صفحة 123 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس ٨-١) ١) ص = س + ٣

الإجابة: التمثيل البياني للدالة ص = س + ٣ هو خط مستقيم يمر بالنقطتين (0,3) و (-3,0). المجال: ح، المدى: ح.

سؤال 2: استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس ٨-١) ٢) ص = ٢س - ٤

الإجابة: التمثيل البياني للدالة ص = ٢س - ٤ هو خط مستقيم يمر بالنقطتين (0,-4) و (2,0). المجال: ح، المدى: ح.

سؤال 3: استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس ٨-١) ٣) ص = - س - ٣

الإجابة: التمثيل البياني للدالة ص = - س - ٣ هو خط مستقيم يمر بالنقطتين (0,-3) و (-3,0). المجال: ح، المدى: ح.

سؤال 4: استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس ٨-١) ٤) ص = ٣س - ١

الإجابة: التمثيل البياني للدالة ص = ٣س - ١ هو خط مستقيم يمر بالنقطتين (0,-1) و (1/3,0). المجال: ح، المدى: ح.

سؤال 5: إذا كانت: ص = س - ٥ + ٤ (الدرس ٨-١) ٥) اكتب معادلة محور التماثل.

الإجابة: س = ٥

سؤال 6: ٦) أوجد الرأس، وحدد ما إذا كان يمثل نقطة صغرى أو عظمى.

الإجابة: الرأس: (٥، ٤)، نقطة صغرى

سؤال 7: ٧) مثل الدالة بيانيًا.

الإجابة: التمثيل البياني للدالة ص = |س - ٥| + ٤، الرأس (٥، ٤)، مفتوح للأعلى.

سؤال 8: ٨) كرة: ترمى كرة من على سطح الأرض بسرعة ٩٠ قدمًا/ ثانية، إذا كانت المعادلة: ع = -٦ن٢ + ٩٠ن، تعبر عن ارتفاع الكرة بعد ن ثانية من إطلاقها. (الدرس ٨-٥) أ) أوجد ارتفاع الكرة بعد ثانية من إطلاقها. ب) متى تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع؟ ج) متى يكون ارتفاع الكرة عن سطح الأرض مساويًا للصفر؟ وضح معنى ذلك.

الإجابة: أ) ٨٤ قدمًا ب) أقصى ارتفاع عند ٧,٥ = ن ث ج) تعود للأرض عند ٠,٥ = ن ث

سؤال 9: ٩) اختيار من متعدد، التمثيل البياني للدالة: ص = س٢ - ٦س + ١٠ (الدرس ٨-١) أ) مفتوح إلى أعلى وله قيمة عظمى. ب) مفتوح إلى أعلى وله قيمة صغرى. ج) مفتوح إلى أسفل وله قيمة عظمى. د) مفتوح إلى أسفل وله قيمة صغرى.

الإجابة: ب) مفتوح إلى أعلى وله قيمة صغرى.

سؤال 10: حل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة فقدرها إلى أقرب جزء من عشرة: (الدرس ٨-٥) ١٠) س٢ + ٥س + ٦ = ٠

الإجابة: س = -٢، س = -٣

سؤال 11: ١١) س٢ + ٨ = ٦س

الإجابة: س = ٢، س = ٤

سؤال 12: ١٢) س٢ + ٣س - ١ = ٠

الإجابة: س = ٠,٣، س = -٣,٣

سؤال 13: ١٣) س٢ = ١٢

الإجابة: س = ±٣,٥

سؤال 14: ١٤) كرة البيسبول: المعادلة: ع = -١٦ن٢ + ١٢٠ن، تمثل ارتفاع كرة البيسبول بعد ن ثانية من ضربها، أوجد الوقت الذي تبقى فيه الكرة في الهواء. (الدرس ٨-٥)

الإجابة: ن = ٧,٥ أو ن = ٠ ثانية، إذن تبقى في الهواء ٧,٥ ثوانٍ

سؤال 15: استعمل التحليل إلى عوامل، لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات في كل دالة مما يأتي، ثم حدد أصفار كل منها: (الدرس ٨-٦) ١٥) ص = س٢ - ٣س + ٢

الإجابة: يقطع محور السينات مرتين، ١، ٢

سؤال 16: ١٦) ص = س٢

الإجابة: يقطع محور السينات مرة واحدة، ٠

سؤال 17: ١٧) ص = س٢ + ٤س + ٤

الإجابة: يقطع محور السينات مرة واحدة، -٢

سؤال 18: ١٨) ص = س٢ + س + ٣

الإجابة: لا يقطع محور السينات، لا أصفار حقيقية

استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = 2س² - 4س + 3 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها.

