إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

المفاهيم الأساسية

الخوارزمية: سلسلة خطوات لإجراء عملية أو لحل مسألة.

المعامل الرئيسي: يجب أن يساوي ١ قبل إجراء عملية إكمال المربع.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

مفهوم الخوارزمية

خطوات إكمال المربع (طريقة ٢)

الخطوة ١: أوجد ٤ ÷ العدد ٤

الخطوة ٢: ربع الناتج من الخطوة ١

الخطوة ٣: أضف الناتج إلى س + ٤ س

حل المعادلات بإكمال المربع

معامل رئيسي = ١

#### ١. افصل الحدين س²، ب س

#### ٢. أكمل المربع

#### ٣. حلل ثلاثية الحدود

#### ٤. أوجد الجذر التربيعي

#### ٥. افصل الحلين

معامل رئيسي ≠ ١

#### ١. اقسم كل حد على المعامل الرئيسي

#### ٢. ثم اتبع خطوات الحالة الأولى

تنبيه

المعامل الرئيسي يجب أن يساوي ١ أولاً

```

نقاط مهمة

• يمكن استعمال طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية.
• تتطلب طريقة الحل فصل الحدين س²، ب س أولاً.
• مثال: لإكمال مربع س² + ٤ س، نجد أن جـ = ٤، لأن س² + ٤ س + ٤ = (س + ٢)².
• إذا كانت ثلاثية الحدود على الصورة ر² + جـ + ٨، يمكن إيجاد قيمة جـ التي تجعلها مربعاً كاملاً.
• قد لا يكون للمعادلة حلول حقيقية إذا كان ناتج تحليل المربع سالباً.

---

حل مثال

مثال ٢: حل المعادلة س² - ٦ س + ١٢ = ١٩ بإكمال المربع.

١. المعادلة الأصلية: س² - ٦ س + ١٢ = ١٩

٢. افصل الحدين س²، س: س² - ٦ س = ٧

٣. أكمل المربع: (٦/٢) = ٣، (٣)² = ٩. أضف ٩ للطرفين: س² - ٦ س + ٩ = ١٦

٤. حلل: (س - ٣)² = ١٦

٥. أوجد الجذر: س - ٣ = ±٤

٦. افصل الحلين:

- س - ٣ = -٤ → س = -١

- س - ٣ = ٤ → س = ٧

الحلان هما: س = -١، س = ٧

مثال ٣: حل المعادلة ٢س² + ٨ س - ١٨ = ٠ بإكمال المربع.

١. المعادلة الأصلية: ٢س² + ٨ س - ١٨ = ٠

٢. المعامل الرئيسي ≠ ١، لذا اقسم الطرفين على ٢: س² + ٤ س - ٩ = ٠

٣. افصل الحدين: س² + ٤ س = ٩

٤. أكمل المربع: (٤/٢) = ٢، (٢)² = ٤. أضف ٤ للطرفين: س² + ٤ س + ٤ = ١٣

٥. حلل: (س + ٢)² = ١٣

٦. أوجد الجذر: س + ٢ = ±√١٣

٧. افصل الحلين:

- س + ٢ = -√١٣ → س = -٢ - √١٣

- س + ٢ = √١٣ → س = -٢ + √١٣

الحلان هما: س = -٢ ± √١٣

---

تحقق من فهمك

١) أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود ٨ + جـ + ر² مربعاً كاملاً.

• ثلاثية الحدود هي: ر² + جـ + ٨.
• لتكن على صورة (ر + ب)² = ر² + ٢ب ر + ب².
• بالمقارنة: الحد الثابت هو ب².
• الحد الأوسط هو ٢ب ر، ومعامل ر هو ٢ب.
• في المعطى، معامل ر هو جـ (يجب أن يكون جـ = ٢ب).
• الحد الثابت هو ٨، لذا ب² = ٨ → ب = ±√٨ = ±٢√٢.
