سؤال 1: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملًا: (1) س٢ + ١٨ س + جـ
الإجابة: جـ = 81
📚 معلومات الصفحة
الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2
الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم
نوع المحتوى: درس تعليمي
📝 ملخص الصفحة
📚 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع (تطبيقات)
المفاهيم الأساسية
إكمال المربع: طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية عن طريق تحويلها إلى صيغة مربع كامل.
خريطة المفاهيم
```markmap
حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع
مفهوم الخوارزمية
خطوات إكمال المربع (طريقة ٢)
الخطوة ١: أوجد ٤ ÷ العدد ٤
الخطوة ٢: ربع الناتج من الخطوة ١
الخطوة ٣: أضف الناتج إلى س + ٤ س
حل المعادلات بإكمال المربع
معامل رئيسي = ١
#### ١. افصل الحدين س²، ب س
#### ٢. أكمل المربع
#### ٣. حلل ثلاثية الحدود
#### ٤. أوجد الجذر التربيعي
#### ٥. افصل الحلين
معامل رئيسي ≠ ١
#### ١. اقسم كل حد على المعامل الرئيسي
#### ٢. ثم اتبع خطوات الحالة الأولى
تنبيه
المعامل الرئيسي يجب أن يساوي ١ أولاً
تطبيق: حل مسألة من واقع الحياة
تمثيل المسألة بمعادلة تربيعية
تطبيق خطوات إكمال المربع
استبعاد الحلول غير المعقولة (كالعدد السالب)
```
نقاط مهمة
- يمكن استخدام إكمال المربع لحل مسائل واقعية تتضمن تكاليف وكميات.
- بعد حل المعادلة، يجب التحقق من معقولية الحلول في سياق المسألة (مثل: عدد القطع لا يمكن أن يكون سالباً).
- مثال تطبيقي: إذا كانت تكلفة شراء (س) قطعة زي رياضي هي:
ك = ٢ س + ٨ س + ٣٥٠، ووُجد أن الحلول هي س = ٣٩٫٤ أو س = -٦٣٫٤، فإن الحل المعقول هو ٣٩ قطعة (يُهمل السالب).
---
حل مثال
مثال ١: أوجد قيمة جـ التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعاً كاملاً:
١) س^٢ - ١٨ س + جـ
(يتبع قاعدة إكمال المربع: جـ = (ب/٢)²)
٢) س^٢ + ٢ س + جـ
٣) س^٢ + ٩ س + جـ
المثالان ٢، ٣: حل كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع:
(توضح الصفحة خطوات الحل النموذجية لإكمال المربع)
مثال ٨ (إنشاءات): يبني إسماعيل صالة مستطيلة مساحتها ٤٤ م²، وطولها يزيد على عرضها بمقدار ١٠ أمتار. المطلوب إيجاد أبعاد الصالة باستخدام المعادلات التربيعية وإكمال المربع.
---
تحقق من فهمك
٤) إذا أمكن زيادة المبلغ إلى ٩٨٠ ريالاً، فما عدد قطع الزي التي يمكن شراؤها؟
(تطبيق مباشر على نفس معادلة المسألة الواقعية مع تغيير المبلغ الإجمالي)
---
تأكد (تمارين)
أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً:
١) س^٢ - ١٨ س + جـ
٢) س^٢ + ٢ س + جـ
٣) س^٢ + ٩ س + جـ
حل كل معادلة بإكمال المربع:
٤) س^٢ + ٢ س - ٩ = ٠
٥) س^٢ + ٤ س = ٦
٦) س^٢ - ٨ س = ٩
٧) س^٢ + ٢ س - ٩ = ٠
---
> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: NON_EDUCATIONAL
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
نوع: محتوى تعليمي
مثال ٤ من واقع الحياة
نوع: محتوى تعليمي
حل مسألة بإكمال المربع
نوع: محتوى تعليمي
زي رياضي: أراد أحد الفرق الرياضية شراء زي خاص بلاعبي كرة القدم، إذا أمكن تمثيل تكلفة الزي الرياضي بالمعادلة: ك = ٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠، حيث (ك) ثمن (س) قطعة من هذا الزي، فما عدد القطع التي يمكن شراؤها بمبلغ ٨٦٠ ريالاً؟
نوع: محتوى تعليمي
المبلغ الكلي ٨٦٠ ريالاً؛ لذا اجعل المعادلة تساوي ٨٦٠، ثم أكمل المربع.
