مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 20: اكتشاف الخطأ: يقوم معاذ وإياد بإيجاد عدد الأصفار الحقيقية للدالة الممثلة بالشكل المجاور، فيقول معاذ إنه ليس لهذه الدالة أصفار حقيقية، لأنه لا يوجد لتمثيلها البياني مقاطع سينية. بينما يقول إياد إن لها صفرًا حقيقيًا واحدًا؛ لأن للتمثيل البياني للدالة مقطعًا صاديًا. فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ اشرح إجابتك.

الإجابة: إجابة معاذ صحيحة؛ لأن التمثيل البياني لا يقطع المحور السيني، ولا يوجد أصفار حقيقية.

سؤال 21: مسألة مفتوحة: صف مسألة من واقع الحياة يتم فيها قذف جسم في الهواء، واكتب معادلة تمثل ارتفاع الجسم بالنسبة للزمن، وحدد الفترة الزمنية التي يمكثها الجسم في الهواء.

الإجابة: الفترة الزمنية: 0 < ن => 4

سؤال 24: إذا حصل إبراهيم على الدرجة ٥٠ في اختبار ودرجته العظمى ٨٠، فما النسبة المئوية لدرجته في الاختبار؟ أ) ٦٢,٥٪ ب) ٦٢,٥٪ ج) ٦٠٪ د) ٦٠,١٦٪

الإجابة: أ) 62,5%

سؤال 25: تمثل الصيغة ف = جـ ن٢ + أ (ف) بالأمتار التي يقطعها جسم يسقط على كوكب سقوطًا حرًا بعد (ن) ثانية. اكتب الصيغة بدلالة المتغير جـ، الذي يمثل تسارع الجاذبية. أ) جـ = ف - أ / ن٢ ب) جـ = ف - ن٢ / أ ج) جـ = ف / ن٢ - أ د) جـ = أ - ف / ن٢

الإجابة: جـ = ف / ن2 - أ

سؤال 26: أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى، ثم مثل الدالة بيانيًا: (الدرس ١-٥) ٢٦) ص = س٢ - ٣

الإجابة: الرأس (0,3-)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى

سؤال 27: ٢٧) ص = س٢ - ٨ س + ٦

الإجابة: الرأس (4,10-)، محور التماثل س = 4، قيمة صغرى

سؤال 28: ٢٨) ص = - ٤ س٢ - ٨ س + ٥

الإجابة: الرأس (1,9-)، محور التماثل س = 1-، قيمة عظمى

سؤال 29: ٢٩) ص = - ٥ س٢ + ٣ س + ٢

الإجابة: الرأس (3/10, 2.45)، محور التماثل س = 3/10، قيمة عظمى

سؤال 30: حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (مهارة سابقة) ٣٠) س٢ + ٣ س = ٠

الإجابة: س = 0، س = 3-

سؤال 31: ٣١) (س - ٤)(س + ٦) = ٠

الإجابة: س = 4، س = 6-

سؤال 32: ٣٢) س٢ + ٤ س = ١٦

الإجابة: س = 2، س = 8-

سؤال 33: ٣٣) س٢ + ٦ س = ١٦

الإجابة: س = 2، س = 8-

سؤال 34: مهارة سابقة: حدد ما إذا كانت كل ثلاثية حدود فيما يأتي تشكل مربعًا كاملًا، اكتب "نعم" أو "لا"، وإذا كانت كذلك فحللها: ٣٤) س٢ + ٤ س + ٩

الإجابة: لا

سؤال 35: ٣٥) س٢ + ٦ س + ٩

الإجابة: نعم، (س + 3)2

سؤال 36: ٣٦) س٢ - ٦ س + ٣٦

الإجابة: لا

سؤال 37: ٣٧) س٢ - ٨ س + ٨١

الإجابة: لا

سؤال 38: ٣٨) س٢ - ٦ س + ٩

الإجابة: نعم، (س - 3)2

سؤال 39: ٣٩) س٢ - ٤ س + ٩

الإجابة: لا

إذا حصل إبراهيم على الدرجة ٥٠ في اختبار درجته العظمى ٨٠. فما النسبة المئوية لدرجته في الاختبار؟

• أ) ٦٢.٥٪
• ب) ٢٥.٦٪
• ج) ٦.٦٪
• د) ٠.١٦٪

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٦٢.٥٪

الشرح: ١. لتحديد النسبة المئوية، نقسم الدرجة الحاصل عليها (٥٠) على الدرجة العظمى (٨٠). ٢. ٥٠ ÷ ٨٠ = ٠.٦٢٥. ٣. نضرب الناتج في ١٠٠ لتحويله إلى نسبة مئوية: ٠.٦٢٥ × ١٠٠ = ٦٢.٥٪.

