صفحة 101 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 37: فيزياء: أسقط بالون ماء في تجربة من نافذة في المدرسة، ارتفاعها ٩م. ما الزمن الذي يستغرقه البالون ليصل إلى الأرض؟ قرب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

الإجابة: t = 1.36

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | الارتفاع | h | 9 | m | | تسارع الجاذبية | g | 9.8 | m/s² | | السرعة الابتدائية | u | 0 | m/s | **المطلوب:** الزمن (t) حتى يصطدم البالون بالأرض.
2. **القانون المستخدم:** معادلة الحركة تحت تأثير الجاذبية (بدون سرعة ابتدائية): $$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$
3. **الخطوة 1:** عوض المعطيات في القانون: $$ 9 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
4. **الخطوة 2:** اضرب الطرفين في 2 للتخلص من الكسر: $$ 18 = 9.8 \times t^2 $$
5. **الخطوة 3:** اقسم الطرفين على 9.8: $$ t^2 = \frac{18}{9.8} \approx 1.83673469388 $$
6. **الخطوة 4:** خذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد t: $$ t = \sqrt{1.83673469388} \approx 1.35526 $$
7. **الخطوة 5:** قرّب النتيجة إلى أقرب جزء من مئة (منزلتين عشريتين): $$ t \approx 1.36 $$
8. > **ملاحظة:** تم استخدام تسارع الجاذبية الأرضية القياسي $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$. إذا تم افتراض $g = 10 \, \text{m/s}^2$، ستكون الإجابة مختلفة. ∴ الزمن الذي يستغرقه البالون ليصل إلى الأرض هو **حوالي 1.36 ثانية**.

سؤال 38: هندسة: مثلث مساحة مربع بالعبارة ٤س٢ - ٩س + ٤٩. أوجد طول ضلع المربع.

الإجابة: س = ٧

خطوات الحل:

1. | المعطيات | التعبير | |----------|----------| | مساحة المربع | $4س^2 - 9س + 49$ | **المطلوب:** طول ضلع المربع (ليكن $ل$).
2. **المبدأ المستخدم:** مساحة المربع = (طول الضلع)². أي: $$ ل^2 = 4س^2 - 9س + 49 $$
3. **الخطوة 1:** لاحظ أن العبارة $4س^2 - 9س + 49$ **ليست** مربعًا كاملاً بالشكل $(أس + ب)^2$، لأن الحد الأوسط (-9س) لا يساوي $2 \times (2س) \times (7) = 28س$. > لكن الإجابة المعطاة (س = 7) تشير إلى أن طول الضلع قد يكون قيمة عددية ثابتة، وليس تعبيرًا في س. ربما يكون السؤال يقصد إيجاد قيمة س عندما يكون طول الضلع معروفًا، أو أن هناك خطأ في صياغة العبارة. لنفترض أن المقصود هو إيجاد قيمة س التي تجعل العبارة تمثل مربعًا كاملاً.
4. **الخطوة 2:** لتكون العبارة مربعًا كاملاً، يجب أن تكون على الصورة $(2س - 7)^2 = 4س^2 - 28س + 49$ أو $(2س + 7)^2 = 4س^2 + 28س + 49$. في كلتا الحالتين، الحد الأوسط يجب أن يكون $\pm 28س$، وليس $-9س$.
5. **الخطوة 3:** بناءً على الإجابة النهائية $س = ٧$، يمكن تفسير ذلك بأن طول ضلع المربع هو 7 وحدات. هذا يعني أن مساحة المربع تساوي $7^2 = 49$. وبالتالي، نضع: $$ 4س^2 - 9س + 49 = 49 $$
6. **الخطوة 4:** حل المعادلة الناتجة: $$ 4س^2 - 9س + 49 - 49 = 0 $$ $$ 4س^2 - 9س = 0 $$ $$ س(4س - 9) = 0 $$
7. **الخطوة 5:** إذن: $$ س = 0 \quad \text{أو} \quad 4س - 9 = 0 \Rightarrow س = \frac{9}{4} = 2.25 $$
8. > **تنبيه:** هذه القيم (0 و 2.25) لا تساوي 7. هذا تناقض. ربما يكون السؤال يعني أن العبارة تمثل مربعًا كاملاً عند س=7، ولكن بالتعويض س=7 في $4س^2 - 9س + 49$ نحصل على 182 وليس 49. لذا، الأرجح أن العبارة الأصلية مختلفة (مثل $س^2 - 14س + 49$ وهو $(س-7)^2$).
9. **الخطوة 6:** بما أن الإجابة النهائية المعطاة هي $س = ٧$، سنفترض أن طول ضلع المربع هو $س$ نفسه، وأن المساحة هي $س^2$. ومن ثم، فإن $س^2 = 4س^2 - 9س + 49$، ونحل: $$ 0 = 3س^2 - 9س + 49 $$ مميز هذه المعادلة التربيعية سالب ($9^2 - 4\times3\times49 = 81 - 588 = -507$)، فلا يوجد حل حقيقي لـ س.
10. **الاستنتاج:** بناءً على الإجابة المقدمة $س = ٧$، نستنتج أن **طول ضلع المربع هو 7 وحدات**، وقد يكون هناك خطأ مطبعي في العبارة المذكورة في السؤال. في حال كانت العبارة الصحيحة للمساحة هي $س^2 - 14س + 49$ أو $4س^2 - 28س + 49$، فإن طول الضلع سيكون $(س-7)$ أو $(2س-7)$ على التوالي.

سؤال 39: هندسة: إذا كانت العبارة ٨س٢ + ٤٠س + ٥٠، ومتى تمثل حجم منشور رباعي قاعدته مستطيلة، فأوجد أبعاد المنشور الممكنة على صورة كثيرات الحدود بمعاملات أعداد صحيحة.

الإجابة: (2س + 5) (2س + 5) (2س + 5)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | التعبير | |----------|----------| | حجم المنشور الرباعي (متوازي المستطيلات) | $8س^2 + 40س + 50$ | **المطلوب:** إيجاد أبعاد المنشور الممكنة (ثلاثة عوامل) على صورة كثيرات حدود بمعاملات أعداد صحيحة.
2. **المبدأ المستخدم:** حجم المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة = الطول × العرض × الارتفاع. نحتاج لتحليل العبارة إلى حاصل ضرب ثلاثة عوامل.
3. **الخطوة 1:** لاحظ أن جميع المعاملات تقبل القسمة على 2. نبدأ بإخراج **العامل المشترك الأكبر**: $$ 8س^2 + 40س + 50 = 2(4س^2 + 20س + 25) $$
4. **الخطوة 2:** حلل العبارة داخل القوس $4س^2 + 20س + 25$: لاحظ أنها ثلاثية حدود مربع كامل، لأن: - $4س^2 = (2س)^2$ - $25 = (5)^2$ - $20س = 2 \times (2س) \times (5)$ إذن: $$ 4س^2 + 20س + 25 = (2س + 5)^2 $$
5. **الخطوة 3:** بالتعويض، يصبح حجم المنشور: $$ \text{الحجم} = 2 \times (2س + 5)^2 $$
6. **الخطوة 4:** لتمثيل الحجم كحاصل ضرب ثلاثة أبعاد، يمكن أن نكتب: $$ \text{الحجم} = 2 \times (2س + 5) \times (2س + 5) $$ أو يمكن اعتبار أن $ (2س + 5)^2 = (2س+5) \times (2س+5)$، وبالتالي الأبعاد هي: **2**، **(2س+5)**، **(2س+5)**.
7. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في السؤال هي $(2س + 5) (2س + 5) (2س + 5)$، وهذا يعني أن الحجم يجب أن يكون $(2س+5)^3 = 8س^3 + 60س^2 + 150س + 125$، وهو لا يساوي العبارة المعطاة. لذلك، قد يكون هناك خطأ في نسخ العبارة الأصلية. لو كانت العبارة $8س^3 + 40س^2 + 50س$، لكان التحليل كالتالي: $2س(4س^2+20س+25)=2س(2س+5)^2$، والأبعاد تكون $2س$، $(2س+5)$، $(2س+5)$.
8. **الخطوة 5:** بناءً على العبارة المعطاة $8س^2 + 40س + 50$، فإن **أبعاد المنشور الممكنة** (كثيرات حدود بمعاملات صحيحة) هي: 1. **الطول** = $2$ 2. **العرض** = $2س + 5$ 3. **الارتفاع** = $2س + 5$ أو أي تبديل بين هذه الأبعاد.

سؤال 40: اكتشف الخطأ: حلل منصور وفيصل العبارة س٨ - س٢ تحليلاً تامًا، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك. منصور: س٢ (س٦ - ١) فيصل: س٢ (س٤ - ١) (س٢ + ١)

الإجابة: إجابة فيصل هي الصحيحة، لأن التحليل التام هو: س² (س³ - ١) (س³ + ١) = س² (س - ١) (س² + س + ١) (س + ١) (س² - س + ١)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | التعبير | الحلول المقترحة | |----------|----------|------------------| | العبارة الأصلية | $س^8 - س^2$ | تحليل منصور: $س^2 (س^6 - 1)$ <br> تحليل فيصل: $س^2 (س^4 - 1)(س^2 + 1)$ | **المطلوب:** تحديد من كانت إجابته صحيحة، وتفسير السبب.
2. **المبدأ المستخدم:** التحليل التام يعني تحليل العبارة إلى عوامل لا يمكن تحليلها أكثر في مجال الأعداد الحقيقية (أو الصحيحة). نستخدم قوانين **فرق المربعين** و **فرق المكعبين** و **مجموع المكعبين** عند الحاجة.
3. **الخطوة 1:** ابدأ بالعبارة الأصلية وأخرج العامل المشترك الأكبر: $$ س^8 - س^2 = س^2 (س^6 - 1) $$ هذه هي خطوة منصور، وهي صحيحة ولكن غير تامة لأن $(س^6 - 1)$ يمكن تحليله أكثر.
4. **الخطوة 2:** حلل $(س^6 - 1)$ كفرق مربعين: $$ س^6 - 1 = (س^3)^2 - (1)^2 = (س^3 - 1)(س^3 + 1) $$
5. **الخطوة 3:** الآن حلل كلاً من $س^3 - 1$ (فرق مكعبين) و $س^3 + 1$ (مجموع مكعبين): - **فرق مكعبين:** $س^3 - 1 = (س - 1)(س^2 + س + 1)$ - **مجموع مكعبين:** $س^3 + 1 = (س + 1)(س^2 - س + 1)$
6. **الخطوة 4:** اجمع كل التحليلات: $$ س^8 - س^2 = س^2 \times (س^3 - 1) \times (س^3 + 1) $$ $$ = س^2 \times (س - 1)(س^2 + س + 1) \times (س + 1)(س^2 - س + 1) $$
7. **الخطوة 5:** رتب العوامل: $$ س^8 - س^2 = س^2 (س - 1)(س + 1)(س^2 + س + 1)(س^2 - س + 1) $$
8. **الخطوة 6:** قارن مع تحليل فيصل: $س^2 (س^4 - 1)(س^2 + 1)$. - لاحظ أن $(س^4 - 1)$ يمكن تحليله إلى $(س^2 - 1)(س^2 + 1) = (س-1)(س+1)(س^2+1)$. - إذن تحليل فيصل يصبح: $س^2 \times (س-1)(س+1)(س^2+1) \times (س^2+1) = س^2 (س-1)(س+1)(س^2+1)^2$. هذا يختلف عن التحليل التام الذي حصلنا عليه، لأن $(س^2+1)^2$ ليس تحليلاً تاماً (يمكن تحليله في الأعداد المركبة لكن ليس في الحقيقية)، كما أن العبارات $(س^2 + س + 1)$ و $(س^2 - س + 1)$ لم تظهر.
9. **الخطوة 7:** تحقق: هل $(س^4 - 1)(س^2+1)$ يساوي $(س^6 - 1)$؟ $$ (س^4 - 1)(س^2+1) = س^6 + س^4 - س^2 - 1 $$ وهذا **لا يساوي** $س^6 - 1$، لأن هناك حدين إضافيين $س^4$ و $-1$ إضافي. لذا تحليل فيصل خاطئ جبرياً.
10. **الخلاصة:** إجابة **منصور** ($س^2 (س^6 - 1)$) هي خطوة أولى صحيحة ولكنها ليست تحليلاً تاماً. إجابة **فيصل** غير صحيحة لأنها غير مكافئة جبرياً للعبارة الأصلية. التحليل التام الصحيح هو: $$ س^2 (س - 1)(س + 1)(س^2 + س + 1)(س^2 - س + 1) $$
11. > **توضيح:** الإجابة النموذجية المقدمة في السؤال ذكرت أن إجابة فيصل هي الصحيحة، ولكن مع تصحيحها إلى $س^2 (س^3 - 1)(س^3 + 1)$ والذي هو تحليل تام بعد تحليل $س^3 \pm 1$. ربما كان القصد أن فيصل كتب $س^2 (س^4 - 1)(س^2 + 1)$ وهو خطأ، ولكن التصحيح هو $س^2 (س^3 - 1)(س^3 + 1)$.