• أ) المجال: ح، المدى: (-∞, 1]
• ب) المجال: [1, ∞)، المدى: ح
• ج) المجال: ح، المدى: [3, ∞)
• د) المجال: ح، المدى: [1, ∞)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المجال: ح، المدى: [1, ∞)

الشرح: 1. الدالة هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو جميع الأعداد الحقيقية (ح). 2. لإيجاد الرأس: س = -ب / 2أ = -(-4) / (2*2) = 4 / 4 = 1. 3. نعوض س = 1 في الدالة: ص = 2(1)² - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1. 4. الرأس هو (1, 1). بما أن معامل س² (أ=2) موجب، فإن القطع المكافئ مفتوح للأعلى، والرأس يمثل قيمة صغرى. 5. المدى هو جميع قيم ص التي تكون أكبر من أو تساوي القيمة الصغرى، أي ص ≥ 1 أو [1, ∞).

تلميح: تذكر أن مجال الدالة التربيعية دائمًا ح، ولإيجاد المدى يجب تحديد الرأس واتجاه فتح القطع المكافئ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = -س² - 3س - 3 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها.

• أ) المجال: ح، المدى: [-0.75, ∞)
• ب) المجال: ح، المدى: (-∞, -3]
• ج) المجال: ح، المدى: (-∞, -0.75]
• د) المجال: [-1.5, ∞)، المدى: ح

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المجال: ح، المدى: (-∞, -0.75]

الشرح: 1. الدالة هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو جميع الأعداد الحقيقية (ح). 2. لإيجاد الرأس: س = -ب / 2أ = -(-3) / (2*(-1)) = 3 / -2 = -1.5. 3. نعوض س = -1.5 في الدالة: ص = -(-1.5)² - 3(-1.5) - 3 = -2.25 + 4.5 - 3 = -0.75. 4. الرأس هو (-1.5, -0.75). بما أن معامل س² (أ=-1) سالب، فإن القطع المكافئ مفتوح للأسفل، والرأس يمثل قيمة عظمى. 5. المدى هو جميع قيم ص التي تكون أصغر من أو تساوي القيمة العظمى، أي ص ≤ -0.75 أو (-∞, -0.75].

تلميح: عامل س² يحدد اتجاه فتح القطع المكافئ، والذي بدوره يؤثر على تحديد المدى كقيمة صغرى أو عظمى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت الدالة: ص = س² - 5س + 4، فاكتب معادلة محور التماثل لها.

• أ) س = 5
• ب) س = -2.5
• ج) س = 2.5
• د) س = -5

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = 2.5

الشرح: 1. الدالة هي ص = س² - 5س + 4، حيث أ = 1، ب = -5، ج = 4. 2. نستخدم صيغة محور التماثل: س = -ب / (2أ). 3. نعوض القيم: س = -(-5) / (2 × 1) = 5 / 2 = 2.5.

تلميح: تذكر صيغة إيجاد محور التماثل للدالة التربيعية: س = -ب / (2أ).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت الدالة: ص = س² - 5س + 4، فأوجد الرأس وحدد ما إذا كان يمثل نقطة صغرى أو عظمى.

• أ) الرأس (2.5, 2.25)، وهي نقطة عظمى.
• ب) الرأس (2.5, -2.25)، وهي نقطة صغرى.
• ج) الرأس (-2.5, -2.25)، وهي نقطة صغرى.
• د) الرأس (5, 4)، وهي نقطة عظمى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الرأس (2.5, -2.25)، وهي نقطة صغرى.

الشرح: 1. معادلة محور التماثل هي س = -ب / (2أ) = -(-5) / (2 × 1) = 2.5. 2. لإيجاد إحداثي ص للرأس، نعوض س = 2.5 في الدالة: ص = (2.5)² - 5(2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25. 3. إذن، الرأس هو (2.5, -2.25). بما أن معامل س² موجب (أ = 1)، فإن القطع المكافئ مفتوح للأعلى، والرأس يمثل نقطة صغرى.