المعادلة الأصلية: ٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠ = ٨٦٠
اقسم كل طرف على ٠,٢: (٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠) / ٠,٢ = ٨٦٠ / ٠,٢
بسط: س٢ + ٢٤ س + ١٧٥٠ = ٤٣٠٠
اطرح ١٧٥٠ من كلا الطرفين: س٢ + ٢٤ س + ١٧٥٠ - ١٧٥٠ = ٤٣٠٠ - ١٧٥٠
بسط: س٢ + ٢٤ س = ٢٥٥٠
بما أن (٢٤/٢)^٢ = ١٤٤؛ لذا أضف ١٤٤ إلى كلا الطرفين: س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ = ٢٥٥٠ + ١٤٤
بسط: س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ = ٢٦٩٤
حلل س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ إلى العوامل: (س + ١٢)^٢ = ٢٦٩٤
أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين: س + ١٢ = ±√٢٦٩٤
اطرح ١٢ من كلا الطرفين: س = -١٢ ± √٢٦٩٤
استعمل الحاسبة لتقريب قيمتي س.
افصل الحلين: س = -١٢ + √٢٦٩٤ أو س = -١٢ - √٢٦٩٤
أوجد القيم التقريبية: س ≈ ٣٩,٩ أو س ≈ -٦٣,٩
بما أنه لا يمكن أن نشتري عددًا سالبًا من القطع فالحل السالب غير معقول، إذن يمكن شراء ٣٩ قطعة من هذا الزي.
الربط مع الحياة
نوع: محتوى تعليمي
يرتدي لاعبو فريق كرة القدم زيًا موحدًا يشمل: القميص والبنطال والحذاء والجورب ويزيد حارس المرمى بالقفازات. ويختلف لون الزي والشعار تبعًا لكل فريق؛ للتمييز بينهم.
تحقق من فهمك
نوع: محتوى تعليمي
٤) إذا أمكن زيادة المبلغ إلى ٩٨٠ ريالاً، فما عدد قطع الزي التي يمكن شراؤها؟
نوع: محتوى تعليمي
تأكد
مثال ١
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة جـ التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً:
المثالان ٢ ، ٣
نوع: QUESTION_HOMEWORK
حُلَّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا:
مثال ٤
نوع: QUESTION_HOMEWORK
٩) إنشاءات: يبني إسماعيل صالة مستطيلة الشكل خلف منزل عائلته، مساحتها ١٤٤ مترًا مربعًا، وطولها يزيد على عرضها بمقدار ١٠ أمتار، فما بُعدا الصالة؟
نوع: METADATA
١٢٦ الفصل ٨: الدوال التربيعية
🔍 عناصر مرئية
صورة فوتوغرافية لمجموعة من لاعبي كرة القدم يرتدون زياً رياضياً موحداً باللونين الأخضر والأبيض، يقفون في صفين في ملعب كرة قدم.
شعار وزارة التعليم السعودية الرسمي مع نص 'وزارة التعليم' و 'Ministry of Education' وسنوات ٢٠٢٥ - ١٤٤٧.