سؤال 41: تحد: حلل س١٠ + س٥ + س٢ تحليلاً تامًا.

الإجابة: س² (س⁸ + س³ + ١)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | التعبير | |----------|----------| | العبارة المراد تحليلها | $س^{10} + س^5 + س^2$ | **المطلوب:** تحليل العبارة تحليلاً تاماً.
2. **المبدأ المستخدم:** إخراج العامل المشترك الأكبر، ثم محاولة تحليل ما بقي باستخدام التعويض أو تحديد النمط.
3. **الخطوة 1:** لاحظ أن جميع الحدود تحتوي على قوة لـ $س$. **أخرج العامل المشترك الأكبر** وهو $س^2$ (لأنه أصغر أس): $$ س^{10} + س^5 + س^2 = س^2 (س^8 + س^3 + 1) $$
4. **الخطوة 2:** الآن انظر إلى العبارة داخل القوس: $س^8 + س^3 + 1$. هذه العبارة **لا يمكن تحليلها** بسهولة باستخدام الطرق الاعتيادية (فرق مربعين، مجموع أو فرق مكعبين، ثلاثية حدود...). > **ملاحظة:** يمكن التحقق من ذلك بمحاولة التعويض $ص = س^4$، لكن الحد الأوسط $س^3$ لا يتناسب. كما أن العبارة لا تشبه مجموع مكعبين لأن $1=1^3$ لكن $س^8$ ليس مكعباً كاملاً ($(س^{8/3})$ ليس حداً جبرياً بسيطاً).
5. **الخطوة 3:** التحليل التام يعني عدم إمكانية التحليل أكثر في مجال الأعداد الحقيقية (أو الصحيحة). بما أن $س^8 + س^3 + 1$ ليس لها عوامل بديهية (يمكن التحقق بأنها لا تساوي صفراً لأي قيمة صحيحة لـ س)، فإن التحليل التام هو: $$ س^{10} + س^5 + س^2 = س^2 (س^8 + س^3 + 1) $$
6. **النتيجة:** هذا هو التحليل التام المطلوب. كما ورد في الإجابة النموذجية.
7. > **تفصيل إضافي:** في سياق المنهج السعودي للمرحلة الثانوية، عادةً ما يقف التحليل عند هذه المرحلة إذا لم تكن العبارة قابلة للتحليل بالطرق المألوفة. يمكن للطلاب المتقدمين تجربة طرق أخرى مثل قسمة كثيرات الحدود، لكن النتيجة تبقى كما هي.

سؤال 42: مسألة مفتوحة: اكتب معادلة ثلاثية حدود تشكل مربعًا كاملاً يكون معامل الحد الأوسط سالبًا والحد الأخير كثيرًا اعتياديًا، ثم حل المعادلة.

الإجابة: س² - ٤س + ٤ = ٠، (س - ٢)² = ٠، س = ٢

خطوات الحل:

1. **المطلوب:** كتابة معادلة ثلاثية حدود تشكل مربعاً كاملاً، بشرطين: 1. معامل الحد الأوسط سالب. 2. الحد الأخير كثير اعتيادي (ربما يعني عدداً ثابتاً موجباً). ثم حل المعادلة.
2. **المبدأ المستخدم:** ثلاثية الحدود المربع الكامل تكون على الصورة: $$ (أس \pm ب)^2 = أ^2 س^2 \pm 2أب س + ب^2 $$ حيث الإشارة في الحد الأوسط تحدد إشارة $\pm$.
3. **الخطوة 1:** لضمان أن معامل الحد الأوسط سالب، نختار الصورة: $$ (أس - ب)^2 = أ^2 س^2 - 2أب س + ب^2 $$
4. **الخطوة 2:** لضمان أن الحد الأخير كثير اعتيادي (عدد ثابت)، نختار $ب$ عددا صحيحاً. لنأخذ مثالاً بسيطاً: $أ=1$، $ب=2$. $$ (س - 2)^2 = س^2 - 4س + 4 $$
5. **الخطوة 3:** إذن المعادلة ثلاثية الحدود هي: $$ س^2 - 4س + 4 = 0 $$
6. **الخطوة 4:** حل المعادلة: بما أنها مربع كامل، يمكن كتابتها مباشرة: $$ (س - 2)^2 = 0 $$
7. **الخطوة 5:** خذ الجذر التربيعي للطرفين: $$ س - 2 = 0 $$
8. **الخطوة 6:** إذن: $$ س = 2 $$
9. **النتيجة:** المعادلة المطلوبة هي $س^2 - 4س + 4 = 0$، وحلها هو $س = 2$ (جذر مزدوج).

سؤال 43: تبرير: اكتب مثالاً مضادًا للعبارة: "معاملة كثير الحدود من الدرجة الثالثة حلول حقيقية دائمًا".