تلميح: تذكر أن إحداثي س للرأس هو نفسه محور التماثل، وإحداثي ص هو قيمة الدالة عند س هذه. نوع النقطة (صغرى/عظمى) يعتمد على إشارة معامل س².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تم ركل كرة من على سطح الأرض، ومعادلة ارتفاعها هي ع = -16ن² + 90ن، حيث ع الارتفاع و ن الزمن. متى تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع؟

• أ) 7.5 ثانية
• ب) 2.8125 ثانية
• ج) 5.625 ثانية
• د) 1 ثانية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2.8125 ثانية

الشرح: 1. الدالة هي ع = -16ن² + 90ن، حيث أ = -16، ب = 90. 2. الزمن اللازم للوصول إلى أقصى ارتفاع هو إحداثي س (أو ن هنا) للرأس: ن = -ب / (2أ). 3. نعوض القيم: ن = -90 / (2 × -16) = -90 / -32 = 45 / 16 = 2.8125 ثانية.

تلميح: أقصى ارتفاع لكرة المقذوفة يمثل إحداثي 'ن' لرأس منحنى الدالة التربيعية للارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من الخيارات التالية يصف التمثيل البياني للدالة: ص = 2س² - 3س + 1 بشكل صحيح؟

• أ) مفتوح إلى أعلى وله قيمة عظمى.
• ب) مفتوح إلى أعلى وله قيمة صغرى.
• ج) مفتوح إلى أسفل وله قيمة عظمى.
• د) مفتوح إلى أسفل وله قيمة صغرى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مفتوح إلى أعلى وله قيمة صغرى.

الشرح: 1. الدالة هي ص = 2س² - 3س + 1. 2. معامل س² هو أ = 2. 3. بما أن أ > 0، فإن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى. 4. عندما يكون القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى، فإن الرأس يمثل نقطة صغرى.

تلميح: تذكر أن اتجاه فتح القطع المكافئ (أعلى/أسفل) والقيمة القصوى (عظمى/صغرى) تحدده إشارة معامل س².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل التحليل إلى عوامل لتحديد أصفار الدالة: ص = س² - 3س + 2.

• أ) س = -1، س = -2
• ب) س = 1، س = -2
• ج) س = 1، س = 2
• د) س = 3، س = -2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = 1، س = 2

الشرح: 1. لتعيين الأصفار، نساوي الدالة بالصفر: س² - 3س + 2 = 0. 2. نحلل العبارة التربيعية إلى عاملين: (س - 1)(س - 2) = 0. 3. نساوي كل عامل بالصفر: س - 1 = 0 ⇐ س = 1، و س - 2 = 0 ⇐ س = 2. 4. إذن، أصفار الدالة هي س = 1 و س = 2.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت وحاصل جمعهما يساوي معامل س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما مجال ومدى الدالة ص = س² + 3س + 1؟

• أ) المجال: ح، المدى: ص ≥ -5/4
• ب) المجال: ص ≥ -5/4، المدى: ح
• ج) المجال: ح، المدى: ص ≤ -5/4
• د) المجال: ح، المدى: ص ≥ 1

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المجال: ح، المدى: ص ≥ -5/4

الشرح: 1. المجال لأي دالة تربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية (ح). 2. لإيجاد المدى، نوجد إحداثي س للرأس: س = -ب / (2أ) = -3 / (2 * 1) = -3/2. 3. نعوض قيمة س في الدالة لإيجاد إحداثي ص للرأس (القيمة الصغرى): ص = (-3/2)² + 3(-3/2) + 1 = 9/4 - 9/2 + 1 = 9/4 - 18/4 + 4/4 = -5/4. 4. بما أن معامل س² موجب (1)، فإن القطع المكافئ يفتح للأعلى، لذا تكون القيمة الصغرى هي -5/4. 5. المدى هو: ص ≥ -5/4.

تلميح: تذكر أن مجال الدوال التربيعية دائمًا ح، وأن المدى يعتمد على إحداثي ص للرأس واتجاه فتح القطع المكافئ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

باستعمال المعادلة ع = -6ن² + 90ن (حيث ع الارتفاع و ن الزمن)، أوجد ارتفاع الكرة بعد ثانية من إطلاقها.

• أ) 90 قدمًا
• ب) 74 قدمًا
• ج) 84 قدمًا
• د) 96 قدمًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 84 قدمًا

الشرح: 1. المعادلة المعطاة هي ع = -6ن² + 90ن. 2. المطلوب هو ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة، أي عند ن = 1. 3. عوض ن = 1 في المعادلة: ع = -6(1)² + 90(1). 4. ع = -6 + 90 = 84. 5. إذن، ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة هو 84 قدمًا.

تلميح: عوض قيمة الزمن (ن) في المعادلة المعطاة لإيجاد الارتفاع (ع).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما حلول المعادلة س² + 5س + 6 = 0؟

• أ) س = 2، س = 3
• ب) س = -2، س = -3
• ج) س = 2، س = -3
• د) س = -1، س = -6

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = -2، س = -3

الشرح: 1. لحل المعادلة س² + 5س + 6 = 0، يمكن تحليلها إلى عاملين. 2. نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 5، وهما 2 و 3. 3. إذن، (س + 2)(س + 3) = 0. 4. نساوي كل عامل بالصفر: س + 2 = 0 أو س + 3 = 0. 5. الحلول هي س = -2 أو س = -3.

تلميح: حاول تحليل المعادلة التربيعية إلى عاملين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كم من الوقت تبقى كرة البيسبول في الهواء إذا كان ارتفاعها يمثل بالمعادلة ع = -16ن² + 120ن؟

• أ) 6 ثوانٍ
• ب) 7.5 ثوانٍ
• ج) 8 ثوانٍ
• د) 10 ثوانٍ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 7.5 ثوانٍ

الشرح: 1. تبقى الكرة في الهواء حتى يصبح ارتفاعها (ع) مساويًا للصفر. 2. نضع ع = 0 في المعادلة: -16ن² + 120ن = 0. 3. نأخذ ن عاملًا مشتركًا: ن(-16ن + 120) = 0. 4. إما ن = 0 (لحظة الانطلاق) أو -16ن + 120 = 0. 5. من -16ن + 120 = 0، نحصل على 16ن = 120، وبالتالي ن = 120/16 = 7.5. 6. إذن، تبقى الكرة في الهواء لمدة 7.5 ثوانٍ.

تلميح: الوقت الذي تبقى فيه الكرة في الهواء هو الفترة الزمنية التي يكون فيها ارتفاعها أكبر من الصفر، وتنتهي عندما يعود الارتفاع إلى الصفر مرة أخرى (بعد لحظة الانطلاق).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني للدالة ص = س² + س + 3 محور السينات، وما هي أصفارها؟

• أ) يقطع مرتين، والأصفار هي 1، 3
• ب) يقطع مرة واحدة، والصفر هو 0
• ج) لا يقطع محور السينات، لا أصفار حقيقية.
• د) يقطع مرتين، والأصفار هي -1، -3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يقطع محور السينات، لا أصفار حقيقية.

الشرح: 1. نحسب المميز (Δ) للدالة التربيعية: Δ = ب² - 4أج. 2. في الدالة ص = س² + س + 3، لدينا أ = 1، ب = 1، ج = 3. 3. Δ = (1)² - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11. 4. بما أن المميز سالب (Δ < 0)، فليس للدالة أصفار حقيقية. 5. هذا يعني أن التمثيل البياني للدالة لا يقطع محور السينات.

تلميح: استخدم قيمة المميز (Δ = ب² - 4أج) لتحديد عدد الأصفار الحقيقية للدالة التربيعية وعدد نقاط تقاطعها مع محور السينات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كرة: تم ركل كرة من على سطح الأرض بسرعة 90 قدمًا/ ثانية، إذا كانت المعادلة: ع = -16ن² + 90ن، تعبر عن ارتفاع الكرة بعد ن ثانية من إطلاقها. أوجد ارتفاع الكرة بعد ثانية من إطلاقها.