📄 النص الكامل للصفحة
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
مثال ٤ من واقع الحياة
حل مسألة بإكمال المربع
زي رياضي: أراد أحد الفرق الرياضية شراء زي خاص بلاعبي كرة القدم، إذا أمكن تمثيل تكلفة الزي الرياضي بالمعادلة: ك = ٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠، حيث (ك) ثمن (س) قطعة من هذا الزي، فما عدد القطع التي يمكن شراؤها بمبلغ ٨٦٠ ريالاً؟
المبلغ الكلي ٨٦٠ ريالاً؛ لذا اجعل المعادلة تساوي ٨٦٠، ثم أكمل المربع.
المعادلة الأصلية: ٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠ = ٨٦٠
اقسم كل طرف على ٠,٢: (٠,٢ س٢ + ٤,٨ س + ٣٥٠) / ٠,٢ = ٨٦٠ / ٠,٢
بسط: س٢ + ٢٤ س + ١٧٥٠ = ٤٣٠٠
اطرح ١٧٥٠ من كلا الطرفين: س٢ + ٢٤ س + ١٧٥٠ - ١٧٥٠ = ٤٣٠٠ - ١٧٥٠
بسط: س٢ + ٢٤ س = ٢٥٥٠
بما أن (٢٤/٢)^٢ = ١٤٤؛ لذا أضف ١٤٤ إلى كلا الطرفين: س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ = ٢٥٥٠ + ١٤٤
بسط: س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ = ٢٦٩٤
حلل س٢ + ٢٤ س + ١٤٤ إلى العوامل: (س + ١٢)^٢ = ٢٦٩٤
أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين: س + ١٢ = ±√٢٦٩٤
اطرح ١٢ من كلا الطرفين: س = -١٢ ± √٢٦٩٤
استعمل الحاسبة لتقريب قيمتي س.
افصل الحلين: س = -١٢ + √٢٦٩٤ أو س = -١٢ - √٢٦٩٤
أوجد القيم التقريبية: س ≈ ٣٩,٩ أو س ≈ -٦٣,٩
بما أنه لا يمكن أن نشتري عددًا سالبًا من القطع فالحل السالب غير معقول، إذن يمكن شراء ٣٩ قطعة من هذا الزي.
--- SECTION: الربط مع الحياة ---
يرتدي لاعبو فريق كرة القدم زيًا موحدًا يشمل: القميص والبنطال والحذاء والجورب ويزيد حارس المرمى بالقفازات. ويختلف لون الزي والشعار تبعًا لكل فريق؛ للتمييز بينهم.
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
٤) إذا أمكن زيادة المبلغ إلى ٩٨٠ ريالاً، فما عدد قطع الزي التي يمكن شراؤها؟
تأكد
--- SECTION: مثال ١ ---
أوجد قيمة جـ التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملاً:
1. س٢ - ١٨ س + جـ
2. س٢ + ٢٢ س + جـ
3. س٢ + ٩ س + جـ
4. س٢ - ٧ س + جـ
--- SECTION: المثالان ٢ ، ٣ ---
حُلَّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا:
5. س٢ + ٤ س = ٦
6. س٢ - ٨ س = -٩
7. س٢ + ٩ س - ١ = ٠
8. -٢ س٢ + ١٠ س + ٢٢ = ٤
--- SECTION: مثال ٤ ---
٩) إنشاءات: يبني إسماعيل صالة مستطيلة الشكل خلف منزل عائلته، مساحتها ١٤٤ مترًا مربعًا، وطولها يزيد على عرضها بمقدار ١٠ أمتار، فما بُعدا الصالة؟
١٢٦ الفصل ٨: الدوال التربيعية
--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Untitled
Description: صورة فوتوغرافية لمجموعة من لاعبي كرة القدم يرتدون زياً رياضياً موحداً باللونين الأخضر والأبيض، يقفون في صفين في ملعب كرة قدم.