تلميح: النسبة المئوية = (الجزء / الكل) × ١٠٠٪

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

تمثل الصيغة ف = ١/٢ جـ ن² المسافة (ف) بالأمتار التي يقطعها جسم سقط بخطوط سقوط حراً حـ(ن) بعد (ن) ثانية. اكتب الصيغة بدلالة المتغير جـ، الذي يمثل تسارع الجاذبية.

• أ) جـ = ١/٢ ن ف
• ب) جـ = ٢ ف / ن²
• ج) جـ = ن² - ١/٢ ف
• د) جـ = ١/٢ ف ن²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جـ = ٢ ف / ن²

الشرح: ١. المعادلة الأصلية هي ف = ١/٢ جـ ن². ٢. لنتخلص من الكسر، نضرب طرفي المعادلة في ٢: ٢ف = جـ ن². ٣. لعزل 'جـ'، نقسم طرفي المعادلة على ن²: جـ = ٢ف / ن².

تلميح: لجعل 'جـ' المتغير التابع، قم بعزلها في طرف واحد من المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = س - ٦ س²

• أ) الرأس (1/12, 1/24)، محور التماثل س = 1/12، قيمة عظمى
• ب) الرأس (-1/12, 1/24)، محور التماثل س = -1/12، قيمة صغرى
• ج) الرأس (1/12, -1/24)، محور التماثل س = 1/12، قيمة صغرى
• د) الرأس (0, 0)، محور التماثل س = 0، قيمة عظمى

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الرأس (1/12, 1/24)، محور التماثل س = 1/12، قيمة عظمى

الشرح: ١. أعد ترتيب الدالة لتصبح ص = -٦ س² + س (حيث أ=-٦، ب=١، جـ=٠). ٢. إحداثي س للرأس = -ب/(٢أ) = -١/(٢ × -٦) = -١/-١٢ = ١/١٢. ٣. إحداثي ص للرأس = -٦(١/١٢)² + (١/١٢) = -٦(١/١٤٤) + ١/١٢ = -١/٢٤ + ٢/٢٤ = ١/٢٤. ٤. معادلة محور التماثل هي س = ١/١٢. ٥. بما أن أ سالبة (-٦)، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل، والرأس يمثل قيمة عظمى.

تلميح: للدالة التربيعية ص = أ س² + ب س + جـ، إحداثي س للرأس هو -ب/(٢أ).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ١٦ + س² = ٤ س²

• أ) س = ± 4√3/3
• ب) س = ± 4/3
• ج) س = ± 16/3
• د) لا توجد حلول حقيقية

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = ± 4√3/3

الشرح: ١. اطرح س² من كلا الطرفين: ١٦ = ٤س² - س². ٢. بسّط الطرف الأيمن: ١٦ = ٣س². ٣. اقسم الطرفين على ٣: س² = ١٦/٣. ٤. خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: س = ±√(١٦/٣). ٥. بسّط الجذر: س = ± ٤/√٣ = ± ٤√٣/٣ (بعد إنطاق المقام).

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على س² في طرف واحد من المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود ١ + ٦ س + ٩ س² تشكل مربعاً كاملاً، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (١ + ٣ س)²
• ب) لا، ليست مربعاً كاملاً.
• ج) نعم، (١ + ٩ س)²
• د) نعم، (٣ س - ١)²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، (١ + ٣ س)²

الشرح: ١. الحد الأول هو ١، وهو مربع كامل (١²). ٢. الحد الأخير هو ٩س²، وهو مربع كامل (٣س)². ٣. الحد الأوسط يجب أن يكون ٢ × (جذر الحد الأول) × (جذر الحد الأخير) = ٢ × ١ × (٣س) = ٦س. ٤. بما أن الحد الأوسط مطابق (٦س)، فإنها تشكل مربعاً كاملاً. ٥. تحليلها هو (١ + ٣س)².