الإجابة: س³ + س = ٠، س (س² + ١) = ٠، س = ٠، س = ±i

خطوات الحل:

1. **العبارة المراد دحضها:** "كل كثيرة حدود من الدرجة الثالثة لها حلول حقيقية دائمًا."
2. **المبدأ المستخدم:** المثال المضاد هو مثال واحد ينقض العبارة العامة. لكثيرة حدود من الدرجة الثالثة أن يكون لها جذر حقيقي واحد وجذران مركبان (غير حقيقيين)، أو ثلاثة جذور حقيقية. نحتاج لكثيرة حدود من الدرجة الثالثة ليس لها أي جذور حقيقية (أو لها جذر حقيقي واحد فقط والآخران مركبان).
3. **الخطوة 1:** تذكر أن كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة يجب أن يكون لها على الأقل جذر حقيقي واحد (لأن درجتها فردية). لذا لا يمكن أن تكون بدون أي جذر حقيقي. لكن العبارة تقول "حلول حقيقية دائمًا"، أي أن جميع جذورها حقيقية. لذا المثال المضاد يجب أن يكون كثيرة حدود من الدرجة الثالثة لديها جذران مركبان (أي ليس جميع جذورها حقيقية).
4. **الخطوة 2:** أنشئ كثيرة حدود بسيطة لها جذر حقيقي واحد وجذران مركبان. مثلاً: $$ س^3 + س = 0 $$
5. **الخطوة 3:** حلل العبارة: $$ س(س^2 + 1) = 0 $$
6. **الخطوة 4:** عين الجذور: - من $س = 0$: جذر حقيقي. - من $س^2 + 1 = 0$: $س^2 = -1$، إذن $س = \pm i$، حيث $i$ هي الوحدة التخيلية. هذان جذران مركبان (غير حقيقيين).
7. **الخطوة 5:** إذن كثيرة الحدود $س^3 + س = 0$ لها جذر حقيقي واحد ($س=0$) وجذران مركبان ($س = i$، $س = -i$). وهذا ينقض العبارة التي تقول أن جميع حلول كثيرة حدود من الدرجة الثالثة حقيقية دائمًا.
8. > **ملاحظة:** يمكن اختيار أمثلة أخرى مثل $س^3 + 1 = 0$، جذورها: $س=-1$ (حقيقي) و $س = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ (مركبان).
9. **النتيجة:** المثال المضاد هو: $س^3 + س = 0$، حيث ليس جميع حلولها حقيقية.

سؤال 44: اكتب: كيف تحلل كثيرة حدود تحليلاً تامًا؟

الإجابة: أخرج العامل المشترك الأكبر، ثم استخدم طرق التحليل (فرق مربعين، مربع كامل...) وكرر حتى يصبح التحليل تامًا.

خطوات الحل:

1. **السؤال:** كيف تحلل كثيرة حدود تحليلاً تامًا؟
2. **الإجابة التعليمية:** لتحليل كثيرة حدود تحليلاً تامًا، اتبع الخطوات المنظمة التالية:
3. 1. **أخرج العامل المشترك الأكبر (إن وجد):** - ابحث عن أكبر عامل مشترك بين جميع حدود كثيرة الحدود (أعداد ومتغيرات). - أخرجه من كل حد. 2. **حدد عدد الحدود المتبقية:** - **إذا بقي حدان:** تحقق من إمكانية استخدام: - **فرق مربعين:** $أ^2 - ب^2 = (أ-ب)(أ+ب)$. - **فرق مكعبين:** $أ^3 - ب^3 = (أ-ب)(أ^2+أب+ب^2)$. - **مجموع مكعبين:** $أ^3 + ب^3 = (أ+ب)(أ^2-أب+ب^2)$. - **إذا بقي ثلاثة حدود (ثلاثية حدود):** تحقق من إمكانية كونها: - **مربعًا كاملاً:** $أ^2 \pm 2أب + ب^2 = (أ \pm ب)^2$. - **قابلة للتحليل إلى حدين:** ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل $س^2$ والحد الثابت، ومجموعهما يساوي معامل $س$. - **إذا بقي أربعة حدود أو أكثر:** جرب طريقة **التجميع**، حيث تجمع الحدود في مجموعات لها عامل مشترك، ثم تخرج العامل المشترك من كل مجموعة. 3. **كرر التحليل:** - بعد كل خطوة تحليل، انظر إلى العوامل الناتجة. إذا كان أي عامل يمكن تحليله أكثر، استمر في تحليله باستخدام الطرق المناسبة. 4. **توقف عندما تصبح جميع العوامل أولية:** - أي لا يمكن تحليلها أكثر في مجال الأعداد الحقيقية (أو الصحيحة حسب السياق). 5. **تحقق من صحة التحليل:** - بضرب العوامل معًا، يجب أن تحصل على العبارة الأصلية.
4. **مثال توضيحي:** لتحليل $2س^3 - 8س$ تحليلاً تامًا: 1. أخرج العامل المشترك $2س$: $2س(س^2 - 4)$. 2. العبارة داخل القوس فرق مربعين: $س^2 - 4 = (س-2)(س+2)$. 3. التحليل التام: $2س(س-2)(س+2)$.
5. > **تلميح:** التمرين والممارسة يساعدان في التعرف على الأنماط بسرعة.

سؤال 45: حدد ثلاثية الحدود التي تختلف عن كثيرات الحدود الأخرى فيما يأتي، وفسر إجابتك: س٤ - ٣٦س + ١٦ ٤س٢ + ١٠س + ٢٥ ٤س٢ + ١٠س + ١ ٤س٢ - ٣٦س + ٨١

الإجابة: ٤س² + ١٠س + ١. ليست مربعًا كاملاً.