**IMAGE**: Untitled
Description: شعار وزارة التعليم السعودية الرسمي مع نص 'وزارة التعليم' و 'Ministry of Education' وسنوات ٢٠٢٥ - ١٤٤٧.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 7
سؤال 2: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملًا: (2) س٢ + ٩ س + جـ
الإجابة: جـ = 81 / 4
سؤال 3: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملًا: (3) س٢ + ٦ س + جـ
الإجابة: جـ = 9
سؤال 4: أوجد قيمة جد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعًا كاملًا: (4) س٢ - ٧ س + جـ
الإجابة: جـ = 49 / 4
سؤال 5: حل كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: (5) س٢ + ٦ س = ٩
الإجابة: س = 1.2 أو س = -7.2
سؤال 6: حل كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريًا: (6) س٢ + ٩ س = ٤
الإجابة: س = 0.4 أو س = -9.4
سؤال مثال 4: إنشاءات: يبني إسماعيل صالة مستطيلة الشكل خلف منزل عائلته، مساحتها ١٤٤ مترًا مربعًا، وطولها يزيد على عرضها بمقدار ١٠ أمتار، فما بعدا الصالة؟
الإجابة: العرض = 8 م ، الطول = 18 م
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة
ما هي الخطوة الأولى عند حل معادلة تربيعية بطريقة إكمال المربع إذا كان معامل س² لا يساوي ١؟
- أ) جمع أو طرح الحد الثابت من طرفي المعادلة.
- ب) أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.
- ج) قسمة طرفي المعادلة على معامل س² لجعل معامل س² يساوي ١.
- د) تحليل ثلاثية الحدود إلى عواملها.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: قسمة طرفي المعادلة على معامل س² لجعل معامل س² يساوي ١.
الشرح: لضمان تطبيق طريقة إكمال المربع بشكل صحيح، يجب أن يكون معامل الحد التربيعي (س²) هو ١. لذا، نقوم بقسمة جميع حدود المعادلة على هذا المعامل أولاً.
تلميح: يجب أن يكون الشكل القياسي لمعادلة إكمال المربع هو س² + ب س = جـ.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما هي قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود س² + ب س + جـ مربعًا كاملًا؟
- أ) جـ = ب/٢
- ب) جـ = ب²
- ج) جـ = (ب/٢)²
- د) جـ = ٢ب
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: جـ = (ب/٢)²
الشرح: في ثلاثية الحدود المربعة الكاملة (س + أ)² = س² + ٢أ س + أ²، يكون الحد الأوسط ٢أ س والحد الثابت أ². إذا كان الحد الأوسط ب س، فإن ٢أ = ب، وبالتالي أ = ب/٢. إذن جـ = أ² = (ب/٢)².
تلميح: تذكر العلاقة بين الحد الأوسط والحد الثابت في المربع الكامل.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل
أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود س² + ١٨ س + جـ مربعًا كاملًا.
- أ) 9
- ب) 36
- ج) 81
- د) 18
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 81
الشرح: 1. معامل س هو ب = ١٨. 2. صيغة جـ للمربع الكامل هي جـ = (ب/٢)². 3. بالتعويض: جـ = (١٨/٢)² = ٩² = ٨١.
تلميح: استخدم الصيغة التي تربط جـ بمعامل س.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
في مسائل إكمال المربع التي تمثل مواقف من واقع الحياة، لماذا يتم تجاهل الحلول السالبة عادةً؟
- أ) لأنها تجعل المعادلة غير صحيحة.
- ب) لأن الكميات مثل الأعداد أو الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة.
- ج) لأن الحلول الموجبة دائماً أكثر دقة.
- د) لأنها تشير إلى خطأ في طريقة الحل.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لأن الكميات مثل الأعداد أو الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة.
الشرح: في العديد من المسائل الواقعية، تمثل المتغيرات كميات فيزيائية أو عددية لا يمكن أن تكون أقل من الصفر، مثل الأبعاد (الطول، العرض)، الزمن، عدد الأشياء، أو المسافات. لذا، يتم استبعاد الحلول السالبة كحلول غير منطقية في هذا السياق.
تلميح: فكر في المعنى الفيزيائي للكميات التي تمثلها المتغيرات.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل