3-2 تمثيل المعادلات الخطية بيانياً - صفحة 66 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 تمثيل المعادلات الخطية بيانياً

المفاهيم الأساسية

المقطع السيني: موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات، وقيمة ص فيه صفر دائماً.

المقطع الصادي: موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات، وقيمة س فيه صفر دائماً.

المستقيم الأفقي (ص = ب): له مقطع صادي فقط (ما لم تكن ب = صفر)، ويقع على النقطة (٠، ب).

المستقيم الرأسي (س = أ): له مقطع سيني فقط (ما لم تكن أ = صفر)، ويقع على النقطة (أ، ٠).

حلول المعادلة: كل زوج مرتب يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة على المستقيم، وأي زوج مرتب لا يجعلها صحيحة يمثل نقطة لا تقع على المستقيم.

خريطة المفاهيم

```markmap

تمثيل المعادلات الخطية بيانياً

المقطعان السيني والصادي

• المقطع السيني: قيمة س عندما ص = ٠
• المقطع الصادي: قيمة ص عندما س = ٠

إيجاد المقطعين من جدول

• مثال ٣: بركة سباحة

- المقطع السيني = ١٤ (الزمن اللازم للتفريغ الكامل)

- المقطع الصادي = ١٠٠٨٠ (كمية الماء قبل التفريغ)

تمثيل المعادلة بيانياً

• إيجاد المقطعين السيني والصادي
• تكوين نقطتين (س، ٠) و (٠، ص)
• استعمال النقطتين لتمثيل المستقيم

مثال ٤: تمثيل ٢س + ٤ص = ١٦

• المقطع السيني: ضع ص = ٠ ← س = ٨ ← النقطة (٨، ٠)
• المقطع الصادي: ضع س = ٠ ← ص = ٤ ← النقطة (٠، ٤)

تمييز المتغيرات

• المتغير المستقل: الزمن (س)
• المتغير التابع: كمية الماء (ص)

المعادلات المتكافئة

• إعادة كتابة المعادلة بدلالة ص يسهل إيجاد قيم ص
• مثال: ٤س + ص = -٣ ← ص = -٤س - ٣

حالات خاصة للمستقيمات

• ص = ب: مستقيم أفقي، مقطع صادي فقط (٠، ب)
• س = أ: مستقيم رأسي، مقطع سيني فقط (أ، ٠)

مثال ٥: التمثيل البياني بتكوين جدول

• اختيار قيم من المجال (مضاعفات المقام عند وجود كسر)
• تكوين جدول قيم وحساب ص
• تمثيل الأزواج المرتبة وتوصيلها بخط مستقيم

```

نقاط مهمة

• لإيجاد المقطع السيني: ضع ص = ٠ في المعادلة وحل لإيجاد س
• لإيجاد المقطع الصادي: ضع س = ٠ في المعادلة وحل لإيجاد ص
• عند التمثيل البياني بتكوين جدول، اختر قيماً من المجال، وإذا كان معامل س كسراً فاختر مضاعفات المقام
• المستقيم الأفقي ص = ب له مقطع صادي فقط، والمستقيم الرأسي س = أ له مقطع سيني فقط

المقطعان السيني والصادي: المقطع السيني هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات، وقيمة ص فيه صفر دائماً. والمقطع الصادي هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات، وقيمة س فيه صفر دائماً.

ولإيجاد المقطع الصادي ضع س = ٠ ٢س + ٤ص = ١٦ (المعادلة الأصلية) ٢(٠) + ٤ص = ١٦ (عوض عن س بصفر) ٤ص = ١٦ (بسط) ص = ٤ (اقسم على ٤) فيكون المقطع الصادي ٤؛ أي أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة (٠، ٤). عيّن هاتين النقطتين في المستوى الإحداثي، ثم صِل بينهما بخط مستقيم.

تحقق من فهمك: مثّل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي: ٤أ) - س + ٢ص = ٣ ٤ب) ص = - س - ٥

لاحظ أن المعادلة في المثال ٤ لها مقطع سيني ومقطع صادي. إلا أن بعض المستقيمات قد يكون لها مقطع سيني ولا يوجد لها مقطع صادي أو بالعكس. فمثلاً التمثيل البياني لـ ص = ب هو مستقيم أفقي له مقطع صادي فقط (ما لم تكن ب = صفر)، ويكون موقع المقطع على النقطة (٠، ب). والتمثيل البياني لـ س = أ هو مستقيم رأسي له مقطع سيني فقط (ما لم تكن أ = ٠)، ويكون موقع المقطع على النقطة (أ، ٠). وكل زوج مرتب يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة على المستقيم، لذا فالتمثيل البياني للمعادلة يمثل جميع حلولها. وأي زوج مرتب لا يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة لا تقع على المستقيم.

مثال ٥: التمثيل البياني بتكوين جدول مثّل المعادلة ص = ١/٣س + ٢ بيانيًا. المجال جميع الأعداد الحقيقية. اختر قيماً للمجال وكوّن جدولاً. ويفضل عندما يكون معامل س كسراً أن تختار أعداداً من المجال تكون من مضاعفات المقام، ثم تكوّن أزواجاً مرتبة وتمثلها بيانيًا.

تحقق من فهمك: مثّل بيانيًا كل معادلة فيما يأتي بتكوين جدول: ٥أ) ٢س - ص = ٢ ٥ب) س = ٣ ٥ج) ص = - ٢

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- المقطعان السيني والصادي: المقطع السيني هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات، وقيمة ص فيه صفر دائماً. والمقطع الصادي هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات، وقيمة س فيه صفر دائماً. ولإيجاد المقطع الصادي ضع س = ٠ ٢س + ٤ص = ١٦ (المعادلة الأصلية) ٢(٠) + ٤ص = ١٦ (عوض عن س بصفر) ٤ص = ١٦ (بسط) ص = ٤ (اقسم على ٤) فيكون المقطع الصادي ٤؛ أي أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة (٠، ٤). عيّن هاتين النقطتين في المستوى الإحداثي، ثم صِل بينهما بخط مستقيم. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك: مثّل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي: ٤أ) - س + ٢ص = ٣ ٤ب) ص = - س - ٥ لاحظ أن المعادلة في المثال ٤ لها مقطع سيني ومقطع صادي. إلا أن بعض المستقيمات قد يكون لها مقطع سيني ولا يوجد لها مقطع صادي أو بالعكس. فمثلاً التمثيل البياني لـ ص = ب هو مستقيم أفقي له مقطع صادي فقط (ما لم تكن ب = صفر)، ويكون موقع المقطع على النقطة (٠، ب). والتمثيل البياني لـ س = أ هو مستقيم رأسي له مقطع سيني فقط (ما لم تكن أ = ٠)، ويكون موقع المقطع على النقطة (أ، ٠). وكل زوج مرتب يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة على المستقيم، لذا فالتمثيل البياني للمعادلة يمثل جميع حلولها. وأي زوج مرتب لا يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة لا تقع على المستقيم. --- SECTION: مثال ٥ --- مثال ٥: التمثيل البياني بتكوين جدول مثّل المعادلة ص = ١/٣س + ٢ بيانيًا. المجال جميع الأعداد الحقيقية. اختر قيماً للمجال وكوّن جدولاً. ويفضل عندما يكون معامل س كسراً أن تختار أعداداً من المجال تكون من مضاعفات المقام، ثم تكوّن أزواجاً مرتبة وتمثلها بيانيًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك: مثّل بيانيًا كل معادلة فيما يأتي بتكوين جدول: ٥أ) ٢س - ص = ٢ ٥ب) س = ٣ ٥ج) ص = - ٢ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A line passing through (0, 4) and (8, 0) with a negative slope. **GRAPH**: Untitled Description: Shows a horizontal line y=b and a vertical line x=a. **GRAPH**: Untitled Description: Line representing y = 1/3x + 2 passing through points (-3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4). **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: س | ١/٣س + ٢ | ص | (س، ص) Rows: Row 1: -٣ | ١/٣(-٣) + ٢ | ١ | (-٣، ١) Row 2: ٠ | ١/٣(٠) + ٢ | ٢ | (٠، ٢) Row 3: ٣ | ١/٣(٣) + ٢ | ٣ | (٣، ٣) Row 4: ٦ | ١/٣(٦) + ٢ | ٤ | (٦، ٤) Calculation needed: Table showing calculation of y values for given x values to plot the line.