خطوات الحل:

1. | قائمة كثيرات الحدود | |-----------------------| | أ) $س^4 - 36س + 16$ | | ب) $4س^2 + 10س + 25$ | | ج) $4س^2 + 10س + 1$ | | د) $4س^2 - 36س + 81$ | **المطلوب:** تحديد ثلاثية الحدود التي تختلف عن الباقي، وتفسير الإجابة.
2. **المبدأ المستخدم:** ثلاثية الحدود هي عبارة عن ثلاثة حدود فقط. كما يمكن تمييز ثلاثيات الحدود التي تكون **مربعًا كاملاً**. > **ملاحظة:** العبارة (أ) ليست ثلاثية حدود لأنها من الدرجة الرابعة ولها ثلاثة حدود فقط؟ في الواقع $س^4 - 36س + 16$ لها ثلاثة حدود ولكنها من الدرجة الرابعة، لذا تسمى كثيرة حدود لكنها ليست ثلاثية حدود بالمعنى الدقيق (ثلاثية الحدود عادة تكون من الدرجة الثانية). ومع ذلك، السؤال قد يقصد المقارنة بين العبارات الأربع باعتبارها كلها كثيرات حدود، ويطلب تحديد التي تختلف.
3. **الخطوة 1:** تحقق من كل عبارة: 1. **$س^4 - 36س + 16$:** - درجة 4، ثلاثة حدود. - ليست ثلاثية حدود من الدرجة الثانية. 2. **$4س^2 + 10س + 25$:** - ثلاثية حدود من الدرجة الثانية. - هل هي مربع كامل؟ الحد الأول: $(2س)^2$، الحد الأخير: $(5)^2$، الحد الأوسط: $2 \times 2س \times 5 = 20س$، لكن المعطى هو $10س$. **ليست مربعًا كاملاً**. 3. **$4س^2 + 10س + 1$:** - ثلاثية حدود من الدرجة الثانية. - الحد الأول: $(2س)^2$، الحد الأخير: $(1)^2$، الحد الأوسط المطلوب للمربع الكامل: $2 \times 2س \times 1 = 4س$، لكن المعطى هو $10س$. **ليست مربعًا كاملاً**. 4. **$4س^2 - 36س + 81$:** - ثلاثية حدود من الدرجة الثانية. - الحد الأول: $(2س)^2$، الحد الأخير: $(9)^2$، الحد الأوسط: $2 \times 2س \times 9 = 36س$، والإشارة سالبة. إنها مطابقة للمعطى $ -36س $. - إذن: $4س^2 - 36س + 81 = (2س - 9)^2$ **هي مربع كامل**.
4. **الخطوة 2:** الآن قارن: - العبارة (د) هي **مربع كامل**. - العبارة (أ) تختلف لأنها من درجة رابعة. - العبارة (ب) و (ج) ليستا مربعين كاملين.
5. **الخطوة 3:** وفقاً للإجابة النموذجية، العبارة التي تختلف هي **$4س^2 + 10س + 1$**، والسبب أنها **ليست مربعًا كاملاً**، بينما العبارات الأخرى؟ لنتحقق: - (ب) $4س^2 + 10س + 25$ أيضًا ليست مربعًا كاملًا. - (د) هي مربع كامل. - (أ) قد لا تعتبر ثلاثية حدود من الدرجة الثانية. ربما القصد أن ثلاثية الحدود (ج) هي الوحيدة التي معامل الحد الأوسط (10) لا يساوي ضعف جذر الأول والآخر. بينما (ب) معاملها 10 أيضًا. لكن في (ب) جذر الأخير 5، ضعف الجذران: 2*(2*5)=20، وفي (ج) 2*(2*1)=4، كلاهما لا يساوي 10. إذن كل من (ب) و (ج) ليسا مربعين كاملين. لكن ربما (ب) يمكن أن تكون مربعًا كاملاً إذا كان الحد الأوسط 20س، ولكنها معطاة 10س، لذا هي أيضًا ليست مربعًا كاملًا. **الاستنتاج الأصح حسب النموذج:** العبارة (ج) $4س^2 + 10س + 1$ هي التي تختلف لأنها **ليست مربعًا كاملاً**، بينما (د) مربع كامل، و (ب) ربما يُنظر إليها على أنها تشبه مربعًا كاملاً لكن الحد الأوسط ناقص، و (أ) ليست ثلاثية حدود تربيعية. لكن الإجابة النموذجية حددت (ج) فقط.
6. **النتيجة:** ثلاثية الحدود التي تختلف هي **$4س^2 + 10س + 1$**، لأنها **ليست مربعًا كاملاً**، بينما العبارة (د) هي مربع كامل، والعبارتان (أ) و (ب) لهما خصائص أخرى.

سؤال 46: اكتب: كيف تحدد إذا كانت ثلاثية الحدود تشكل مربعًا كاملاً؟

الإجابة: إذا كان الحد الأول مربعًا كاملاً، والحد الأخير مربعًا كاملاً، والحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.

خطوات الحل:

1. **السؤال:** كيف تحدد إذا كانت ثلاثية الحدود تشكل مربعًا كاملاً؟
2. **الإجابة التعليمية:** لتحديد ما إذا كانت ثلاثية الحدود $أ س^2 + ب س + ج$ تشكل مربعًا كاملاً، اتبع الخطوات التالية:
3. 1. **تحقق من أن الحد الأول والحد الأخير مربعان كاملان:** - يجب أن يكون $أ$ مربعًا كاملاً (يمكن تمثيله كمربع عدد أو عبارة). أي يوجد $م$ بحيث $أ = م^2$. - يجب أن يكون $ج$ مربعًا كاملاً. أي يوجد $ن$ بحيث $ج = ن^2$. 2. **تحقق من الحد الأوسط:** - احسب $2 × م × ن$. - قارن الناتج مع معامل الحد الأوسط $ب$ (مع تجاهل الإشارة أولاً). - إذا كان $ب = ± 2 م ن$، فإن ثلاثية الحدود تشكل مربعًا كاملاً. 3. **حدد علامة المربع الكامل:** - إذا كانت إشارة $ب$ موجبة، فإن المربع الكامل هو $(م س + ن)^2$. - إذا كانت إشارة $ب$ سالبة، فإن المربع الكامل هو $(م س - ن)^2$. 4. **اكتب النتيجة:** - إذا تحققت الشروط، فإن ثلاثية الحدود تعادل $(م س ± ن)^2$. - إذا لم تتحقق، فهي ليست مربعًا كاملاً.
4. **مثال تطبيقي:** هل $9س^2 - 12س + 4$ مربع كامل؟ 1. $9س^2 = (3س)^2$، و $4 = (2)^2$، إذن $م=3س$، $ن=2$. 2. $2 × 3س × 2 = 12س$. 3. معامل الحد الأوسط هو $-12$، أي $ب = -12$، والقيمة المطلقة $12$ تطابق. 4. الإشارة سالبة، إذن المربع الكامل هو $(3س - 2)^2$. **مثال غير مربع كامل:** $4س^2 + 6س + 9$ 1. $4س^2 = (2س)^2$، $9 = (3)^2$، جيد. 2. $2 × 2س × 3 = 12س$، لكن معامل الحد الأوسط هو $6$، لا يساوي $12$. 3. إذن ليست مربعًا كاملاً.
5. > **ملاحظة:** هذه الطريقة تنطبق على ثلاثيات الحدود من الدرجة الثانية فقط. ويمكن تعميم الفكرة على ثلاثيات حدود من درجات أعلى إذا كانت على الصورة $(أ س^ن + ب)^2$.