تلميح: تذكر أن ثلاثية الحدود أ² + ٢أب + ب² هي مربع كامل يمكن تحليلها إلى (أ + ب)².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = س² - ٣

• أ) الرأس (0, -3)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى
• ب) الرأس (3, 0)، محور التماثل س = 3، قيمة عظمى
• ج) الرأس (-3, 0)، محور التماثل س = -3، قيمة صغرى
• د) الرأس (0, 3)، محور التماثل س = 0، قيمة عظمى

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الرأس (0, -3)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى

الشرح: 1. الدالة هي ص = س² - ٣. هنا أ = 1، ب = 0، جـ = -3. 2. إحداثي س للرأس: هـ = -ب/(2أ) = -0/(2*1) = 0. 3. إحداثي ص للرأس: ك = (0)² - ٣ = -٣. إذن الرأس هو (0, -3). 4. معادلة محور التماثل هي س = هـ، أي س = 0. 5. بما أن أ = 1 (أكبر من صفر)، فإن للدالة قيمة صغرى عند الرأس.

تلميح: لإيجاد إحداثيات الرأس (هـ, ك) للدالة التربيعية ص = أس² + ب س + جـ، استخدم الصيغة هـ = -ب/(2أ) ثم عوض قيمة هـ في الدالة لإيجاد ك. إذا كانت أ > 0 تكون قيمة صغرى، وإذا كانت أ < 0 تكون قيمة عظمى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = - ٤ س² - ٨ س + ٥

• أ) الرأس (-1, 9)، محور التماثل س = -1، قيمة عظمى
• ب) الرأس (1, 9)، محور التماثل س = 1، قيمة صغرى
• ج) الرأس (-1, 1)، محور التماثل س = -1، قيمة عظمى
• د) الرأس (1, 5)، محور التماثل س = 1، قيمة صغرى

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الرأس (-1, 9)، محور التماثل س = -1، قيمة عظمى

الشرح: 1. الدالة هي ص = -٤ س² - ٨ س + ٥. هنا أ = -4، ب = -8، جـ = 5. 2. إحداثي س للرأس: هـ = -ب/(2أ) = -(-8)/(2*-4) = 8/(-8) = -1. 3. إحداثي ص للرأس: ك = -4(-1)² - 8(-1) + 5 = -4(1) + 8 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. إذن الرأس هو (-1, 9). 4. معادلة محور التماثل هي س = هـ، أي س = -1. 5. بما أن أ = -4 (أقل من صفر)، فإن للدالة قيمة عظمى عند الرأس.

تلميح: تذكر أن إحداثي س للرأس هو هـ = -ب/(2أ)، وإحداثي ص للرأس هو ك = ق(هـ). تحدد إشارة المعامل 'أ' ما إذا كانت القيمة عظمى أم صغرى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: س² + ٣ س = ٠

• أ) س = 0، س = 3
• ب) س = 0، س = -3
• ج) س = 3، س = -3
• د) س = 0 فقط

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = 0، س = -3

الشرح: 1. أخرج العامل المشترك 'س' من المعادلة: س(س + 3) = 0. 2. ساوي كل عامل بالصفر: - س = 0 - س + 3 = 0 => س = -3. 3. حلول المعادلة هي س = 0 و س = -3.

تلميح: لحل المعادلة، قم بإخراج العامل المشترك الأكبر ثم ساوي كل عامل بالصفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: (س - ٤)(س + ٦) = ٠

• أ) س = 4، س = 6
• ب) س = -4، س = -6
• ج) س = -4، س = 6
• د) س = 4، س = -6

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س = 4، س = -6

الشرح: 1. المعادلة هي (س - ٤)(س + ٦) = ٠ وهي محللة جاهزة. 2. ساوي كل عامل بالصفر: - س - ٤ = ٠ => س = 4. - س + ٦ = ٠ => س = -6. 3. حلول المعادلة هي س = 4 و س = -6.

تلميح: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفر، فإن أحد العاملين على الأقل يجب أن يساوي صفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = س²

• أ) الرأس (0, 0)، محور التماثل ص = 0، قيمة صغرى
• ب) الرأس (0, 0)، محور التماثل س = 0، قيمة عظمى
• ج) الرأس (0, 0)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى
• د) الرأس (0, 1)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الرأس (0, 0)، محور التماثل س = 0، قيمة صغرى

الشرح: 1. الدالة هي ص = س²، حيث أ = 1، ب = 0، ج = 0. 2. إحداثي س للرأس = -ب / (2أ) = -0 / (2*1) = 0. 3. إحداثي ص للرأس = ص(0) = (0)² = 0. لذا، الرأس (0, 0). 4. معادلة محور التماثل هي س = 0. 5. بما أن أ = 1 > 0، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى، والرأس يمثل قيمة صغرى.

تلميح: تذكر صيغة إحداثي س للرأس (-ب/2أ) وتأثير إشارة معامل س² على اتجاه فتح القطع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = -٤ س - س² + ٨ س

• أ) الرأس (-2, -4)، محور التماثل س = -2، قيمة صغرى
• ب) الرأس (2, 4)، محور التماثل س = 2، قيمة صغرى
• ج) الرأس (4, 0)، محور التماثل س = 4، قيمة عظمى
• د) الرأس (2, 4)، محور التماثل س = 2، قيمة عظمى

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: الرأس (2, 4)، محور التماثل س = 2، قيمة عظمى

الشرح: 1. أعد ترتيب الدالة إلى ص = -س² + (8س - 4س) = -س² + 4س. هنا أ = -1، ب = 4، ج = 0. 2. إحداثي س للرأس = -ب / (2أ) = -4 / (2*(-1)) = -4 / -2 = 2. 3. إحداثي ص للرأس = ص(2) = -(2)² + 4(2) = -4 + 8 = 4. لذا، الرأس (2, 4). 4. معادلة محور التماثل هي س = 2. 5. بما أن أ = -1 < 0، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل، والرأس يمثل قيمة عظمى.

تلميح: رتب المعادلة بصيغة أ س² + ب س + ج قبل تطبيق قوانين الرأس ومحور التماثل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود ١٦ - ٢٤ س + ٩ س² تشكل مربعاً كاملاً، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (4س - 3)²
• ب) لا، ليست مربعاً كاملاً
• ج) نعم، (3س - 4)²
• د) نعم، (3س + 4)²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نعم، (3س - 4)²

الشرح: 1. أعد ترتيب ثلاثية الحدود: ٩ س² - ٢٤ س + ١٦. 2. الحد الأول ٩ س² هو مربع كامل (٣ س)². 3. الحد الأخير ١٦ هو مربع كامل (٤)². 4. الحد الأوسط هو -٢٤ س، وهو يساوي ٢ × (٣ س) × (-٤) = -٢٤ س. (أو ٢ × (٣ س) × ٤ = ٢٤ س، ثم نختار الإشارة السالبة ليكون (3س-4)²). 5. بما أن الشروط متحققة، فهي مربع كامل. 6. تحليلها هو (٣ س - ٤)².

تلميح: للتأكد ما إذا كانت ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً، تحقق ما إذا كان الحد الأول والأخير مربعات كاملة، والحد الأوسط ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد إحداثيات الرأس، ومعادلة محور التماثل، وبين إذا كان الرأس يمثل قيمة عظمى أم قيمة صغرى للدالة: ص = ٣ س + ٢ س² + ١

• أ) الرأس (3/4, 1/8)، محور التماثل س = 3/4، قيمة عظمى
• ب) الرأس (-3/4, -1/8)، محور التماثل س = -3/4، قيمة عظمى
• ج) الرأس (-3/4, -1/8)، محور التماثل س = -3/4، قيمة صغرى
• د) الرأس (-3/2, -1/2)، محور التماثل س = -3/2، قيمة صغرى

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الرأس (-3/4, -1/8)، محور التماثل س = -3/4، قيمة صغرى

الشرح: 1. أعد ترتيب الدالة إلى ص = ٢ س² + ٣ س + ١. هنا أ = 2، ب = 3، ج = 1. 2. إحداثي س للرأس = -ب / (2أ) = -3 / (2*2) = -3/4. 3. إحداثي ص للرأس = ص(-3/4) = 2(-3/4)² + 3(-3/4) + 1 = 2(9/16) - 9/4 + 1 = 9/8 - 18/8 + 8/8 = -1/8. لذا، الرأس (-3/4, -1/8). 4. معادلة محور التماثل هي س = -3/4. 5. بما أن أ = 2 > 0، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى، والرأس يمثل قيمة صغرى.

