فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

8-3 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

درست حل معادلات تربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي.

• أكتب العبارة التربيعية على صورة مربع كامل. • أحل معادلات تربيعية بإكمال المربع.

إكمال المربع

يسدد لاعبو كرة السلة بعض كراتهم نحو المرمى بمسار يمكن تمثيله بالمعادلة: ع = -9س^2 + 18س + 5، حيث تمثل (ع) ارتفاع الكرة بعد (س) ثانية. ويمكن إيجاد الزمن عند أي ارتفاع معطى للكرة؛ فمثلاً لإيجاد الزمن عندما تكون الكرة على ارتفاع 4 أمتار، نحتاج إلى حل المعادلة: 4 = -9س^2 + 18س + 5 باستعمال طرق مختلفة منها طريقة إكمال المربع.

درست في الدرس 7-6 حل معادلات تربيعية بإيجاد الجذر التربيعي لكل طرف منها، والتي تستعمل فقط إذا كان المقدار الواقع على الطرف الأيمن مربعاً كاملاً، أما في العبارات ثلاثية الحدود التربيعية التي تمثل مربعات كاملة والتي يكون معاملها الرئيس 1، فهناك علاقة بين معامل الحد الذي يحتوي س والحد الثابت.

(س + 5)^2 = س^2 + 2(5)س + 25 = س^2 + 10س + 25

لاحظ أن (10/2)^2 = 25، ويمكن الحصول على الحد الثابت، بقسمة معامل الحد الذي يحتوي س على 2، وتربيع الناتج، يمكن استعمال هذه الفكرة في تحويل أي عبارة تربيعية على الصورة س^2 + ب س إلى مربع كامل باستعمال طريقة تُسمى إكمال المربع.

أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: لإكمال المربع في أي عبارة تربيعية على الصورة س^2 + ب س، اتبع الخطوات الآتية: الخطوة 1: أوجد نصف ب (معامل س) الخطوة 2: ربّع الناتج في الخطوة 1. الخطوة 3: أضف الناتج من الخطوة 2 إلى س^2 + ب س، ثم اكتب العبارة على صورة مربع كامل. الرموز: س^2 + ب س + (ب/2)^2 = (س + ب/2)^2

إكمال المربع: أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^2 + 4س + جـ مربعاً كاملاً. الطريقة 1: استعمال بطاقات الجبر.

124 الفصل 8: الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 8-3 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع --- SECTION: فيما سبق --- درست حل معادلات تربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي. --- SECTION: والآن --- • أكتب العبارة التربيعية على صورة مربع كامل. • أحل معادلات تربيعية بإكمال المربع. --- SECTION: المفردات --- إكمال المربع --- SECTION: لماذا؟ --- يسدد لاعبو كرة السلة بعض كراتهم نحو المرمى بمسار يمكن تمثيله بالمعادلة: ع = -9س^2 + 18س + 5، حيث تمثل (ع) ارتفاع الكرة بعد (س) ثانية. ويمكن إيجاد الزمن عند أي ارتفاع معطى للكرة؛ فمثلاً لإيجاد الزمن عندما تكون الكرة على ارتفاع 4 أمتار، نحتاج إلى حل المعادلة: 4 = -9س^2 + 18س + 5 باستعمال طرق مختلفة منها طريقة إكمال المربع. --- SECTION: إكمال المربع --- درست في الدرس 7-6 حل معادلات تربيعية بإيجاد الجذر التربيعي لكل طرف منها، والتي تستعمل فقط إذا كان المقدار الواقع على الطرف الأيمن مربعاً كاملاً، أما في العبارات ثلاثية الحدود التربيعية التي تمثل مربعات كاملة والتي يكون معاملها الرئيس 1، فهناك علاقة بين معامل الحد الذي يحتوي س والحد الثابت. (س + 5)^2 = س^2 + 2(5)س + 25 = س^2 + 10س + 25 لاحظ أن (10/2)^2 = 25، ويمكن الحصول على الحد الثابت، بقسمة معامل الحد الذي يحتوي س على 2، وتربيع الناتج، يمكن استعمال هذه الفكرة في تحويل أي عبارة تربيعية على الصورة س^2 + ب س إلى مربع كامل باستعمال طريقة تُسمى إكمال المربع. --- SECTION: مفهوم أساسي: إكمال المربع --- أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: لإكمال المربع في أي عبارة تربيعية على الصورة س^2 + ب س، اتبع الخطوات الآتية: الخطوة 1: أوجد نصف ب (معامل س) الخطوة 2: ربّع الناتج في الخطوة 1. الخطوة 3: أضف الناتج من الخطوة 2 إلى س^2 + ب س، ثم اكتب العبارة على صورة مربع كامل. الرموز: س^2 + ب س + (ب/2)^2 = (س + ب/2)^2 --- SECTION: مثال 1 --- إكمال المربع: أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س^2 + 4س + جـ مربعاً كاملاً. الطريقة 1: استعمال بطاقات الجبر. 124 الفصل 8: الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: A photograph showing two basketball players in action. One player is jumping to shoot the ball into the hoop, while another player is defending. The image provides a real-world context for the quadratic equation mentioned in the 'لماذا؟' section. Context: Illustrates the parabolic path of a basketball, which can be modeled by a quadratic equation. **DIAGRAM**: استعمال بطاقات الجبر لإكمال المربع Description: A three-part diagram illustrating the process of completing the square using algebra tiles for the expression x^2 + 4x. 1. The first part shows one large blue square (x^2) and four green rectangles (x). 2. The second part shows the x^2 square with two x-rectangles placed vertically on its right and two x-rectangles placed horizontally below it, leaving an empty square space at the bottom-right. 3. The third part shows the same arrangement with four small yellow unit squares (labeled '1') filled into the empty space to complete a larger square. Text boxes explain the steps: 'رتب بطاقات الجبر للعبارة التربيعية س^2 + 4س بحيث يتطابق طرفا الشكل' and 'لتكملة الشكل إلى مربع، أضف 4 بطاقات جبر من بطاقات العدد 1'. The final conclusion is 'إذن ج = 4'. Key Values: س^2, س, 1, ج = 4 Context: Provides a visual, geometric proof of the completing the square method for the expression x^2 + 4x.