• أ) 74 قدمًا
• ب) 84 قدمًا
• ج) 90 قدمًا
• د) 106 قدمًا

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 74 قدمًا

الشرح: 1. المعادلة المعطاة هي: ع = -16ن² + 90ن. 2. المطلوب إيجاد الارتفاع بعد ثانية واحدة، أي عندما ن = 1. 3. نعوض ن = 1 في المعادلة: ع = -16(1)² + 90(1). 4. نحسب القيمة: ع = -16(1) + 90 = -16 + 90 = 74. 5. إذن، ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة هو 74 قدمًا.

تلميح: عوض قيمة الزمن (ن) في المعادلة المعطاة لحساب الارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

باستخدام المعادلة ع = -16ن² + 90ن، متى يكون ارتفاع الكرة عن سطح الأرض مساويًا للصفر؟ وماذا يعني ذلك؟

• أ) ن = 0.5 ثانية
• ب) ن = 7.5 ثانية
• ج) الكرة تعود للأرض عند ن = 5.625 ثوانٍ (بالإضافة إلى ن = 0 عند الانطلاق).
• د) ن = 15 ثانية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الكرة تعود للأرض عند ن = 5.625 ثوانٍ (بالإضافة إلى ن = 0 عند الانطلاق).

الشرح: 1. ليكون الارتفاع مساويًا للصفر، نضع ع = 0 في المعادلة: -16ن² + 90ن = 0. 2. نخرج العامل المشترك ن: ن(-16ن + 90) = 0. 3. إما ن = 0 أو -16ن + 90 = 0. 4. من -16ن + 90 = 0، نجد -16ن = -90، وبالتالي ن = 90/16 = 45/8 = 5.625 ثانية. 5. ن = 0 يمثل لحظة انطلاق الكرة من سطح الأرض، ون = 5.625 ثوانٍ يمثل اللحظة التي تعود فيها الكرة إلى سطح الأرض.

تلميح: ضع الارتفاع (ع) يساوي صفرًا وحل المعادلة التربيعية الناتجة لإيجاد قيم الزمن (ن).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما حلول المعادلة س² + 8 = -6س؟

• أ) س = 2 و س = 4
• ب) س = -2 و س = -4
• ج) س = -8 و س = -1
• د) س = 1 و س = 8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = -2 و س = -4

الشرح: 1. أعد ترتيب المعادلة: س² + 8 = -6س تصبح س² + 6س + 8 = 0. 2. ابحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما 6. العددان هما 2 و 4. 3. حلل المعادلة إلى عوامل: (س + 2)(س + 4) = 0. 4. إذن، إما س + 2 = 0 (مما يعطي س = -2) أو س + 4 = 0 (مما يعطي س = -4).

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتصبح بصيغة أ س² + ب س + ج = 0، ثم قم بالتحليل إلى عوامل أو استخدم القانون العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما حلول المعادلة س² = 12 مقربة إلى أقرب جزء من عشرة؟

• أ) س = ±3
• ب) س = ±4
• ج) س = ±3.5
• د) س = ±2.5

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ±3.5

الشرح: 1. المعادلة المعطاة هي: س² = 12. 2. لأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على س = ±√12. 3. نبسط الجذر: √12 = √(4 × 3) = 2√3. 4. نقدر قيمة √3 بحوالي 1.732. 5. إذن، س = ±(2 × 1.732) = ±3.464. 6. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، س = ±3.5.

تلميح: لحل معادلة من الشكل س² = ك، خذ الجذر التربيعي للطرفين مع الأخذ بالاعتبار القيمتين الموجبة والسالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل التحليل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني للدالة ص = س² + 4س + 4 محور السينات، ثم حدد أصفارها.

• أ) يقطع محور السينات مرتين، والأصفار هي س = 2 و س = -2.
• ب) لا يقطع محور السينات، ولا توجد أصفار حقيقية.
• ج) يقطع محور السينات مرة واحدة، والصفـر هو س = -2.
• د) يقطع محور السينات مرة واحدة، والصفـر هو س = 2.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يقطع محور السينات مرة واحدة، والصفـر هو س = -2.