سؤال 47: حل المعادلة (س - ٣)² = ٢٥. أ) ٢، ٨- ب) ٨، ٢- ج) ٤، ٨ د) ٤، ٢-

الإجابة: س - ٣ = ±٥، س = ٣ ± ٥، س = ٨ أو س = -٢. الإجابة الصحيحة: (ب).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | |----------| | المعادلة: $(س - 3)^2 = 25$ | **المطلوب:** حل المعادلة، وتحديد الخيار الصحيح من: أ) 2، 8- ب) 8، 2- ج) 4، 8 د) 4، 2-
2. **المبدأ المستخدم:** إذا كان $()^2 = عدد$، فإن $() = ± \sqrt{العدد}$.
3. **الخطوة 1:** طبق الجذر التربيعي على طرفي المعادلة: $$ س - 3 = ± \sqrt{25} $$
4. **الخطوة 2:** احسب الجذر التربيعي: $$ \sqrt{25} = 5 $$ إذن: $$ س - 3 = ± 5 $$
5. **الخطوة 3:** انشأ معادلتين منفصلتين: **الحالة 1:** $س - 3 = +5$ $$ س = 5 + 3 = 8 $$ **الحالة 2:** $س - 3 = -5$ $$ س = -5 + 3 = -2 $$
6. **الخطوة 4:** إذن حلول المعادلة هما: $$ س = 8 \quad , \quad س = -2 $$
7. **الخطوة 5:** قارن مع الخيارات: - الخيار (ب) هو: 8، 2- (لاحظ أن ترتيب الأرقام في الخيار قد يكون 8 ثم -2 أو العكس). > **تحقق:** عوض في المعادلة الأصلية: - عندما $س=8$: $(8-3)^2 = 5^2 = 25$ ✓ - عندما $س=-2$: $(-2-3)^2 = (-5)^2 = 25$ ✓
8. **النتيجة:** الإجابة الصحيحة هي **الخيار (ب): 8، 2-**.

سؤال 48: هندسة: إذا كان محيط دائرة ٥/٢π وحدة، فما مساحتها؟ أ) ٥/٤π وحدة مربعة ب) ٥/٢π وحدة مربعة ج) ٥/١٦π وحدة مربعة د) ٥/٨π وحدة مربعة

الإجابة: محيط الدائرة = ٢π نق = ٥/٢π، نق = ٥/٤. مساحة الدائرة = π نق² = π (٥/٤)² = ٢٥/١٦π. الإجابة الصحيحة: (ج).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | |----------| | محيط الدائرة = $\frac{5}{2} \pi$ وحدة | **المطلوب:** مساحة الدائرة. الخيارات: أ) $\frac{5}{4} \pi$ وحدة مربعة ب) $\frac{5}{2} \pi$ وحدة مربعة ج) $\frac{25}{16} \pi$ وحدة مربعة د) $\frac{25}{8} \pi$ وحدة مربعة
2. **القوانين المستخدمة:** - محيط الدائرة: $C = 2 \pi r$ - مساحة الدائرة: $A = \pi r^2$ حيث $r$ هو نصف القطر.
3. **الخطوة 1:** عوض محيط الدائرة المعطى في قانون المحيط لإيجاد نصف القطر $r$: $$ 2 \pi r = \frac{5}{2} \pi $$
4. **الخطوة 2:** بقسمة الطرفين على $2 \pi$ (بافتراض $\pi \neq 0$): $$ r = \frac{\frac{5}{2} \pi}{2 \pi} = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4} $$
5. **الخطوة 3:** الآن عوض $r = \frac{5}{4}$ في قانون المساحة: $$ A = \pi \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \pi \times \frac{25}{16} = \frac{25}{16} \pi $$
6. **الخطوة 4:** قارن النتيجة مع الخيارات: - الخيار (ج) هو: $\frac{25}{16} \pi$ وحدة مربعة.
7. **النتيجة:** مساحة الدائرة هي **$\frac{25}{16} \pi$ وحدة مربعة**، أي الخيار (ج).

فيزياء: أُسقط بالون ماء في تجربة في المدرسة. ارتفاعه ٩ م. ما الزمن الذي يستغرقه البالون ليصل إلى الأرض؟ قرب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) ١.٥٥ ثانية
• ب) ١.٣٦ ثانية
• ج) ٠.٤٩ ثانية
• د) ١.٨٤ ثانية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١.٣٦ ثانية

الشرح: ١. بالتعويض في قانون السقوط الحر $9 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$. ٢. تصبح المعادلة $9 = 4.9t^2$. ٣. بقسمة الطرفين على $4.9$: $t^2 = \frac{9}{4.9} \approx 1.8367$. ٤. بأخذ الجذر التربيعي: $t = \sqrt{1.8367} \approx 1.3552$. ٥. بالتقريب لأقرب جزء من مئة: $t \approx 1.36$ ثانية.

تلميح: استخدم قانون السقوط الحر $d = \frac{1}{2}gt^2$ حيث $g \approx 9.8$ م/ث².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

هندسة: مُثّلت مساحة مربع بالعبارة ٩س² - ٤٢س + ٤٩. أوجد طول ضلع المربع.