تلميح: انتبه للحسابات الكسرية عند إيجاد إحداثي ص للرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ٢٥ = (٤ - س ) ( س - ٢ )

• أ) س = 3 ± 6
• ب) س = 3 ± √(-96)
• ج) س = 3
• د) لا توجد حلول حقيقية

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لا توجد حلول حقيقية

الشرح: 1. افتح الأقواس في الطرف الأيمن: (4 - س)(س - 2) = 4س - 8 - س² + 2س = -س² + 6س - 8. 2. المعادلة تصبح: 25 = -س² + 6س - 8. 3. انقل جميع الحدود إلى طرف واحد: س² - 6س + 8 + 25 = 0، أي س² - 6س + 33 = 0. 4. احسب المميز Δ = ب² - 4أج = (-6)² - 4(1)(33) = 36 - 132 = -96. 5. بما أن المميز سالب (Δ < 0)، لا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

تلميح: ابدأ بتبسيط الطرف الأيمن، ثم أعد ترتيب المعادلة إلى الصيغة العامة (أ س² + ب س + ج = 0) واستخدم المميز.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود ٣٦ + ٨٤ س + ٤٩ س² تشكل مربعاً كاملاً، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) لا، لا تشكل مربعاً كاملاً
• ب) نعم، (٧ س - ٦)²
• ج) نعم، (٦ س + ٧)²
• د) نعم، (٧ س + ٦)²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: نعم، (٧ س + ٦)²

الشرح: 1. أعد ترتيب ثلاثية الحدود: ٤٩ س² + ٨٤ س + ٣٦. 2. تأكد من أن الحد الأول (٤٩ س²) والحد الأخير (٣٦) مربعان كاملان. جذر(٤٩ س²) = ٧ س، وجذر(٣٦) = ٦. 3. تأكد من أن الحد الأوسط (٨٤ س) يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير: 2 * (٧ س) * (٦) = ٨٤ س. 4. بما أن الحد الأوسط يطابق، فإن ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً. 5. تحليلها هو (٧ س + ٦)².

تلميح: تذكر أن ثلاثية الحدود أ² + 2أب + ب² هي مربع كامل وتحليلها (أ + ب)².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا تم قذف جسم في الهواء ومثل ارتفاعه بالمعادلة `ص = -٥ن² + ٢٠ن`، حيث ص الارتفاع و ن الزمن بالثواني، فما الفترة الزمنية التي يمكثها الجسم في الهواء؟ (عندما يكون الارتفاع أكبر من أو يساوي الصفر)

• أ) ٠ ≤ ن ≤ ٤
• ب) ن < ٠ أو ن > ٤
• ج) ن = ٤ فقط
• د) ٠ < ن < ٤

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٠ ≤ ن ≤ ٤

الشرح: 1. لتحديد الفترة الزمنية التي يمكثها الجسم في الهواء، يجب أن يكون الارتفاع (ص) أكبر من أو يساوي صفر: `٥ن² + ٢٠ن ≥ ٠` 2. اقسم على `-٥` واقلب إشارة التباين: `ن² - ٤ن ≤ ٠` 3. حل المعادلة `ن² - ٤ن = ٠` لإيجاد نقاط التقاطع مع محور ن: `ن(ن - ٤) = ٠`، إذن `ن = ٠` أو `ن = ٤`. 4. بما أن الدالة التربيعية `ن² - ٤ن` تفتح للأعلى (معامل ن² موجب)، فإنها تكون سالبة أو صفر بين الجذرين. وبالتالي، `٠ ≤ ن ≤ ٤`.