الشرح: 1. الدالة المعطاة هي: ص = س² + 4س + 4. 2. هذه الدالة تمثل مربعًا كاملًا: ص = (س + 2)². 3. لإيجاد أصفار الدالة، نضع ص = 0، أي (س + 2)² = 0. 4. إذن، س + 2 = 0، مما يعني س = -2. 5. بما أن هناك صفرًا واحدًا متكررًا، فإن التمثيل البياني يقطع محور السينات (أو يمسه) مرة واحدة فقط عند س = -2.

تلميح: حلل الدالة التربيعية إلى عواملها، ثم ساوِ الناتج بالصفر لإيجاد الأصفار.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = -3س² - س + 1 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها.

• أ) المجال: ح، المدى: (-∞, 1]
• ب) المجال: ح، المدى: [1.08, ∞)
• ج) المجال: [-1/6, ∞)، المدى: ح
• د) المجال: ح، المدى: (-∞, 1.08]

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المجال: ح، المدى: (-∞, 1.08]

الشرح: 1. الدالة هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو جميع الأعداد الحقيقية (ح). 2. لإيجاد الرأس: س = -ب / 2أ = -(-1) / (2*(-3)) = 1 / -6 = -1/6. 3. نعوض س = -1/6 في الدالة: ص = -3(-1/6)² - (-1/6) + 1 = -3(1/36) + 1/6 + 1 = -1/12 + 2/12 + 12/12 = 13/12 ≈ 1.08. 4. الرأس هو (-1/6, 13/12). بما أن معامل س² (أ=-3) سالب، فإن القطع المكافئ مفتوح للأسفل، والرأس يمثل قيمة عظمى. 5. المدى هو جميع قيم ص التي تكون أصغر من أو تساوي القيمة العظمى، أي ص ≤ 13/12 أو (-∞, 13/12].

تلميح: تذكر كيفية حساب إحداثيات الرأس (س = -ب/2أ) ثم تعويضها لإيجاد قيمة ص، ومنها تحديد المدى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة -س² + 3س - 1 = 0 بيانيًا، وقدر الجذور إلى أقرب جزء من عشرة.

• أ) س ≈ -0.3, س ≈ 3.3
• ب) س ≈ 0.3, س ≈ -3.3
• ج) س ≈ 0.4, س ≈ 2.6
• د) س ≈ -0.4, س ≈ -2.6

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س ≈ 0.4, س ≈ 2.6

الشرح: 1. نعتبر الدالة المرافقة ص = -س² + 3س - 1. 2. نوجد جذورها باستخدام القانون العام: س = [-ب ± الجذر التربيعي (ب² - 4أج)] / 2أ. 3. س = [-3 ± الجذر التربيعي (3² - 4(-1)(-1))] / (2*(-1)) = [-3 ± الجذر التربيعي (9 - 4)] / -2 = [-3 ± الجذر التربيعي (5)] / -2. 4. تقريب الجذر التربيعي لـ 5 هو 2.236. 5. س1 = (-3 + 2.236) / -2 = -0.764 / -2 ≈ 0.382، نقربها إلى 0.4. 6. س2 = (-3 - 2.236) / -2 = -5.236 / -2 ≈ 2.618، نقربها إلى 2.6.

تلميح: يمكن حل المعادلات التربيعية بيانيًا بإيجاد نقاط تقاطع الدالة المرافقة مع محور السينات، أو باستخدام القانون العام لتقدير الجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل التحليل إلى عوامل؛ لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني للدالة ص = س² محور السينات، ثم حدد أصفارها.

• أ) يقطع محور السينات مرتين، أصفار الدالة هي 0 و 0.
• ب) يقطع محور السينات مرة واحدة، صفر الدالة هو 0.
• ج) لا يقطع محور السينات، لا أصفار حقيقية.
• د) يقطع محور السينات مرتين، أصفار الدالة هي -1 و 1.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يقطع محور السينات مرة واحدة، صفر الدالة هو 0.

الشرح: 1. لإيجاد نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات (أصفار الدالة)، نضع ص = 0. 2. 0 = س². 3. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على س = 0. 4. يوجد حل واحد فقط (جذر مكرر)، وهو س = 0. 5. هذا يعني أن التمثيل البياني يقطع محور السينات عند نقطة واحدة فقط، وهي (0, 0).

تلميح: تذكر أن أصفار الدالة هي قيم س التي تجعل ص تساوي صفرًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل