5-3 حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح - صفحة 175 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 حل أنظمة المعادلات بطريقة الحذف

المفاهيم الأساسية

طريقة الحذف: حل نظام معادلتين بجمع المعادلتين أو طرحهما لحذف أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة الناتجة والتعويض لإيجاد المتغير الآخر.

خريطة المفاهيم

```markmap

أنظمة المعادلات الخطية

حالات النظام

حل واحد

• المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة
• مثال: ص = 5س + 1، 4س + ص = 10

لا يوجد حل

• المستقيمان متوازيان
• مثال: ص = س + 5، ص = س - 2

عدد لا نهائي من الحلول

• المستقيمان متطابقان
• مثال: س + ص = 1، 3ص + 3س = 3

طرق الحل

التمثيل البياني

• رسم المستقيمات وتحديد نقطة التقاطع

التعويض

• حل إحدى المعادلتين لمتغير ثم التعويض

الحذف بالجمع أو الطرح

• جمع المعادلتين أو طرحهما لحذف أحد المتغيرين
• الخطوة 1: ترتيب الحدود المتشابهة فوق بعضها
• الخطوة 2: الجمع أو الطرح ثم حل المعادلة
• الخطوة 3: التعويض لإيجاد المتغير الثاني
• مثال: 4س + 6ص = 32، 3س - 6ص = 3 ← الحل (5، 2)

الحذف باستعمال الطرح

الشرط

• وجود حد متطابق في المعادلتين (نفس المتغير بنفس المعامل)

الخطوات

• الخطوة 1: طرح المعادلتين لحذف المتغير المتطابق
• الخطوة 2: حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول
• الخطوة 3: التعويض في إحدى المعادلتين لإيجاد المتغير الثاني

مثال 3

• ٥ ر + ٢ ت = ٦
• ٩ ر + ٢ ت = ٢٢
• بطرح المعادلتين: -٤ ر = -١٦ ← ر = ٤
• بالتعويض: ت = -٧
• الحل: (٤، -٧)

كتابة نظام من معادلتين وحله

مثال 2

• ترجمة المسألة اللفظية إلى معادلتين
• تطبيق خطوات الحذف
• مثال: -3س + 5ص = -11، 3س + 7ص = -1 ← الحل (2، -1)

مثال 4 (وظائف)

• عبدالعزيز: ٨.٥ ريال/ساعة، عبدالرحمن: ٧.٥ ريال/ساعة
• مجموع اليومين الأولين: ٢٩٩ ريالاً
• بعد مضاعفة ساعات عبدالعزيز: ٤١٢ ريالاً
• المطلوب: عدد ساعات عمل كل منهما في اليومين الأولين

تطبيقات

سباق الماراثون (سؤال 18)

• جدول زمن اللاعبين في 1425هـ و1430هـ
• كتابة معادلة التغير الزمني

العمل الخيري (سؤال 19)

• نسبة الرجال إلى النساء 7:5 من 60 متطوعاً

درجات الحرارة في الرياض

• أ + ب = 12، أ - ب = 2
• أ: أشهر ترتفع فيها الحرارة عن 30°س، ب: أشهر تنخفض فيها

تمارين تأكد

الحذف بالطرح

• ٥ م - ب = ٧، ٧ م - ب = ١١
• ٧ ف + ٣ جـ = -٦، ٧ ف - ٢ جـ = -٣١

الحذف بالجمع

• ٨ س + ٥ ص = ٣٨، -٨ س + ٢ ص = ٤

مسائل لفظية

• حفلات: مسفر ومحمود (الفرق ٥، المجموع ٤٧)
• عددان مجموعهما ٢٤، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني = ١٢
• طلاب: الابتدائية تزيد عن المتوسطة بـ ١٨ ألف، المجموع ٤٤ ألف

تمارين تدرب وحل المسائل (صفحة 175)

تمارين الحذف المباشر

• س 6: ف + و = 7، ف + و = 1 (طرح)
• س 7: ص + ز = 4، ص - ز = 8 (جمع)
• س 8: -4س + 5ص = 17، 4س + 6ص = -6 (جمع)
• س 9: أ + 4ب = -4، أ + 10ب = -16 (طرح)
• س 10: 9س + 6ص = 78، 3س - 6ص = -30 (جمع)
• س 11: 6س - 2ص = 1، 10س - 2ص = 5 (طرح)

الحذف بعد إعادة الترتيب

• س 15: 4(س + 2ص) = 8 ← 4س + 8ص = 8، ثم 4س + 4ص = 12 (طرح)
• س 17: 4س + 3ص = 6، 3س + 3ص = 7 (طرح)

الحذف مع الكسور

• س 16: 1/2س + 2/3ص = 2/3، 1/4س - 1/3ص = 1/6 (ضرب في المضاعف المشترك ثم الجمع)

مسائل لفظية

• س 12: عددان مجموعهما 22 والفرق بينهما 12
• س 13: عددان مجموعهما 11، وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر = -3
• س 14: جدول تكاليف شحن السيارات (2صغيرة + 5كبيرة = 3800، 2صغيرة + 3كبيرة = 2600)
• س 18: برجا المملكة والفيصلية (المجموع 567، الفرق 33)
• س 19: سباق الدراجات (80 متسابقاً، الصغار أكثر بـ 10)

```

نقاط مهمة

• س 6: المعادلتان متطابقتان في المتغيرين → طرحهما يعطي 0 = 6، أي لا يوجد حل (نظام غير متسق)
• س 7: بجمع المعادلتين يُحذف المتغير ز → 2ص = 12 ← ص = 6، ثم بالتعويض ز = -2
• س 8: بجمع المعادلتين يُحذف المتغير س → 11ص = 11 ← ص = 1، ثم بالتعويض س = -3
• س 9: بطرح المعادلتين يُحذف المتغير أ → -6ب = 12 ← ب = -2، ثم بالتعويض أ = 4
• س 10: بجمع المعادلتين يُحذف المتغير ص → 12س = 48 ← س = 4، ثم بالتعويض ص = 7
• س 11: بطرح المعادلتين يُحذف المتغير ص → -4س = -4 ← س = 1، ثم بالتعويض ص = 2.5
• س 12: العددان هما 17 و5 (المجموع 22 والفرق 12)
• س 13: العددان هما 2 و9 (المجموع 11، و3×2 - 9 = -3)
• س 14: أجرة السيارة الصغيرة = 400 ريال، الكبيرة = 600 ريال (بطرح المعادلتين: 2ص = 1200 ← ص = 600)
• س 15: بفك القوس: 4س + 8ص = 8، وبطرح المعادلتين: 4ص = -4 ← ص = -1، ثم س = 4
• س 16: بضرب المعادلة الأولى في 6 والثانية في 12: 3س + 4ص = 4، 3س - 4ص = 2 ← بالجمع: 6س = 6 ← س = 1، ص = 1/4
• س 17: بطرح المعادلتين: س = -1، ثم بالتعويض: ص = 10/3
• س 18: ارتفاع برج المملكة = 300م، الفيصلية = 267م (بجمع المعادلتين: 2م = 600 ← م = 300)
• س 19: الصغار = 45، الكبار = 35 (س + ص = 80، س - ص = 10 ← بالجمع: 2س = 90 ← س = 45)

تدرب وحل المسائل

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

6) ف + و = 7 ف + و = 1

7) ص + ز = 4 ص - ز = 8

8) -4س + 5ص = 17 4س + 6ص = -6

9) أ + 4ب = -4 أ + 10ب = -16

10) 9س + 6ص = 78 3س - 6ص = -30

11) 6س - 2ص = 1 10س - 2ص = 5

12) ما العددان اللذان مجموعهما 22 والفرق بينهما 12؟

13) ما العددان اللذان مجموعهما 11، وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر يساوي -3؟

14) شحن سيارات: يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى مدينة أخرى. أوجد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة.

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

15) 4(س + 2ص) = 8 4س + 4ص = 12

16) 1/2س + 2/3ص = 2/3 1/4س - 1/3ص = 1/6

17) 4س + 3ص = 6 3س + 3ص = 7

18) فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاعي برجي المملكة والفيصلية معاً 567 متراً، ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية بـ 33 متراً. أ) ما ارتفاع برج المملكة؟ ب) ما ارتفاع الفيصلية؟

19) سباق الدراجات: شارك 80 متسابقاً في سباق الدراجات الهوائية ضمن ملتقى جازان الرابع من فئتي الكبار والصغار. وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار بـ 10. أ) افترض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار، ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار. ثم اكتب نظاماً من معادلتين يمثل هذا الموقف. ب) استعمل الحذف لحل هذا النظام. ج) فسّر الحل في سياق هذا الموقف. د) مثل هذا النظام بيانياً للتأكد من صحة الحل.

تدرب وحل المسائل حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف: --- SECTION: 6 --- 6) ف + و = 7 ف + و = 1 --- SECTION: 7 --- 7) ص + ز = 4 ص - ز = 8 --- SECTION: 8 --- 8) -4س + 5ص = 17 4س + 6ص = -6 --- SECTION: 9 --- 9) أ + 4ب = -4 أ + 10ب = -16 --- SECTION: 10 --- 10) 9س + 6ص = 78 3س - 6ص = -30 --- SECTION: 11 --- 11) 6س - 2ص = 1 10س - 2ص = 5 --- SECTION: 12 --- 12) ما العددان اللذان مجموعهما 22 والفرق بينهما 12؟ --- SECTION: 13 --- 13) ما العددان اللذان مجموعهما 11، وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر يساوي -3؟ --- SECTION: 14 --- 14) شحن سيارات: يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى مدينة أخرى. أوجد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة. حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف: --- SECTION: 15 --- 15) 4(س + 2ص) = 8 4س + 4ص = 12 --- SECTION: 16 --- 16) 1/2س + 2/3ص = 2/3 1/4س - 1/3ص = 1/6 --- SECTION: 17 --- 17) 4س + 3ص = 6 3س + 3ص = 7 --- SECTION: 18 --- 18) فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاعي برجي المملكة والفيصلية معاً 567 متراً، ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية بـ 33 متراً. أ) ما ارتفاع برج المملكة؟ ب) ما ارتفاع الفيصلية؟ أ. ما ارتفاع برج المملكة؟ ب. ما ارتفاع الفيصلية؟ --- SECTION: 19 --- 19) سباق الدراجات: شارك 80 متسابقاً في سباق الدراجات الهوائية ضمن ملتقى جازان الرابع من فئتي الكبار والصغار. وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار بـ 10. أ) افترض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار، ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار. ثم اكتب نظاماً من معادلتين يمثل هذا الموقف. ب) استعمل الحذف لحل هذا النظام. ج) فسّر الحل في سياق هذا الموقف. د) مثل هذا النظام بيانياً للتأكد من صحة الحل. أ. افترض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار، ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار. ثم اكتب نظاماً من معادلتين يمثل هذا الموقف. ب. استعمل الحذف لحل هذا النظام. ج. فسّر الحل في سياق هذا الموقف. د. مثل هذا النظام بيانياً للتأكد من صحة الحل. --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عدد السيارات الصغيرة | عدد السيارات الكبيرة | الأجرة الكلية (بالريال) Rows: Row 1: 2 | 5 | 3800 Row 2: 2 | 3 | 2600 Calculation needed: استخدام طريقة الحذف لإيجاد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة Context: جدول بيانات لمسألة لفظية حول أنظمة المعادلات **FIGURE**: برج المملكة والفيصلية Description: صورة فوتوغرافية لبرجي المملكة والفيصلية في الرياض