• إذن جـ = ٢ب = ٢ × (±٢√٢) = ±٤√٢.

قيمة جـ هي: ٤√٢ أو -٤√٢

٢) حل المعادلة: س² - ١٢ س + ٣ = ٨ بإكمال المربع.

١. افصل الحدين: س² - ١٢ س = ٥

٢. أكمل المربع: (١٢/٢) = ٦، (٦)² = ٣٦. أضف ٣٦ للطرفين: س² - ١٢ س + ٣٦ = ٤١

٣. حلل: (س - ٦)² = ٤١

٤. أوجد الجذر: س - ٦ = ±√٤١

٥. الحلان: س = ٦ ± √٤١

٣) حل المعادلة: ٣س² - ٩ س = ٣ بإكمال المربع.

١. المعادلة: ٣س² - ٩ س = ٣

٢. المعامل الرئيسي ≠ ١، اقسم الطرفين على ٣: س² - ٣ س = ١

٣. أكمل المربع: (٣/٢) = ١.٥، (١.٥)² = ٢.٢٥. أضف ٢.٢٥ للطرفين: س² - ٣ س + ٢.٢٥ = ٣.٢٥

٤. حلل: (س - ١.٥)² = ٣.٢٥

٥. أوجد الجذر: س - ١.٥ = ±√٣.٢٥ = ±١.٨٠٢ (تقريباً √٣.٢٥ = ١.٨٠٢)

٦. الحلان: س = ١.٥ ± ١.٨٠٢

- س = ١.٥ + ١.٨٠٢ = ٣.٣٠٢

- س = ١.٥ - ١.٨٠٢ = -٠.٣٠٢

الحلان التقريبيان هما: س ≈ ٣.٣٠٢، س ≈ -٠.٣٠٢

إرشادات للدراسة الخوارزمية الخوارزمية هي سلسلة خطوات لإجراء عملية أو لحل مسألة.

الطريقة ٢: استعمال خوارزمية إكمال المربع.

الخطوة ١: أوجد ١/٢ العدد ب. ب/٢ = ٤/٢ = ٢ الخطوة ٢: ربّع الناتج من الخطوة ١. ٢^٢ = ٤ الخطوة ٣: أضف الناتج من الخطوة ٢ إلى س٢ + ٨س. س٢ + ٨س + ٤ إذن، جـ = ٤، لاحظ أن س٢ + ٨س + ٤ = (س + ٢)^٢.

تحقق من فهمك

١) أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود ر٢ - ٨ر + جـ مربعًا كاملاً.

حل المعادلات بإكمال المربع

يمكن استعمال طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، والتي تتطلب فصل الحدين س٢، ب س أولاً.

حل معادلة بإكمال المربع حُلَّ المعادلة: س٢ - ٦س + ١٢ = ١٩ بإكمال المربع. س٢ - ٦س + ١٢ = ١٩ المعادلة الأصلية س٢ - ٦س = ٧ اطرح ١٢ من كلا الطرفين س٢ - ٦س + ٩ = ٧ + ٩ بما أن (-٦/٢)^٢ = ٩؛ لذا أضف ٩ إلى كلا الطرفين (س - ٣)^٢ = ١٦ حلّل س٢ - ٦س + ٩ س - ٣ = ± ٤ أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين س = ٣ ± ٤ أضف ٣ إلى كل طرف س = ٣ + ٤ أو س = ٣ - ٤ افصل الحلين س = ٧ ، س = -١ بسّط إذن الحلان هما ٧، -١

تحقق من فهمك

٢) حل المعادلة: س٢ - ١٢س + ٣ = ٨ بإكمال المربع.

لحل معادلة تربيعية معاملها الرئيس لا يساوي ١، اقسم كل حد على هذا المعامل، ثم افصل الحدين اللذين يحتويان س٢، س ثم أكمل المربع.

تنبيه ! المعامل الرئيس تذكر أن المعامل الرئيس يجب أن يساوي ١ قبل إجراء عملية إكمال المربع.

معادلة فيها أ ≠ ١ حل المعادلة: -٢س٢ + ٨س - ١٨ = ٠ بإكمال المربع. -٢س٢ + ٨س - ١٨ = ٠ (-٢س٢ + ٨س - ١٨) / -٢ = ٠ / -٢ اقسم كلا الطرفين على -٢ س٢ - ٤س + ٩ = ٠ بسّط س٢ - ٤س = -٩ اطرح ٩ من كلا الطرفين س٢ - ٤س + ٤ = -٩ + ٤ بما أن (-٤/٢)^٢ = ٤؛ لذا أضف ٤ إلى كلا الطرفين (س - ٢)^٢ = -٥ حلّل س٢ - ٤س + ٤ لا توجد أعداد حقيقية مربعاتها سالبة؛ لذا فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية.

تحقق من فهمك

٣) حُلَّ المعادلة: ٣س٢ - ٩س - ٣ = ٢١ بإكمال المربع.

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة الخوارزمية الخوارزمية هي سلسلة خطوات لإجراء عملية أو لحل مسألة. الطريقة ٢: استعمال خوارزمية إكمال المربع. الخطوة ١: أوجد ١/٢ العدد ب. ب/٢ = ٤/٢ = ٢ الخطوة ٢: ربّع الناتج من الخطوة ١. ٢^٢ = ٤ الخطوة ٣: أضف الناتج من الخطوة ٢ إلى س٢ + ٨س. س٢ + ٨س + ٤ إذن، جـ = ٤، لاحظ أن س٢ + ٨س + ٤ = (س + ٢)^٢. تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- ١) أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود ر٢ - ٨ر + جـ مربعًا كاملاً. حل المعادلات بإكمال المربع يمكن استعمال طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، والتي تتطلب فصل الحدين س٢، ب س أولاً. --- SECTION: مثال ٢ --- حل معادلة بإكمال المربع حُلَّ المعادلة: س٢ - ٦س + ١٢ = ١٩ بإكمال المربع. س٢ - ٦س + ١٢ = ١٩ المعادلة الأصلية س٢ - ٦س = ٧ اطرح ١٢ من كلا الطرفين س٢ - ٦س + ٩ = ٧ + ٩ بما أن (-٦/٢)^٢ = ٩؛ لذا أضف ٩ إلى كلا الطرفين (س - ٣)^٢ = ١٦ حلّل س٢ - ٦س + ٩ س - ٣ = ± ٤ أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين س = ٣ ± ٤ أضف ٣ إلى كل طرف س = ٣ + ٤ أو س = ٣ - ٤ افصل الحلين س = ٧ ، س = -١ بسّط إذن الحلان هما ٧، -١ تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- ٢) حل المعادلة: س٢ - ١٢س + ٣ = ٨ بإكمال المربع. لحل معادلة تربيعية معاملها الرئيس لا يساوي ١، اقسم كل حد على هذا المعامل، ثم افصل الحدين اللذين يحتويان س٢، س ثم أكمل المربع. --- SECTION: تنبيه ! --- تنبيه ! المعامل الرئيس تذكر أن المعامل الرئيس يجب أن يساوي ١ قبل إجراء عملية إكمال المربع. --- SECTION: مثال ٣ --- معادلة فيها أ ≠ ١ حل المعادلة: -٢س٢ + ٨س - ١٨ = ٠ بإكمال المربع. -٢س٢ + ٨س - ١٨ = ٠ (-٢س٢ + ٨س - ١٨) / -٢ = ٠ / -٢ اقسم كلا الطرفين على -٢ س٢ - ٤س + ٩ = ٠ بسّط س٢ - ٤س = -٩ اطرح ٩ من كلا الطرفين س٢ - ٤س + ٤ = -٩ + ٤ بما أن (-٤/٢)^٢ = ٤؛ لذا أضف ٤ إلى كلا الطرفين (س - ٢)^٢ = -٥ حلّل س٢ - ٤س + ٤ لا توجد أعداد حقيقية مربعاتها سالبة؛ لذا فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية. تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- ٣) حُلَّ المعادلة: ٣س٢ - ٩س - ٣ = ٢١ بإكمال المربع.