تلميح: جد قيم الزمن التي يكون عندها الارتفاع صفر أو موجب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي المعادلات التربيعية التالية لها جذران صحيحان مختلفان ومتعاكسان جمعياً؟

• أ) س² + ٩ = ٠
• ب) س² - ٥س + ٦ = ٠
• ج) س² - ٢٥ = ٠
• د) س² - ٤س = ٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س² - ٢٥ = ٠

الشرح: 1. الجذور المتعاكسة تعني أن الجذرين هما `ر` و `-ر`. 2. المعادلة التربيعية تكون على الصورة `(س - ر)(س + ر) = ٠` والتي تبسط إلى `س² - ر² = ٠`. 3. نبحث عن الخيار الذي يكون فيه الثابت سالباً وهو مربع عدد صحيح، ليكون الجذور أعداداً صحيحة ومتعاكسة. 4. الخيار `س² - ٢٥ = ٠` يعني `س² = ٢٥`، وبالتالي `س = ±٥`، وهما جذران صحيحان مختلفان ومتعاكسان جمعياً.

تلميح: تذكر أن الجذور المتعاكسة تعني أن مجموع الجذرين صفر، وبالتالي لا يوجد حد `ب س` في المعادلة التربيعية `أ س² + ب س + ج = ٠`.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي الطرق التالية هي الأنسب لتقريب جذور المعادلة التربيعية التي ليست أعداداً صحيحة (صماء)؟

• أ) التحليل إلى عوامل أولية
• ب) الرسم البياني وتحديد نقاط التقاطع بدقة
• ج) استخدام الصيغة التربيعية وتقريب الجذر التربيعي
• د) إيجاد مربع كامل للمعادلة دائمًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: استخدام الصيغة التربيعية وتقريب الجذر التربيعي

الشرح: 1. عندما لا تكون جذور المعادلة التربيعية أعدادًا صحيحة، فإنها غالبًا ما تكون أعدادًا غير نسبية (صماء). 2. الصيغة التربيعية `س = (-ب ± √(ب² - ٤أج)) / (٢أ)` توفر طريقة مباشرة لإيجاد هذه الجذور. 3. يتم تقريب الجذور الصماء عن طريق حساب قيمة الجذر التربيعي (√(ب² - ٤أج)) وتقريبها إلى عدد عشري مناسب.

تلميح: فكر في الأداة الرياضية الأساسية لحل المعادلات التربيعية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حل المعادلة: `١ + ١٦ س² = ٤ س²`

• أ) س = ٠
• ب) س = ±١/٢
• ج) لا توجد حلول حقيقية
• د) س = ±١/√١٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا توجد حلول حقيقية

الشرح: 1. أعد ترتيب المعادلة لجمع الحدود المتشابهة: `١٦ س² - ٤ س² + ١ = ٠` 2. بسّط المعادلة: `١٢ س² + ١ = ٠` 3. انقل الثابت إلى الطرف الآخر: `١٢ س² = -١` 4. اقسم على `١٢`: `س² = -١/١٢` 5. بما أن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا، فلا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة.

تلميح: ابدأ بجمع الحدود المتشابهة في طرف واحد للمعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود `٨١ - س + ٢ س²` تشكل مربعاً كاملاً، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، `(٩ - س)²`
• ب) لا تشكل مربعاً كاملاً
• ج) نعم، `(٢س - ٩)²`
• د) نعم، `(٩ - √٢ س)²`

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا تشكل مربعاً كاملاً

الشرح: 1. رتب ثلاثية الحدود تصاعديًا أو تنازليًا: `٢ س² - س + ٨١`. 2. لتكون ثلاثية الحدود `أ س² + ب س + ج` مربعًا كاملاً، يجب أن يكون الحد الأوسط `ب س` مساويًا لـ `±٢√(أج) س`. 3. في هذه المعادلة، `أ = ٢` و `ج = ٨١`. 4. احسب `٢√(أج) = ٢√(٢ × ٨١) = ٢√١٦٢ = ٢ × ٩√٢ = ١٨√٢`. 5. بما أن الحد الأوسط `-س` (أي `ب = -١`) ليس مساويًا لـ `±١٨√٢ س`، فإن ثلاثية الحدود هذه لا تشكل مربعًا كاملاً.

تلميح: تذكر قاعدة `ب² = ٤أج` لثلاثية الحدود المربعة الكاملة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط