحذف باستعمال الطرح

المفاهيم الأساسية

الحذف باستعمال الطرح: طريقة لحل نظام معادلتين خطيتين، تُستخدم عندما تشتمل كلتا المعادلتين على حد متطابق (نفس المتغير بنفس المعامل)، فيمكن طرح معادلة من الأخرى لحذف هذا المتغير.

خريطة المفاهيم

```markmap

أنظمة المعادلات الخطية

حالات النظام

حل واحد

• المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة
• مثال: ص = 5س + 1، 4س + ص = 10

لا يوجد حل

• المستقيمان متوازيان
• مثال: ص = س + 5، ص = س - 2

عدد لا نهائي من الحلول

• المستقيمان متطابقان
• مثال: س + ص = 1، 3ص + 3س = 3

طرق الحل

التمثيل البياني

• رسم المستقيمات وتحديد نقطة التقاطع

التعويض

• حل إحدى المعادلتين لمتغير ثم التعويض

الحذف بالجمع أو الطرح

• جمع المعادلتين أو طرحهما لحذف أحد المتغيرين
• الخطوة 1: ترتيب الحدود المتشابهة فوق بعضها
• الخطوة 2: الجمع أو الطرح ثم حل المعادلة
• الخطوة 3: التعويض لإيجاد المتغير الثاني
• مثال: 4س + 6ص = 32، 3س - 6ص = 3 ← الحل (5، 2)

الحذف باستعمال الطرح

الشرط

• وجود حد متطابق في المعادلتين (نفس المتغير بنفس المعامل)

الخطوات

• الخطوة 1: طرح المعادلتين لحذف المتغير المتطابق
• الخطوة 2: حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول
• الخطوة 3: التعويض في إحدى المعادلتين لإيجاد المتغير الثاني

مثال 3

• ٥ ر + ٢ ت = ٦
• ٩ ر + ٢ ت = ٢٢
• بطرح المعادلتين: -٤ ر = -١٦ ← ر = ٤
• بالتعويض: ت = -٧
• الحل: (٤، -٧)

كتابة نظام من معادلتين وحله

مثال 2

• ترجمة المسألة اللفظية إلى معادلتين
• تطبيق خطوات الحذف
• مثال: -3س + 5ص = -11، 3س + 7ص = -1 ← الحل (2، -1)

مثال 4 (وظائف)

• عبدالعزيز: ٨.٥ ريال/ساعة، عبدالرحمن: ٧.٥ ريال/ساعة
• مجموع اليومين الأولين: ٢٩٩ ريالاً
• بعد مضاعفة ساعات عبدالعزيز: ٤١٢ ريالاً
• المطلوب: عدد ساعات عمل كل منهما في اليومين الأولين

تطبيقات

سباق الماراثون (سؤال 18)

• جدول زمن اللاعبين في 1425هـ و1430هـ
• كتابة معادلة التغير الزمني

العمل الخيري (سؤال 19)

• نسبة الرجال إلى النساء 7:5 من 60 متطوعاً

درجات الحرارة في الرياض

• أ + ب = 12، أ - ب = 2
• أ: أشهر ترتفع فيها الحرارة عن 30°س، ب: أشهر تنخفض فيها

```

نقاط مهمة

• شرط الحذف بالطرح: وجود حد متطابق في المعادلتين (نفس المتغير بنفس المعامل)
• خطوات الحل:

1. اطرح المعادلتين لحذف المتغير المتطابق

2. حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول

3. عوّض القيمة في إحدى المعادلتين لإيجاد المتغير الثاني

• مثال 3: النظام ٥ ر + ٢ ت = ٦ و ٩ ر + ٢ ت = ٢٢ → الحل (٤، -٧) والإجابة ج
• تحقق من فهمك (سؤال ٣): حل النظام ٨ ب + ٣ جـ = ١١ و ٨ ب + ٧ جـ = ٧ (اختيار من متعدد)
• مثال 4 (وظائف): كتابة نظام معادلات من مسألة واقعية لحساب ساعات العمل

الحذف باستعمال الطرح: يمكنك أحياناً حذف متغير بطرح معادلة من أخرى.

الحذف باستعمال الطرح حل النظام: ٥ ر + ٢ ت = ٦ ٩ ر + ٢ ت = ٢٢ أ) (٧، -١٥) ب) (٧، ٤/٩) ج) (٤، -٧) د) (٤، ٢/٥)

اقرأ الفقرة: بما أن كلتا المعادلتين تشتمل على ٢ ت، فيمكن حل النظام بالحذف باستعمال الطرح.

الخطوة ١: اطرح المعادلتين. ٥ ر + ٢ ت = ٦ ( - ) ٩ ر + ٢ ت = ٢٢ ------------------- -٤ ر = -١٦ ر = ٤ الخطوة ٢: عوّض عن ر بـ ٤ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة ت. ٥ ر + ٢ ت = ٦ ٥ (٤) + ٢ ت = ٦ ٢٠ + ٢ ت = ٦ ٢٠ + ٢ ت - ٢٠ = ٦ - ٢٠ ٢ ت = -١٤ ت = -٧ فيكون الحل (٤، -٧)، والإجابة الصحيحة هي ج.

تحقق من فهمك ٣) حل النظام: ٨ ب + ٣ جـ = ١١ ٨ ب + ٧ جـ = ٧ أ) (١، ٠.٥) ب) (١.٧٥، -١) ج) (١.٧٥، ١) د) (١.٥، ١)

الربط مع الحياة اهتم الإسلام بالعمل اليدوي المهني والتقني، فمارسه الرسول ﷺ والصحابة والتابعون بوصفه وسيلة إنتاجية وقيمة مهمة تؤدي إلى تطور البلاد وبناء حياة الإنسان والمجتمع.

كتابة نظام من المعادلات وحله وظائف: يعمل كل من عبدالعزيز وعبدالرحمن في متجر، فيحصل عبدالعزيز على ٨.٥ ريالات في الساعة، وعبدالرحمن على ٧.٥ ريالات في الساعة، وبلغ مجموع ما حصلا عليه خلال يومين ٥ ٢٩٩ ريالاً، وفي اليومين التاليين ضاعف عبدالعزيز عدد ساعات عمله فحصلا على ٤١٢ ريالاً، فما عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين الأولين؟ افهم: أنت تعلم مقدار ما يحصل عليه كل منهما في الساعة ومجموع ما حصلا عليه معاً. نريد معرفة عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين الأولين.

الحذف باستعمال الطرح: يمكنك أحياناً حذف متغير بطرح معادلة من أخرى. --- SECTION: مثال 3 من اختبار --- الحذف باستعمال الطرح حل النظام: ٥ ر + ٢ ت = ٦ ٩ ر + ٢ ت = ٢٢ أ) (٧، -١٥) ب) (٧، ٤/٩) ج) (٤، -٧) د) (٤، ٢/٥) اقرأ الفقرة: بما أن كلتا المعادلتين تشتمل على ٢ ت، فيمكن حل النظام بالحذف باستعمال الطرح. --- SECTION: حل الفقرة --- الخطوة ١: اطرح المعادلتين. ٥ ر + ٢ ت = ٦ ( - ) ٩ ر + ٢ ت = ٢٢ ------------------- -٤ ر = -١٦ ر = ٤ الخطوة ٢: عوّض عن ر بـ ٤ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة ت. ٥ ر + ٢ ت = ٦ ٥ (٤) + ٢ ت = ٦ ٢٠ + ٢ ت = ٦ ٢٠ + ٢ ت - ٢٠ = ٦ - ٢٠ ٢ ت = -١٤ ت = -٧ فيكون الحل (٤، -٧)، والإجابة الصحيحة هي ج. --- SECTION: 3 --- تحقق من فهمك ٣) حل النظام: ٨ ب + ٣ جـ = ١١ ٨ ب + ٧ جـ = ٧ أ) (١، ٠.٥) ب) (١.٧٥، -١) ج) (١.٧٥، ١) د) (١.٥، ١) الربط مع الحياة اهتم الإسلام بالعمل اليدوي المهني والتقني، فمارسه الرسول ﷺ والصحابة والتابعون بوصفه وسيلة إنتاجية وقيمة مهمة تؤدي إلى تطور البلاد وبناء حياة الإنسان والمجتمع. --- SECTION: مثال 4 من واقع الحياة --- كتابة نظام من المعادلات وحله وظائف: يعمل كل من عبدالعزيز وعبدالرحمن في متجر، فيحصل عبدالعزيز على ٨.٥ ريالات في الساعة، وعبدالرحمن على ٧.٥ ريالات في الساعة، وبلغ مجموع ما حصلا عليه خلال يومين ٥ ٢٩٩ ريالاً، وفي اليومين التاليين ضاعف عبدالعزيز عدد ساعات عمله فحصلا على ٤١٢ ريالاً، فما عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين الأولين؟ افهم: أنت تعلم مقدار ما يحصل عليه كل منهما في الساعة ومجموع ما حصلا عليه معاً. نريد معرفة عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين الأولين. --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: صورة لشخص يعمل في ورشة تقنية باستخدام أدوات يدوية ومعدات قياس.