• أ) ٣س + ٧
• ب) ٩س - ٤٩
• ج) ٣س - ٧
• د) ٩س + ٧

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٣س - ٧

الشرح: ١. العبارة ٩س² - ٤٢س + ٤٩ هي ثلاثية حدود. ٢. الحد الأول ٩س² هو مربع كامل (٣س)². ٣. الحد الأخير ٤٩ هو مربع كامل (٧)². ٤. الحد الأوسط -٤٢س هو $2 \times (٣س) \times (-٧) = -٤٢س$. ٥. إذن، ثلاثية الحدود هي مربع كامل: $(٣س - ٧)²$. ٦. طول ضلع المربع هو الجذر التربيعي للمساحة: ٣س - ٧.

تلميح: تذكر أن مساحة المربع هي (طول الضلع)²، وحاول تحليل ثلاثية الحدود إلى مربع كامل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

هندسة: إذا كانت العبارة ٨ص³ + ٤٠ص² + ٥٠ص تمثل حجم منشور رباعي قاعدته مستطيلة. فأوجد أبعاد المنشور الممكنة على صورة كثيرات الحدود بمعاملات أعداد صحيحة.

• أ) ٤ص، (٢ص + ٥)، (٢ص + ٥)
• ب) ٢ص، (٤ص + ٢٥)، (٢ص + ١)
• ج) ٢ص، (٢ص + ٥)، (٢ص + ٥)
• د) ٢ص، (٤ص² + ٢٠ص + ٢٥)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢ص، (٢ص + ٥)، (٢ص + ٥)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر 2ص من العبارة: $2ص(4ص² + 20ص + 25)$. ٢. لاحظ أن $4ص² + 20ص + 25$ هي مربع كامل: $(2ص)² + 2(2ص)(5) + (5)² = (2ص + 5)²$. ٣. إذن، حجم المنشور يمكن كتابته على الصورة $2ص(2ص + 5)²$. ٤. لتمثيل الحجم كحاصل ضرب ثلاثة أبعاد: $2ص \times (2ص + 5) \times (2ص + 5)$. ٥. الأبعاد الممكنة هي: ٢ص، (٢ص + ٥)، (٢ص + ٥).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر، ثم ابحث عن تحليل ثلاثية حدود على شكل مربع كامل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما التحليل التام للعبارة س٨ - س٤؟

• أ) س⁴(س⁴ - ١)
• ب) س⁴(س² - ١)(س² + ١)
• ج) س⁴(س - ١)(س + ١)(س² + ١)
• د) س²(س⁶ - س²)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س⁴(س - ١)(س + ١)(س² + ١)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر س⁴: $س⁴(س⁴ - ١)$. ٢. حلل (س⁴ - ١) كفرق مربعين: $(س²)² - (١)² = (س² - ١)(س² + ١)$. ٣. حلل (س² - ١) مرة أخرى كفرق مربعين: $(س - ١)(س + ١)$. ٤. لا يمكن تحليل (س² + ١) أكثر في الأعداد الحقيقية. ٥. التحليل التام هو: س⁴(س - ١)(س + ١)(س² + ١).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر، ثم استخدم قاعدة فرق المربعين بشكل متكرر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تحدٍ: حلل س^(ن+٦) + س^(ن+٢) + س^ن تحليلاً تامًا.

• أ) س^ن (س⁶ + س²)
• ب) س^ن (س⁶ + س² + ١)
• ج) س⁶ (س^ن + س² + ١)
• د) س^ن (س⁶ + س + ١)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س^ن (س⁶ + س² + ١)

الشرح: ١. حدد العامل المشترك الأكبر بين الحدود س^(ن+٦)، س^(ن+٢)، س^ن. ٢. أصغر أس للمتغير س هو ن، لذا العامل المشترك الأكبر هو س^ن. ٣. أخرج س^ن كعامل مشترك: $س^ن (\frac{س^{ن+٦}}{س^ن} + \frac{س^{ن+٢}}{س^ن} + \frac{س^ن}{س^ن})$. ٤. بسّط الحدود داخل القوس: $س^ن (س^{٦} + س^{٢} + ١)$. ٥. العبارة (س⁶ + س² + ١) لا يمكن تحليلها أكثر بالطرق الاعتيادية في الأعداد الحقيقية. ٦. التحليل التام هو: س^ن (س⁶ + س² + ١).

تلميح: أخرج العامل المشترك الأكبر من جميع الحدود، وهو الحد ذو أصغر أس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما التحليل التام للعبارة س⁸ - س²؟

• أ) س² (س⁶ - ١)
• ب) س² (س³ - ١) (س³ + ١)
• ج) س² (س - ١) (س + ١) (س² + س + ١) (س² - س + ١)
• د) س² (س⁴ - ١) (س² + ١)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س² (س - ١) (س + ١) (س² + س + ١) (س² - س + ١)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر: $س^8 - س^2 = س^2 (س^6 - 1)$. ٢. حلل $(س^6 - 1)$ كفرق مربعين: $(س^3 - 1)(س^3 + 1)$. ٣. حلل $(س^3 - 1)$ كفرق مكعبين: $(س - 1)(س^2 + س + 1)$. ٤. حلل $(س^3 + 1)$ كمجموع مكعبين: $(س + 1)(س^2 - س + 1)$. ٥. اجمع العوامل: $س^2 (س - 1)(س + 1)(س^2 + س + 1)(س^2 - س + 1)$.

تلميح: تذكر قوانين فرق المربعين، وفرق ومجموع المكعبين بعد إخراج العامل المشترك الأكبر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي معادلة ثلاثية حدود تشكل مربعًا كاملاً بمعامل حد أوسط سالب وحد أخير كسري اعتيادي، وحلها صحيح؟

• أ) $س^2 - س + \frac{1}{4} = 0$, وحلها $س = \frac{1}{2}$
• ب) $س^2 - 4س + 4 = 0$, وحلها $س = 2$
• ج) $س^2 - 2س + \frac{1}{4} = 0$, وحلها $س = \frac{1}{2}$
• د) $س^2 - س + \frac{1}{2} = 0$, وحلها $س = \frac{1}{2}$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $س^2 - س + \frac{1}{4} = 0$, وحلها $س = \frac{1}{2}$

الشرح: ١. لاختيار حد أخير كسري اعتيادي، نختار $ب$ كسرًا، مثلاً $ب = \frac{1}{2}$. ٢. لتشكيل مربع كامل بمعامل حد أوسط سالب، نختار الصورة $(س - ب)^2 = 0$, فتصبح $(س - \frac{1}{2})^2 = 0$. ٣. نفك القوس: $س^2 - 2 \cdot س \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow س^2 - س + \frac{1}{4} = 0$. ٤. حل المعادلة: $س - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow س = \frac{1}{2}$.

تلميح: اختر عددًا كسريًا موجبًا للحد الثابت b²، ثم كوّن المعادلة التربيعية على الصورة $(س-b)^2=0$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من كثيرات الحدود التالية تُعد مثالاً مضادًا للعبارة "لكل كثيرة حدود من الدرجة الثالثة ثلاثة حلول حقيقية دائمًا"؟

• أ) $س^3 + س = 0$
• ب) $س^3 - 4س = 0$
• ج) $س^3 - 2س^2 - 3س = 0$
• د) $س^2 + 1 = 0$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $س^3 + س = 0$

الشرح: ١. لحل $س^3 + س = 0$, نُخرج $س$ عاملًا مشتركًا: $س(س^2 + 1) = 0$. ٢. هذا يعطي $س = 0$ (حل حقيقي). ٣. أو $س^2 + 1 = 0 \Rightarrow س^2 = -1 \Rightarrow س = \pm i$ (حلان تخيليان/مركبان). ٤. بما أن هذه الكثيرة حدود لها حل حقيقي واحد فقط وحلان غير حقيقيين، فهي مثال مضاد للعبارة.

تلميح: ابحث عن كثيرة حدود من الدرجة الثالثة لها جذر حقيقي واحد فقط، وجذران مركبان (غير حقيقيين).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي مما يلي يصف بدقة عملية تحليل كثيرة الحدود تحليلاً تامًا؟

• أ) إخراج العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم تطبيق طرق التحليل المناسبة للعوامل الناتجة مثل فرق المربعين أو المكعبين أو تجميع الحدود، وتكرار ذلك حتى تصبح جميع العوامل أولية.
• ب) البدء بتحليل ثلاثية الحدود أو فرق المربعين، ثم إخراج العامل المشترك الأكبر.
• ج) يجب إيجاد جميع الجذور الحقيقية لكثيرة الحدود فقط باستخدام القسمة التركيبية.
• د) أخرج العامل المشترك الأكبر وتوقف، حيث يعتبر ذلك تحليلًا تامًا.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: إخراج العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم تطبيق طرق التحليل المناسبة للعوامل الناتجة مثل فرق المربعين أو المكعبين أو تجميع الحدود، وتكرار ذلك حتى تصبح جميع العوامل أولية.

الشرح: ١. الخطوة الأولى هي إخراج العامل المشترك الأكبر إن وجد. ٢. ثم، حسب عدد الحدود، تُطبق طرق تحليل مثل فرق المربعين/المكعبين، مجموع المكعبين، ثلاثية الحدود، أو التجميع. ٣. يجب تكرار هذه العملية على كل عامل جديد يمكن تحليله. ٤. يتوقف التحليل عندما تصبح جميع العوامل أولية.

تلميح: تذكر أن التحليل التام يعني عدم إمكانية تحليل العوامل الناتجة أكثر في مجال الأعداد الحقيقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة (س - ٣)² = ٢٥.

• أ) ٢، ٨-
• ب) ٨، ٢-
• ج) ٤، ٨
• د) ٤، ٢-

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٨، ٢-

الشرح: ١. أخذ الجذر التربيعي للطرفين: $س - 3 = \pm \sqrt{25}$. ٢. نبسّط الجذر: $س - 3 = \pm 5$. ٣. انشأ معادلتين منفصلتين: $س - 3 = 5$ أو $س - 3 = -5$. ٤. حل المعادلة الأولى: $س = 5 + 3 = 8$. ٥. حل المعادلة الثانية: $س = -5 + 3 = -2$.

تلميح: تذكر أنه عند أخذ الجذر التربيعي لطرفي معادلة، يجب أخذ القيمتين الموجبة والسالبة للجذر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما هي الشروط الأساسية لتحديد ما إذا كانت ثلاثية الحدود تشكل مربعًا كاملاً؟

• أ) أن يكون الحد الأول مربعًا كاملاً، والحد الأوسط هو مجموع الحدين الأول والأخير.
• ب) أن تكون جميع الحدود أعداداً فردية موجبة فقط.
• ج) أن يكون الحد الأول والأخير مربعين كاملين، والحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.
• د) أن يكون الحد الأخير فقط مربعاً كاملاً، ومعاملات الحدود الأخرى أعداداً زوجية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن يكون الحد الأول والأخير مربعين كاملين، والحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.

الشرح: لتحديد ما إذا كانت ثلاثية الحدود أ س² + ب س + ج مربعًا كاملاً: 1. يجب أن يكون الحد الأول (أ س²) مربعًا كاملاً. 2. يجب أن يكون الحد الأخير (ج) مربعًا كاملاً. 3. يجب أن يكون الحد الأوسط (ب س) يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.

تلميح: تذكر صيغة المربع الكامل (أ ± ب)² = أ² ± ٢أب + ب².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

هندسة: إذا كان محيط دائرة ٦ط / ٥ وحدة، فما مساحتها؟

• أ) ٣٦/٢٥π وحدة مربعة
• ب) ٦/٥π وحدة مربعة
• ج) ٣/٥π وحدة مربعة
• د) ٩/٢٥π وحدة مربعة

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٩/٢٥π وحدة مربعة

الشرح: 1. محيط الدائرة = ٢π نق. 2. ٦/٥π = ٢π نق. 3. نق = (٦/٥π) ÷ (٢π) = (٦/٥) × (١/٢) = ٣/٥. 4. مساحة الدائرة = π نق² = π (٣/٥)² = π (٩/٢٥) = ٩/٢٥π وحدة مربعة.

تلميح: تذكر أن محيط الدائرة = ٢π نق، ومساحة الدائرة = π نق². ابدأ بإيجاد نصف القطر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط