5-3 حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح - صفحة 174 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الحذف

المفاهيم الأساسية

طريقة الحذف بالطرح: طرح المعادلتين رأسيًا للتخلص من المتغير المتطابق (نفس المتغير بنفس المعامل)، ثم حل المعادلة الناتجة، والتعويض لإيجاد المتغير الآخر.

طريقة بديلة (إرشادات للدراسة): يمكن ضرب إحدى المعادلتين في (-١) ثم جمع المعادلتين بدلًا من طرحهما.

خريطة المفاهيم

```markmap

أنظمة المعادلات الخطية

حالات النظام

حل واحد

• المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة
• مثال: ص = 5س + 1، 4س + ص = 10

لا يوجد حل

• المستقيمان متوازيان
• مثال: ص = س + 5، ص = س - 2

عدد لا نهائي من الحلول

• المستقيمان متطابقان
• مثال: س + ص = 1، 3ص + 3س = 3

طرق الحل

التمثيل البياني

• رسم المستقيمات وتحديد نقطة التقاطع

التعويض

• حل إحدى المعادلتين لمتغير ثم التعويض

الحذف بالجمع أو الطرح

• جمع المعادلتين أو طرحهما لحذف أحد المتغيرين
• الخطوة 1: ترتيب الحدود المتشابهة فوق بعضها
• الخطوة 2: الجمع أو الطرح ثم حل المعادلة
• الخطوة 3: التعويض لإيجاد المتغير الثاني
• مثال: 4س + 6ص = 32، 3س - 6ص = 3 ← الحل (5، 2)

الحذف باستعمال الطرح

الشرط

• وجود حد متطابق في المعادلتين (نفس المتغير بنفس المعامل)

الخطوات

• الخطوة 1: طرح المعادلتين لحذف المتغير المتطابق
• الخطوة 2: حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول
• الخطوة 3: التعويض في إحدى المعادلتين لإيجاد المتغير الثاني

مثال 3

• ٥ ر + ٢ ت = ٦
• ٩ ر + ٢ ت = ٢٢
• بطرح المعادلتين: -٤ ر = -١٦ ← ر = ٤
• بالتعويض: ت = -٧
• الحل: (٤، -٧)

كتابة نظام من معادلتين وحله

مثال 2

• ترجمة المسألة اللفظية إلى معادلتين
• تطبيق خطوات الحذف
• مثال: -3س + 5ص = -11، 3س + 7ص = -1 ← الحل (2، -1)

مثال 4 (وظائف)

• عبدالعزيز: ٨.٥ ريال/ساعة، عبدالرحمن: ٧.٥ ريال/ساعة
• مجموع اليومين الأولين: ٢٩٩ ريالاً
• بعد مضاعفة ساعات عبدالعزيز: ٤١٢ ريالاً
• المطلوب: عدد ساعات عمل كل منهما في اليومين الأولين

تطبيقات

سباق الماراثون (سؤال 18)

• جدول زمن اللاعبين في 1425هـ و1430هـ
• كتابة معادلة التغير الزمني

العمل الخيري (سؤال 19)

• نسبة الرجال إلى النساء 7:5 من 60 متطوعاً

درجات الحرارة في الرياض

• أ + ب = 12، أ - ب = 2
• أ: أشهر ترتفع فيها الحرارة عن 30°س، ب: أشهر تنخفض فيها

تمارين تأكد

الحذف بالطرح

• ٥ م - ب = ٧، ٧ م - ب = ١١
• ٧ ف + ٣ جـ = -٦، ٧ ف - ٢ جـ = -٣١

الحذف بالجمع

• ٨ س + ٥ ص = ٣٨، -٨ س + ٢ ص = ٤

مسائل لفظية

• حفلات: مسفر ومحمود (الفرق ٥، المجموع ٤٧)
• عددان مجموعهما ٢٤، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني = ١٢
• طلاب: الابتدائية تزيد عن المتوسطة بـ ١٨ ألف، المجموع ٤٤ ألف

```

نقاط مهمة

• خطوات الحل: اكتب المعادلتين رأسيًا ← اطرح (أو اجمع) لحذف متغير ← حل المعادلة الناتجة ← عوّض لإيجاد المتغير الآخر ← تحقق من الحل.
• مثال تطبيقي (أجور): إذا كان جـ = عدد ساعات عبدالعزيز، د = عدد ساعات عبدالرحمن، فبعد حل النظام:

- ٨,٥ جـ + ٧,٥ د = ٢٩٩,٥

- ٨,٥ جـ + ١٥ د = ٤١٢

- الناتج: جـ = ٢٢ ساعة، د = ١٥ ساعة

• التحقق: عوّض قيمتي المتغيرين في المعادلة الأخرى للتأكد من صحة الحل.

إرشادات للدراسة: طريقة أخرى: يمكنك ضرب إحدى المعادلتين في (-١)، ثم جمع المعادلتين بدلًا من طرحهما.

خطط: افترض أن جـ = عدد ساعات عمل عبدالعزيز، د = عدد ساعات عمل عبدالرحمن. أجرة عبدالعزيز ٨,٥ جـ + أجرة عبدالرحمن ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ ريالًا أجرة عبدالعزيز ٨,٥ جـ + أجرة عبدالرحمن ٧,٥ (٢) د = ٤١٢ ريالًا حل: اطرح المعادلتين للتخلص من أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة الناتجة في المتغير الآخر. اكتب المعادلتين رأسيًا: ٨,٥ جـ + ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ (٨,٥ جـ + ٧,٥ (٢) د = ٤١٢) (-) بسط. اطرح لحذف المتغير جـ. -١٥ د = -١١٢,٥ اقسم كلا الطرفين على -٧,٥. د = ١٥ والآن عوض عن د بـ ١٥ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة جـ. المعادلة الأولى: ٨,٥ جـ + ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ عوض عن د بـ ١٥: ٨,٥ جـ + ٧,٥ (١٥) = ٢٩٩,٥ بسط: ٨,٥ جـ + ١١٢,٥ = ٢٩٩,٥ اطرح ١١٢,٥ من كلا الطرفين: ٨,٥ جـ = ١٨٧ اقسم كلا الطرفين على ٨,٥: جـ = ٢٢ تحقق: عوض كلا المتغيرين في المعادلة الأخرى للتأكد من صحة الحل. إذا كان جـ = ٢٢، د = ١٥، فإن ٨,٥ (٢٢) + ٧,٥ (١٥) = ٤١٢ وعليه ففي اليومين عمل عبدالعزيز ٢٢ ساعة، وعبدالرحمن ١٥ ساعة.

٤) حفلات: أقام مسفر ومحمود حفلاً بمناسبة نجاحهما، فإذا كان عدد الأصدقاء الذين دعاهم مسفر يقل بـ ٥ عن الذين دعاهم محمود، وكان مجموع الأصدقاء المدعوين ٤٧، فكم شخصًا دعا كل منهما؟

تأكد

١) حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف: ٥ م - ب = ٧ ٧ م - ب = ١١

٢) ٨ س + ٥ ص = ٣٨ -٨ س + ٢ ص = ٤

٣) ٧ ف + ٣ جـ = -٦ ٧ ف - ٢ جـ = -٣١

٤) ما العددان اللذان مجموعهما ٢٤، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني يساوي ١٢؟

٥) طلاب: يزيد عدد طلاب المرحلة الابتدائية في مدينة ما على عدد طلاب المرحلة المتوسطة بـ ١٨ ألف طالب. فإذا علمت أن عدد الطلاب في المرحلتين ٤٤ ألف طالب، فما عدد الطلاب في كل مرحلة؟

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة: طريقة أخرى: يمكنك ضرب إحدى المعادلتين في (-١)، ثم جمع المعادلتين بدلًا من طرحهما. خطط: افترض أن جـ = عدد ساعات عمل عبدالعزيز، د = عدد ساعات عمل عبدالرحمن. أجرة عبدالعزيز ٨,٥ جـ + أجرة عبدالرحمن ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ ريالًا أجرة عبدالعزيز ٨,٥ جـ + أجرة عبدالرحمن ٧,٥ (٢) د = ٤١٢ ريالًا حل: اطرح المعادلتين للتخلص من أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة الناتجة في المتغير الآخر. اكتب المعادلتين رأسيًا: ٨,٥ جـ + ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ (٨,٥ جـ + ٧,٥ (٢) د = ٤١٢) (-) بسط. اطرح لحذف المتغير جـ. -١٥ د = -١١٢,٥ اقسم كلا الطرفين على -٧,٥. د = ١٥ والآن عوض عن د بـ ١٥ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة جـ. المعادلة الأولى: ٨,٥ جـ + ٧,٥ د = ٢٩٩,٥ عوض عن د بـ ١٥: ٨,٥ جـ + ٧,٥ (١٥) = ٢٩٩,٥ بسط: ٨,٥ جـ + ١١٢,٥ = ٢٩٩,٥ اطرح ١١٢,٥ من كلا الطرفين: ٨,٥ جـ = ١٨٧ اقسم كلا الطرفين على ٨,٥: جـ = ٢٢ تحقق: عوض كلا المتغيرين في المعادلة الأخرى للتأكد من صحة الحل. إذا كان جـ = ٢٢، د = ١٥، فإن ٨,٥ (٢٢) + ٧,٥ (١٥) = ٤١٢ وعليه ففي اليومين عمل عبدالعزيز ٢٢ ساعة، وعبدالرحمن ١٥ ساعة. --- SECTION: ٤ --- ٤) حفلات: أقام مسفر ومحمود حفلاً بمناسبة نجاحهما، فإذا كان عدد الأصدقاء الذين دعاهم مسفر يقل بـ ٥ عن الذين دعاهم محمود، وكان مجموع الأصدقاء المدعوين ٤٧، فكم شخصًا دعا كل منهما؟ تأكد --- SECTION: ١ --- ١) حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف: ٥ م - ب = ٧ ٧ م - ب = ١١ --- SECTION: ٢ --- ٢) ٨ س + ٥ ص = ٣٨ -٨ س + ٢ ص = ٤ --- SECTION: ٣ --- ٣) ٧ ف + ٣ جـ = -٦ ٧ ف - ٢ جـ = -٣١ --- SECTION: ٤ --- ٤) ما العددان اللذان مجموعهما ٢٤، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني يساوي ١٢؟ --- SECTION: ٥ --- ٥) طلاب: يزيد عدد طلاب المرحلة الابتدائية في مدينة ما على عدد طلاب المرحلة المتوسطة بـ ١٨ ألف طالب. فإذا علمت أن عدد الطلاب في المرحلتين ٤٤ ألف طالب، فما عدد الطلاب في كل مرحلة؟